【教案】向量的数量积教学设计-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.docx

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1、教学设计模板教师姓名单位学段高中学科数学适用年级高一年级授课时间课型新授课授课时数题目6.2.3向量的数乘运算课标要求在探究向量的运算性质的基础上，理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量，求平面向量的数量积。会指出两个具体向量的夹角并掌握两个向量夹角的范围，会画出两个向量的夹角。核心素养目标1.通过物理中功的实验，引出平面向量数量积的概念及物理意义，让学生会计算平面向量的数量积。2.理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量，求平面向量的数量积。会指出两个具体向量的夹角并掌握两个向量夹角的范围，会画出两个向量的夹角。3.通过数量积的引入和应用，初步体会知识的发生、发展的过程过程，培养学生的

2、思维习惯。教学重点平面向量数量积的定义及投影向量。教学难点平面向量数乘运算、运算律以及平面向量共线基本定理。教学策略1.探究与发现2.自主练习与指导教具准备多媒体课件，班班通，教材教学方法启发和探究教学相结合，自主练习与指导相结合。学习方法从特殊到一般，从感性到理性，从具体到抽象。教学过程一、 环节一：复习回顾，温故知新。教师活动：提出问题，引导、检查学生学习情况1.向量的数乘的定义：【答案】一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：（1） |a|=|a|；（2） 当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反。2.向量

3、的数乘运算律：【答案】设a、b为任意向量，、为任意实数，则有：（1）(a)=()a（2）(+)a=a+a（3）(a+b)=a+b学生活动：带着已有的知识储备，进入新的学习内容活动意图说明：通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。环节二：知识探究（一）：向量的夹角的定义教师活动：思考1： 一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？【答案】W=|F|S|cos思考2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？【答案】标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。1.向量的夹角的定义：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作O

4、A=a,OB=b,则AOB=(0)叫做向量a和b的角。显然，当=0时，a和b同向；当=时，a和b反向。如果a和b的夹角是=2，我们就说a和b垂直，记作ab。思考3：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？【答案】功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。学生活动：回顾学习过的物理知识，独立思考，回答问题通过思考，浏览教材，总结向量夹角的定义通过功，总结出向量数量积，为下下面的知识的学习做铺垫。活动意图说明：通过思考，由物理知识引入本节知识，提高学生的解决问题、分析问题的能力。建立知识间的联系，提高学生分析问题、概括能力。让学生进一步理

5、解数量积的定义，提高学生理解问题的能力。环节三：知识探究（二）：数量积的定义教师活动：2.数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos叫做向量a和b的数量积（或内积），记作ab，即ab=|a|b|cos。规定：零向量与任一向量的数量积为0。说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.（2） ab中间的“”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“”；（3） 运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是 0，180。思考4.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？【答案】当090时，ab为正；当90180时，ab为负；当=90时

6、，ab为零。结论：数量积符号由cos的符号所决定。学生活动：根据老师引导，总结、归纳向量数量积的定义，独立思考，回答老师提问。通过向量数量积定义，独立思考，向量数量积的正负。环节四：知识探究（三）：投影向量的定义教师活动：3. 投影向量的定义：如图(1)设a,b是两个零向量,AB=a,CD=b,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到A1B1，我们称上述变换为向量a在向量b投影 (project).,A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量。如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b，过点M作直线ON的垂线,垂足为M1，则

7、OM1 就是向量a在向 量b上的投影向量。探究：如图，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为，那么OM1与e,a,之间有怎样的关系？【答案】设OM1=e。综上可得，对于任意的0,，都有OM1=|a|cose。探究：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？设a,b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则：（1）ae=ea=|a|cos，（2） abab=0（3）当向量a,b共线同向时，ab=|a|b|；当向量a,b共线反向时，ab=|a|b|。特别地，aa=|a|2或|a|=aa。（4）|ab|a|b|学生活动：学生可根据老师提示

8、，作图思考答案；根据老师引导，及对教材的预习，总结、概括投影向量的定义；在学习过程中，要时刻锻炼自己归纳、总结知识点的能力，理解单位向量的含义；活动意图说明：通过探究，进一步理解投影向量，提高学生的观察、概括能力。环节五：巩固练习教师活动： 例9.已知a和b的夹角=23，求ab。例10.设ab=542，求a和b的夹角。1在ABC中，BC5，AC8，C60，则()A20 B20 C20 D202设e1，e2是两个平行的单位向量，则下面的结果正确的是()Ae1e21 Be1e21C|e1e2|1 D|e1e2|13在ABC中，a，b，且ba0，则ABC是()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形

9、D无法确定4.已知|a|=6,e为单位向量，且a,e的夹角为45，求向量a在e上的投影向量。学生活动：1.解：|cos 1205820.【答案】B2.解：e1e2|e1|e2|cos1. 【答案】C再次复习单位向量的含义及应用；3.解：在ABC中，因为ba0，所以ba，故ABC为直角三角形。【答案】C5.解：向量a在e上的投影向量为|a|cose=6cos45e=32e。及时复习投影向量的定义，独立思考解答题目，注重解题步骤的书写。环节六：课后小结1. 向量的数量积的定义；2.投影向量； 3.数量积的性质;作业设计 习题6.2 10,18题 练习册板书设计6.2.4向量的数量积复习巩固 “数量积”概念 向量的夹角例9 例10投影向量 巩固练习教学反思优点：不足：改进措施：学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司