《基本不等式及其应用》教案及练习题.docx

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1、第三节 根本不等式及其应用高考概览：1.了解根本不等式的证明过程；2.会用根本不等式解决简洁的最大(小)值问题学问梳理 2ab1根本不等式 ab(1) 根本不等式成立的条件：a，bR .(2) 等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号 2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)ba(2) a b2(a，b 同号)ab(3)ab22(a，bR)aba2b22(4)22(a，bR)3. 算术平均数与几何平均数ab设 a0，b0，则a，b 的算术平均数为 2，几何平均数为 ab，ab根本不等式可表达为： 2 ab.(当且仅当 ab 时等号成立)4. 利用根本不等式求最值问题 x0，y0，则(

2、1) 假设积 xy 是定值 p，那么当且仅当xy 时，xy 有最小值是2p(简记：积定和最小)(2) 假设和 xy 是定值 p，那么当且仅当xy 时，xy 有最大值是p24 (简记：和定积最大)辨识巧记1. 根本不等式的两种常用变形形式ab(1) ab22(a，bR ，当且仅当 ab 时取等号)(2) ab2ab(a0，b0，当且仅当 ab 时取等号)2. 三个重要的结论a2b2ab22(1)2.b a(2) ab(3)22(ab0)aba2b211 ab 22(a0，b0)ab双基自测1推断以下结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)ab(1)两个不等式 a2 b22ab与 2 ab成立的条

3、件是一样的()(2)1函数 yxx的最小值是2.()(3)函数 f(x)sinx 4 的最小值为 4.()sinx(4)x0 且 y0xy2 的充要条件()是yx答案(1) (2) (3) (4)2“ab0”是“aba2b2()b0 得，a2b22ab；但由 a2b22ab 不能得到a2b2ab0，故“ab0”是“ab0，y0，且 xy18，则 xy的最大值为()A80B77C81D82xy解析x0，y0，xy22，xy81，当且仅当 xy9 时取等号，xy 的最大值为 81.应选 C. 答案C4(2023宁夏月考)131，则 x3y 的最小值为()假设正数 x，y 满足yxA24B18C12

4、D61313x9y 解析由 y x 1得 x 3y (x 3y) yx y x ，当且仅当 ，且62x 9y612x9y131，即 x6，y2 时y xyxyx等号成立，所以 x3y 的最小值为 12，应选C. 答案C5(必修 5P练习T 改编)假设把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩1003形场地，则矩形场地的最大面积是m2.解析设矩形场地的长为 x m，宽为 y m，则 xy10，所以xy矩形场地的面积 Sxy2225，当且仅当 xy5 时，S 取得最大值 25 m2.答案25考点一 利用根本不等式求最值利用根本(均值)不等式求最值，一般是两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或两个非负数

5、的乘积为定值求其和的最小值，是每年高考的重点内容常见的命题角度有：(1) 一元函数的最值；(2) 二元函数的最值角度 1：一元函数的最值【例 11】 (1) 0x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于()2A. 1 C3x23B. 1 D4所求式提取公因数3凑出和为定值思路引导(1)将所求f(x)添加项凑出积为定值(2) 解析 (1) 0x0 ， x(3 3x) 3x(1 x(1x)3x)3224.1当且仅当 x1x，得 x2时，“”成立应选B.(2)x2，x20，f(x)x11(x2)22(x2)12224，x2x21x2当且仅当 x2，即(x2)21 时“”成立，x2x1 或 3.又x2，

6、x3，a3.应选C. 答案(1)B(2)C角度 2：二元函数的最值11【例 12】 (1) a0，b0，ab1，则 的最小值为ab (2) x0，y0，x3yxy9，则 x3y 的最小值为1111思路引导(1) (ab) abab- 根本不等式求解(2) x3yxy9 (x3y)1 (3y)93x- 转化为x3y的不等式求解解析(1)a0，b0，ab1，11ababbab a11 2 224，即 的最小ababab1a bab值为 4，当且仅当 ab2时等号成立x3y2(2)由得 xy9(x3y)，即 3xy273(x3y)2，令 x3yt，则 t212t1080，又 t0，故 t6，即 x3

7、y6. 答案(1)4(2)6(1) 利用根本( 均值) 不等式时肯定要留意应用的前提“ 一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用根本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件(2) 在利用根本(均值)不等式求最值时，要依据式子的特征敏捷变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用根本(均值)不等式对点训练1(2023天津月考) a，b 是正数，且 4a3b6，则 a(a3b)的最大值是()99A.8B.4C3D9解析a0，b0,4a3b6， a(a3b)13a(a3b)1333aa3b162223223，当且仅当 3aa3b，即 a1，b3时，

8、a(a3b)的最大值是 3.应选 C. 答案Cab212假设实数 a，b 满足 ab，则 ab 的最小值为()2A.2解析B2C2D412b2a ab，且 a0，b0，a解法一：由得 babababb2a22ab，当且仅当 a4 2，b24立ab22.应选 C.122时“”成ab解法二：由题设易知 a0，b0， ab 22 ，当且仅当 a4 2，b 4时“”成立，即 ab22，ab22应选C.答案C考点二 证明不等式【例 2】 (1)设 a，b 均为正实数，求证： 1 1 ab22.a2b21x(2) x，y，z 是互不相等的正数，且 xyz1，求证： 111y1z18.思路引导转化不等式形式

9、- 整合结果利用根本不- 等式证明证明(1)由于 a，b 均为正实数，11112所以 2 ，a2b2a2 b2ab11当且仅当 ，即 ab 时等号成立，a2b222ab又由于abab2222，ab当且仅当 ab 时等号成立，ab112所以 abab22，a2b2ab 11 ，当且仅当a2b2即 ab42时取等号ab 2 ，ab(2)由于 x，y，z 是互不相等的正数，且 xyz1，11xyz2yz所以x1 x xx，11yxz2xzy1 y yy，11zxy2xyz1 z zz，又 x，y，z 为正数，由，111xyz得 1 1 18.利用根本不等式证明不等式的技巧利用根本不等式证明不等式时，

10、首先要观看题中要证明的不等式的形式，假设不能直接使用根本不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进展变形，使之到达能使用根本不等式的条件；假设题目中还有条件，则首先观看条件和所证不等式之间的联系，当条件中含有 1 时，要留意1 的代换另外，解题中要时刻留意等号能否取到对点训练 a0，b0，ab11118.，求证：abab11111证明由 ab1，得abab2ab，ab1，a0，b0，11abababab a b2ba224，1111abab8当且仅当ab2时等号成立.考点三 根本不等式的实际应用【例 3】 (2023泰安调研)某公司生产的商品 A，当每件售价为5 元时，年销售 10 万件(1

11、) 据市场调查，假设价格每提高 1 元，销量相应削减 1 万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？(2) 为了扩大该商品的影响力，公司打算对该商品的生产进展技术革，将技术革后生产的商品售价提高到每件 x 元，公司拟投入1x2(x2x)万元作为技改费用，投入4万元作为宣传费用试问：技术革后生产的该商品销售量 m 至少应到达多少万件时，才能使技术革后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？设变量根本不等关系求结果思路引导(1)表示技术革后的销售收入、原销售收入及总投入三角关系式用x表示出m 的函数关系(2)利用根本不- 等式求最值- 实际作答解(1)设商品的销售价

12、格提高 a 元， 则(10a)(5a)50，解得 0a5. 所以商品的价格最多可以提高 5 元(2)由题意知，技术革后的销售收入为 mx 万元，假设技术革后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满1x足 mx2(x2x)450(x5)即可，1350此时 m2x4 x 2150x 503432 x 4 4 ，当且仅当2x x ，即 x10 时，取“”43故销售量至少应到达 4 万件时，才能使技术革后的销售收入等于原销售收入与总投入之和利用根本不等式求解实际问题的 2 个留意点(1) 利用根本不等式解决实际问题时，应明确其中的数量关系， 并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用根本不等式

13、求解(2) 在求所列函数的最值时，假设用根本不等式时，等号取不到， 可利用函数单调性求解对点训练要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是(单位：元)4解析设池底长为 x m，宽为 y m，则 xy4，所以 yx，则总造价为 f(x)20xy2(xy)110808020x x480，x x 20x(0，)所以 f(x)20244x x80160，当且仅当 xx，即 x2，等号成立，所以最低总造价是 160(元)答案160一、选择题课后跟踪训练(四十一)根底稳固练1假设 a，bR ，且 ab

14、0，则以下不等式中，恒成立的是()A. a2b22ab112B. ab2abbaC. ababD. 2ab解析a2b22ab(ab)20，A 错误对于B，C，当bab aa0，b0， 2 2.故aba b选 D.答案D2(2023福建福州一模)在以下各函数中，最小值为 2 的函数是()A1yxx(x0)B. ycosx 10x cos 2C. yx23 x224x(xR)eD. yexx2(xR)解析对于 A 项，当 x01时，yxx2，故A 错；对于B项，由于0x0cosx1，所以ycosx 12 中等号不成0，x22所以 yex 4 22ex 4 22，当且仅当 ex2，即 xln2 时等

15、exex号成立应选D. 答案D3(2023湖南邵阳联考) lg(xy)lgxlgy，则xy 的取值范围是()A(0,1B2，)C(0,4D4，)解析lg(xy)lgxlgylg(xy)，xyxy.x0，y0，xyxyxy2，xy4，应选 D.2答案D4(2023四川成都一诊) x5，则 f(x)x24x5()2A最大值 2B最小值 2C最大值 1D最小值 1 2x4有 解 析 x 5， f(x) (x2)211 x2 1 22(x2)2 x211122(x2)x1，当且仅当 x2，即 x3 或 x1(舍)2x2时取等号，f(x)有最小值 1，应选D. 答案D5(2023河南平顶山、许昌、汝州联

16、考)假设 3x2y2，则 8x4y 的最小值为()22A4B4C2D2解析3x2y2，8x4y23x22y223x22y223x2y114，当且仅当 3x2y2 且 3x2y，即 x2，y2时等号成立，8x4y 的最小值为 4，应选A. 答案A二、填空题40 6函数 ysinxsin ，x ，2的最小值为x04解析设 tsinx，x ，2，则 t(0,1，易知 yt t 在(0,1上为减函数，故当 t1 时，y 取得最小值 5. 答案57(2023黑龙江齐齐哈尔八校联考)假设对 x0，y0，x2y1，21有xym 恒成立，则 m 的最大值是2121解析x0，y0，x2y1，xy(x2y)xy2

17、2xy24x4yx4y x1121x 42y 8，当且仅当 x ，y 时取等号，21y的最小值为 8，又xym 恒成立，m8，即 m 的最大值为 8.答案88将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m2、外形为直角三角形的框架，选用最合理(够用且铺张最少)的铁丝的长为m.解析设两直角边分别为 a m，b m12，即 ab4，框架的周长为 l，则2ablab a2b22ab 2ab422，当且仅当 ab2时取等号，应选用最合理(够用且铺张最少)的铁丝的长为(422)m. 答案422三、解答题9(2023唐山一中月考)(1) x 54x2 1的最大值；(2) x0，y019且xy4，求函数 y1，求

18、 xy 的最小值4x5解(1)x54x50.0，y0191，且xy19y9xxy(xy)xy10x y102y 9x16，xy当且仅当 x4，y12 时等号成立，即 xy 的最小值为 16. 10(2023河北唐山二模) a0，b0，c0，d0，a2b2ab1，cd1.(1)求证：ab2；(2)推断等式 ac bdcd 能否成立，并说明理由解(1)证明：由题意得(ab)23ab1ab3221，当且仅当 ab 时取等号解得(ab)24，又 a，b0， 所以 ab2.(2)不能成立acbd理由：由均值不等式得 ac bd 2 2，当且仅当 ac且 bd 时等号成立由于 ab2，cd所以 ac bd

19、1 2.由于 c0，d0，cd1，cdcdcdcd所以 cd 2 2 2 cd21 ac bd，故 ac bdcd 不能成立力量提升练11(2023四川南充模拟)假设正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是()2428A. 5B. 5C5D6解析由于 x3y513xy， y x 5，所以 3x4y1(3x51313x12y131134y)yx5 y x 5 52 36 5 5，当且仅当 x1，y12时等号成立应选C.答案C121x12假设不等式 m2x当 x(0,1)时恒成立，则实数 m 的最大值为()2A9B.9C55D.212(1x)x2(1x)2x解析x(0,1)时1x

20、0，2x1x2x1x1x2x15911x 2x 222212，当且仅当 1x2x 即 x3时取9129得最小值2，使 m2 恒成立的实数 m 的最大值为2，应选x1xB.答案B，则13(2023甘肃张掖月考)设 a0，b1，假设 ab231的最小值为ab13131解析a0，b1，ab2， (abab1ab11)33(b1)a143(b1)a3(b1)ab423，当ab1 1aa3 331b ，即 a 2，b 2时取等号，故答案为 423.1答案42314(2023江苏盐城中学期末)我校为丰富师生课余活动，打算在一块外形为直角三角形的空地 ABC 上修建一个占地面积为 S(平方米) 的矩形 AM

21、PN 健身场地，如图，点M 在 AC 上，点N 在 AB 上，且P 点在斜边 BC 上，ACB60，|AC|30 米，|AM|x 米，x10,2037k设矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为元，再把矩形SAMPN 以外(阴影局部)12kk 为常数)元铺上草坪，每平方米的造价为(S(1) 试用 x 表示 S，并求 S 的取值范围；(2) 求总造价 T 关于面积 S 的函数 Tf(S)；(3) 如何选取|AM|，使总造价 T 最低(不要求求出最低造价) 解(1)在 RtPMC 中，明显|MC|30x，PCM60，|PM|MC|tanPCM 3(30x)，矩形 AMPN 的面积 S|PM|AM|

22、 3x(30x)，x10,20，于是2003S2253.(2)矩形 AMPN 健身场地造价 T137kS，又ABC 的面积为3450，即草坪造价 T12k3(450S)，由总造价 TTT ，得 T2S12216325kSS，2003S2253.(3)由于 S21631263，当且仅当 S2163，即 S SS2163时等号成立，此时， 3x(30x)2163，解得 x12 或 x18.所以选取|AM|的长为 12 米或 18 米时总造价 T 最低拓展延长练15(2023辽宁鞍山三中第三次适应性考试)函数 ylog (x3)1(a0，且 a1)的图象恒过定点 A，假设点 A 在直线a，则的最小值

23、为mxny10 上，其中 m，n 均大于 012()mnA2B4C8D16解析当 x2 时，ylog 111，a函数 ylog (x3)1(a0，且 a1)的图象恒过定点(2，a1)，即 A(2，1)点 A 在直线 mxny10 上，2mn10，即 2mn1.12 12n4mm0，n0， (2mn)2 242mnmnmnn 4m11mn 8，当且仅当 m4，n2时取等号应选C.答案C16(2023天津卷)假设 a，bR ，ab0a44b41，则ab 的最小值为 解析由于 ab0 ， 所以a44b41 4a2b21 4ab 1ababab21a22b2，a2 2 ，24abab4，当且仅当1即时取等号，ab22a44b41b2 4故ab的最小值为 4.答案4