空间向量立体几何知识点大汇总.doc

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1、空间向量立体几何知识点大汇总一、空间向量的加法和减法：求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在空间任取一点，作，则求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则二、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为的长度是的长度的倍三、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线四、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实

2、数，使五、平行于同一个平面的向量称为共面向量六、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任一定点，有；或若四点，共面，则七、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，则称为向量，的夹角，记作两个向量夹角的取值范围是：八、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作九、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作即零向量与任何向量的数量积为十、等于的长度与在的方向上的投影的乘积十一、若，为非零向量，为单位向量，则有；，；十二、空间向量基本定理：若三个向量，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得十三、若三个向量，不共面，则所有空间向量组成的集合是这个集合可看作是由

3、向量，生成的，称为空间的一个基底，称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底十四、设，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，的公共起点为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量存在有序实数组，使得把，称作向量在单位正交基底，下的坐标，记作此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标十五、设，则 若、为非零向量，则若，则，则十六、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有，这样点和向

4、量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出直线上的任意一点十七、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，为平面上任意一点，存在有序实数对使得，这样点与向量，就确定了平面的位置十八、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量十九、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，则，二十、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则，二十一、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，则，二十二、设异面直线，的夹角为，方向向量为，其夹角为，则有二十三、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有二十四、设，是二面角的两个面，的法向

5、量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小若二面角的平面角为，则二十五、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为二十六、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算二十七、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为16空间向量与立体几何AEFBCDHGXYZ1如图，在多面体中，四边形是正方形，为的中点。 (1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求二面角的大小。2、已知三棱锥PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（）证明：CMSN；（）求SN与平面CMN

6、所成角的大小.3如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,（1） 求异面直线与所成角的余弦值；（2） 证明平面（3） 求二面角的正弦值。4如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径。（I）证明：平面A1ACC1平面B1BCC1；（II）设ABAA1,在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为p。（i）当点C在圆周上运动时，求p的最大值；（ii）记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为（）。当p取最大值时，求cos的值。5（2010陕西高考理科8）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面

7、ABCD，AP=AB=2， BC=，E，F分别是AD,PC的中点.（）证明：PC平面BEF；（）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。6.如题图，四棱锥中，底面为矩形，点是棱的中点. （I）证明：；（II）若，求二面角的平面角的余弦值.7如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求直线与平面所成的角的大小；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值. 8已知正方体的棱长为1，点是棱的中点，点是对角线的中点.（）求证：为异面直线和的公垂线；（）求二面角的大小；（）求三棱锥的体积.9已知点A（-3,1,-4），则点A关于x轴的对称点的坐标为( )(A)（-3,-1,4）(B)(-3,-1,

8、-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4)10.在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AB1BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为( )(A)30 (B)45 (C)60 (D)9011 如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为 2的菱形，BAD=60，对角线AC与BD相交于点O，,E、F分别是BC、AP的中点 （1）求证：EF平面PCD； （2）求二面角ABPD的余弦值 12 某组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，如图所示，其中，它的正视图、侧视图、俯视图的面积分别为+1，+1（1）求直线与平面所成角的正弦；（2）在线段上是否存在点，使平面，若存在，确定点的位置；若不存

9、在，说明理由13 如图，三棱柱中，面，,，为的中点。 (I)求证：面；()求二面角的余弦值参考答案1【解析】选A.点A关于x轴对称点的规律是在x轴上的坐标不变，在y轴，z轴上的坐标分别变为相反数，点A（-3，1，-4）关于x轴的对称点的坐标为（-3,-1,4）.2【解析】选B.以A为坐标原点，AC、AA1分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系.设底面边长为2a.侧棱长为2b.3D4D5C6A764839（1）（2）（4）10解：（1）证明：取PD的中点G，连接FG、CG FG是PAD的中卫县，FG，在菱形ABCD中，ADBC，又E为BC的中点，CEFG，四边形EFGC是平行四边形，EFCG又EF面

10、PCD，CG面PCD，EF面PCD （2）法1：以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系。则0（0，0，0），A（0，0），B（1，0，0）（0，0，）=（1，0）=（0，）设面ABP的发向量为，则，即即取 又，OA面PBD，为面PBD的发向量，=（0，0） .所以所求二面角的余弦值为 法2：在菱形ABCD中，ACBD，OP面ABCD，AC面ABCD，ACOP，OPBD=0，AC面PBD，ACBP，在面PBD中，过O作ONPB，连AN，PB面AON，则ANPB。即ANO为所求二面角的平面角 AO=ABcos30=在RtPOB中， cos。所以所求二面角的余弦值

11、为11【解析】12解：（1）连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C的中点， D为AC中点 ODB1A 又B1A平面BDC1，OD平面BDC1 B1A平面BDC1 （2）AA1面ABC，BCAC，AA1CC1 CC1面ABC 则BC平面AC1，CC1AC 如图以C为坐标原点，CA所在直线为X轴，CB所在直线为Y轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系 则C1(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0) 设平面的法向量为 由得，取， 则 又平面BDC的法向量为 cos 二面角C1BDC的余弦值为 【备课资源】1.已知两条异面直线a、b所成的角为40，直线l与a、b所成的角都等于，则的取值范围是( )(A)20,90(B)20,90)(C)(20,40(D)70,90【解析】选A.取空间任一点O，将直线a,b,l平移到过O点后分别为a,b,l，则l与a,b所成的角即为l与a,b所成的角.当l与a,b共面时最小为20.当l与a,b确定的平面垂直时，最大为90.故的取值范围为20,90.3.如图甲,直角梯形ABCD中,ABCD, DAB=,点M、N分别在AB，CD上，且MNAB，MCCB，BC=2，MB=4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直(如图乙).(1)求证：AB平面DNC；(2)当DN的长为何值时，二面角D-BC-N的大小为30？