普通高中教科书·数学（A版）必修 第二册.pdf

《普通高中教科书·数学（A版）必修 第二册.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《普通高中教科书·数学（A版）必修 第二册.pdf（282页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数学第二册必 修普 通 高 中 教 科 书A版SHUXUEPUTONG GAOZHONG JIAOKESHU必 修普通高中教科书数学第二册定价：元绿 色 印 刷 产 品 绿 色 印 刷 产 品 高中数学教材A版必修第二册封面修订.indd 1高中数学教材A版必修第二册封面修订.indd 12022/7/28 09:372022/7/28 09:37普通高中教科书数学第二册必 修北京人民教育出版社 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著A版02高中物理必修第一册普通高中教科书 数学 必修 第二册人民教育出版社 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著出版（北京市海淀区中关村南大街

2、17 号院 1 号楼 邮编：100081）网址 http:/版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：如发现印、装质量问题，影响阅读，请与 联系调换。电话：-主 编：章建跃 李增沪副 主 编：李 勇 李海东 李龙才本册主编：薛 彬 张淑梅编写人员：丁益祥 马 波 王芝平 申 铁 李龙才 李海东 吴明华沈 婕 张唯一 张淑梅 张惠英 章建跃 程海奎 薛 彬责任编辑：宋莉莉美术编辑：王俊宏封面设计：版面设计：插图绘制：本书根据普通高中数学课程标准（年版）编写，包括“平面向量及其应用”“复数”“立体几何初步”“统计”“概率”

3、五章内容和“数学探究用向量法研究三角形的性质”平面向量有着极其丰富的实际背景，是近代数学中重要和基本的概念之一，它是沟通几何与代数的桥梁在“平面向量及其应用”中，同学们将在了解向量的实际背景的基础上，学习平面向量及其运算的一些基本知识，用向量方法解决一些平面几何问题、物理问题，探索三角形边长与角度的关系，从中可以看到向量这一工具的强大力量数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，从中可以看到数学发展的内在需求和背景，复数是一种重要的运算对象在“复数”中，同学们将了解引入复数的必要性，经历数系扩充的基本过程，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用立体几何研究现实世界中物体的形

4、状、大小与位置关系在“立体几何初步”的学习中，同学们将从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间中点、直线、平面之间的位置关系，并利用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，对某些结论进行论证在认识和探索几何图形及其性质的过程中，同学们将学到直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等立体几何的主要研究方法统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学在“统计”中，同学们将在初中的基础上，进一步学习数据收集和整理的方法、数据直观图表的表示方法、数据统计特征的刻画方法通过运用数据分析的方法解决简单的实际问题，体会用样本估计总体分布及其特征的思想，体会统计

5、思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异在客观世界中，随机现象到处可见概率论是研究随机现象数量规律的科学，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，也为统计学的发展提供了理论基础在“概率”中，同学们将结合具体实例，理解样本点、有限样本空间、随机事件，学会计算古典概型中简单随机事件的概率，加深对随机现象的认识和理解，提高用概率的方法解决问题的能力希望同学们以更高的学习热情投入学习，通过本册书的学习，掌握更多的数学知识，学会更多的数学方法，在思维能力、用数学解决实际问题的能力等方面都有更大的提高第六章平面向量及其应用 平面向量的概念阅读与思考向量及向量符号的由来 平面向量的

6、运算 平面向量基本定理及坐标表示 平面向量的应用 阅读与思考海伦和秦九韶 小结 复习参考题 数学探究用向量法研究三角形的性质 第七章复数 复数的概念 复数的四则运算 阅读与思考代数基本定理 *复数的三角表示 探究与发现的狀次方根 小结 复习参考题 第八章立体几何初步 基本立体图形 立体图形的直观图 阅读与思考画法几何与蒙日 简单几何体的表面积与体积 探究与发现祖?原理与柱体、锥体的体积 空间点、直线、平面之间的位置关系 空间直线、平面的平行 空间直线、平面的垂直 阅读与思考欧几里得原本与公理化方法 文献阅读与数学写作*几何学的发展 小结 复习参考题 第九章统计 随机抽样 阅读与思考如何得到敏感

7、性问题的诚实反应 信息技术应用统计软件的应用 用样本估计总体 阅读与思考统计学在军事中的应用 二战时德国坦克总量的估计问题 阅读与思考大数据 统计案例公司员工的肥胖情况调查分析 小结 复习参考题 第十章概率 随机事件与概率 事件的相互独立性 频率与概率 阅读与思考孟德尔遗传规律 小结 复习参考题 部分中英文词汇索引 书 书 书第六章平面向量及其应用在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等还有一些量则不是这样，例如下图中小船的位移，小船由犃地向东南方向航行 到达犅地（速度的大小为 ）这里，如果仅指出“由犃地航行 ”，而不指明“向东南方向”航

8、行，那么小船就不一定到达犅地了这就是说，位移是既有大小又有方向的量力、速度、加速度等也是这样的量对这种既有大小又有方向的量加以抽象，就得到了我们本章将要研究的向量向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量理论具有丰富的物理背景、深刻的数学内涵向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用本章我们将通过实际背景引入向量的概念，类比数的运算学习向量的运算及其性质，建立向量的运算体系在此基础上，用向量的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的一些问题第六章平面向量及其应用 平面向量的概念我们知道，力、位移、

9、速度等物理量是既有大小、又有方向的量本节我们将通过对这些量的抽象，形成向量概念及其表示方法；通过研究向量之间的一些特殊关系，初步认识向量的一些特征?在本章引言中，小船位移的大小是犃，犅两地之间的距离 ，位移的方向是东南方向；小船航行速度的大小是 ，速度的方向是东南方向又如，物体受到的重力是竖直向下的（图），物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大G图 F图 物理学中常称向量为矢量，数量为标量，你还能举出物理学中的一些向量和数量吗？力、位移、速度等有各自的特性，而“既有大小，又有方向”是它们的共同属性我们知道，从一支笔

10、、一棵树、一本书中，可以抽象出只有大小的数量“”类似地，我们可以对力、位移、速度这些量进行抽象，形成一种新的量在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量（），而把只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量?由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量那么，该如何表示向量呢？第六章平面向量及其应用我们仍以位移为例，小船以犃为起点，犅为终点，我们可以用连接犃，犅两点的线段长度代表小船行进的距离，并在终点犅处加上箭头表示小船行驶的方向于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移受此启发，我们可以用带箭

11、头的线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向通常，在线段犃犅的两个端点中，规定一个顺序，假设表示有向线段时，起点一定要写在终点的前面犃为起点，犅为终点，我们就说线段犃犅具有方向，具有方AB图 向的线段叫做有向线段（）（图 ）通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向以犃为起点、犅为终点的有向线段记作犃犅，线段犃犅的长度也叫做有向线段犃犅 的长度，记作犃犅?印刷用黑体犪，书写用犪有向线段包含三个要素：起点、方向、长度知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了向量可以用有向线段犃犅 来表示，我们把这个向量记作向量犃犅 有向线段的长度犃

12、犅 表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向用有向线段表示向量，使向量有了直观形象向量犃犅 的大小称为向量犃犅 的长度（或称模），记作犃犅 长度为的向量叫做零向量（），记作长度等于个单位长度的向量，叫做单位向量（）向量也可以用字母犪?，犫，犮，表示A ABC1:8 000 000图 例在图 中，分别用向量表示犃地至犅，犆两地的位移，并根据图中的比例尺，求出犃地至犅，犆两地的实际距离（精确到）解：犃犅 表示犃地至犅地的位移，且犃犅；犃犆 表示犃地至犆地的位移，且犃犆?下面，我们通过向量之间的关系进一步认识向量ab图 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（）如图，用有向线段表示的向量犪与犫是两

13、个平行向量向量犪与犫平行，记作犪犫我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量犪，都有犪第六章平面向量及其应用ab图 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（）如图，用有向线段表示的向量犪与犫相等，记作犪犫任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定如图 ，犪，犫，犮是一组平行向量，任作一条与犪所在直线平行的直线犾，在犾上任取一点犗，则可在犾上分别作出犗犃 犪，犗犅 犫，犗犆 犮这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量（）abcABCOl图

14、例如图，设犗是正六边形犃犅犆犇犈犉的中心ABFEDCO图（）写出图中的共线向量；（）分别写出图中与犗犃，犗犅，犗犆 相等的向量解：（）犗犃，犆犅，犇犗，犉犈 是共线向量；犗犅，犇犆，犈犗，犃犉 是共线向量；犗犆，犃犅，犈犇，犉犗 是共线向量（）犗犃 犆犅 犇犗；犗犅 犇犆 犈犗；犗犆 犃犅 犈犇 犉犗 下列量中哪些是向量？悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度ABFEDCGH（第题）画两条有向线段，分别表示一个竖直向下、大小为 的力和一个水平向左、大小为 的力（用长表示）指出图中各向量的长度（规定小方格的边长为）将向量用具有同一起点犗的有向线段表示（）当犗犕 与犗犖 是相等向量时，判断终

15、点犕与犖的位置关系；（）当犗犕 与犗犖 是平行向量，且犗犕 犗犖 时，求向量犕犖 的长度，并判断犕犖 的方向与犗犖 的方向之间的关系第六章平面向量及其应用习题 在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为）中，用直尺和圆规画出下列向量：（）犗犃，点犃在点犗正南方向；（）犗犅 槡，点犅在点犗北偏西 方向；（）犗犆，点犆在点犗南偏西 方向（第题）ABCDPMRSTO（第题）如图，点犗是犃犅犆犇的对角线的交点，且犗犃 犪，犗犅 犫，犃犅 犮，分别写出犃犅犆犇和折线犕犘犙犚犛犜中与犪，犫，犮相等的向量 判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“”，错误的打“”），并说明理由（）若犪与犫都是单位向量，则犪犫（）

16、（）方向为南偏西 的向量与北偏东 的向量是共线向量（）（）直角坐标平面上的狓轴、狔轴都是向量（）（）若犪与犫是平行向量，则犪犫（）（）若用有向线段表示的向量犃犕 与犃犖 不相等，则点犕与犖不重合（）（）海拔、温度、角度都不是向量（）MNBACD（第题）如图，在矩形犃犅犆犇中，犃犅犅犆，犕，犖分别为边犃犅，犆犇的中点，在以犃，犅，犆，犇，犕，犖为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？第六章平面向量及其应用向量及向量符号的由来向量最初应用于物理学，被称为矢量很多物理量，如力、位移、速度、电场强度、磁感应强度等都是向量向量的概念萌芽于两千多年前，大约在公元前 年，古希腊著名学者

17、亚里士多德（，公元前 前 ）就知道了力可以表示成向量“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段最先使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿（，）向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出“箭头表示方向，线段长表示大小”的有向线段来表示它 年，瑞士人阿尔冈（，）以犃犅 表示有向线段或向量 年，默比乌斯（，）以犃犅 表示起点为犃，终点为犅的向量，这种用法被数学家广泛接受另外，哈密顿（，）、吉布斯（，）等人则以小写希腊字母表示向量后来，字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行，尤其用在手写稿中；为了方便印刷，人们又用粗黑体小写字母犪，犫等表示向量这两种符号一直沿用至今莱布尼茨（，）曾经从位置几何学研究

18、的视角进行过预想：“我已经发现了一些完全不同的有新特点的元素，即使在没有任何图形的情况下，它也能有利于表达思想、表达事物的本质我的这个新系统能紧跟可见的图形，以一种自然的、分析的方式，通过一个确定的程序同时给出解、构造和几何的证明”莱布尼茨所说的“有新特点的元素”和“新系统”就是逐渐形成和发展起来的向量及其理论向量进入数学并得到发展，是从复数的几何表示开始的 年，丹麦测量学家韦塞尔（，）把复数表示为向量，并利用向量定义复数运算他把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题人们逐步接受了复数，也学会了利用复数表示、研究平面中的向量发展到现在，向量在数学、物理、计算机科

19、学与技术等学科，以及社会生产、生活、经济、金融与贸易等各领域中都有广泛的应用，成为解决这些学科或领域中各种问题的有力工具你能说一说用符号表示向量所起的重要作用吗？第六章平面向量及其应用 平面向量的运算我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用下面先学习向量的加法?我们知道，位移、力是向量，它们可以合成能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？ABC图 如图，某质点从点犃经过点犅到点犆，这个质点的位移如何表示？物理知识

20、告诉我们，这个质点两次位移犃犅，犅犆 的结果，与从点犃直接到点犆的位移犃犆 结果相同因此，位移犃犆 可以看作位移犃犅 与犅犆 合成的数的加法启发我们，从运算的角度看，犃犆 可以看作犃犅 与犅犆 的和，即位移的合成可以看作向量的加法如图，已知非零向量犪，犫，在平面内取任意一点犃，作犃犅 犪，犅犆 犫，则向量犃犆 叫做犪与犫的和，记作犪犫，即犪犫犃犅 犅犆 犃犆 abABCba图 第六章平面向量及其应用求两个向量和的运算，叫做向量的加法这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型我们再来看力的合成问题F1F2OBA图 如图，在光滑的平面上，一个物体同时

21、受到两个外力犉与犉的作用，你能作出这个物体所受的合力犉吗？我们知道，合力犉在以犗犃，犗犅为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长从运算的角度看，犉可以看作犉与犉的和，即力的合成可以看作向量的加法aba+bOACB图 如图，以同一点犗为起点的两个已知向量犪，犫，以犗犃，犗犅为邻边作犗犃犆犅，则以犗为起点的向量犗犆（犗犆是犗犃犆犅的对角线）就是向量犪与犫的和我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？对于零向量与任意向量犪，我们规定犪犪犪例如图，已知向量犪，犫，求作向量犪

22、犫作法：在平面内任取一点犗（图（），作犗犃 犪，犃犅 犫则犗犅 犪犫作法：在平面内任取一点犗（图（），作犗犃 犪，犗犅 犫以犗犃，犗犅为邻边作犗犃犆犅，连接犗犆，则犗犆 犗犃 犗犅 犪犫ab图 ABOCabABOab（）（）图 第六章平面向量及其应用（）如果向量犪，犫共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量犪犫吗？（）结合例，探索犪犫，犪，犫之间的关系一般地，我们有犪犫犪犫，当且仅当犪，犫方向相同时等号成立根据数的运算的学习经验，定义了一种运算，就要研究相应的运算律，运算律可以有效地简化运算数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？如图（），作犃犅 犪，犃犇

23、犫，以犃犅，犃犇为邻边作犃犅犆犇，容易发现犅犆 犫，犇犆 犪，故犃犆 犃犅 犅犆 犪犫又犃犆 犃犇 犇犆 犫犪，所以犪犫犫犪ABCDaba+bcb+ca+b+cABCDaba+bab（）（）图 由图（），你能否验证（犪犫）犮犪（犫犮）？综上所述，向量的加法满足交换律和结合律A图 例长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图，一艘船从长江南岸犃地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时江水的速度为向东（）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；第六章平面向量及其应用（）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到）ABCD图 解：（

24、）如图 犃犇 表示船速，犃犅 表示江水速度，以犃犇，犃犅为邻边作犃犅犆犇，则犃犆 表示船实际航行的速度（）在 犃犅犆中，犃犅，犅犆 ，于是犃犆 犃犅 犅犆 槡 槡槡 因为 犆犃犅犅犆 犃犅，所以利用计算工具可得犆犃犅 因此，船实际航行速度的大小约为 ，方向与江水速度间的夹角约为 如图，在下列各小题中，已知向量犪，犫，分别用两种方法求作向量犪犫abababab（）（）（）（）（第题）abcABECDdegf（第题）当向量犪，犫满足什么条件时，犪犫犪犫（或犫犪）？根据图示填空：（）犪犫；（）犮犱；（）犪犫犱；（）犮犱犲ABCPD（第题）如图，四边形犃犅犆犇是平行四边形，点犘在犆犇上，判断下列各式是

25、否正确（正确的在括号内打“”，错误的打“”）（）犇犃 犇犘 犘犃（）（）犇犃 犃犅 犅犘 犇犘（）（）犃犅 犅犆 犆犘 犘犃（）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河小船航行速度的大小为，方向为北偏西 ，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向 第六章平面向量及其应用?在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系？如何定义向量的减法法则？与数狓的相反数是狓类似，我们规定，与向量犪长度相等，方向相反的向量，叫做犪的相反向量，记作犪由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此犪和犪互为相反向量，于是（犪）犪

26、我们规定，零向量的相反向量仍是零向量由两个向量和的定义易知犪（犪）（犪）犪，即任意向量与其相反向量的和是零向量这样，如果犪，犫互为相反向量，那么犪犫，犫犪，犪犫向量犪加上犫的相反向量，叫做犪与犫的差，即犪犫犪（犫）求两个向量差的运算叫做向量的减法我们看到，向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量向量减法的几何意义是什么？aba-b-ba-ba+(-b)ABCDO图 如图 ，设犗犃 犪，犗犅 犫，犗犇 犫，连接犃犅，由向量减法的定义知犪犫犪（犫）犗犃 犗犇 犗犆 在四边形犗犆犃犅中，犗犅瓚犆犃，所以犗犆犃犅是平行四边形所以犅犃 犗犆 犪犫由此，我们得到犪犫的

27、作图方法如图 ，已知向量犪，犫，在平面内任取一点犗，作 第六章平面向量及其应用犗犃 犪，犗犅 犫，则犅犃 犪犫即犪犫可以表示为从向量犫的终点指向向量犪的终点的向量，这是向量减法的几何意义abBAOa-bab图 （）在图 中，如果从犪的终点到犫的终点作向量，那么所得向量是什么？（）如果改变图 中向量犪的方向，使犪犫，怎样作出犪犫呢？例如图 （），已知向量犪，犫，犮，犱，求作向量犪犫，犮犱abcdacbda-bc-dOBDAC（）（）图 作法：如图 （），在平面内任取一点犗，作犗犃 犪，犗犅 犫，犗犆 犮，犗犇 犱则犅犃 犪犫，犇犆 犮犱ABCDab图 例如图 ，在犃犅犆犇中，犃犅 犪，犃犇 犫，

28、你能用犪，犫表示向量犃犆，犇犅 吗？解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道犃犆 犪犫同样，由向量的减法，知犇犅 犃犅 犃犇 犪犫 如下页图，在各小题中，已知犪，犫，分别求作犪犫 第六章平面向量及其应用abababab（）（）（）（）（第题）填空：犃犅 犃犇；犅犃 犅犆；犅犆 犅犃；犗犇 犗犃；犗犃 犗犅 作图验证：（犪犫）犪犫?已知非零向量犪，作出犪犪犪和（犪）（犪）（犪）它们的长度和方向分别是怎样的？NMP-a-a-aaaaAOBCa图 如图 ，犗犆 犗犃 犃犅 犅犆 犪犪犪类比数的乘法，我们把犪犪犪记作犪，即犗犆 犪显然犪的方向与犪的方向相同，犪的长度是犪的长度的倍，即犪犪类似地，由图

29、可知，犘犖 犘犙 犙犕 犕犖（犪）（犪）（犪），我们把（犪）（犪）（犪）记作犪，即犘犖 犪显然犪的方向与犪的方向相反，犪的长度是犪的长度的倍，即犪犪一般地，我们规定实数与向量犪的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘（），记作 犪，它的长度与方向规定如下：你对零向量、相反向量有什么新的认识？（）犪 犪；（）当时，犪的方向与犪的方向相同；当时，犪的方向与犪的方向相反由（）可知，当时，犪由（）（）可知，（）犪犪 第六章平面向量及其应用如果把非零向量犪的长度伸长到原来的 倍，方向不变得到向量犫，向量犫该如何表示？向量犪，犫之间的关系怎样？根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的你能证明这

30、些运算律吗？设，为实数，那么（）（犪）（）犪；（）（）犪 犪犪；（）（犪犫）犪 犫特别地，我们有（）犪（犪）（犪），（犪犫）犪 犫向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量线性运算的结果仍是向量对于任意向量犪，犫，以及任意实数，恒有（犪犫）犪 犫例计算：（）（）犪；（）（犪犫）（犪犫）犪；（）（犪犫犮）（犪犫犮）解：（）原式（）犪 犪；（）原式犪犫犪犫犪犫；（）原式犪犫犮犪犫犮犪犫犮ABCDabM图 例如图 ，犃犅犆犇的两条对角线相交于点犕，且犃犅 犪，犃犇 犫，用犪，犫表示犕犃，犕犅，犕犆 和犕犇 解：在犃犅犆犇中，犃犆 犃犅 犃犇 犪犫，犇犅 犃犅 犃犇 犪犫由平行四边形的两条对角线互

31、相平分，得犕犃 犃犆（犪犫）犪犫，犕犅 犇犅（犪犫）犪犫，第六章平面向量及其应用犕犆 犃犆 犪犫，犕犇 犇犅 犪犫 任画一向量犲，分别求作向量犪犲，犫犲 点犆在线段犃犅上，且犃犆犆犅，则犃犆 犃犅，犅犆 犃犅 把下列各小题中的向量犫表示为实数与向量犪的积：（）犪犲，犫犲；（）犪犲，犫 犲；（）犪犲，犫犲；（）犪犲，犫犲引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？可以发现，实数与向量的积与原向量共线事实上，对于向量犪（犪），犫，如果有一个实数，使犫 犪，那么由向量数乘的定义可知犪与犫共线反过来，已知向量犪与犫共线，且向量犫的长度是向量犪的长度的倍，即犫犪，那么当犪与犫同方

32、向时，有犫犪；当犪与犫反方向时，有犫犪综上，我们有如下定理：向量犪（犪）与犫共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使犫 犪根据这一定理，设非零向量犪位于直线犾上，那么对于直线犾上的任意一个向量犫，都存在唯一的一个实数，使犫 犪也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示ba图 例如图 ，已知任意两个非零向量犪，犫，试作犗犃 犪犫，犗犅 犪犫，犗犆 犪犫猜想犃，犅，犆三点之间的位置关系，并证明你的猜想分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上在本题中，应用向量知识判断犃，犅，犆三点是否共线，可以通过判断向量犃犆，犃犅

33、是否共线，即是否存在，使犃犆 犃犅 成立 第六章平面向量及其应用CBAO2b3bba图 解：分别作向量犗犃，犗犅，犗犆，过点犃，犆作直线犃犆（图 ）观察发现，不论向量犪，犫怎样变化，点犅始终在直线犃犆上，猜想犃，犅，犆三点共线事实上，因为犃犅 犗犅 犗犃 犪犫（犪犫）犫，犃犆 犗犆 犗犃 犪犫（犪犫）犫，所以犃犆 犃犅 因此，犃，犅，犆三点共线例已知犪，犫是两个不共线的向量，向量犫狋 犪，犪犫共线，求实数狋的值解：由犪，犫不共线，易知向量犪犫为非零向量由向量犫狋 犪，犪犫共线，可知存在实数，使得犫狋 犪（犪犫），即（狋）犪（）犫由犪，犫不共线，必有狋否则，不妨设狋，则犪狋犫由两个向量共线的充要

34、条件知，犪，犫共线，与已知矛盾由狋，烅烄烆解得狋因此，当向量犫狋 犪，犪犫共线时，狋 判断下列各小题中的向量犪与犫是否共线：（）犪犲，犫犲；（）犪犲犲，犫犲犲 化简：（）（犪犫）（犫犪）；（）（犪犫）（犪犫）（犪犫）；（）（狓狔）犪（狓狔）犪 已知犲，犲是两个不共线的向量，犪犲犲，犫犲犽 犲若犪与犫是共线向量，求实数犽的值 第六章平面向量及其应用?Fs图 前面我们学习了向量的加、减运算类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力犉的作用下产生位移狊（图 ），那么力犉所做的功犠犉 狊 ，其中是犉与狊的夹角ABOa

35、b图 功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定这给我们一种启示，能否把“功”看作两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念已知两个非零向量犪，犫（图 ），犗是平面上的任意一点，作犗犃 犪，犗犅 犫，则犃犗犅（）叫做向量犪与犫的夹角显然，当时，犪与犫同向；当时，犪与犫反向如果犪与犫的夹角是，我们说犪与犫垂直，记作犪犫犪，犫的夹角记作犪，犫已知两个非零向量犪与犫，它们的夹角为，我们把数量犪 犫 叫做向量犪与犫的数量积（或内积（），记作犪犫，即犪犫犪 犫 规定：零向量与任一向量的数量积为对比向量的线性运算，

36、我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关例已知犪，犫，犪与犫的夹角，求犪犫解：犪犫犪 犫 （）第六章平面向量及其应用例 设犪，犫，犪犫 槡，求犪与犫的夹角解：由犪犫犪 犫 ，得 犪犫犪 犫 槡 槡 因为，所以 如图 （），设犪，犫是两个非零向量，犃犅 犪，犆犇 犫，我们考虑如下的变换：过犃犅 的起点犃和终点犅，分别作犆犇 所在直线的垂线，垂足分别为犃，犅，得到犃犅 ，我们称上述变换为向量犪向向量犫投影（），犃犅 叫做向量犪在向量犫上的投影向量CABabA1B1DOMNabM1（）（）图 如图 （），我们可以在平面内任取一点

37、犗，作犗犕 犪，犗犖 犫过点犕作直线犗犖的垂线，垂足为犕，则犗犕 就是向量犪在向量犫上的投影向量如图 （），设与犫方向相同的单位向量为犲，犪与犫的夹角为，那么犗犕 与犲，犪，之间有怎样的关系？显然，犗犕 与犲共线，于是犗犕 犲下面我们探究与犪，的关系，进而给出犗犕 的明确表达式我们分为锐角、直角、钝角以及，等情况进行讨论当为锐角（图 （）时，犗犕 与犲方向相同，犗犕 犪 ，所以犗犕 犗犕 犲犪 犲；当为直角（图 （）时，所以犗犕 犪 犲；第六章平面向量及其应用当为钝角（图 （）时，犗犕 与犲方向相反，所以犗犕 犪 犕犗犕犪 （）犪 ，即犗犕 犪 犲OMNabM1OMNabM1OMNabM1（）

38、（）（）图 当时，犪，所以犗犕 犪犲犪 犲；当时，犪，所以犗犕 犪犲犪 犲从上面的讨论可知，对于任意的，都有犗犕 犪 犲从上面的探究我们看到，两个非零向量犪与犫相互平行或垂直时，向量犪在向量犫上的投影向量具有特殊性这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？如果犪犫，是否有犪，或犫？由向量数量积的定义，可以得到向量数量积的如下重要性质设犪，犫是非零向量，它们的夹角是，犲是与犫方向相同的单位向量，则（）犪犲犲犪犪 （）犪犫犪犫犪犪常常记作犪（）当犪与犫同向时，犪犫犪 犫；当犪与犫反向时，犪犫犪 犫特别地，犪犪犪或犪犪槡犪此外，由 还可以得到（）犪犫犪 犫 第六章平面向量及其应用 已知狆，狇，狆和狇的夹角

39、是 ，求狆狇 已知犃犅犆中，犃犅 犪，犃犆 犫，当犪犫或犪犫时，试判断犃犅犆的形状 已知犪，犲为单位向量，当向量犪，犲的夹角分别等于 ，时，求向量犪在向量犲上的投影向量与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究数量积运算是否满足一些运算律类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：对于向量犪，犫，犮和实数，有（）犪犫犫犪；（）（犪）犫（犪犫）犪（犫）；（）（犪犫）犮犪犮犫犮ABOCA1B1?abcD1D?2?1图 下面我们利用向量投影证明分配律（）证明：如图 ，任取一点犗，作犗犃 犪，犗犅 犫

40、，犗犆 犮，犗犇 犪犫设向量犪，犫，犪犫与犮的夹角分别为，它们在向量犮上的投影向量分别为犗犃，犗犅，犗犇，与犮方向相同的单位向量为犲，则犗犃 犪 犲，犗犅 犫 犲，犗犇 犪犫 犲因为犪犅犇，所以犗犃 犅犇 于是犗犇 犗犅 犅犇 犗犅 犗犃，即犪犫 犲犪 犲犫 犲 第六章平面向量及其应用整理，得（犪犫 犪 犫 ）犲，所以犪犫 犪 犫 ，即犪犫 犪 犫 所以犪犫 犮 犪 犮 犫 犮 因此（犪犫）犮犪犮犫犮设犪，犫，犮是向量，（犪犫）犮犪（犫犮）一定成立吗？为什么？例 我们知道，对任意犪，犫犚，恒有（犪犫）犪犪 犫犫，（犪犫）（犪犫）犪犫对任意向量犪，犫，是否也有下面类似的结论？（）（犪犫）犪犪犫犫

41、；（）（犪犫）（犪犫）犪犫解：（）（犪犫）（犪犫）（犪犫）犪犪犪犫犫犪犫犫犪犪犫犫；（）（犪犫）（犪犫）犪犪犪犫犫犪犫犫犪犫因此，上述结论是成立的例 已知犪，犫，犪与犫的夹角为 ，求（犪犫）（犪犫）解：（犪犫）（犪犫）犪犪犪犫犫犪犫犫犪犪犫犫犪犪 犫 犫 例 已知犪，犫，且犪与犫不共线当犽为何值时，向量犪犽 犫与犪犽 犫互相垂直？第六章平面向量及其应用解：犪犽 犫与犪犽 犫互相垂直的充要条件是（犪犽 犫）（犪犽 犫），即犪犽犫因为犪，犫，所以 犽解得犽也就是说，当犽时，犪犽 犫与犪犽 犫互相垂直 已知犪，犫，犮，向量犪与犫的夹角为，向量犫与犮的夹角为，计算：（）（犪犫）犮；（）犪（犫犮）已知犪

42、槡，犫，且犪犫与犪犫互相垂直，求证犪犫 求证：（犪犫）（犪犫）犪犫习题 如果犪表示“向东走”，犫表示“向西走”，犮表示“向北走”，犱表示“向南走”，那么下列向量具有什么意义？（）犪犪；（）犪犫；（）犪犮；（）犫犱；（）犫犮犫；（）犱犪犱 一架飞机向北飞行 ，然后改变方向向西飞行 ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成 一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时河水流速的大小为求船实际航行的速度的大小与方向（精确到）化简：（）犃犅 犅犆 犆犃；（）（犃犅 犕犅）犅犗 犗犕；（）犗犃 犗犆 犅犗 犆犗；（）犃犅 犃犆 犅犇 犆犇；（）犗犃 犗犇 犃犇；（）犃犅 犃犇 犇犆；（）犖犙 犙犘 犕犖 犕犘

43、 第六章平面向量及其应用 作图验证：（）（犪犫）（犪犫）犪；（）（犪犫）（犪犫）犫（）已知向量犪，犫，求作向量犮，使犪犫犮（）（）中表示犪，犫，犮的有向线段能构成三角形吗？已知犪，犫为两个非零向量，（）求作向量犪犫，犪犫；（）当向量犪，犫成什么位置关系时，满足犪犫犪犫？（不要求证明）化简：MNABC（第题）（）（犪犫）（犫犪）；（）（犪犫犮）（犪犫犮）；（）（犪犫）犪（犪犫）；（）（狓狔）（犪犫）（狓狔）（犪犫）如图，犃犕 犃犅，犃犖 犃犆 求证犕犖 犅犆 填空：（）若犪，犫满足犪，犫，则犪犫的最大值为，最小值为；（）当不共线的向量犪，犫满足时，犪犫平分犪与犫的夹角 （）已知犪，犫，且犪与犫的

44、夹角 ，求犪犫，（犪犫），犪犫；（）已知犪，犫，且犪犫，求犪犫，犪犫 求证：（犪）犫（犪犫）犪（犫）根据下列各小题中的条件，分别判断四边形犃犅犆犇的形状，并给出证明：（）犃犇 犅犆；（）犃犇 犅犆；（）犃犅 犇犆，且犃犅 犃犇 ABEFCD（第 题）在犃犅犆中，犃犇 犃犅，犇犈犅犆，且与边犃犆相交于点犈，犃犅犆的中线犃犕与犇犈相交于点犖设犃犅 犪，犃犆 犫，用犪，犫分别表示向量犃犈，犅犆，犇犈，犇犅，犈犆，犇犖，犃犖 如图，在任意四边形犃犅犆犇中，犈，犉分别为犃犇，犅犆的中点，求证：犃犅 犇犆 犈犉 飞机从甲地沿北偏西 的方向飞行 到达乙地，再从乙地沿南偏东 的方向飞行 到达丙地画出飞机飞行的

45、位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？第六章平面向量及其应用 （）如图（），在犃犅犆中，计算犃犅 犅犆 犆犃；（）如图（），在四边形犃犅犆犇中，计算犃犅 犅犆 犆犇 犇犃；（）如图（），在狀边形犃犃犃犃狀中，犃犃 犃犃 犃犃 犃狀犃狀 犃狀犃？证明你的结论ABCABCDA1A2A3A4A5An（）（）（）（第 题）已知犪，犫，且（犪犫）（犪犫），求犪与犫的夹角 已知犪，犫，且犪犫，求犪与犫的夹角（精确到）（可用计算工具）已知犪是非零向量，犫犮，求证：犪犫犪犮犪（犫犮）已知犃犅犆的外接圆圆心为犗，且犃犗 犃犅 犃犆，犗犃 犃犅，则向量犅犃 在向量犅犆 上的投影向量为（）（）犅犆

46、（）槡 犅犆（）犅犆（）槡 犅犆 如图，犗是平行四边形犃犅犆犇外一点，用犗犃，犗犅，犗犆 表示犗犇 ABCDO（第 题）已知犗为四边形犃犅犆犇所在平面内一点，且向量犗犃，犗犅，犗犆，犗犇 满足等式犗犃 犗犆 犗犅 犗犇（）作出满足条件的四边形犃犅犆犇ABC（第 题）（）四边形犃犅犆犇有什么特点？请证明你的猜想 如图，在犆中，是不是只需知道犆的半径或弦犃犅的长度，就可以求出犃犅 犃犆 的值？第六章平面向量及其应用 平面向量基本定理及坐标表示上节我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？?F

47、图 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力如图，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力犉分解为多组大小、方向不同的分力由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量犪分解为两个向量，使向量犪是这两个向量的和呢？如图（），设犲，犲是同一平面内两个不共线的向量，犪是这一平面内与犲，犲都不共线的向量如图（），在平面内任取一点犗，作犗犃 犲，犗犅 犲，犗犆 犪将犪按犲，犲的方向分解，你有什么发现？aACBe1e2Oe1ae2（）（）图 如图，过点犆作平行于直线犗犅的直线，与直线犗犃交于点犕；过点犆作平行于直线犗犃的直线，与直线犗犅交于点犖，则犗犆

48、 犗犕 犗犖 由犗犕 与犲共线，犗犖 与犲共线可得，存在实数，使得犗犕 犲，犗犖 犲，所以犪犲犲也就是说，与犲，犲都不共线的向量犪都可以表示成犲犲的形式当犪是与犲或犲共线的非零向量时，犪也可以表示成犲犲的形式；当犪是零向量时，犪同样可以表示成犲犲的形式（为什么？）第六章平面向量及其应用利用信息技术工具，可以动态地展示犪犲犲aNABCMOe1e2图 上述讨论表明，平面内任一向量犪都可以按犲，犲的方向分解，表示成犲犲的形式，而且这种表示形式是唯一的事实上，如果犪还可以表示成犲犲的形式，那么犲犲犲犲可得（）犲（）犲 由此式可以推出，全为（假设，不全为，不妨假设，则犲犲由此可得犲，犲共线这与已知犲，犲

49、不共线矛盾），即，也就是说，有且只有一对实数，使犪犲犲综上，我们得到如下定理：平面向量基本定理如果犲，犲是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量犪，有且只有一对实数，使犪犲犲若犲，犲不共线，我们把犲，犲叫做表示这一平面内所有向量的一个基底（）由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一个基底唯一表示，这为我们研究问题带来了极大的方便ABOP图 例如图，犗犃，犗犅 不共线，且犃犘 狋犃犅（狋犚），用犗犃，犗犅 表示犗犘 解：因为犃犘 狋犃犅，观察犗犘（狋）犗犃 狋犗犅，你有什么发现？所以犗犘 犗犃 犃犘 犗犃 狋犃犅 犗犃 狋（犗犅 犗犃）犗犃 狋犗犅 狋犗犃（狋）犗犃 狋犗犅

50、 ABCD图 例如图，犆犇是犃犅犆的中线，犆犇犃犅，用向量方法证明犃犅犆是直角三角形分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示本题可取犆犇，犇犃 为基底，用它表示犆犃，犆犅 证明犆犃 犆犅，可得犆犃 犆犅，从而证得犃犅犆是 第六章平面向量及其应用直角三角形ABCD图 证明：如图，设犆犇 犪，犇犃 犫，则犆犃 犪犫，犇犅 犫，于是犆犅 犪犫向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段（或直线）是否垂直的重要方法之一犆犃 犆犅 犪犫（）犪犫（）犪犫因为犆犇犃犅，所以犆犇犇犃因为犪犆犇，犫犇犃，所以犆犃 犆犅 因此犆犃犆犅于是犃犅犆是直角三角形 如图，犃犇，犅犈，犆犉是犃犅犆的三条中线