普通高中教科书·数学（B版）选择性必修 第一册.pdf

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1、数学第一册选择性必修普 通 高 中 教 科 书B版第一册普通高中教科书数学选择性必修SHUXUEPUTONG GAOZHONG JIAOKESHU定价：00.00 元绿 色 印 刷 产 品 绿 色 印 刷 产 品 数学B版封面选择性必修一.indd 1数学B版封面选择性必修一.indd 12020/7/22 下午2:512020/7/22 下午2:51第五章 抛体运动1普通高中教科书数学第一册选择性必修北京人民教育出版社 课程教材研究所中 学 数 学 教 材 实 验 研 究 组编著B版2高中物理必修第二册主 编：高存明副 主 编：王殿军 龙正武 王旭刚本册主编：朱利平 范登晨其他编者：黄志勇

2、杨鲜枝 李 诚 祝广文 王洪军 谢李杉普通高中教科书 数学（B 版）选择性必修 第一册人民教育出版社 课程教材研究所中 学 数 学 教 材 实 验 研 究 组 编著出网版（北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081）址 http:/版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：如发现印、装质量问题，影响阅读，请与 联系调换。电话：-书 书 书前言?人们喜欢音乐，是因为它拥有优美和谐的旋律；人们喜欢美术，是因为它描绘了人和自然的美；人们喜欢数学，是因为它用空间形式和数量关系刻画了自然界和人类社会的内在

3、规律，用简洁、优美的公式与定理揭示了世界的本质，用严谨的语言和逻辑梳理了人们的思维我国著名数学家华罗庚先生曾经指出：数学是一切科学的得力助手和工具；任何一门科学缺少了数学这一工具便不能确切地刻画出客观事物变化的状态，更不能从已知数据推出未知的数据来，因而就减少了科学预见的可能性，或者减弱了科学预见的准确度事实上，任何一项现代科学技术的出现与发展，背后都一定有数学知识的支撑互联网的普及、共享经济的繁荣、网络支付的便利、物联网的兴起、人工智能的发展、大数据的应用，离开了数学知识都是不可能的！并且，现代生活中，类似“逻辑”“函数”“命题”“线性增长”“指数增长”“概率”“相关性”等数学术语，在政府文

4、件、新闻报道中比比皆是正如普通高中数学课程标准（年版）（以下简称“课程标准”）所指出的：数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用数学素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养高中生学习必需的数学知识，能为自身的可持续发展和终身学习奠定基础为了帮助广大高中生更好地学习相关数学知识，我们按照课程标准的要求编写了这套高中数学教材在编写过程中，我们着重做了以下几项工作?教材在选取内容的背景素材时，力图从学生熟悉的情境出发，着力体现时代特征，并为学生的成长提供支撑例如，以下内容在本套教材中都有所体现：利用数学知识破解魔术的“秘密”，用生活中的例子说明学习逻辑知识以及理

5、性思考的重要性，从数学角度理解报刊上有关人工智能、新兴媒体等报道中出现的“线性增长”“爆炸式增长”等名词教材中还提到了“网络搜索”“人工智能”“自主招生”“环境保护”“大数据”“按揭贷款”“电子商务”“创业创新”等我们相信，这些能引起大家的共鸣此外，教材中多处出现了借助现代信息技术学习数学知识的内容，包括怎样借助数学软件解方程、不等式，怎样借助信息技术呈现统计结果、展示模拟过程，等等在体现时代特征的同时，我们也特别注重对中华优秀传统文化的展示例如，教材中精选了多道我国古代数学名题，启发大家从数学角度去理解“失败乃成功之母”“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”等语句的含义，呈现了与二十四节气、古典诗词等有

6、关的调查数据，介绍了九章算术在代数上的成就以及我国古代的统计工作，等等?在教材编写过程中，编者认真学习和讨论了当前教育学、心理学等学科的先进理念，并通过改变教材呈现方式来加以体现，力图真正做到“以学习者为中心”前言例如，教材每一章都引用了一段名人名言，旨在为大家的数学学习提供参考和指引；通过“情境与问题”栏目，展示相关数学知识在现实生活等情境中的应用；利用“尝试与发现”栏目，鼓励大家大胆尝试，并在此基础上进行猜想、归纳与总结；通过填空的方式，培养大家学习数学的信心；选择与内容紧密联系的专题，设置拓展阅读，以拓宽大家的知识面，了解数学应用的广泛性；等等?数学学习必须循序渐进是一种共识基础不扎实是

7、很多人学不好数学的重要原因，本套教材在编写时特别考虑了这一点事实上，教材一方面按照课程标准的要求，讲解和复习了高中数学必备的集合、等式、不等式等内容；另一方面，在呈现新知识时，教材注重从已有知识出发，在回顾的基础上通过实际例子逐步引入，尽力展现新旧知识的联系，以达到温故知新的效果例如，教材在复习了变量以及初中函数概念的基础上介绍了函数中的对应关系，在回顾了整数指数幂、二次根式等后引入了分数指数幂，等等正因为如此，即使是初中数学基础比较薄弱的同学，使用本套教材也能顺利地进行学习，并最终达到理想的效果这在本套教材试教过程中已得到印证?数学知识具有客观性，但数学知识的理解有多种方式与途径揭示内容本质

8、，培养大家对数学内容的直观理解，是我们编写本套教材时特别注意的方面之一首先，教材内容的安排突出主线，强调“通性通法”例如，多次强调了配方法的使用，自始至终贯彻函数的研究应从特殊到一般、从性质到图象，等等其次，尽量自然地引入新内容或新方法例如，通过实例说明学习中位数、百分位数的必要性，通过对比说明用样本估计总体的合理性，等等最后，注重培养大家的数学学科核心素养课程标准提出的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，在教材中都得到了落实仅以数学抽象为例，教材处处强调了自然语言与符号语言之间的相互转化等总的来说，“引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达

9、世界”并不容易为此，我们在编写教材时做了很多新的尝试，力图给大家提供一套有时代特色、易教易学的数学教材，以帮助大家学习本书是这套教材选择性必修部分的第一册，呈现了空间向量与立体几何以及平面解析几何的内容通过本书的目录与每章的“本章导语”，可以大致了解本书的全貌，这里不再重复由于编写时间有限等原因，书中难免会有疏漏之处，敬请大家多提宝贵意见，以使教材日臻完善编者 年月目录?空间向量及其运算 空间向量及其运算 空间向量基本定理 空间向量的坐标与空间直角坐标系 空间向量在立体几何中的应用 空间中的点、直线与空间向量 空间中的平面与空间向量 直线与平面的夹角 二面角 空间中的距离 本章小结?坐标法 直

10、线及其方程 直线的倾斜角与斜率 直线的方程 两条直线的位置关系 点到直线的距离 目录 圆及其方程 圆的标准方程 圆的一般方程 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 曲线与方程 椭圆及其方程 椭圆的标准方程 椭圆的几何性质 双曲线及其方程 双曲线的标准方程 双曲线的几何性质 抛物线及其方程 抛物线的标准方程 抛物线的几何性质 直线与圆锥曲线的位置关系 本章小结 櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷?立体几何与物质的性质 倾斜的试管液面轮廓一定是椭圆 圆锥曲线的光学性质 在必修的立体几何初步中，我们结合棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等空

11、间几何体，研究了空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间平行和垂直的位置关系不过，现实生活中，上述对象之间既不平行也不垂直的形象随处可见图图如图所示，标枪运动员在投掷标枪时，标枪所在直线与地面所在平面既不平行也不垂直，二者呈现出成一定夹角的形象；如图所示，在用太阳能光板吸收太阳光时，光板所在平面与地面所在平面同样既不平行也不垂直，二者也呈现出成一定夹角的形象ABCDO图事实上，我们已经学过的必修内容中，类似的关系也比比皆是如图所示的正四棱锥犗犃犅犆犇中，直线犗犃与底面犃犅犆犇既不平行也不垂直，平面犗犃犇与底面犃犅犆犇既不平行也不垂直本章我们要探讨的就是空间中类似的位置关系为此，我们首先会将

12、必修内容中的平面向量推广到空间向量，然后借助空间向量的运算来讨论上述位置关系以及空间中的距离等 空间向量及其运算?1.1.1/KF+我们在必修内容中已经学习过平面向量的有关知识，知道在平面内：既有大小又有方向的量称为向量（也称为矢量），向量的大小也称为向量的模（或长度）可以用有向线段来直观地表示向量，其中有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向有向线段不带箭头的端点称为向量的始点（或起点），带箭头的端点称为向量的终点有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向始点为犃终点为犅的向量，记为犃犅，向量的模用犃犅 表示还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗的

13、斜体小写字母如犪，犫，犮来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如犪，犫，犮来表示向量此时，向量犪的模也用犪或犪来表示始点和终点相同的向量称为零向量，零向量的方向是不确定的零向量在印刷时，通常用表示；书写时，用表示零向量的模为，即 模等于的向量称为单位向量因此，犲是单位向量的充要条件是犲ABCD图 大小相等、方向相同的向量称为相等的向量向量犪和犫相等，记作犪犫特别地，如图 所示，在平面四边形犃犅犆犇中，“犃犅 犇犆”是“四边形犃犅犆犇为平行四边形”的充要条件如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行通常规定零向量与任意向量平行两个向量犪和犫平行，记作犪犫两个向量平行也称为两个向量共

14、线 第一章空间向量与立体几何A(观察上述平面向量的有关概念与约定，思考能否将它们从平面推广到空间中如果能，尝试说出推广后的不同之处；如果不能，说明理由不难看出，上述有关向量的概念与约定，只要去掉“在平面内”的限定，就都可以原封不动地推广到空间中因此在空间中，我们仍使用上述向量的概念与约定例如，空间中既有大小又有方向的量称为空间向量（简称为向量），大小相等、方向相同的向量称为相等的向量，方向相同或者相反的两个非零向量互相平行（此时，表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合），等等ABCD1A1D1B1C图 这样一来，如图 所示，对于平行六面体犃犅犆犇犃犅犆犇来说，因为犃犃，犅犅，犆犆，犇

15、犇互相平行而且长度都相等，因此犃犃 犅犅 犆犆 犇犇 空间中的向量，除了共线之外，我们还要讨论共面的情形一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面例如，图 中，虽然直线犃犃与直线犅犆异面，但向量犃犃，犅犆 ，犇犇 是共面的，因为犅犆 经过平移后可以到达犃犇 的位置，而犃犃，犃犇，犇犇 都在平面犃犇犇犃内；向量犃犃，犃犅，犃犇 不共面，因为这三个向量有一个公共点犃，而犃，犅，犇都在平面犃犅犆犇内，点犃在平面犃犅犆犇外图 可以看出，空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面空间向量可以用来描述空间中既有

16、大小又有方向的量例如，当空间中的物体所受的力不全在同一个平面内时，可以借助空间向量来对该物体进行受力分析，如图 所示是吊在空间中的物体所受力的示意图 空间向量及其运算 /KF+D0A(回忆平面向量的加法运算，思考如何定义空间向量的加法，并尝试总结空间向量的加法运算与平面向量的加法运算有何不同我们知道，给定两个平面向量犪，犫，在该平面内任取一点犃，作犃犅 犪，犅犆 犫，作出向量犃犆，则犃犆 是向量犪与犫的和（也称犃犆 为向量犪与犫的和向量）向量犪与犫的和向量记作犪犫，因此犃犅 犅犆 犃犆 当平面向量犪与犫不共线时，犪，犫，犪犫正好能构成一个三角形，如图 所示，因此这种求两向量和的作图方法也常称为

17、向量加法的三角形法则ABCbaa+bba图 因为空间中的任意两个向量都共面，所以空间中两个向量的和，除了犃点可以在空间中任意选定之外，其他的与平面情形完全一样特别地，向量加法的三角形法则在空间中也成立例如，图 所示的长方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，因为犃犇 犅犆 ，所以ABCD1A1D1B1C图 犃犃 犅犆 犃犃 犃犇 犃犇 空间向量的加法也可用平行四边形法则：任意给定两个不共线的向量犪，犫，在空间中任取一点犃，作犃犅 犪，犃犆 犫，以犃犅，犃犆为邻边作一个平行四边形犃犅犇犆，作出向量犃犇，则犃犇 犃犅 犃犆 例如，图 的长方体中，犃犃 犅犆 犃犃 犃犇 不难看出，空间向量的加法也满足交换律和结合律

18、，即对于任意的向量犪，犫，犮，都有 第一章空间向量与立体几何ABCOabca+b+ca+b b+c图 犪犫犫犪，（犪犫）犮犪（犫犮）空间向量加法的结合律可以借助图 所示的三棱锥犗犃犅犆来理解，其中犃犅 犪，犅犆 犫，犆犗 犮，而且犃犆 犃犅 犅犆 犪犫，犅犗 犅犆 犆犗 犫犮，所以犃犗 犃犆 犆犗（犪犫）犮，犃犗 犃犅 犅犗 犪（犫犮）因此（犪犫）犮犪（犫犮）从图 也可以看出，为了得到有限个空间向量的和，只需将这些空间向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和向量例如，犃犅 犅犆 犆犗 犃犗 ABCD1A1D1B1C图 如图 所示是一个平行

19、六面体犃犅犆犇犃犅犆犇，化简犇犃 犇犆 犇犇 因为底面犃犅犆犇是一个平行四边形，所以犇犃 犇犆 犇犅，又因为犇犇 犅犅，所以犇犃 犇犆 犇犇 犇犅 犅犅 例说明，三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量/KF+3D0任意两个空间向量总是共面的，因此可以用类似平面向量中的方法来定义两个空间向量的减法运算、数乘运算在空间中任取一点犗，作犗犃 犪，犗犅 犫，作出向量犅犃，则向量犅犃 就是向量犪与犫的差（也称犅犃 为向量犪与犫的差向量），即犗犃 犗犅 犅犃 空间向量及其运算 当犪与犫不共线时，向量犪，犫，犪犫正好能构成一个三角形，因此这种

20、求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则ABCDO图 例如，图 所示的四棱锥犗犃犅犆犇中，有犗犃 犗犆 犆犃，犗犅 犗犇 同平面中的情形一样，给定一个空间向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量犪的相反向量记作犪因此，犃犅 的相反向量是犃犅，而且犃犅 犅犃 因为零向量的始点与终点相同，所以不难看出，空间向量的减法也可以看成向量的加法，即犪犫犪（犫），也就是：一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量同平面中的情形一样，给定一个实数与任意一个空间向量犪，规定它们的乘积是一个空间向量，记作 犪，其中：（）当且犪时，犪的模为 犪，而且 犪的方向：当

21、时，与犪的方向相同；当时，与犪的方向相反（）当或犪时，犪上述实数与空间向量犪相乘的运算简称为数乘向量数乘向量的定义说明，如果存在实数，使得犫 犪，则犫犪而且，如果存在实数，使得犃犅 犃犆，则犃犅 与犃犆 平行且有公共点犃，从而犃，犅，犆三点一定共线特别地，当时，即犃犅 犃犆 时，犅为线段犃犆的中点对于实数与，向量犪与犫，有如下运算律：犪犪（）犪，（犪犫）犪 犫同平面向量一样，空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算设犃犅是空间中任意一条线段，犗是空间中任意一点，求证：犕为犃犅中点的充要条件是犗犕（犗犃 犗犅）因为犕为犃犅中点犃犕 犕犅 第一章空间向量与立体几

22、何犗犕 犗犃 犗犅 犗犕 犗犕（犗犃 犗犅），所以结论成立ABCDON图 如图 所示，如果棱锥犗犃犅犆犇的底面犃犅犆犇是一个平行四边形，则犖既是犃犆的中点，也是犅犇的中点，从而由例的结论可知犗犖（犗犃 犗犆），犗犖（犗犅 犗犇）当然，同样也有犇犖（犇犃 犇犆）等ABCDO图 如图 所示三棱锥犃犅犆犇中，犗为犆犇的中点，化简犃犅（犅犆 犅犇），并在图中作出表示化简结果的向量 因为犗为犆犇中点，所以（犅犆 犅犇）犅犗，从而有犃犅（犅犆 犅犇）犃犅 化简结果的向量如图 所示/KF+F/平面内，给定两个非零向量犪，犫，任意在平面内选定一点犗，作犗犃 犪，犗犅 犫，则大小在，内的犃犗犅称为犪与犫的夹角，

23、记作犪，犫A(观察上述平面向量夹角的概念，思考空间中两个非零向量的夹角该如何定义，并尝试总结两者的不同之处由于空间中任意两个向量都一定是共面的，因此，空间中两个非零向量 空间向量及其运算 之间的夹角也可按类似上述的方式定义，但“任意在平面内选定一点”应改成“任意在空间中选定一点”特别地，如果犪，犫，则称向量犪与犫垂直，记作犪犫；为了方便起见，仍约定零向量与任意向量都垂直ABC1A1D1B1CD图 如图 所示是一个正方体，求下列各对向量的夹角：（）犃犅 与犃犆 ；（）犃犅 与犆犃 ；（）犃犅 与犃犇 ；（）犃犅 与犅犃 （）由于犃犆 与犃犆 的方向相同，所以犃犅，犃犆 犃犅，犃犆 （）犃犅，犆犃

24、 犃犅，犆犃 （）犃犅，犃犇 犃犅，犃犇（）犃犅，犅犃 平面内，两个非零向量犪与犫的数量积（也称为内积）定义为犪犫犪 犫 犪，犫ab a图 而且，两个向量数量积的几何意义与投影有关，如图 所示，过犪的始点和终点分别向犫所在的直线作垂线，即可得到向量犪在向量犫上的投影犪，犪与犫的数量积等于犪在犫上的投影犪 的数量与犫的长度的乘积特别地，犪与单位向量犲的数量积等于犪在犲上的投影犪 的数量规定零向量与任意向量的数量积为A(观察上述平面向量数量积的概念与性质，思考能否将它们从平面推广到空间中如果能，尝试说出推广后的不同之处；如果不能，说明理由同样，空间中向量的数量积也是按上述方式定义的，而且空间向量的

25、数量积也具有类似的性质不过，空间向量犪在向量犫上的投影犪，除了按照上述方式得到之外，还可以过犪的始点和终点分别作与犫所在直线垂直的平面得到这可以从图 所示的长方体中看出来，其中向量犫在棱犃犅 第一章空间向量与立体几何ABCDABCDab a图 上，犪犃 犆 ，因为犃犆 犃 犆 ，犅犆犃犅，所以犪在向量犫上的投影犪 犃犅 一般地，给定空间向量犪和空间中的直线犾（或平面），过犪的始点和终点分别作直线犾（或平面）的垂线，假设垂足为犃，犅，则向量犃犅 称为犪在直线犾（或平面）上的投影同平面的情形一样，空间向量的数量积具有以下性质：（）犪犫犪犫；（）犪犪犪犪；（）犪犫犪 犫；（）（犪）犫（犪犫）；（）犪

26、犫犫犪（交换律）；（）（犪犫）犮犪犮犫犮（分配律）第（）条性质可以按如下方式理解当犪，犫，犮共面时，根据平面向量数量积的性质可知，结论成立当犪，犫，犮不共面时，显然犮，设犮犮犮，即犮是与犮同向的单位向量如图 所示，设犃犅犆犇犃 犅 犆 犇 是一个长方体，点犗与犮都在直线犃犅上，且犗犃 犪，犃 犆 犫ABCDABCDab?aO?ba+b0c图 因此，犪在犮上的投影为犪 犗犃，犫在犮上的投影为犫 犃犅，且犗犆 犗犃 犃 犆 犪犫，犪犫在犮上的投影为犗犅 注意到犗犅 犗犃 犃犅 犪 犫，这就说明（犪犫）犮犪犮犫犮，在这个式子两边同时乘以犮，即可知 空间向量及其运算 （犪犫）犮犪犮犫犮ABCDABCD

27、E图 如图 所示长方体犃犅犆犇犃 犅 犆 犇 中，犈是犃犃 的中点，犃犃 犃犇，犃犅，求：（）犅犆 犃犈；（）犅 犇 犃犈 （）（方法一）因为是长方体，而且犃犃 犃犇，所以犅犆 ，犃犈 犅 犅犆 ，犃犈 犃犃，犅犆 犅犆 槡槡，因此犅犆 犃犈 犅犆 犃犈 犅犆 ，犃犈 槡 槡（方法二）由图可以看出，犅犆 在犃犈 上的投影是犃犃 ，而且犃犈 犃犃，注意到犃犃 与犃犈 的方向相同，所以犅犆 犃犈 等于犃犃 的长，即犅犆 犃犈 犃犃 （）由图可以看出，犅 犇 在犃犈 上的投影是犃 犃，而且犃犈 犃犃，注意到犃 犃 与犃犈 的方向相反，所以犅 犇 犃犈 等于犃 犃 的长的相反数，即犅 犇 犃犈 犃 犃

28、?在正方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，判断下列各组向量是否共面：（）犃犅，犇犆 ；（）犃犅，犅犆，犃犇 ；（）犃犅，犅犆，犇犇?化简：（犪犫犮）犪犫犮（）（犪犫犮）?已知犃犅犆犇犃犅犆犇是一个正方体，写出下列向量夹角的大小：（）犃犅，犆犆 ；（）犇犇，犅犃 第一章空间向量与立体几何#?如果犪，犫，犮不共面，那么这三个向量中能有两个互相平行吗？为什么？?已知犪，犫均为空间向量，分别判断下列各式是否恒成立：（）（犪犫）犪犪犫犫；（）（犪犫）犪犪犫犫；（）（犪犫）（犪犫）犪犫?如果犪，犫都是空间向量，判断 犪犫 犪犫犪犫是否成立，并说明等号何时成立?已知空间四边形犃犅犆犇中，犕，犖分别是棱犃犅，犆犇的中点，

29、化简下列各向量表达式：（）犅犕 犃犅 犕犖 犆犖；（）（犃犇 犅犆）?构造始点、终点都是平行六面体犃犅犆犇犃 犅 犆 犇 顶点的向量，使它与下列各式所表示的向量分别相等：（）犃犅 犅 犆 ；（）犃犅 犃 犇 ；（）犃犅 犆犅 犃犃 ；（）犅犃 犅犆 犆犆 ；（）犃犇 犆犆 犅犃?已知正方体犃犅犆犇犃 犅 犆 犇 的棱长为，求：（）犃犅 犅 犆 ；（）犃犅 犇 犆 ；（）犃犅 犃 犆 ；（）犅 犇 犃犅?已知犪，犫都是空间向量，且犪犫犪犫，求犪犫?已知犪，向量犲为单位向量，犪，犲，求向量犪在向量犲方向上的投影的数量犃犇 犇犅 犇犅 犅犗 犃犗 犃犅，犅犃 空间向量及其运算 1.1.2LF)在平面

30、向量中，我们已经学过如下结论共线向量基本定理如果犪且犫犪，则存在唯一的实数，使得犫 犪平面向量基本定理如果平面内两个向量犪与犫不共线，则对该平面内任意一个向量犮，存在唯一的实数对（狓，狔），使得犮狓 犪狔 犫A(上述结论在空间中仍成立吗？如何判断空间中的三个向量是否共面？可以看出，共线向量基本定理和平面向量基本定理在空间中仍然成立ABC1A1D1B1CDMPEF图 例如，如图 所示的正方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，犘在直线犃犃上的充要条件是，存在实数，使得犃犘 犃犃；如果犕在底面犃犅犆犇内，则一定存在实数狊与狋，使得犃犕 狊 犃犅 狋 犃犇，而且，若犕犈犃犇，犕犉犃犅，则犃犉 狊 犃犅，犃犈 狋 犃

31、犇 另外，在空间中，由平面向量基本定理以及空间向量加法的平行四边形法则，还可以得到如下空间中三个向量是否共面的判别方法共面向量定理如果两个向量犪，犫不共线，则向量犪，犫，犮共面的充要条件是，存在唯一的实数对（狓，狔），使犮狓 犪狔 犫这个定理的必要性是由平面向量基本定理保证的，而充分性只要注意到当狓 犪与狔 犫不共线时，狓 犪，狔 犫，狓 犪狔 犫分别是平行四边形的两条邻边和一条对角线即可如图 所示，已知斜三棱柱犃犅犆犃犅犆中，犃犅 犪，犃犆 犫，犃犃 犮，在犃犆上和犅犆上分别有一点犕和犖，且犃犕 犽犃犆，犅犖 犽犅犆，第一章空间向量与立体几何ABC1A1B1CMNabc图 其中犽求证：犕犖，

32、犪，犮共面 因为犃犕 犽犃犆 犽 犫犽 犮，犃犖 犃犅 犅犖 犪犽犅犆 犪犽（犪犫）（犽）犪犽 犫，所以犕犖 犃犖 犃犕（犽）犪犽 犫犽 犫犽 犮（犽）犪犽 犮由共面向量定理可知，犕犖，犪，犮共面由共面向量定理还可得到判断空间中四点是否共面的方法：如果犃，犅，犆三点不共线，则点犘在平面犃犅犆内的充要条件是，存在唯一的实数对（狓，狔），使犃犘 狓犃犅 狔犃犆/KF)A(共线向量基本定理表明，给定直线上的一个非零向量犪，那么直线上任意一个向量犫都可以唯一地写成数乘向量犪的形式；平面向量基本定理表明，在给定的平面内，当向量犪与犫不共线时，任意一个向量犮都可以写成犪与犫的线性运算，而且表达式唯一空间向

33、量有没有类似的结论？如果有，尝试归纳出来；如果没有，说明理由空间向量基本定理如果空间中的三个向量犪，犫，犮不共面，那么对空间中的任意一个向量狆，存在唯一的有序实数组（狓，狔，狕），使得狆狓 犪狔 犫狕 犮空间向量基本定理可以通过作图的方式来理解AC1A1B1CNabcBP1PxaybzcMO图 因为犪，犫，犮不共面，所以它们两两都不平行，过点犗作犗犃 犪，犗犅 犫，犗犆 犮，则平面犗犃犅，犗犃犆，犗犅犆是两两相交的三个平面，如图 所示如果狆与犪，犫，犮的某两个向量共面，则根据共面向量定理可知结论成立否则，作犗犘 狆，过点犘作直线犘犘平行于犗犆，交 空间向量及其运算 平面犗犃犅于点犘；在平面犗犃

34、犅内，过犘作直线犘犃平行于犗犅，作直线犘犅平行于犗犃，且分别与直线犗犃，犗犅相交于点犃，犅；在犗犆上取一点犆，使得犗犆 犘犘 于是存在三个实数狓，狔，狕，使得犗犃 狓犗犃 狓 犪，犗犅 狔犗犅 狔 犫，犗犆 狕犗犆 狕 犮作犃犕 犅犖 犘犘，则犗犃犘犅犆犕犘犖是一个平行六面体，因此犗犘 犗犃 犗犅 犗犆 狓犗犃 狔犗犅 狕犗犆，即狆狓 犪狔 犫狕 犮下面来说明定理中的有序实数组（狓，狔，狕）是唯一的设狆狓 犪狔 犫狕 犮且狆狓 犪狔 犫狕 犮，则（狓狓）犪（狔狔）犫（狕狕）犮如果狓狓，则犪狔狔 狓狓 犫狕狕 狓狓 犮，由此可知犪，犫，犮共面，这与已知矛盾，因此狓狓 同理狔狔，狕狕 这也就说明，

35、空间向量基本定理中，狆用犪，犫，犮表示的表达式狆狓 犪狔 犫狕 犮唯一特别地，当犪，犫，犮不共面时，可知狓 犪狔 犫狕 犮狓狔狕表达式狓 犪狔 犫狕 犮一般称为向量犪，犫，犮的线性组合或线性表达式上述空间向量基本定理说明，如果三个向量犪，犫，犮不共面，则它们的线性组合狓 犪狔 犫狕 犮能生成所有的空间向量因此，空间中不共面的三个向量犪，犫，犮组成空间向量的一组基底，记为犪，犫，犮此时，犪，犫，犮都称为基向量；如果狆狓 犪狔 犫狕 犮，则称狓 犪狔 犫狕 犮为狆在基底犪，犫，犮下的分解式ABCDABCDabc图 如图 所示平行六面体犃犅犆犇犃 犅 犆 犇 中，设犃犅 犪，犃犇 犫，犃犃 犮，试用

36、基底犪，犫，犮表示向量犃犆 ，犅犇 ，犃 犆，犇犅 因为是平行六面体，所以犃犆 犃犅 犅犆 犆犆 犃犅 犃犇 犃犃 犪犫犮类似地，有犅犇 犅犃 犃犇 犇犇 犃犅 犃犇 犃犃 犪犫犮，犃 犆 犃 犅 犅 犅 犅犆，犇犅 犇犃 犃犅 犅犅 第一章空间向量与立体几何ABC1A1B1CD图 如图 所示，已知直三棱柱犃犅犆犃犅犆中，犇为犃犆的中点，犃犅犆 ，犃犅，犅犆犆犆，求犃犅 犆犇 由题意可知，犅犃，犅犆 犅犅，犅犃，犅犆 ，犅犅，犅犃 犅犅，犅犆 ，所以犅犃 犅犆 ，犅犅 犅犃 犅犅 犅犆 又因为犃犅 犃犅 犅犅 犅犃 犅犅，犆犇 犆犆 犆犇 犆犆 犆犃 犅犅 犆犃 犅犅（犅犃 犅犆），所以犃犅

37、犆犇（犅犃 犅犅）犅犅（犅犃 犅犆）犅犃 犅犅 犅犃 犅犃 犅犃 犅犆 犅犅 犅犅 犅犅 犅犃 犅犅 犅犆 例说明，如果空间向量中，有三个不共面的向量的长度和相互之间的角度都已知，那么以这三个向量为一组基底，可以研究其他向量之间的数量积等问题?如果空间向量犪，犫，犮满足犪犫犮，那么这三个向量是否一定共面？?如果犃，犅，犆是空间中的三点，且犃犅 犅犆，那么这三个点是否一定共线？?如果犃，犅，犆，犇是空间中的四点，且犃犅 犃犆 犃犇，那么这四个点是否一定共面？?如果空间向量犪，犫不共线，且犪狔 犫狓 犪犫，求狓，狔的值 空间向量及其运算#ABCOABCDEO（第题）（第题）?如果空间向量犪，犫，犮

38、不共面，且犪犫犮狓 犪狔 犫狕 犮，求狓，狔，狕的值?如果犃，犅，犆，犇是空间中的四点，且犃犅 犆犇，那么这四个点是否一定共线？?如图，四面体犗犃犅犆中，犗犃 犪，犗犅 犫，犗犆 犮，犇为犅犆的中点，犈为犃犇的中点，将犗犈 用向量犪，犫，犮表示出来?如图，已知犃，犅，犆三点不共线，犗为平面犃犅犆外任意一点，且平面犃犅犆中的小方格均为单位正方形，在图中标出点犘，犙，犚，犛，使得犗犘 犗犃 犃犅 犃犆，犗犙 犗犃 犃犅 犃犆，犗犚 犗犃 犃犅 犃犆，犗犛 犗犃 犃犅 犃犆?已知平行六面体犃犅犆犇犃 犅 犆 犇 中，点犈是上底面犃 犅 犆 犇 的中心，求下列各题中狓，狔的值：（）犃犆 狓（犃犅 犅犆

39、 犆犆 ）；（）犃犈 犃犃 狓犃犅 狔犃犇?已知直三棱柱犃犅犆犃犅犆中，犃犅犆 ，犃犅，犅犆犆犆，求犃犅 犅犆 犃犅 犃犃 犃犇 犪犫犮犃犇 犃犅 犃犃 犪犫犮 第一章空间向量与立体几何1.1.3/KF+平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量，引进了平面向量的坐标空间向量是否可以引进类似的坐标？这就是本小节我们要研究的内容A(ABCD1A1D1B1CEF1E1FOGe1e2e3ab图 如图 所示，已知犗犃 犲，犗犅 犲，犗犆 犲，且犗犃犇犅犆犈犌犉是棱长为的正方体，犗犉犈犃犃犇犆犅是一个长方体，犃为犗犆的中点，犉犗（）设犗犌 犪，犗犆 犫，将向量犪与犫都用犲，犲，犲表示

40、；（）如果狆是空间中任意一个向量，怎样才能写出狆在基底犲，犲，犲下的分解式？不难看出，尝试与发现中，犪犲犲犲，犫犲犲犲而且，对于任意一个空间向量狆来说，只要将它的始点平移到点犗，然后过它的终点分别作与犲，犲，犲所在直线垂直的平面，就可以写出它在基底犲，犲，犲下的分解式一般地，如果空间向量的基底犲，犲，犲中，犲，犲，犲都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底；在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果狆狓 犲狔 犲狕 犲，则称有序实数组（狓，狔，狕）为向量狆的坐标，记作狆（狓，狔，狕），其中狓，狔，狕都称为狆的坐标分量 空间向量及其运算 已知犲，犲，犲是

41、单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标：（）狆犲犲犲；（）狇犲犲犲；（）狉犲犲；（）（）狆（，）（）狇（）狉（）因为犲犲犲，所以（，）/KF+D0+2与平面向量的坐标类似，空间向量有了坐标之后，一个自然的问题就是，向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什么关系？假设空间中两个向量犪，犫满足犪（狓，狔，狕），犫（狓，狔，狕），也就是说犪狓犲狔犲狕犲，犫狓犲狔犲狕犲则当犪犫时，有狓犲狔犲狕犲狓犲狔犲狕犲，由犲，犲，犲是单位正交基底和空间向量基本定理可知狓狓，狔狔，狕狕；反之结论也成立这就是说，空间中两个向量相等的充要条件是它们的坐标分量对应相等另一方面，因为犪犫狓犲狔犲狕犲狓犲狔犲狕犲（狓狓）

42、犲（狔狔）犲（狕狕）犲，所以犪犫（狓狓，狔狔，狕狕）类似地，可以得出，如果狌，狏是两个实数，那么狌 犪狏 犫（狌 狓狏 狓，狌 狔狏 狔，狌 狕狏 狕）又因为犲，犲，犲是单位正交基底，所以犲犲犲犲犲犲，犲犲犲犲犲犲，因此犪犫（狓犲狔犲狕犲）（狓犲狔犲狕犲）狓狓犲犲狔狔犲犲狕狕犲犲（狓狔狓狔）犲犲（狔狕狔狕）犲犲（狓狕狓狕）犲犲 第一章空间向量与立体几何狓狓狔狔狕狕，即犪犫狓狓狔狔狕狕特别地，犪犪槡犪狓狔狕槡当犪且犫时，由向量数量积的定义可知 犪，犫犪犫犪 犫狓狓狔狔狕狕狓狔狕槡狓狔狕槡已知犪（，），犫（，），求下列向量的坐标：（）犪犫；（）犪犫；（）犫（）犪犫（，）（，）（，）（，）（）犪犫（

43、，）（，）（，）（，）（，）（）犫（，）已知犪（，），犫（，），求犪，犫 因为犪犫（），犪 槡槡，犫（）槡槡，所以 犪，犫犪犫犪 犫槡 槡，因此犪，犫/KF+/KF+=,A(我们已经知道，如果犪，犫是空间向量：（）当犪时，犪犫的充要条件是存在实数，使得犫 犪；（）犪犫的充要条件是犪犫 空间向量及其运算 如果已知犪，犫的坐标，即犪（狓，狔，狕），犫（狓，狔，狕），那么上述结论怎样用它们的坐标表示？可以看出，当犪时，犪犫犫 犪（狓，狔，狕）（狓，狔，狕）狓 狓，狔 狔，狕 狕烅烄烆更进一步，当犪的每一个坐标分量都不为零时，有犪犫狓狓狔狔狕狕而且犪犫犪犫狓狓狔狔狕狕（）已知犪（，），犫（狓，狔，狕）

44、，且犪犫，求狓，狔，狕所要满足的关系式；（）已知犮（，），犱（，），求一个非零空间向量狀，使得狀犮且狀犱（）因为犪（，）的每一个坐标分量均不为零，因此犪犫狓狔狕狓狔狕（）设狀（狓，狔，狕），则狀犮且狀犱狀犮，狀犱犃犇 烅烄烆狓狔狕，狓狔狕犃犇 烅烄烆将狕看成已知数，求解方程组可得狓狕，狔狕因此狀（狕，狕，狕）狕（，），取狕，可得满足条件的一个非零空间向量狀（，）例的（）说明，空间中同时垂直于两个不共线向量的空间向量有无数个，而且这无数个向量是相互平行的/K,2由空间向量坐标的定义可以看出，当单位正交基底的始点是同一个点犗，而且空间向量的始点也是犗时，空间向量的坐标实际上是由它的终点位置确定的

45、第一章空间向量与立体几何图 （）如图 所示，怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置？（）我们知道，在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置；在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序实数来刻画点在平面内的位置那么，怎样才能刻画空间中点的位置呢？为了刻画空间中点的位置，我们可以按照如下方式建立空间直角坐标系：在空间中任意选定一点犗作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系狓犗狔，然后过犗作一条与狓犗狔平面垂直的数轴狕轴这样建立的空间直角坐标系记作犗狓 狔 狕在空间直角坐标系犗狓 狔 狕中，狓轴、狔轴、狕轴是两两互相垂直的，它们都称为坐标轴；通过每两个坐标轴的平面都称为坐

46、标平面，分别记为狓犗狔平面、狔犗狕平面、狕犗狓平面狕轴的正方向一般按照如下方式确定：在狕轴的正半轴看狓犗狔平面，狓轴的正半轴绕犗点沿逆时针方向旋转 能与狔轴的正半轴重合在平面内画空间直角坐标系犗狓 狔 狕时，一般把狓轴、狔轴画成水平放置，狓轴正方向与狔轴正方向夹角为 （或 ），狕轴与狔轴（或狓轴）垂直，如图 （）（）所示OxyzOxyzMPQRMPQR图 建立了空间直角坐标系犗狓 狔 狕之后，如图 所示，设犕为空间中的一个点，过犕分别作垂直于狓轴、狔轴、狕轴的平面，设这些平面与狓轴、狔轴、狕轴依次交于点犘，犙，犚，且犘，犙，犚在狓轴、狔轴、狕轴上的坐标分别为狓，狔，狕，那么点犕就对应唯一确定的

47、有序实数组（狓，狔，狕）；反过来，给定有序实数组（狓，狔，狕），可以在狓轴、狔轴、狕轴上依次取坐标为狓，狔，狕的点犘，犙，犚，分别过犘，犙，犚作垂直于狓轴、狔轴、空间向量及其运算 狕轴的一个平面，则有序实数组（狓，狔，狕）就与这三个平面唯一的公共点对应这样一来，空间中的点与三个实数组成的有序实数组之间，有了一一对应关系，空间一点犕的位置完全由有序实数组（狓，狔，狕）确定，因此将（狓，狔，狕）称为点犕的坐标，记作犕（狓，狔，狕）此时，狓，狔，狕都称为点犕的坐标分量，且狓称为点犕的横坐标（或狓坐标），狔称为点犕的纵坐标（或狔坐标），狕称为点犕的竖坐标（或狕坐标）yzxO图 另外，空间中建立了空间直

48、角坐标系之后，三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，如图 所示习惯上，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面狓犗狔的上方，分别是第卦限、第卦限、第卦限、第卦限；在狓犗狔的下方，分别是第卦限、第卦限、第卦限、第卦限事实上，根据点的坐标的特征，第卦限的点集用集合可表示为（狓，狔，狕）狓，狔，狕，其他卦限的点集可用类似的方法表示由此可以看出，图 （）中的点犕在第卦限，图 （）中的点犕在第卦限ABCD1A1BEFO1C1Dxzy图 已知棱长为的正方体犃犅犆犇犃犅犆犇中，犈是犆犆的中点，犉是犃犅的中点以犇为原点，犇犃，犇犆，犇犇 的方向分别为狓轴、狔轴、狕轴正方向，建立如图 所示的空

49、间直角坐标系求以下各点的坐标：犃，犅，犅，犈，犉 注意到正方体的棱长为，因此犃（，），犅（，），犅（，）又因为犈，犉分别是犆犆，犃犅的中点，所以犈，（），犉，（）可以看出，在空间中建立了空间直角坐标系之后，如果指定空间中的单位向量犲，犲，犲的始点都在原点犗，且它们的方向分别与狓轴、狔轴、狕轴的正方向相同，则犲，犲，犲是单位正交基底，且向量犗犘 的坐标与犘 第一章空间向量与立体几何点的坐标相同，即犗犘 狓 犲狔 犲狕 犲（狓，狔，狕）犘（狓，狔，狕）；反之，如果犲，犲，犲为单位正交基底，则任意选定一点作为原点犗，并使得狓轴、狔轴、狕轴的正方向分别与犲，犲，犲的方向相同，则可以建立空间直角坐标系，

50、而且其中向量犗犘 的坐标与犘点的坐标仍然相同为了方便起见，以后谈到空间直角坐标系时，总是默认为已经按照上述方式指定了单位正交基底犲，犲，犲；谈到空间中向量的坐标时，总是认为已经按照单位正交基底犲，犲，犲建立了空间直角坐标系可以看出，在空间直角坐标系中，同样可以讨论轴对称、中心对称等，它们的意义与平面直角坐标系中的类似与两点关于直线对称类似，如果连接两点的线段的中点在一个平面内，且这两点确定的直线垂直于该平面，则称这两点关于该平面对称/KF+*利用空间向量的坐标与空间直角坐标系的关系，我们可以得到空间直角坐标系中两点之间的距离公式与中点坐标公式事实上，设犃（狓，狔，狕），犅（狓，狔，狕）为空间直