2024版新高考新教材版高考总复习数学1_5.4　解三角形（十年高考）含答案.docx

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1、2 0 2 4 版 新 高 考 新 教 材 版 高 考 总 复 习 数 学 5.4 解三角形考点 1 正弦定理和余弦定理1.(2 0 2 3 北 京,7,4 分,易)在 A B C 中,(a+c)(s i n A-s i n C)=b(s i n A-s i n B),则 C=()A.6B.3C.2 3D.5 6答 案 B 由 正 弦 定 理 得(a+c)(a-c)=b(a-b),化 简 得 a b=a2+b2-c2,由 余 弦 定 理 的 推 论 得c o s C=2+2 22=2=12,又 C(0,),C=3.2.（2 0 2 3 全国乙文，4）在 A B C 中，内角,A B C 的对边

2、分别是,a b c，若 c o s c o s a B b A c，且5C，则B（）A.10B.5C.31 0D.25【答案】C【解析】由题意结合正弦定理可得 s i n c o s s i n c o s s i n A B B A C，即 s i n c o s s i n c o s s i n s i n c o s s i n c o s A B B A A B A B B A，整理得 s i n c o s 0 B A，由于 0,B，故 s i n 0 B，所以c o s 0,2A A，则 3 2 5 1 0B A C.故选：C.3.(2 0 2 1 全国甲文,8,5 分)在 A

3、B C 中,已知 B=1 2 0,A C=1 9,A B=2,则 B C=()A.1 B.2 C.5 D.3答案 D 解题指导:思路一(利用余弦定理):已知角 B,边 c,b,利用余弦定理,得到关于 a 的一元二次方程,求解即可;思路二(利用正弦定理):已知角 B,边 b,c,借助正弦定理求出角 C 的正弦值,进而利用两角和的正弦公式及诱导公式求出角 A,再借助正弦定理求出 a.解析 解法一:设 A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,在 A B C 中,由题意知 b=1 9,c=2,由余弦定理得 b2=c2+a2-2 c a c o s B,即 1 9=4+a2-2 2 a

4、 c o s 1 2 0,整理得 a2+2 a-1 5=0,解得 a=3 或 a=-5(舍),所以 B C=3.故选D.解法二:在 A B C 中,由正弦定理得 s i n=s i n,即1 9s i n 1 2 0=2s i n,所以 s i n C=2 321 9=31 9,又 0 C 6 0,所以 c o sC=1 s i n2=41 9,所以 s i n A=s i n(B+C)=s i n B c o s C+c o s B s i n C=3241 9+1231 9=3 32 1 9,所以B C=1 9 s i n s i n=1 9 3 32 1 932=3.4.(2 0 1 8

5、 课标,理 9,文 1 1,5 分)A B C 的内 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 A B C 的面积为2+2 24,则C=()A.2B.3C.4D.6答案 C 根据余弦定理得 a2+b2-c2=2 a b c o s C,因为 S A B C=2+2 24,所以 S A B C=2 c o s 4,又 S A B C=12a b s i n C,所以 t a n C=1,因为 C(0,),所以 C=4.故选 C.5.(2 0 1 6 课标文,4,5 分)A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a=5,c=2,c o s A=23,则 b=()A.2 B

6、.3 C.2 D.3答案 D 由余弦定理得 5=22+b2-2 2 b c o s A,c o s A=23,3 b2-8 b-3=0,b=3=13舍去.故选 D.评析 本题考查了余弦定理的应用,考查了方程的思想方法.6.(2 0 1 6 山东文,8,5 分)A B C 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.已知 b=c,a2=2 b2(1-s i n A).则 A=()A.3 4B.3C.4D.6答案 C 在A B C 中,由 b=c,得 c o s A=2+2 22=2 2 22 2,又 a2=2 b2(1-s i n A),所以 c o s A=s i n A,即 t a n A

7、=1,又知 A(0,),所以 A=4,故选 C.评析 恰当运用余弦定理的变形形式是求解本题的关键.7.(2 0 1 5 广东文,5,5 分)设A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=2,c=2 3,c o s A=32且 b c,则b=()A.3 B.2 2 C.2 D.3答案 C 由余弦定理 b2+c2-2 b c c o s A=a2,得 b2-6 b+8=0,解得 b=2 或 b=4,b c=2 3,b=2.选 C.8.(2 0 1 4 课标理,4,5 分)钝角三角形 A B C 的面积是12,A B=1,B C=2,则 A C=()A.5 B.5 C.2 D.

8、1答案 B S A B C=12A B B C s i n B=12 1 2 s i n B=12,s i n B=22,B=4 5 或 1 3 5.若 B=4 5,则由余弦定理得 A C=1,A B C 为直角三角形,不符合题意,因此 B=1 3 5,由余弦定理得 A C2=A B2+B C2-2 A B B C c o s B=1+2-2 1 2 22=5,A C=5.故选 B.9.(2 0 1 3 课标文,4,5 分)A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B=6,C=4,则A B C 的面积为()A.2 3+2 B.3+1 C.2 3-2 D.3-1答案

9、 B 由s i n=s i n 及已知条件得 c=2 2.又 s i n A=s i n(B+C)=1222+3222=2+64.从而 S A B C=12b c s i n A=12 2 2 2 2+64=3+1.故选 B.1 0.(2 0 1 3 课标 文,1 0,5 分)已知锐角A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,2 3 c o s2A+c o s 2 A=0,a=7,c=6,则 b=()A.1 0 B.9 C.8 D.5答案 D 由 2 3 c o s2A+c o s 2 A=0 得 2 5 c o s2A=1,因为 A 为锐角,所以 c o s A=15.又由

10、a2=b2+c2-2 b c c o s A 得 4 9=b2+3 6-1 25b,整理得 5 b2-1 2 b-6 5=0,解得 b=-1 35(舍)或 b=5,故选 D.1 1.(2 0 1 6 课标,8,5 分)在A B C 中,B=4,B C 边上的高等于13B C,则 c o s A=()A.3 1 01 0B.1 01 0C.-1 01 0D.-3 1 01 0答案 C 过 A 作 A D B C,垂足为 D,由题意知 A D=B D=13B C,则 C D=23B C,A B=23B C,A C=53B C,在A B C 中,由余弦定理的推论可知,c o s B A C=2+A

11、2 B 22=29B 2+59B 2 B 22 23B C 53B C=-1 01 0,故选 C.1 2.(2 0 2 1 全国乙理,1 5,5 分)记 A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为 3,B=6 0,a2+c2=3 a c,则b=.答案 2 2解题指导:首先由面积公式得 a c 的值,再借助余弦定理进行边角的转化,从而得到 b 与 a c 的关系.解析 由 S A B C=12 s i n=34=3 得 a c=4.由 b2=a2+c2-2 a c c o s B=a2+c2-a c,结合 a2+c2=3 a c 得到 b2=2 a c=8,b=2 2.方法

12、总结:解三角形问题时,若条件中含有边的二次式和角,则考虑用余弦定理;若条件中含有角或边的一次式,则考虑用正弦定理;特征不明显时,两个可能都用.1 3.(2 0 2 1 浙江,1 4,6 分)在 A B C 中,B=6 0,A B=2,M 是 B C 的中点,A M=2 3,则 A C=,c o s M A C=.答案 2 1 3;2 3 91 3解题指导:解三角形的关键在于锁定已知的边长和角较多的三角形,抓住“边长”,求 A C 的长时,在不同三角形中分别用两次余弦定理即可;求M A C 的余弦值时,在 A C M 中直接利用余弦定理可得结果.解析 由题意知在 A B M 中,A B=2,B=

13、6 0,A M=2 3,由余弦定理得 A M2=A B2+B M2-2 A B B M c o s B,即 1 2=4+B M2-4 B M 12,解得 B M=4 或 B M=-2(舍),M 为 B C 的中点,B M=M C=4,B C=8,在 A B C 中,由余弦定理知 A C2=A B2+B C2-2 A B B C c o s B,A C2=4+6 4-2 2 8 12=5 2,A C=2 1 3.在 A M C 中,由余弦定理可得c o s M A C=2+2 22=1 2+5 2 1 62 2 3 2 1 3=2 3 91 3.一题多解 过 A 作 A H B C 交 B C

14、于 H,A B=2,B=6 0,A H=3,B H=1,又A M=2 3,H M=3,B M=M C=4,A C=2+2=2+(+)2=3+4 9=2 1 3.在 A M C 中,由余弦定理可得c o s M A C=2+2 22=1 2+5 2 1 62 2 3 2 1 3=2 3 91 3.1 4.(2 0 1 6 课标,1 3,5 分)A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 c o s A=45,c o s C=51 3,a=1,则b=.答案2 11 3解析 由已知可得 s i n A=35,s i n C=1 21 3,则 s i n B=s i n(A+C)=3

15、551 3+451 21 3=6 36 5,再由s i n=s i n b=1 6 36 535=2 11 3.思路分析 利用同角三角函数的基本关系求出 s i n A 与 s i n C 的值,进而由 s i n B=s i n(A+C)求出 s i n B 的值,再利用正弦定理即可求出 b 的值.1 5.(2 0 1 9 课标文,1 5,5 分)A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 b s i n A+a c o s B=0,则B=.答案34解析 本题考查正弦定理及三角函数求值,考查的核心素养为数学运算.在A B C 中,由已知及正弦定理得 s i n B s i

16、 n A+s i n A c o s B=0,s i n A 0,s i n B+c o s B=0,即 t a n B=-1,又 B(0,),B=34.1 6.(2 0 1 7 课标文,1 5,5 分)A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 C=6 0,b=6,c=3,则A=.答案 7 5 解析 由正弦定理得3s i n 6 0=6s i n,s i n B=22,又 c b,B=4 5,A=7 5.易错警示 本题求得 s i n B=22后,要注意利用 b c 确定 B=4 5,从而求得 A=7 5.1 7.(2 0 1 7 课标文,1 6,5 分)A B C 的内

17、角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2 b c o s B=a c o s C+c c o s A,则B=.答案 6 0 解析 解法一:由正弦定理得 2 s i n B c o s B=s i n A c o s C+s i n C c o s A,即 s i n 2 B=s i n(A+C),即 s i n 2 B=s i n(1 8 0-B),可得 B=6 0.解法二:由余弦定理得 2 b 2+2 22=a 2+2 22+c 2+2 22,即 b 2+2 2=b,所以 a2+c2-b2=a c,所以 c o s B=12,又 0 B 1 8 0,所以 B=6 0.思路分析 利用正

18、弦定理或余弦定理将边角统一后求解.1 8.(2 0 1 6 北京文,1 3,5 分)在A B C 中,A=2 3,a=3 c,则=.答案 1解析 在A B C 中,a2=b2+c2-2 b c c o s A,将A=2 3,a=3 c 代入,可得(3 c)2=b2+c2-2 b c 12,整理得 2 c2=b2+b c.c 0,等式两边同时除以 c2,得 2=22+2,即 2=2+.令 t=(t 0),有 2=t2+t,即 t2+t-2=0,解得 t=1 或 t=-2(舍去),故=1.思路分析 本题先由余弦定理列出关于 b、c 的方程,再将方程转化为以为变元的方程求解.评析 本题考查余弦定理的

19、应用及换元思想的应用,属中档题.1 9.(2 0 1 5 福建理,1 2,4 分)若锐角A B C 的面积为 1 0 3,且 A B=5,A C=8,则 B C 等于.答案 7解析 设内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.由已知及12b c s i n A=1 0 3 得 s i n A=32,因为 A 为锐角,所以A=6 0,c o s A=12.由余弦定理得 a2=b2+c2-2 b c c o s A=2 5+6 4-2 4 0 12=4 9,故 a=7,即 B C=7.评析 本题考查了三角形的面积和解三角形,利用三角形的面积求出 c o s A 是求解关键.2 0.(2 0 1

20、 5 安徽文,1 2,5 分)在A B C 中,A B=6,A=7 5,B=4 5,则 A C=.答案 2解析 由已知及三角形内角和定理得C=6 0,由 s i n=s i n 知 A C=s i n s i n=6 s i n 4 5 s i n 6 0=2.2 0.(2 0 1 5 福建文,1 4,4 分)若A B C 中,A C=3,A=4 5,C=7 5,则 B C=.答案 2解析 B=1 8 0-4 5-7 5=6 0.由正弦定理得 s i n=s i n,可得 B C=2.2 1.(2 0 1 5 重庆文,1 3,5 分)设 A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c

21、,且 a=2,c o s C=-14,3 s i n A=2 s i n B,则c=.答案 4解析 由 3 s i n A=2 s i n B 及正弦定理,得 3 a=2 b,又 a=2,所以 b=3,故 c2=a2+b2-2 a b c o s C=4+9-2 2 3 14=1 6,所以 c=4.2 2.(2 0 1 5 北京理,1 2,5 分)在A B C 中,a=4,b=5,c=6,则s i n 2 s i n=.答案 1解析 在A B C 中,由余弦定理的推论可得 c o s A=2+2 22=52+62 422 5 6=34,由正弦定理可知s i n 2 s i n=2 s i n

22、c o s s i n=2 c o s=2 4 346=1.评析 本题主要考查正弦定理、余弦定理的推论以及二倍角公式的应用,考查学生的运算求解能力和知识的应用转化能力.2 3.(2 0 1 4 课标理,1 6,5 分)已知 a,b,c 分别为A B C 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(s i n A-s i nB)=(c-b)s i n C,则A B C 面积的最大值为.答案 3解析 因为 a=2,所以(2+b)(s i n A-s i n B)=(c-b)s i n C 可化为(a+b)(s i n A-s i n B)=(c-b)s i n C,由正弦定理可得(a+b)

23、(a-b)=(c-b)c,即 b2+c2-a2=b c,由余弦定理可得 c o s A=2+2 22=2=12,又 0 A,故 A=3.因为c o s A=12=2+2 42 2 42,所以 b c 4,当且仅当 b=c 时取等号.由三角形面积公式知 S A B C=12b c s i nA=12b c 32=34b c 3,故A B C 面积的最大值为 3.评析 本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式的应用,考查学生对知识的综合应用能力以及运算求解能力.能把 2 代换成 a 是正确解决本题的关键.2 4.(2 0 1 1 课标文,1 5,5 分)A B C 中,B=1 2

24、0,A C=7,A B=5,则A B C 的面积为.答案1 5 34解析 由余弦定理 b2=a2+c2-2 a c c o s B,及已知条件得4 9=a2+2 5-2 5 a c o s 1 2 0.整理得 a2+5 a-2 4=0,解得 a=3 或 a=-8(舍).S A B C=12a c s i n B=12 3 5 s i n 1 2 0=1 5 34.评析 本题考查余弦定理、解三角形等知识,根据余弦定理正确求出 a 的值是解答本题的关键.2 5.（2 0 2 3 全国乙理，1 8）在 A B C 中，已知 1 2 0 B A C，2 A B，1 A C.（1）求 s i n A B

25、 C；（2）若 D 为 B C 上一点，且 9 0 B A D，求 A D C 的面积.【解析】由余弦定理可得：2 2 2 22 c o s B C a b c b c A 4 1 2 2 1 c o s 1 2 0 7，则7 B C，2 2 27 4 1 5 7c o s2 1 4 2 2 7a c bBa c，225 21s i n 1 c os 128 14B B.（2）由三角形面积公式可得1s i n 90241s i n 302A B DA C DA B A DSSA C A D，则1 1 1 32 1 s i n 1 2 05 5 2 1 0A C D A B CS S.2 6.（

26、2 0 2 3 全国甲文，1 7）记 A B C 的内角,A B C 的对边分别为,a b c，已知2 2 22c o sb c aA（1）求 b c；（2）若c o s c o s1c o s c o sa B b A ba B b A c，求 A B C 面积【解析】（1）因为2 2 22 c os a b c bc A，所以2 2 22 c os2 2c os c osb c a bc AbcA A，解得：1 b c（2）由正弦定理可得c o s c o s s i n c o s s i n c o s s i nc o s c o s s i n c o s s i n c o s

27、s i na B b A b A B B A Ba B b A c A B B A C s i n s i n s i ns i n1s i n s i n s i nA B A B BBA B A B A B，变形可得：s i n s i n s i n A B A B B，即 2 c o s s i n s i n A B B，而 0 s i n 1 B，所以1c o s2A，又 0 A，所以3s i n2A，故 A B C 的面积为1 1 3 3s i n 12 2 2 4A B CS bc A 2 7.(2 0 2 0 新高考,1 7,1 0 分)在a c=3,c s i n A=3,

28、c=3 b 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求 c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在 A B C,它的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 s i n A=3 s i n B,C=6,?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析 方案一:选条件.由 C=6和余弦定理得2+2 22=32.由 s i n A=3 s i n B 及正弦定理得 a=3 b.于是3 2+2 22 3 2=32,由此可得 b=c.由a c=3,解得 a=3,b=c=1.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时 c=1.方案二:选条件.由 C=6和余弦定

29、理得2+2 22=32.由 s i n A=3 s i n B 及正弦定理得 a=3 b.于是3 2+2 22 3 2=32,由此可得 b=c,B=C=6,A=2 3.由c s i n A=3,所以 c=b=2 3,a=6.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时 c=2 3.方案三:选条件.由 C=6和余弦定理得2+2 22=32.由 s i n A=3 s i n B 及正弦定理得 a=3 b.于是3 2+2 22 3 2=32,由此可得 b=c.由c=3 b,与 b=c 矛盾.因此,选条件时问题中的三角形不存在.2 8.(2 0 2 2 浙江,1 8,1 4 分)在 A B C 中,角 A

30、,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 4 a=5 c,c o s C=35.(1)求 s i n A 的值;(2)若 b=1 1,求 A B C 的面积.解析(1)由于 c o s C=35,s i n C 0,则 s i n C=45.由已知及正弦定理得 4 s i n A=5 s i n C,则 s i n A=55.(2)解法一:由 s i n C=45=55,c o s C=35 0,得 A C 2,c o s A=2 55.s i n B=s i n(A+C)=s i n A c o s C+c o s A s i n C=1 1 52 5,由s i n=s i n 得 a=s

31、 i n s i n=5,故 A B C 的面积 S=12 s i n=12 5 1 1 45=2 2.解法二:由 c o s C=35=2+2 22,得6 65a=a2+1 2 1-c2,将 c=45a 代入上式整理得 a2+6 a-5 5=0,解得 a=5 或 a=-1 1(舍),A B C 的面 积S=12 s i n=12 5 1 1 45=2 2.2 9.(2 0 2 1 新高考,1 9,1 2 分)记 A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 b2=a c,点 D 在边 A C 上,B D s i nA B C=a s i n C.(1)证明:B D=b;(2

32、)若 A D=2 D C,求 c o s A B C.解题指导:(1)利用正弦定理将题干中的边角关系转化为边之间的关系是解题突破口.(2)在不同的三角形中利用余弦定理探究边长间的关系是解决本题第二问的关键.解析(1)证明:在 A B C 中,由 B D s i n A B C=a s i n C 及正弦定理可得 B D b=a c,又 b2=a c,所以 B D b=b2,故B D=b.(2)由 A D=2 D C 得 A D=23b,D C=3,在 A B D 中,c o s A=2+2 22=492+2 22 23=259243,在 A B C 中,c o s A=2+2 22=2+2 2

33、2.故259243=2+2 22,化简得 3 c2-1 1 b2+6 a2=0,又 b2=a c,所以 3 c2-1 1 a c+6 a2=0,即(c-3 a)(3 c-2 a)=0,所以 c=3 a 或 c=23a.当 c=3 a 时,b2=a c=3 a2,所以 b=3 a,此时 a+b c,故 a,b,c 构不成三角形;当 c=23a 时,b2=a c=23a2,所以 b=63a,此时 a,b,c 可以构成三角形,故 c=23a,b=63a,所以在 A B C 中,c o s A B C=2+2 22=2+4922322 23=71 2.3 0.(2 0 2 1 北京,1 6,1 3 分

34、)已知在 A B C 中,c=2 b c o s B,C=2 3.(1)求 B 的大小;(2)在三个条件中选择一个作为已知条件,使 A B C 存在且唯一确定,并求 B C 边上的中线的长度.c=2 b;A B C 的周长为 4+2 3;S A B C=3 34.解析(1)由 c=2 b c o s B 及正弦定理得,s i n C=2 s i n B c o s B,即 s i n C=s i n 2 B,C=23,0 B 3,s i n 2 B=32,2 B=3,B=6.(2)由(1)可知三角形三内角均可求出,只有知道边长,三角形才能被唯一确定,因此选或.如图所示,设 D为 B C 的中点

35、,则 A D 为 B C 边的中线.若选,A B C 的周长为 4+2 3.c=3 b,a=b,a+b+c=b+b+3=2+3=4+2 3,b=2,则 C D=1,在 A C D 中,由余弦定理得 A D2=A C2+C D2-2 A C C D c o s C=22+12-2 1 2 12=7,A D=7,因此 B C 边上的中线长为 7.若选,S A B C=3 34.S A B C=12 s i n=34 2=3 34,即 b=3,则 C D=32,在 A C D 中,由余弦定理得 A D2=A C2+C D2-2 A C C D c o sC=3+34 2 3 32 12=2 14,A

36、 D=2 12.因此 B C 边上的中线长为2 12.3 1.(2 0 2 2 北京,1 6,1 3 分)在 A B C 中,s i n 2 C=3 s i n C.(1)求C;(2)若 b=6,且 A B C 的面积为 6 3,求 A B C 的周长.解析(1)s i n 2 C=3 s i n C,2 s i n C c o s C=3 s i n C,又 s i n C 0,c o s C=32.C(0,),C=6.(2)S A B C=12 s i n=12 6 s i n6=32=6 3,a=4 3.由余弦定理得 c2=(4 3)2+62-2 4 3 6 32=1 2,c=2 3,A

37、 B C 的周长为 a+b+c=6+6 3.3 2.(2 0 1 7 课标理,1 7,1 2 分)A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 s i n(A+C)=8 s i n22.(1)求 c o s B;(2)若 a+c=6,A B C 的面积为 2,求 b.解析 本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.(1)由题设及 A+B+C=得 s i n B=8 s i n22,故 s i n B=4(1-c o s B).上式两边平方,整理得 1 7 c o s2B-3 2 c o s B+1 5=0,解得 c o s B=1(舍去),c o s B=1 51 7.(2)

38、由 c o s B=1 51 7得 s i n B=81 7,故 S A B C=12a c s i n B=41 7a c.又 S A B C=2,则 a c=1 72.由余弦定理及 a+c=6 得 b2=a2+c2-2 a c c o s B=(a+c)2-2 a c(1+c o s B)=3 6-2 1 72 1+1 51 7=4.所以 b=2.解后反思 在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本题中b2=a2+c2-2 a c c o s B=(a+c)2-2 a c(1+c o s B)中的转化就说明了这一点.3 3.(2 0 1 7 北京理,1 5,1

39、3 分)在 A B C 中,A=6 0,c=37a.(1)求 s i n C 的值;(2)若 a=7,求A B C 的面积.解析 本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.(1)在 A B C 中,因为 A=6 0,c=37a,所以由正弦定理得 s i n C=s i n=3732=3 31 4.(2)因为 a=7,所以 c=37 7=3.由余弦定理 a2=b2+c2-2 b c c o s A 得 72=b2+32-2 b 3 12,解得 b=8 或 b=-5(舍).所以A B C 的面积 S=12b c s i n A=12 8 3 32=6 3.解后反思 根据所给等式的结构特点,

40、利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积.3 4.(2 0 1 7 山东文,1 7,1 2 分)在A B C 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 b=3,=-6,S A B C=3,求 A 和a.解析 因为=-6,所以 b c c o s A=-6,又 S A B C=3,所以 b c s i n A=6,因此 t a n A=-1,又 0 A 0).则 a=k s i n A,b=k s i n B,c=k s i n C.代入c o s+c o s=s i n 中,有c o s s i n+c o s s i n=s i n

41、 s i n,变形可得s i n A s i n B=s i n A c o s B+c o s A s i n B=s i n(A+B).在A B C 中,由 A+B+C=,有 s i n(A+B)=s i n(-C)=s i n C,所以 s i n A s i n B=s i n C.(2)由已知,b2+c2-a2=65b c,根据余弦定理,有 c o s A=2+2 22=35.所以 s i n A=1 c o s2A=45.由(1),s i n A s i n B=s i n A c o s B+c o s A s i n B,所以45s i n B=45c o s B+35s i

42、n B,故 t a n B=s i n c o s=4.方法总结 解三角形中,要根据题干条件恰当选取正、余弦定理,当涉及边较多时,可考虑余弦定理,当涉及角较多时,可考虑正弦定理.A B C 中,也常用到 s i n(A+B)=s i n C.评析 本题考查了正、余弦定理及同角三角函数的基本关系式,根据条件恰当选择正、余弦定理是解题的关键.3 6.(2 0 1 6 浙江文,1 6,1 4 分)在A B C 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c=2 a c o s B.(1)证明:A=2 B;(2)若 c o s B=23,求 c o s C 的值.解析(1)由正弦定理得

43、s i n B+s i n C=2 s i n A c o s B,故 2 s i n A c o s B=s i n B+s i n(A+B)=s i n B+s i n A c o s B+c o s A s i n B,于是 s i n B=s i n(A-B).又 A,B(0,),故 0 A-B,所以,B=-(A-B)或 B=A-B,因此 A=(舍去)或 A=2 B,所以,A=2 B.(2)由 c o s B=23得 s i n B=53,c o s 2 B=2 c o s2B-1=-19,故 c o s A=-19,s i n A=4 59,c o s C=-c o s(A+B)=-

44、c o s A c o s B+s i n A s i n B=2 22 7.评析 本题主要考查正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.3 7.(2 0 1 6 课标理,1 7,1 2 分)A B C 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2 c o s C(a c o s B+b c o s A)=c.(1)求 C;(2)若 c=7,A B C 的面积为3 32,求A B C 的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2 c o s C(s i n A c o s B+s i n B c o s A)=s i n C,(2 分)2 c o s C s i n(A+B)=s

45、i n C.故 2 s i n C c o s C=s i n C.(4 分)可得 c o s C=12,所以 C=3.(6 分)(2)由已知,得12a b s i n C=3 32.又 C=3,所以 a b=6.(8 分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2 a b c o s C=7.故 a2+b2=1 3,从而(a+b)2=2 5.(1 0 分)所以A B C 的周长为 5+7.(1 2 分)解后反思 本题属解三角形问题中的常见题型,要先利用正弦、余弦定理,将已知中的“边”或“角”的关系式,转化为只有“边”或只有“角”的方程形式,进而通过三角函数或代数知识求解方程.解题中要注意三角形的一些

46、性质应用,例如:s i n(A+B)=s i n C,S A B C=12a b s i n C.评析 本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,同时,对三角恒等变换的公式也有所考查.在解题过程中,要注意先将已知条件中的“边”与“角”的关系,通过正弦定理转化为“角”之间的关系,再运用三角函数知识求解.3 8.(2 0 1 6 浙江理,1 6,1 4 分)在A B C 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c=2 a c o s B.(1)证明:A=2 B;(2)若 A B C 的面积 S=24,求角 A 的大小.解析(1)由正弦定理得 s i n B+s i n

47、C=2 s i n A c o s B,故 2 s i n A c o s B=s i n B+s i n(A+B)=s i n B+s i n A c o s B+c o s A s i n B,于是 s i n B=s i n(A-B).又 A,B(0,),故 0 A-B,所以,B=-(A-B)或 B=A-B,因此 A=(舍去)或 A=2 B,所以,A=2 B.(2)由 S=24得12a b s i n C=24,故有 s i n B s i n C=12s i n 2 B=s i n B c o s B,因 s i n B 0,得 s i n C=c o s B.又 B,C(0,),所以

48、 C=2 B.当 B+C=2时,A=2;当 C-B=2时,A=4.综上,A=2或 A=4.思路分析(1)由正弦定理及两角和的正弦公式将已知条件转化为A 与B 的三角函数关系,利用 A,B 的范围诱导公式得出A 与B 的关系;(2)利用三角形的面积公式将已知条件转化为C 与B 的三角函数关系,再由B,C 的范围及诱导公式求A 的大小.评析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.3 9.(2 0 1 5 课标理,1 7,1 2 分)A B C 中,D 是 B C 上的点,A D 平分B A C,A B D 面积是A D C 面积的 2 倍.(1)求

49、s i n s i n;(2)若 A D=1,D C=22,求 B D 和 A C 的长.解析(1)S A B D=12A B A D s i n B A D,S A D C=12A C A D s i n C A D.因为 S A B D=2 S A D C,B A D=C A D,所以 A B=2 A C.由正弦定理可得s i n s i n=12.(2)因为 S A B D S A D C=B D D C,所以 B D=2.在A B D 和A D C 中,由余弦定理知A B2=A D2+B D2-2 A D B D c o s A D B,A C2=A D2+D C2-2 A D D C

50、 c o s A D C.故 A B2+2 A C2=3 A D2+B D2+2 D C2=6.由(1)知 A B=2 A C,所以 A C=1.评析 本题考查正弦定理,余弦定理的应用,以及三角形的面积公式.属常规题,中等偏易.4 0.(2 0 1 5 课标文,1 7,1 2 分)已知 a,b,c 分别为A B C 内角 A,B,C 的对边,s i n2B=2 s i n A s i n C.(1)若 a=b,求 c o s B;(2)设 B=9 0,且 a=2,求A B C 的面积.解析(1)由题设及正弦定理可得 b2=2 a c.又 a=b,可得 b=2 c,a=2 c.由余弦定理可得 c