数学分析教案_(华东师大版)第十七章__多元函数微分学_中学教育-中考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第十七章 多元函数微分学 教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。教学时数：18 学时 1 可微性 一 可微性与全微分：1 可微性：由一元函数引入.亦可写为,时.2 全微分:例 1 考查函数 在点 处的可微性.P107例 1 二.偏导数:1.偏导数的定义、记法:2.偏导数的几何意义:P109 图案 171.学习必备 欢迎下载 3.求偏导数:例 2,3,4.P

2、109110 例 2,3,4.例 5 .求偏导数.例 6 .求偏导数.例 7 .求偏导数,并求.例 8 .求 和.解 =,=.例 9 证明函数 在点 连续,并求 和.证 .在点 连续.,函数表达式然后解决相应问题直表法已经明确函数类型利用待定系数法构建函数表达式待定系数法利用问题中各个量之间的关系变形推导所求两个变量之间的函数关系式等是变形法二重点题型根据各类信息猜测函数类型为一次函数问题特点当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时可以根据二者之间的关系直接写出关系式然后解决问题某办公用品销售商店推出两种优惠方法购个书包赠送支水性笔购书包和水性笔一律折优惠书包每个定价元水性笔每支定价数关系式对

3、的取值情况进行分析说明哪种优惠方法购买比较便宜小丽和同学需买这种书包个和水性笔支请你设计怎样购买最经济某实验中学组织学生到距学校千米的光明科技馆去参观学生王琳因事没能乘上学校的校车于是准备在学学习必备 欢迎下载 不存在.三.可微条件:1.必要条件:Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微,和 存在,且 .(证)由于,微分记为 .定理 1 给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件,但不充分.例 10 考查函数 在原点的可微性.1P110 例 5.2.充分条件:函数表达式然后解决相应问题直表法已经明确函数类型利用待定系数法构建函数表达式待定系数法利用问题中各个量之间的关系变形

4、推导所求两个变量之间的函数关系式等是变形法二重点题型根据各类信息猜测函数类型为一次函数问题特点当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时可以根据二者之间的关系直接写出关系式然后解决问题某办公用品销售商店推出两种优惠方法购个书包赠送支水性笔购书包和水性笔一律折优惠书包每个定价元水性笔每支定价数关系式对的取值情况进行分析说明哪种优惠方法购买比较便宜小丽和同学需买这种书包个和水性笔支请你设计怎样购买最经济某实验中学组织学生到距学校千米的光明科技馆去参观学生王琳因事没能乘上学校的校车于是准备在学学习必备 欢迎下载 Th 2 若函数 的偏导数在的某邻域内存在,且 和 在点 处连续.则函数 在点 可微.(证

5、)P111 Th 3 若 在点 处连续,点 存在,则函数在点 可微.证 .即 在点 可微.要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件.例 11 验证函数 在点 可微,但 和 在点 处不连续.(简证,留为作业)证 函数表达式然后解决相应问题直表法已经明确函数类型利用待定系数法构建函数表达式待定系数法利用问题中各个量之间的关系变形推导所求两个变量之间的函数关系式等是变形法二重点题型根据各类信息猜测函数类型为一次函数问题特点当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时可以根据二者之间的关系直接写出关系式然后解决问题某办公用品销售商店推出两种优惠方法购个书包赠送支水性笔购书包和水性笔一律折优惠书包每个定

6、价元水性笔每支定价数关系式对的取值情况进行分析说明哪种优惠方法购买比较便宜小丽和同学需买这种书包个和水性笔支请你设计怎样购买最经济某实验中学组织学生到距学校千米的光明科技馆去参观学生王琳因事没能乘上学校的校车于是准备在学学习必备 欢迎下载 因此 ,即,在点 可微,.但 时,有 ,沿方向 不存在,沿方向 极限 不存在;又 时,因此,不存在,在点 处不连续.由 关于 和 对称,也在点 处不连续.四.中值定理:Th 4 设函数 在点 的某邻域内存在偏导数.若 属于该邻域,则存在 和,使得 .(证)例 12 设在区域D内.证明在D内.五.连续、偏导数存在及可微之间的关系：六.可微性的几何意义与应用：函

7、数表达式然后解决相应问题直表法已经明确函数类型利用待定系数法构建函数表达式待定系数法利用问题中各个量之间的关系变形推导所求两个变量之间的函数关系式等是变形法二重点题型根据各类信息猜测函数类型为一次函数问题特点当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时可以根据二者之间的关系直接写出关系式然后解决问题某办公用品销售商店推出两种优惠方法购个书包赠送支水性笔购书包和水性笔一律折优惠书包每个定价元水性笔每支定价数关系式对的取值情况进行分析说明哪种优惠方法购买比较便宜小丽和同学需买这种书包个和水性笔支请你设计怎样购买最经济某实验中学组织学生到距学校千米的光明科技馆去参观学生王琳因事没能乘上学校的校车于是准备

8、在学学习必备 欢迎下载 1 可微性的几何意义：切平面的定义.P113.Th 5 曲面 在点 存在不平行于 轴的切平面的充要条件是函数 在点 可微.(证略)2.切平面的求法:设函数 在点 可微，则曲面 在点 处的切平面方程为（其中 ），法线方向数为 ，法线方程为 .例 13 试求抛物面 在点 处的切平面方程和法 线方程.P115例 6 3.作近似计算和误差估计:与一元函数对照,原理.例 14 求 的近似值.P115例 7 例 15 应用公式 计算某三角形面积.现测得,.若测量 的误差为 的误差为.求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限.P116.2 复合函数微分法 函数表达式然后解

9、决相应问题直表法已经明确函数类型利用待定系数法构建函数表达式待定系数法利用问题中各个量之间的关系变形推导所求两个变量之间的函数关系式等是变形法二重点题型根据各类信息猜测函数类型为一次函数问题特点当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时可以根据二者之间的关系直接写出关系式然后解决问题某办公用品销售商店推出两种优惠方法购个书包赠送支水性笔购书包和水性笔一律折优惠书包每个定价元水性笔每支定价数关系式对的取值情况进行分析说明哪种优惠方法购买比较便宜小丽和同学需买这种书包个和水性笔支请你设计怎样购买最经济某实验中学组织学生到距学校千米的光明科技馆去参观学生王琳因事没能乘上学校的校车于是准备在学学习必备

10、欢迎下载 简介二元复合函数:.以下列三种情况介绍复合线路图 ;,;.一.链导法则:以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数 在点 D可微,函数 在点 可微,则复合函数 在点 可微,且 ,.(证)P118 称这一公式为链导公式.该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”或“并联加，串联乘”）来概括.对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串 联乘”的原则可写出相应的链导公式.函数表达式然后解决相应问题直表法已经明确函数类型利用待定系数法构建函数表达式待定系数法利用问题中各个量之间的关系变形推导所求两个变量之间的函数关系式等是变形法二重点题型根据各类信息猜

11、测函数类型为一次函数问题特点当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时可以根据二者之间的关系直接写出关系式然后解决问题某办公用品销售商店推出两种优惠方法购个书包赠送支水性笔购书包和水性笔一律折优惠书包每个定价元水性笔每支定价数关系式对的取值情况进行分析说明哪种优惠方法购买比较便宜小丽和同学需买这种书包个和水性笔支请你设计怎样购买最经济某实验中学组织学生到距学校千米的光明科技馆去参观学生王琳因事没能乘上学校的校车于是准备在学学习必备 欢迎下载 链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数.但对外函数的可微性假设不能减弱.对外 元,内 元,有 ，.外 元内一元的复合函数为一元函数.特称该复合函数的导数

12、为全导数.例 1 .求 和.P120例 1 例 2 ,.求 和.例 3 ,求 和.例 4 设函数可微.求、和.例 5 用链导公式计算下列一元函数的导数:;.P121例 4 函数表达式然后解决相应问题直表法已经明确函数类型利用待定系数法构建函数表达式待定系数法利用问题中各个量之间的关系变形推导所求两个变量之间的函数关系式等是变形法二重点题型根据各类信息猜测函数类型为一次函数问题特点当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时可以根据二者之间的关系直接写出关系式然后解决问题某办公用品销售商店推出两种优惠方法购个书包赠送支水性笔购书包和水性笔一律折优惠书包每个定价元水性笔每支定价数关系式对的取值情况进行

13、分析说明哪种优惠方法购买比较便宜小丽和同学需买这种书包个和水性笔支请你设计怎样购买最经济某实验中学组织学生到距学校千米的光明科技馆去参观学生王琳因事没能乘上学校的校车于是准备在学学习必备 欢迎下载 例 6 设函数 可微.在极坐标变换 下,证明 .P120例 2 例 7 设函数 可微,.求证 .二.复合函数的全微分:全微分和全微分形式不变性.例 8 .利用全微分形式不变性求,并由此导出 和.P122 例 5 3 方向导数和梯度 一 方向导数：1 方向导数的定义：定义 设三元函数 在点 的某邻域 内有定义.为从点 出发的射线.为 上且含于 内的任一点,以表示 与 两点间的距离.若极限 函数表达式然

14、后解决相应问题直表法已经明确函数类型利用待定系数法构建函数表达式待定系数法利用问题中各个量之间的关系变形推导所求两个变量之间的函数关系式等是变形法二重点题型根据各类信息猜测函数类型为一次函数问题特点当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时可以根据二者之间的关系直接写出关系式然后解决问题某办公用品销售商店推出两种优惠方法购个书包赠送支水性笔购书包和水性笔一律折优惠书包每个定价元水性笔每支定价数关系式对的取值情况进行分析说明哪种优惠方法购买比较便宜小丽和同学需买这种书包个和水性笔支请你设计怎样购买最经济某实验中学组织学生到距学校千米的光明科技馆去参观学生王琳因事没能乘上学校的校车于是准备在学学习必

15、备 欢迎下载 存在,则称此极限为函数 在点 沿方向 的方向导数,记为 或 、.对二元函数 在点,可仿此定义方向导数.易见,、和 是三元函数 在点 分别沿 轴正向、轴 正向和 轴正向的方向导数.例 1 =.求 在点 处沿 方向的方向导数,其中 为方向;为从点 到点 的方向.解 为方向的射线为.即 .,.因此,从点 到点 的方向 的方向数为 方向的射线为 .,;函数表达式然后解决相应问题直表法已经明确函数类型利用待定系数法构建函数表达式待定系数法利用问题中各个量之间的关系变形推导所求两个变量之间的函数关系式等是变形法二重点题型根据各类信息猜测函数类型为一次函数问题特点当所给问题中的两个变量间的关系

16、非常明了时可以根据二者之间的关系直接写出关系式然后解决问题某办公用品销售商店推出两种优惠方法购个书包赠送支水性笔购书包和水性笔一律折优惠书包每个定价元水性笔每支定价数关系式对的取值情况进行分析说明哪种优惠方法购买比较便宜小丽和同学需买这种书包个和水性笔支请你设计怎样购买最经济某实验中学组织学生到距学校千米的光明科技馆去参观学生王琳因事没能乘上学校的校车于是准备在学学习必备 欢迎下载.因此,2.方向导数的计算:Th 若函数 在点 可微,则 在点 处沿任一方向 的方向导数都存在,且 +,其中、和 为 的方向余弦.(证)P125 对二元函数,+,其中 和 是 的方向角.註 由+=,可见,为向量,在方

17、向 上的投影.例 2 (上述例 1)解 的方向余弦为=,=,=.函数表达式然后解决相应问题直表法已经明确函数类型利用待定系数法构建函数表达式待定系数法利用问题中各个量之间的关系变形推导所求两个变量之间的函数关系式等是变形法二重点题型根据各类信息猜测函数类型为一次函数问题特点当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时可以根据二者之间的关系直接写出关系式然后解决问题某办公用品销售商店推出两种优惠方法购个书包赠送支水性笔购书包和水性笔一律折优惠书包每个定价元水性笔每支定价数关系式对的取值情况进行分析说明哪种优惠方法购买比较便宜小丽和同学需买这种书包个和水性笔支请你设计怎样购买最经济某实验中学组织学生到

18、距学校千米的光明科技馆去参观学生王琳因事没能乘上学校的校车于是准备在学学习必备 欢迎下载 =1,=,=.因此,=+=.的方向余弦为 =,=,=.因此,=.可微是方向导数存在的充分条件,但不必要.例 3 P126.二.梯度(陡度):1.梯度的定义:,.|=.易见,对可微函数,方向导数是梯度在该方向上的投影.2.梯度的几何意义:对可微函数,梯度方向是函数变化最快的方向.这是因为|.函数表达式然后解决相应问题直表法已经明确函数类型利用待定系数法构建函数表达式待定系数法利用问题中各个量之间的关系变形推导所求两个变量之间的函数关系式等是变形法二重点题型根据各类信息猜测函数类型为一次函数问题特点当所给问题

19、中的两个变量间的关系非常明了时可以根据二者之间的关系直接写出关系式然后解决问题某办公用品销售商店推出两种优惠方法购个书包赠送支水性笔购书包和水性笔一律折优惠书包每个定价元水性笔每支定价数关系式对的取值情况进行分析说明哪种优惠方法购买比较便宜小丽和同学需买这种书包个和水性笔支请你设计怎样购买最经济某实验中学组织学生到距学校千米的光明科技馆去参观学生王琳因事没能乘上学校的校车于是准备在学学习必备 欢迎下载 其中 是 与 夹角.可见 时 取最大值,在 的反方向取最小值.3.梯度的运算:.(+)=+.()=+.()=.证 ,.4 Taylor公式和极值问题 一、高阶偏导数:1.高阶偏导数的定义、记法：

20、函数表达式然后解决相应问题直表法已经明确函数类型利用待定系数法构建函数表达式待定系数法利用问题中各个量之间的关系变形推导所求两个变量之间的函数关系式等是变形法二重点题型根据各类信息猜测函数类型为一次函数问题特点当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时可以根据二者之间的关系直接写出关系式然后解决问题某办公用品销售商店推出两种优惠方法购个书包赠送支水性笔购书包和水性笔一律折优惠书包每个定价元水性笔每支定价数关系式对的取值情况进行分析说明哪种优惠方法购买比较便宜小丽和同学需买这种书包个和水性笔支请你设计怎样购买最经济某实验中学组织学生到距学校千米的光明科技馆去参观学生王琳因事没能乘上学校的校车于是准

21、备在学学习必备 欢迎下载 例 9 求二阶偏导数和.P128例 1 例 10 .求二阶偏导数.P128例 2 2.关于混合偏导数:P129131.3.求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数:公式,P131-132 例 11 .求 和.P132例 3 4.验证或化简偏微分方程:例 12 .证明+.(Laplace 方程)例 13 将方程 变为极坐标形式.解 .,.,;因此,.方程化简为 .函数表达式然后解决相应问题直表法已经明确函数类型利用待定系数法构建函数表达式待定系数法利用问题中各个量之间的关系变形推导所求两个变量之间的函数关系式等是变形法二重点题型根据各类信息猜测函数类型为一次函数问题特点当所

22、给问题中的两个变量间的关系非常明了时可以根据二者之间的关系直接写出关系式然后解决问题某办公用品销售商店推出两种优惠方法购个书包赠送支水性笔购书包和水性笔一律折优惠书包每个定价元水性笔每支定价数关系式对的取值情况进行分析说明哪种优惠方法购买比较便宜小丽和同学需买这种书包个和水性笔支请你设计怎样购买最经济某实验中学组织学生到距学校千米的光明科技馆去参观学生王琳因事没能乘上学校的校车于是准备在学学习必备 欢迎下载 例 14 试确定 和,利用线性变换 将方程 化为.解 ,.=+=+2+.=+=+.=+.因此,+(+.令 ,或 函数表达式然后解决相应问题直表法已经明确函数类型利用待定系数法构建函数表达式

23、待定系数法利用问题中各个量之间的关系变形推导所求两个变量之间的函数关系式等是变形法二重点题型根据各类信息猜测函数类型为一次函数问题特点当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时可以根据二者之间的关系直接写出关系式然后解决问题某办公用品销售商店推出两种优惠方法购个书包赠送支水性笔购书包和水性笔一律折优惠书包每个定价元水性笔每支定价数关系式对的取值情况进行分析说明哪种优惠方法购买比较便宜小丽和同学需买这种书包个和水性笔支请你设计怎样购买最经济某实验中学组织学生到距学校千米的光明科技馆去参观学生王琳因事没能乘上学校的校车于是准备在学学习必备 欢迎下载 或,此时方程 化简为.二 中值定理和泰肋公式：凸区

24、域.Th 1 设二元函数 在凸区域D 上连续,在D的所有内点处可微.则对D内任意两点 D,存在,使 .证 令.系 若函数 在区域D上存在偏导数,且,则 是D上的常值函数.二.Taylor公式:Th 2(Taylor公式)若函数 在点 的某邻域 内有直到 阶连续偏导数,则对 内任一点,存在相应的,使 证 P134 函数表达式然后解决相应问题直表法已经明确函数类型利用待定系数法构建函数表达式待定系数法利用问题中各个量之间的关系变形推导所求两个变量之间的函数关系式等是变形法二重点题型根据各类信息猜测函数类型为一次函数问题特点当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时可以根据二者之间的关系直接写出关系式

25、然后解决问题某办公用品销售商店推出两种优惠方法购个书包赠送支水性笔购书包和水性笔一律折优惠书包每个定价元水性笔每支定价数关系式对的取值情况进行分析说明哪种优惠方法购买比较便宜小丽和同学需买这种书包个和水性笔支请你设计怎样购买最经济某实验中学组织学生到距学校千米的光明科技馆去参观学生王琳因事没能乘上学校的校车于是准备在学学习必备 欢迎下载 例 1 求函数 在点 的Taylor公式(到二阶为止).并用它计算 P135136 例 4.三.极值问题:1.极值的定义:注意只在内点定义极值.例 2 P136例 5 2 极值的必要条件：与一元函数比较.Th 3 设 为函数 的极值点.则当 和存在时,有=.(

26、证)函数的驻点、不可导点，函数的可疑点.3.极值的充分条件:代数准备:给出二元(实)二次型.其矩阵为 .是正定的,顺序主子式全,是半正定的,顺序主子式全;是负定的,其中 为 阶顺序主子式.函数表达式然后解决相应问题直表法已经明确函数类型利用待定系数法构建函数表达式待定系数法利用问题中各个量之间的关系变形推导所求两个变量之间的函数关系式等是变形法二重点题型根据各类信息猜测函数类型为一次函数问题特点当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时可以根据二者之间的关系直接写出关系式然后解决问题某办公用品销售商店推出两种优惠方法购个书包赠送支水性笔购书包和水性笔一律折优惠书包每个定价元水性笔每支定价数关系式

27、对的取值情况进行分析说明哪种优惠方法购买比较便宜小丽和同学需买这种书包个和水性笔支请你设计怎样购买最经济某实验中学组织学生到距学校千米的光明科技馆去参观学生王琳因事没能乘上学校的校车于是准备在学学习必备 欢迎下载 是半负定的,.,为(严格)极小值点;,为(严格)极大值点;时,不是极值点;时,可能是极值点,也可能不是极值点.综上,有以下定理.函数表达式然后解决相应问题直表法已经明确函数类型利用待定系数法构建函数表达式待定系数法利用问题中各个量之间的关系变形推导所求两个变量之间的函数关系式等是变形法二重点题型根据各类信息猜测函数类型为一次函数问题特点当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时可以根据

28、二者之间的关系直接写出关系式然后解决问题某办公用品销售商店推出两种优惠方法购个书包赠送支水性笔购书包和水性笔一律折优惠书包每个定价元水性笔每支定价数关系式对的取值情况进行分析说明哪种优惠方法购买比较便宜小丽和同学需买这种书包个和水性笔支请你设计怎样购买最经济某实验中学组织学生到距学校千米的光明科技馆去参观学生王琳因事没能乘上学校的校车于是准备在学学习必备 欢迎下载 Th 4 设函数 在点 的某邻域内有连续的二阶偏导数,是驻点.则 时,为极小值点;时,为极大值点;时,不是极值点;时,可能是极值点,也可能不是极值点.例 37 P138140 例 610.四 函数的最值：例 8 求函数 在域D=上的

29、最值.解 令 解得驻点为.在边界 上,驻点为,;在边界 上,没有驻点;在边界 上,函数表达式然后解决相应问题直表法已经明确函数类型利用待定系数法构建函数表达式待定系数法利用问题中各个量之间的关系变形推导所求两个变量之间的函数关系式等是变形法二重点题型根据各类信息猜测函数类型为一次函数问题特点当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时可以根据二者之间的关系直接写出关系式然后解决问题某办公用品销售商店推出两种优惠方法购个书包赠送支水性笔购书包和水性笔一律折优惠书包每个定价元水性笔每支定价数关系式对的取值情况进行分析说明哪种优惠方法购买比较便宜小丽和同学需买这种书包个和水性笔支请你设计怎样购买最经济某

30、实验中学组织学生到距学校千米的光明科技馆去参观学生王琳因事没能乘上学校的校车于是准备在学学习必备 欢迎下载 驻点为,.又.于是,.函数表达式然后解决相应问题直表法已经明确函数类型利用待定系数法构建函数表达式待定系数法利用问题中各个量之间的关系变形推导所求两个变量之间的函数关系式等是变形法二重点题型根据各类信息猜测函数类型为一次函数问题特点当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时可以根据二者之间的关系直接写出关系式然后解决问题某办公用品销售商店推出两种优惠方法购个书包赠送支水性笔购书包和水性笔一律折优惠书包每个定价元水性笔每支定价数关系式对的取值情况进行分析说明哪种优惠方法购买比较便宜小丽和同学需买这种书包个和水性笔支请你设计怎样购买最经济某实验中学组织学生到距学校千米的光明科技馆去参观学生王琳因事没能乘上学校的校车于是准备在学