数学教案直线和圆教师版_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 直线与圆 教案 1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为 0；（2）倾斜角的范围,0。如（1）直线023cosyx的倾斜角的范围是50)66，；（2）过 点),0(),1,3(mQP 的 直 线 的 倾 斜 角 的 范 围m那么,32,3值 的 范 围 是_42mm或_ 2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即ktan(90)；倾斜角为 90的直线没有斜率

2、；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y、222(,)P xy的直线的斜率为212121xxxxyyk；（3）直线的方向向量(1,)ak，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线：ABBCkk。如(1)两条直线钭率相等是这两条直线平行的既不充分也不必要条件；（2）实数,x y满足3250 xy (31x)，则xy的最大值、最小值分别为_2,13_ 3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)xy斜率为k，则直线方程为00()yyk xx,它不包括垂直于x轴的直线。（2）斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线

3、。（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y、222(,)P xy两点，则直线方程为121121xxxxyyyy，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为,a b,则直线方程为1byax，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成0AxByC(A,B 不同时为 0)的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为v=(1,3)的直线的点斜式方程是13(2)yx；（2）直线(2)(21)(34)0mxmym，不管m怎样变化恒过点(1,2)；（3）若曲线|ya x与(0)yxa a 有两个公共点，则a的取值范围是1a (4)过点(1,

4、4)A，且纵横截距的绝对值相等的直线共有_3_条 4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b，常设其方程为ykxb；（2）知直线横截距0 x，常设其方程为0 xmyx(它不适用于斜率为 0 的直线)；（3）知直线过点00(,)xy，当斜率k存在时，常设其方程为00()yk xxy，当斜率k 不存在时，学习必备 欢迎下载 则其方程为0 xx；（4）与直线:0l AxByC 平行的直线可表示为10AxByC；（5）与直线:0l AxByC 垂直的直线可表示为10BxAyC.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1

5、）点00(,)P xy到直线0AxByC 的距离0022AxByCdAB；（2）两平行线1122:0,:0lAxByClAxByC间的距离为1222CCdAB。6、直线1111:0lAxB yC与直线2222:0lA xB yC的位置关系：（1）平行12210ABA B（斜率）且12210BCB C（在y轴上截距）；（2）相交12210ABA B；（3）重合12210ABA B且12210BCB C。提醒：（1）111222ABCABC、1122ABAB、111222ABCABC仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重

6、合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线1111:0lAxB yC与直线2222:0lA xB yC垂直12120AAB B。如（1）设直线1:60lxmy 和2:(2)320lmxym，当m_1_时1l2l；当m_12_时1l2l；当31且mm 时1l与2l相交；当m_3_时1l与2l重合；（2）已知直线l的方程为34120 xy，则与l平行，且过点（1，3）的直线方程是_；3490 xy （3）两条直线40axy 与20 xy 相交于第一象限，则实数a的取值范围是_；12a （4）设,a b c分别是ABC 中A、B、C 所对边的边长，则直线sin0 xAayc

7、与sinsin0bxyBC的位置关系是_；垂直 7、对称（中心对称和轴对称）问题代入法：如（1）已知点(,)M a b与点N关于x轴对称，点P与点N 关于y轴对称，点Q 与点P关于直线0 xy 对称，则点 Q 的坐标为_；(,)b a（2）已知直线1l与2l的夹角平分线为yx，若1l的方程为0(0)axbycab，那么2l的方程是_；0bxayc （3）点（，）关于直线l的对称点为(2,7)，则l的方程是_；（4）已知一束光线通过点（，），经直线l:3x4y+4=0 反射。如果反射光线通过点（，15），则反射光线所在直线的方程是_；3y=3x （5）已知ABC 顶点 A(3，)，边上的中线所在

8、直线的方程为 6x+10y59=0，B 的平分线所在的方程为 x4y+10=0，求边所在的直线方程；18x510y 提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。8、圆的方程：圆的标准方程：222xaybr。圆的一般方程：22220(DE4F0)xyDxEyF，点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为那么就叫做直线的倾斜角当直线与轴重合或平行时规定倾斜角为倾斜角的范围如直线的倾斜角的范围是过点的直线的倾斜角的范围那么值的范围是直线的斜率定义倾斜角不是的的方向向量直线的方向向量与直线的斜率有何关系应用证明三点共线如两条直线钭率相等是这两条直线平行的既不充分也不必要条件实数满则

9、的最大值最小值分别为直线的方程点斜式已知直线过点的直线斜截式已知直线在轴上的截点则直线方程为它不包括垂直于坐标轴的直线截距式已知直线在轴和轴上的截距为则直线方程为它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线一般式任何直线均可写成不同时为的形式如经过点且方向向量为的直线的点斜式方程是直学习必备 欢迎下载 特别提醒：只有当22DE4F0时，方程220 xyDxEyF 才表示圆心为(,)22DE，半径为22142DEF的圆（二元二次方程220AxBxyCyDxEyF 表示圆的充要条件是什么？（0,AC 且0B 且2240DEAF）；(3)1122A,x yB xy为直径端点的圆方程 12120 xxxx

10、yyyy 如（1）圆 C 与圆22(1)1xy关于直线yx 对称，则圆 C 的方程为22(1)1xy；（2）圆心在直线32yx上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是_；9)3()3(22yx或1)1()1(22yx （3）如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是_；0，2）（4）方程 x2+yx+y+k=0 表示一个圆，则实数 k 的取值范围为_；21k 9、点与圆的位置关系：已知点00M,xy及圆 222C0：x-aybrr，（1）点 M 在圆 C外 22200CMrxaybr；（2）点 M 在圆 C 内 22200CMrxaybr；（3）点

11、M 在圆 C 上20CMrxa 220ybr。如点 P(5a+1,12a)在圆(x)y2=1 的内部,则 a 的取值范围是_131|a 10、直线与圆的位置关系：直线:0l AxByC 和圆 222C：xaybr 0r 有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0 相交；0 相离；0 相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则dr 相交；dr 相离；dr 相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如（1）圆12222 yx与直线sin10(,2xyR k，)kz的位置关系

12、为_；相离 （2）若直线30axby 与圆22410 xyx 切于点(1,2)P，则ab的值_2_；（3）直线20 xy被曲线2262xyxy150 所截得的弦长等于4 5 ；（4）一束光线从点 A(1,1)出发经 x 轴反射到圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路程是 4 ；（5）已知圆 C：22(1)5xy，直线 L：10mxym 。求证：对mR，直线 L 与圆 C点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为那么就叫做直线的倾斜角当直线与轴重合或平行时规定倾斜角为倾斜角的范围如直线的倾斜角的范围是过点的直线的倾斜角的范围那么值的范围是直线的斜率定义倾斜角不是的的方向向量直线

13、的方向向量与直线的斜率有何关系应用证明三点共线如两条直线钭率相等是这两条直线平行的既不充分也不必要条件实数满则的最大值最小值分别为直线的方程点斜式已知直线过点的直线斜截式已知直线在轴上的截点则直线方程为它不包括垂直于坐标轴的直线截距式已知直线在轴和轴上的截距为则直线方程为它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线一般式任何直线均可写成不同时为的形式如经过点且方向向量为的直线的点斜式方程是直学习必备 欢迎下载 总有两个不同的交点；设 L 与圆 C 交于 A、B 两点，若17AB，求 L 的倾斜角；求直线 L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.60或120 最长：1y，最短：1x 11、圆与圆

14、的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为12OO，半径分别为12,r r，则（1）当1212|O Orr 时，两圆外离；（2）当1212|O Orr 时，两圆外切；（3）当121212|O Orrrr 时，两圆相交；（4）当1212|O O|rr时，两圆内切；（5）当12120|O O|rr时，两圆内含。12、圆的切线与弦长：(1)切线：过圆222xyR上一点00(,)P xy圆的切线方程是：200 xxyyR，过圆222()()xaybR上一点00(,)P xy圆的切线方程是：200()()()()xaxayayaR，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线

15、的距离等于半径）；从圆外一点引圆的切线一定有两条，设 A 为圆1)1(22yx上动点，PA 是圆的切线，且|PA|=1，则 P 点的轨迹方程为_；22(1)2xy）（2）弦长问题：常用弦心距d，弦长一半12a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：2221()2rda；13.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!已知圆满足：截 y 轴所得弦长为 2；被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 31，圆心到直线l:x-2y=0 的距离为55，求该圆的方程.如图，已知M：x2+(y2)21，Q 是x轴上的动点

16、，QA，QB 分别切M 于 A，B 两点，如果324|AB，求直线 MQ 的方程；求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程.解（1）由324|AB可 得,31)322(1)2|(|2222ABMAMP由 射 影 定 理 得,3|2MQMQMPMB得在 RtMOQ 中，523|2222MOMQOQ，故55aa或，所以直线 AB 方程是;0525205252yxyx或 连接 MB，MQ，设),0,(),(aQyxP由点 M，P，Q 在一直线上，得)(,22Axya 由射影定理得|,|2MQMPMB即)(,14)2(222Bayx O x y Q A B P M 点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小

17、正角记为那么就叫做直线的倾斜角当直线与轴重合或平行时规定倾斜角为倾斜角的范围如直线的倾斜角的范围是过点的直线的倾斜角的范围那么值的范围是直线的斜率定义倾斜角不是的的方向向量直线的方向向量与直线的斜率有何关系应用证明三点共线如两条直线钭率相等是这两条直线平行的既不充分也不必要条件实数满则的最大值最小值分别为直线的方程点斜式已知直线过点的直线斜截式已知直线在轴上的截点则直线方程为它不包括垂直于坐标轴的直线截距式已知直线在轴和轴上的截距为则直线方程为它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线一般式任何直线均可写成不同时为的形式如经过点且方向向量为的直线的点斜式方程是直学习必备 欢迎下载 把（A）及（B

18、）消去a，并注意到2y，可得).2(161)47(22yyx 课本题 P75练习 2，3；P77练习 2，3；P79练习 2，3；P80习题 7，8，9；P84练习 3，4；P87 练习 2，3；P87 习题 4，6，7；P92 练习 3；P96 练习 2，3；P96 习题 14，15，16，17，18 P102 练习 5，6；习题 6，7，9，10 P106 练习 3，4，5；P107 练习 2；P108 习题 5，6 7，8；高考题 1.（全国一 10）若直线1xyab 通过点(cossin)M，则（D ）A221ab B221ab C22111ab D22111ab 2.（全国二 5）设

19、变量xy，满足约束条件：222yxxyx，则yxz3的最小值-8 3.（全国二 11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20 xy 与740 xy，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为3 4.（北京卷 5）若实数xy，满足1000 xyxyx，则23xyz的最小值是 1 5.（北京卷 7）过直线yx上的一点作圆22(5)(1)2xy的两条切线12ll，当直线12ll，关于yx对称时，它们之间的夹角为60 6.（四川卷）直线3yx绕原点逆时针旋转090，再向右平移个单位，所得到的直线为1133yx 7.（天津卷2）设变量yx,满足约束条件1210yxyxyx，则目标函数yxz 5的最

20、大值为5 8.（安徽卷 8）若过点(4,0)A的直线l与曲线22(2)1xy有公共点，则直线l的斜率的取值范围为33,33 9.（山东卷 11）已知圆的方程为08622yxyx.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 206 10.（湖南卷 3）已知变量x、y满足条件1,0,290,xxyxy 则xy的最大值是 6 点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为那么就叫做直线的倾斜角当直线与轴重合或平行时规定倾斜角为倾斜角的范围如直线的倾斜角的范围是过点的直线的倾斜角的范围那么值的范围是直线的斜率定义倾斜角不是的的方向向量直线的方向向量与直线的斜率有何

21、关系应用证明三点共线如两条直线钭率相等是这两条直线平行的既不充分也不必要条件实数满则的最大值最小值分别为直线的方程点斜式已知直线过点的直线斜截式已知直线在轴上的截点则直线方程为它不包括垂直于坐标轴的直线截距式已知直线在轴和轴上的截距为则直线方程为它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线一般式任何直线均可写成不同时为的形式如经过点且方向向量为的直线的点斜式方程是直学习必备 欢迎下载 11.（陕西卷 5）直线30 xym 与圆22220 xyx 相切，则实数m等于3 3或3 12.（陕西卷 10）已知实数xy，满足121yyxxym，如果目标函数zxy 的最小值为1，则实数m等于 5 13.（重庆

22、卷 3)圆O1:0222 xyx 和圆O2:0422 yyx 的位置关系是相交 14.（辽宁卷 3）圆221xy与直线2ykx没有公共点的充要条件是(33)k ，15.（天津卷15）已知圆C的圆心与点(2,1)P 关于直线1yx 对称直线34110 xy 与圆 C相交于BA,两点，且6AB，则圆 C的方程为_22(1)18xy 16.（四川卷 14）已知直线:40l xy 与圆 22:112Cxy，则C上各点到l的距离的最小值为_。2 17.（重庆卷 15）直线l与圆04222 ayxyx(a3)相交于两点 A，B，弦 AB的中点为（0，1），则直线 l 的方程为 .x-y+1=0 18.（广

23、东卷 11）经过圆2220 xxy的圆心C，且与直线0 xy 垂直的直线 方程是 10 xy 19 已知菱形ABCD的顶点A C，在椭圆2234xy上，对角线BD所在直线的斜率为 1（）当直线BD过点(0 1)，时，求直线AC的方程；（）当60ABC时，求菱形ABCD面积的最大值 解：（）由题意得直线BD的方程为1yx 因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD 于是可设直线AC的方程为yxn 由2234xyyxn ，得2246340 xnxn 因为A C，在椭圆上，所以212640n，解得4 34 333n 设A C，两点坐标分别为1122()()xyxy，点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最

24、小正角记为那么就叫做直线的倾斜角当直线与轴重合或平行时规定倾斜角为倾斜角的范围如直线的倾斜角的范围是过点的直线的倾斜角的范围那么值的范围是直线的斜率定义倾斜角不是的的方向向量直线的方向向量与直线的斜率有何关系应用证明三点共线如两条直线钭率相等是这两条直线平行的既不充分也不必要条件实数满则的最大值最小值分别为直线的方程点斜式已知直线过点的直线斜截式已知直线在轴上的截点则直线方程为它不包括垂直于坐标轴的直线截距式已知直线在轴和轴上的截距为则直线方程为它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线一般式任何直线均可写成不同时为的形式如经过点且方向向量为的直线的点斜式方程是直学习必备 欢迎下载 则1232n

25、xx，212344nx x，11yxn ，22yxn 所以122nyy 所以AC的中点坐标为344n n，由四边形ABCD为菱形可知，点344n n，在直线1yx 上，所以3144nn，解得2n 所以直线AC的方程为2yx ，即20 xy （）因为四边形ABCD为菱形，且60ABC，所以ABBCCA 所以菱形ABCD的面积232SAC 由（）可得22221212316()()2nACxxyy，所以234 34 3(316)433Snn 所以当0n 时，菱形ABCD的面积取得最大值4 3 2.（江苏卷 18）设平面直角坐标系xoy中，设二次函数 22f xxxb xR的图象与两坐标轴有三个交点，

26、经过这三个交点的圆记为 C求：（）求实数 b 的取值范围；（）求圆 C 的方程；（）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法（）令x0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；令 220f xxxb，由题意 b0 且0，解得 b1 且 b0（）设所求圆的一般方程为2x20yDxEyF 令y0 得20 xDxF 这与22xxb0 是同一个方程，故 D2，Fb 令x0 得2yEy0，此方程有一个根为 b，代入得出 Eb1 点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为那么就叫做直线的倾斜角当直线与轴重合或平行时规定倾斜角为倾斜

27、角的范围如直线的倾斜角的范围是过点的直线的倾斜角的范围那么值的范围是直线的斜率定义倾斜角不是的的方向向量直线的方向向量与直线的斜率有何关系应用证明三点共线如两条直线钭率相等是这两条直线平行的既不充分也不必要条件实数满则的最大值最小值分别为直线的方程点斜式已知直线过点的直线斜截式已知直线在轴上的截点则直线方程为它不包括垂直于坐标轴的直线截距式已知直线在轴和轴上的截距为则直线方程为它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线一般式任何直线均可写成不同时为的形式如经过点且方向向量为的直线的点斜式方程是直学习必备 欢迎下载 所以圆 C 的方程为222(1)0 xyxbyb .（）圆 C 必过定点（0，1）

28、和（2，1）证明如下：将（0，1）代入圆 C 的方程，得左边021220（b1）b0，右边0，所以圆 C 必过定点（0，1）同理可证圆 C 必过定点（2，1）点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为那么就叫做直线的倾斜角当直线与轴重合或平行时规定倾斜角为倾斜角的范围如直线的倾斜角的范围是过点的直线的倾斜角的范围那么值的范围是直线的斜率定义倾斜角不是的的方向向量直线的方向向量与直线的斜率有何关系应用证明三点共线如两条直线钭率相等是这两条直线平行的既不充分也不必要条件实数满则的最大值最小值分别为直线的方程点斜式已知直线过点的直线斜截式已知直线在轴上的截点则直线方程为它不包括垂直于坐标轴的直线截距式已知直线在轴和轴上的截距为则直线方程为它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线一般式任何直线均可写成不同时为的形式如经过点且方向向量为的直线的点斜式方程是直