2023年-银行排队模型.docx

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1、银行排队机服务系统的优化模型摘要本文主要研究的是银行排队机服务系统的优化问题，针对该问题，我们组首 先建立层析分析模型，目标函数为性能指标值Z.问题一：根据问访银行员工和顾客，并征求专家意见对银行排队服务过程中 不同影响因子的重要程度两两比较得到比值，以此构造成对比较矩阵，通过 MATLAB 6.5处理矩阵得到最大特征根对应的特征向量，归一化处理得到各因子 的权重.用excel对不同时间段的数据分别进行统计，用MATLAB 6. 5拟合并通过 平移一一标准差变换和平移一一极差变换统计的各项因子标准化处理，与权重结 合即得性能指标值Z.问题二：对银行排队窗口的优化，通过数学推导构建出排队论模型，

2、由一周 不同天数同一时间段的周期性特点，对数据按时间段用MATLAB 6. 5进行拟合， 求解过程采用时间步长法，步长取l/i,给定不同的窗口数求得各个参数进而得到 性能指标值Z,便可解出给定条件下的最优窗口数，从而得到一周七天内各个时 间段的最优窗口数.问题三：考虑对附近系统内银行网点的工作人员进行工作统筹安排，建立排 队服务系统的优化模型.在满足一定性能指标值Z的前提下，以单位时间费用的 期望值最小为约束条件，而银行窗口数为整数可知费用离散函数，利用边际分析 方法求出最优的窗口数，进而建立窗口业务组合模型，通过对窗口所设业务组合 是优化来分配银行员工数，得到人员安排的最优化结果.所用求权向

3、量的矩阵通过了一致性检验，故可认为合理.综上所述，我们建立的银行排队机服务系统的评价模型可较好地估计出某个 银行的服务情况，而服务情况的比较标准需要对多家银行进行估计，并按比例划 分来评级；对银行窗口的优化考虑了各个时间段的最优窗口数，据了解符合现实 情况；而对银行系统人员的安排，我们提出了优化业务组合来优化员工数，并给 出了相应的改进.关键词：层次分析 排队论窗口业务组合模型边际分析. Fk+i0k九c (1-必。g w (1 - 3)Gk+i1i+1k加 c丁 (1-必。 e ( y+1. 表三：系统状态的变化规律p+加)=24+，C (心力a心)e a- %加)1=0+Z Pk+cf (

4、M0,+1 (1-曲严T 让t i=0十九仁)(1 - M + o(A?)化简得到：Pkt+ AZ) = %_彳/ + Pk(Z)(l - 2AZ- jurist)+月+1的则有Pk（a）- p）t=2 月7 /0) +/z 叫+i) +。(加)t则有如果lim=，则达到稳态解，故上式可化为:X匕T 一 叫+从叫+1 =。，即n/uPk+ 2/_1 = （2 + ）片,nkm,特别地，当=根时，有=快以，同理，我们可得1左的情形，这里求解过程同上，直接给出结果:（k+1）.% + %Pj=（彳 + kju）Pkkn,当 =0时,有几兄二 ，故有以下四式：4P=P,(Z +2&T = (2+ %

5、)kn,njLiPk+ X片_ = (2 + nju)Pk)nk m.1=匕，再由递推关系求得系统的状态概率为pk =Pk kPy1kP0-H加/P=夕J)，nkm n其中，p = npx =A/jU.由可求得k=0n1一夕1)Wl.?一! # (577hj(m-+ D) MR =1.5左！加3）模型指标和模型说明系统的损失概率：P/u=PmPQ n理系统的相对通过能力：Q=i-匕=1一47）n单位时间平均进入系统的顾客数：2e=2（l-PJ = 2Q绝对通过能力：A = AeQ = 4Q2平均忙着的服务窗个数：_ m，一!叫加 万攵m 小2服=z =Z组=kPk+kPk k-npok=0k=

6、0k=nk=0 （左1）k=0 .一 i江k=lPkY)+ )!nm一+1 / kp9rl Rp + y(-1)!31n2=夕（1一a）=工队列长:当外时m-nLq= (k-n)Pk=iPi+ k=n+i=（）2 （1 _ _ + Dp； +（加）夕;i+1）；加（1 一夕1）-?n，lp nn当 Pi=l 时，L = -z =-Pm - n）（m -n + l）PQ i=o n 2nl队长：-艮=4+十顾客逗留时间：WS= = W+ L顾客等待时间：叱,二手 “ 4我们统计一周不同天数不同时间段的等待人数，等待时长，办理时间，是否 弃号数。把时间段分为每一个小时，即把每周的同一天分为89点，

7、910点， 1011点，1112点，1213点，1314点，1415点，1516点，1617 点，1718点这10个时间段。由于以上求解过程是建立在窗口数给定的情况下，所以对于一周某一天某一 时间段内，设定窗口数固定（令窗口数2,10）,给定的每一个窗口数都能 数据拟合算出顾客的平均到达率4,系统的平均服务率，进而求出绝对通过能 力A,损失概率匕，顾客等待时间吗，队列长4，队长人,因此在所建第一 个模型的基础上便可得到一个评价的Z值。由于窗口数2/0,对应于同一 个时间段，我们可以得到9个不同的Z值，从这些Z值中取大于评价标准Z。的 窗口数的最小状态为最优窗口数。而1周7天，1天又分为10个时

8、间段，1个时间段根据窗口数可得9个Z值， 通过评价标准取最优窗口数目，因此就得到了一周不同天数不同时间段的所有最 优窗口数，共有70个。第三问：1)考虑成本因素优化窗口数目在稳态的情况下，单位时间内每个服务台的成本费为顾客在系统中停 留的时间的平均费用为G”则系统单位时间内的总费用(服务成本和等待的费 用的和)期望值Cost = Csn + CwLs,其中4=45),即与服务台的个数有关，因此总费用为=满足一定性能指标值一一通过MATLAB不断拟合求得区间参数值为0. 9适中，则 取程度指标(Z()max -Z5)min)*O.9 + ZmM作为测试性能的指标，同时满足 窗口数小于等于工作人员

9、总数y时，取的最优值为n使得Cost()最小， 则Cos/=Cqs*)是符合标准的最小费用。由于只能取整数，即是 离散函数，所以只能用边际分析法求解。事实上，根据为最小值，可 有Costin) Cost (ri -1),Costin) (Z(n)max-Z(n)min)*0.9 + Zmin nY由 Cost = Csn + CWL ,则有Csn+ CwLsn ) C (* 1) + C/$ (* D, Csn + CwLs(n ) (Zax-Zin)*0.9 + Zmin nY 化简整理得Ls(n )-Ls(n+l)(Zax-Zin)*0.9 + Zmin nY求解可得工2）窗口业务组合模型

10、为了描述问题的方便，现将各项业务编号如下业务种类编号周末领卡，信用卡专柜1对公2国债3交强险4证券保证金5一柜通业务，一柜通业务16贵宾7表6由于贵宾业务的特殊性，需对其单独安排一个窗口，因而剩余窗口数为-1；设/表示窗口）含有业务6）,则1表示j窗口含有业务ix -0表示j窗口不含有业务i设4为，项业务单独排队时, 单位时间到达的顾客数；设有相互独立的随机变量x,y ,依据期望的性质可知E（X + Y） = E（X）+ E（y）。设来办理业务i的两顾客相继到达之间间隔为7；,则（的分布函数与。）=1一6一即/20, （7；） = 1/4。若设两个顾客相继到达窗6口）的时间间隔为乌，则石（4）

11、= 2区）马，则单位时间内到达窗口 ）的顾客 1=1数4为1 1=）-X aT *其中4=4* /, 4为业务6单位时间到达的顾客数的原始数据值。j=l从表示单位时间内被服务完的顾客数，令匕=1/4表示，业务平均一个顾客的服务时间。161同理，设窗口/的平均服务率为力，一二Z%力/j i= 4 i在窗口 j前排队办理，业务的顾客数占该队中队长4.的比重为4工” / Bi j，从而在窗口/排队的队伍中第个人的等待时间6Wjk=E%Xji（k T）vJ 仇n=窗口，的顾客总的等待时间LSj6叫=2）匕/力k= i=则系统中顾客总的等待时间wn- 良j6与（J）匕/丹j=l k= i=l其中心可按本

12、文第二个模型的求解方法得到。 SJ依所提供数据可知业务15日办理量较少，可认为业务1-5分别只能在某一个窗n-口中办理，即。= 1,2,-5）,而业务6日成交量极大，可认为其可在7=1n-多个窗口办理，即1，通过求得亏的值使得卬最小 j=l六、模型求解问题一：1）特征值，特征根的求解以下定义一致阵：如果一个对称阵A满足:Q.XQ . Cl.j 9ij jk iki, j, k=l,2,，则A称为一致性矩阵，简称一致阵，并且可知一致阵有下列性质:1. A的秩为1, A的唯一非零特征根为n；2. A的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量。我们得到的成对矩阵C和D均不属于一致阵，但在不一致的容许范

13、围内，我们 分别用C和D的最大特征根（记作V）得出最大特征根的特征向量（归一化后） 作为权向量w,即w满足：Aw=Vw用MATLAB编程得到：矩阵C的最大特征根X =6.0888对应的特征向量叫=0.0648 0.1204 0.1996 0.3127 0.5000 0.77057归一化后得到=0.0329 0.0612 0.1014 0.1589 0.2541 0.3915）因此有权重0= 0.0329, G =0.0612, G=0.1014, C =0.1589, G =0.2541, JLIJC =0.39156矩阵D的最大特征根匕= 2.0000对应的特征向量叱=。3162 0.948

14、7F归一化后得到0.2500 0.75007因此有权重 =0.2500, 2=0.7500 JL42）对矩阵的一致性检测所谓对权向量的一致性检测即是指对矩阵C或D确定不一致的允许范围。由一致性矩阵的性质我们可得：n阶对称矩阵A的最大特征值V2%当且 仅当V2时A为一致阵。由于特征根V连续依赖于他，当V比n大很多时，矩阵的不一致性越严重， 因而可以用V-数值的大小来衡量A的不一致程度。首先定义一致性指标：67 = 0,有完全的一致性；C7接近于0,有满意的一致性;C7越大，不一致性越严重。我们已知随机一致性指标应的表格如下:n1234567891011RI00 0.58 0.90 1.12 1.

15、24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51表2：随机一致性指标处由此定义一致性比率：CR = RI一般地，当一致性比率CR = S0.l时，认为A的不一致程度在容许范围RI之内，有满意的一致性。综上：我们分别定义出了三个评价的指标，一致性指标C/,随机一致性指 标灯，一致性比率CR,我们对模型给出一致性检验如下:1.对于矩阵C的检测玄.卜小卜匕I一 /itV n 6.0888 6一致性指标：CI1= 0.0177n-16-1随机一致性指标：R/1=l.24（查表可得）一致性比率：CR=CIJRI =0.0177 71.24 = 0.0143 0.12.对于矩阵D的检测：一致性指标：

16、父三=言=由于口2=。，有完全的一致性，故符合一致性检验;经以上计算知：两矩阵都通过了一致性检验。3）对目标函数的求解我们将求得的权重G（i=l,2,3,4,5,6）和。,（户1,2）代入之前求得的Z的 函数式，得到以下式子：Z=0.0329%+0.0612A+0.1014Q+0.2568L；+0.5477%接着计算以上式子的五个因子以，A, e，Ls Wqf首先定义因子标准化的处理方法：1 .平移一标准差变换：原始数据之间有不同的量纲，采用下面的变换使每个变量的均值为0.，标准差为I,消除量纲差异的影响。令x _YX=*(i = o,l,， = 1,2, ,rn).其中X）为原始变量的测量值

17、，R和邑分别为X4 = O,1,=，的样本平均差与样本标准差，即_1 &XjfXij, Sj =%(/ = 12 ,祇).2 .平移一极差变换：即经过上述平移一标准差变换后还有某些X力到0刀，则对 其进行平移一极差变换，即把样本数据极值标准化，经过改进处理后，得到：X，_minX，正向因子应得的分数：X8力工声-（/ = 1,2、附，maxXu-minXIS*“max* 力-X3负向因子应得的分数：X# =半9历-（7 = 1,2,，1/in用上式处理后的所有x/qo,i,且不存在量纲因素影响。根据题目所给的“长工09年5月至8月流水表”中的数据，我们用MATLAB 拟合出绝对通过能力A （即

18、每秒办理的顾客数）的值按一星期七天分为：星期一 0.0391,星期二0.0462,星期三0.00114,星期四0.00182,星期五0.0529,星期 六0.0393,星期天0.0255。对以上七个值用所述的标准化方法处理后得到改进: 星期一 0.6675,星期二0.8386,星期三0,星期四0.1639,星期五1.0,星期六 0.6723,星期天0.3397,我们对它们取均值得至U A = 0.5299。同理，我们可以得到所需各个参数值分别为：2 = 0.7960. 4=0.1361,=0.0583,=0.2040o由于存在负向因子，需要根据平移一极差变换对其进行数据处理，处理后得到改进因子

19、：&=1=10.1361=0.8639, War =1-V=1-0.0583=0.9417,把这五个参数带入Z中求解得：Z=0.8770 （由于对数据都做了标准化处 理，故Z的最大值为1）综上，我们通过计算各个权重，得知顾客满意程度所占权重最大，其次是等 待时间，这满足现实中的情况，而由于损失程度是建立在银行最忙时刻的基础上, 此时如果不是贵宾（贵宾通过VIP专柜接受服务，较不繁忙），损失的顾客数对 银行整个系统的运作影响不大，所以权重最小，也符合银行的要求，且以上权重通过了一致性检验，故较为准确。通过拟合题目数据表得到归一化的各个因子, 由于算法可实现，故可视为准确值。所以得出的Z值较为精确

20、，由Z=0.8770可 知，该银行系统在我们建立的标准下不能令人满意。问题二:我们给出系统中顾客退票情况下队长的期望机的求解过程:J1客户弃号(Z()max - Z()min )*0.9+ Zmm筛选最符合评价的等级，同时窗口数最 小的解，然后重复Step3。Step5：重复Step3直到筛选出全部时间点下窗口的成本优化解，并据此对模型一的结果进行修正。2）窗口业务组合模型考虑到系统在最大容量时的运行情况能反映系统的优劣程度，下面求系统在 达到最大容量时模型的解。在系统到达到最大容量时每个队长均为m,则w =1）匕/力，j= k= i=化简得卬=E -6-（E匕）（ X，）,j=i24 Z=1

21、/=1Z = 1等式两边同时取对数得In W = （In （7 T）+ In Z 4号匕 + 1n Z 勺）7=1，T/=1i=一一1一 1其边界条件为入户=1（，= 1,2,-5）, 勺64一1。 j=ij=i编写程序用计算机求解可得到使得InW即W最小时的乙的值。并可以通 过求得的乙值分配窗口业务数，从而确定最合理的人员和业务分配数，使综合 评价得到最高。九、附录附录一：统计数据处理负指数模型参数拟合程序(以周二上午10点到n点数据为例) clear ally=t=13;u=t*40;y=y;x=linspace(0,t,t);k=linspace(0,u,t);f=inline( 1 -

22、exp(-a*x);a;x);xx,res =lsqcurvefit(f,0.1 ,k,y)plot(k,y；9);hold onplot(k,f(xx,k),b*)plot(k,f(xx,k)；b*);title。周*点-*点服务办理耗时分布数据拟合图)xlabelC服务办理耗时)ylabelC分布概率值)legend,实际数值点？公式拟合点;4)text(450,0.7；曲线 F(t)= l-exp(-0.0036x),)附录二：MATLAB数据选优程序clear allz=；lx=；for n=2:l:10;r=0.0155 0.0211 0.0069,0.001,0.0146, 0.0

23、141,0.0129;0.0098,0.0102,0.0064,0.0057,0.0115,0.0073,0.0092;0.0099,0.0100,0.0080,0.0073,0.0105,0.0073,0.0090;0.0079,0.0208,0.0078,0.0071,0.0082,0.0063,0.0082;0.0124,0.0121,0.0063,0.0059,0.0134,0.0084,0.0191;0.0097,0.0114,0.0070,0.0054,0.0105,0.0075,0.0086; 0.0082,0.0109,0.0079,0.0075,0.0102,0.0063,0

24、.0097; 0.0103,0.0123,0.0075,0.0060,0.0111,0.0073,0.0103; 0.0095,0.0088,0,0,0.0105,0.0067,0.0100;0.0058,0.0066,0,0,0.0067,0.0045,0.0059;u=0.0017,0.0035,0.0047,0.0081,0.0028,0.0026,0.0035;0.0027,0.0033,0.0029,0.0037,0.0031,0.0037,0.0031;0.0032,0.0033,0.0038,0.0044,0.0032,0.0042,0.0038;0.0033,0.0036,0.

25、0052,0.0044,0.0038,0.0037,0.0037;0.0048,0.0051,0.0044,0.0055,0.0063,0.0067,0.0057;0.0042,0.0050,0.0042,0.0043,0.0042,0.0046,0.0040;0.0028,0.0036,0.0046,0.0053,0.0037,0.0035,0.0032; 0.0034,0.0042,0.0051,0.0051,0.0043,0.0038,0.0038; 0.0036,0.0039,0,0,0.0038,0.0037,0.0035;0.0045,0.0047,0,0,0.0052,0.004

26、6,0.0051;m=22;pl=r./(n.*u);p=n.*p;x=l；y=i;j2=bl；for i=l:l:70x i= 1 ,ones( 1 ,n-1). *p(i);yi =cumprod(x i);k=l,kl;j 1 i =(sum(y i ./k)+nAn/prod( 1 :n)(m-n+ 1)A(-1);j2i =(sum(y i ./k)+(p(i)An)./prod( 1 :n).*( 1 -p l(i)A(m-n+ l)./(l-p l(i).A(-l); endjl=cell2mat(jl);j2=cell2mat(j2);j 1 =reshape(j 1,10,7

27、);j2=reshape(j2,l 0,7);%if pl=l% p0=j 1;% lg=(n An)/(prod( 1: n) *2) * (m-n) * (m-n+ l).*p0;%elsep0=j2;lg=(pl.*(n.*pl).An)./(prod(l:n).*(l-pl).A2).*(l-(m-n+l).*pl.A(m-n)4-(m-n).*pl.A(m-n+l).*pO; %endpm=(nAn)/prod( 1 :n).*pl .Am.*p0;q=l-pm;a*q竺；ls=lg+(r.*q)./u;wq=lg./(r.*q);opm=reshape(pm,70,1);opm(f

28、ind(isnan(opm)=;epm=mean(opm);vpm=std(opm,0,l);gpm=(pm-epm)./vpm;ggpm=(gpm-min(min(gpm)./(max(max(gpm)-min(min(gpm);oa=reshape(a,70,1);oa(find(isnan(oa)=;ea=mean(oa);va=std(oa,0,l);ga=(a-ea)./va;gga=(ga-min(min(ga)./(max(max(ga)-min(min(ga);ols=reshape(ls,70,1);ols(find(isnan(ols)=f;els=mean(ols);vl

29、s=std(ols,0,l);gls=(ls-els)./vls;ggls=(gls-min(min(gls)./(max(max(gls)-min(min(gls);owq=reshape(wq,70,1);owq(find(isnan(owq)=;ewq=mean(owq);vwq=std(owq,0,l);gwq=(wq-ewq)./vwq;ggwq=(gwq-min(min(gwq)./(max(max(gwq)-min(min(gwq);z n =0.0329.*( 1-ggpm)+0.0612.*gga+0. 1014.*q+0.2568.*( 1-ggls)+0.5447.*(

30、1-ggwq);disp(pm(12);disp(a(12);disp(ls(12);disp(wq(12);disp(zn(12);n；lxn=ls;endcelldisp(z);zz=;for pp=l:l:70for p=2:l:nzzpp(p-l)=zp(pp);endendfor i=l:l:70zzi=zzi*;endcelldisp(zz);lxx=;for pp=l:l:70for p=2:l:nlxxpp(p-l)=lxp(pp);endendfor i=l:l:70lxxi=lxxi;endcelldisp(lxx);llxx=;zzx=;for ii=l:l:10llxx

31、ii=lxii;zzxii=zii;llxx ii (find(isnan(llxx ii )=0;zzx ii (find(isnan(zzx ii )=0；llxx ii =sum(sum(llxx ii )/65;zzx ii =sum(sum(zzx ii )/65; end附录三：基于系统单位时间成本最低的窗口数优化模型程序#include#include#define M 10 double cs=l; double cw=3;#define PERCENT 0.9 using namespace std; int main() (double c20=0;double d20=0

32、;int i=0;int j=0;int index=0;int flag=0;double temp=0;double t=0;double lsM= 0,12.8798,6.8855,4.1801,3.3543,2.7999,2.6284,2.5266,2.5194,2.5191;double zM=0,0.6497,0.8129,0.8848,0.9125,0.9296,0.9249,0.9011,0.8973,0.8958;double max=z0,min=z0; for(i=0;iM;i+) (if(maxzi) min=zi;t=max-min;)for(i=0;i=(t*PERCENT+min)&i0&iM) (dj=ci;coutdjendl;if(temp=(cs*(i-1 )+cw*lsi-1 )&(temp二cs*(i+1 )+cw*lsi+1)coutv窗口数 n=nin nendl;cout总开销 c=tempendl;cout”评价指标 z=nziendl;flag=l;) J+； ) ) temp=dO; if(flag=O) for(i=l;idi) temp=di ;index=j; coutv窗口数 n=ni