专题：及圆有关的最值问题_中学教育-中考.pdf

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1、.-.可修编.ByCx A ODBOCAB OyAxPB OyAxPB OyAxP 与圆有关的最值取值围问题 引例 1：在坐标系中，点 A 的坐标为(3，0)，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点 C 是第一象限一点，且 AC=2 设tan BOC=m，那么 m 的取值围是 _ 引例 2：如图，在边长为 1 的等边 OAB中，以边 AB 为直径作 D，以 O 为圆心 OA 长为半径作 O，C 为半圆弧 AB 上的一个动点不与 A、B 两点重合，射线 AC交 O 于点 E，BC=a，AC=b，求 a b 的最大值.引例 3：如图，BAC=60，半径长为 1 的圆 O 与 BAC的两边相切，P 为

2、圆 O 上一动点，以 P 为圆心，PA 长为半径的圆 P 交射线 AB、AC于 D、E 两点，连接 DE，那么线段 DE长度的最大值为().A 3 B 6 C3 32 D 3 3 一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆的根底知识、根本技能和根本思维方法，注重了初、高中知识的衔接 1 引例 1：通过隐藏圆高中轨迹的定义，寻找动点 C 与两个定点 O、A 构成夹角的变化规律，转化为特殊位置相切进展线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化增减性进展了延伸考察，其实质是高中“直线斜率 的直接运用；2 引例 2：通过圆的根本性质，寻找动点 C 与两个定点 A、B 构成

3、三角形的不变条件，结合不等式的性质进展转化，其实质是高中“柯西不等式 的直接运用；3 引例 3：本例动点的个数由引例 1、引例 2 中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点 D、E 与一个定点 A 构成三角形的不变条件 DAE=60，构造弦 DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦 DE与半径 AP 之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理 的直接运用；综合比拟、回忆这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜测关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略 1直观感觉，画出图

4、形；2特殊位置，比拟结果；3理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量常量之间的关系，建立等式，进展转化.三、中考展望与题型训练 例一、斜率运用 如图，A 点的坐标为-2，1，以 A 为圆心的 A 切 x 轴于点 B，P()a b，为 A 上的一个动点，请分别探索：b a 的最大值；b a 的最小值；b a 的最大值；b a 的最大值；.-.可修编.BACMDDOPCBA【拓展延伸】：2 b a 的围；2 b a 的围；例二、圆外一点与圆的最近点、最远点 1如图，在 Rt ABC中，ACB=90，AC=4，BC=3，点 D 是平面的一个动点，且 AD=2，M 为 BD 的

5、中点，在D 点运动过程中，线段 CM 长度的取值围是.2如图，O 的直径为 4，C 为 O 上一个定点，ABC=30，动点 P 从 A 点出发沿半圆弧 AB 向 B 点运动点P 与点 C 在直径 AB的异侧)，当 P 点到达 B 点时运动停顿，在运动过程中，过点 C 作 CP 的垂线 CD 交 PB 的延长线于 D 点 1在点 P 的运动过程中，线段 CD 长度的取值围为；2在点 P 的运动过程中，线段 AD长度的最大值为.例三、正弦定理 1如图，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=2 2，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD为直径作 O 分别交 AB，AC于 E，F 两点，连接

6、EF，那么线段 EF长度的最小值为 2.如图，定长弦 CD 在以 AB 为直径的 O 上滑动点 C、D 与点 A、B 不重合，M 是 CD 的中点，过点 C 作CP AB于点 P，假设 CD=3，AB=8，那么 PM 长度的最大值是 例四、柯西不等式、配方法 1如图，半径为 2 的 O 与直线 l 相切于点 A，点 P 是直径 AB左侧半圆上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 C，PC 与 O 交于点 D，连接 PA、PB，设 PC 的长为 x 2 x 4，那么当 x=时，PD CD 的值最大，且最大值是为.围是引例如图在边长为的等边中以边为直径作以为圆心长为半径作为半圆弧上的一个动

7、点不与两点重合射线交于点求的最大值引例如图半径长为的圆与的两边相切为圆上一动点以为圆心长为半径的圆交射线于两点连接那么线段长度 思维方法注重了初高中知识的衔接引例通过隐藏圆高中轨迹的定义寻找动点与两个定点构成夹角的变化规律转化为特殊位置相切进展线段角度有关算同时对三角函数值的变化增减性进展了延伸考察其实质是高中直线斜率的直接运用 不等式的直接运用引例本例动点的个数由引例引例中的一个动点增加为三个动点从性质运用构图形式动点关联上增加了题目的难度解答中还是注意动点与一个定点构成三角形的不变条件构造弦直径所在的直角三角形从而转化为弦与.-.可修编.OABCOPQANMBE BACODO DCEA B

8、 2如图，线段 AB=4，C 为线段 AB上的一个动点，以 AC、BC 为边作等边 ACD和等边 BCE，O 外接于CDE，那么 O 半径的最小值为().A.4 B.2 33 C.3 22 D.2 3在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心，2 为半径画 O，P 是 O 上一动点，且 P 在第一象限，过点P 作 O 的切线与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B，线段 AB长度的最小值是.例四、相切的应用有公共点、最大或最小夹角 1如图，在 Rt ABC中，C=90，AC=6，BC=8，D 为 AB边上一点，过点 D 作 CD 的垂线交直线 BC 于点 E，那么线段 CE长度的最小值是

9、.2如图，Rt ABC中，C=90，A=30，AB=4，以 AC 上的一点 O 为圆心 OA 为半径作 O，假设 O 与边BC 始终有交点包括 B、C 两点，那么线段 AO的取值围是.3如图，射线 PQ射线 MN，PM MN，A 为 PM 的中点，O 为射线 PQ 上的一个动点，AC AB交 MN 于点 C，当以 O 为圆心，以 OB 为半径的圆与线段 PM 有公共点时包括 P、M 两点，那么线段 OP 长度的最小值为.围是引例如图在边长为的等边中以边为直径作以为圆心长为半径作为半圆弧上的一个动点不与两点重合射线交于点求的最大值引例如图半径长为的圆与的两边相切为圆上一动点以为圆心长为半径的圆交

10、射线于两点连接那么线段长度 思维方法注重了初高中知识的衔接引例通过隐藏圆高中轨迹的定义寻找动点与两个定点构成夹角的变化规律转化为特殊位置相切进展线段角度有关算同时对三角函数值的变化增减性进展了延伸考察其实质是高中直线斜率的直接运用 不等式的直接运用引例本例动点的个数由引例引例中的一个动点增加为三个动点从性质运用构图形式动点关联上增加了题目的难度解答中还是注意动点与一个定点构成三角形的不变条件构造弦直径所在的直角三角形从而转化为弦与.-.可修编.lQPN MABCFECBA OGDOABDCP 例五、其他几何知识的运用 如下图，AC AB，AB=6，AC=4，点 D 是以 AB为直径的半圆 O

11、上一动点，DE CD 交直线 AB于点 E，设 DAB=，0 90 假设要使点 E 在线段 OA上包括 O、A 两点，那么 tan的取值围为.【题型训练】1如图，直线 l 与 O 相离，OA l 于点 A，OA=5，OA 与 O 相交于点 P，AB 与 O 相切于点 B，BP 的延长线交直线 l 于点 C，假设在 O 上存在点 Q，使 QAC是以 AC为底边的等腰三角形，那么 O 的半径 r 的取值围为.2：如图，Rt ABC中，B=90，A=30，BC=6cm，点 O 从 A 点出发，沿 AB以每秒 3 cm 的速度向 B 点方向运动，当点 O 运动了 t 秒(t 0)时，以 O 点为圆心的

12、圆与边 AC相切于点 D，与边 AB相交于 E、F 两点，过 E作 EG DE交射线 BC 于 G.1假设点 G 在线段 BC 上，那么 t 的取值围是；2假设点 G 在线段 BC 的延长线上，那么 t 的取值围是.3如图，M，N 的半径分别为 2cm，4cm，圆心距 MN=10cm P 为 M 上的任意一点，Q 为 N 上的任意一点，直线 PQ 与连心线 l 所夹的锐角度数为，当 P、Q 在两圆上任意运动时，tan 的最大值为().(A)612(B)43(C)33(D)34 4如图，在矩形 ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形 ABCD的中心，以 D 为圆心 1 为半径作 D，P 为

13、D 上的一个动点，连接 AP、OP，那么 AOP面积的最大值为().围是引例如图在边长为的等边中以边为直径作以为圆心长为半径作为半圆弧上的一个动点不与两点重合射线交于点求的最大值引例如图半径长为的圆与的两边相切为圆上一动点以为圆心长为半径的圆交射线于两点连接那么线段长度 思维方法注重了初高中知识的衔接引例通过隐藏圆高中轨迹的定义寻找动点与两个定点构成夹角的变化规律转化为特殊位置相切进展线段角度有关算同时对三角函数值的变化增减性进展了延伸考察其实质是高中直线斜率的直接运用 不等式的直接运用引例本例动点的个数由引例引例中的一个动点增加为三个动点从性质运用构图形式动点关联上增加了题目的难度解答中还是

14、注意动点与一个定点构成三角形的不变条件构造弦直径所在的直角三角形从而转化为弦与.-.可修编.AQCPBOAD B CEFCA D BQPO A xyP(A)4(B)215(C)358(D)174 5如图，在 Rt ABC中，C=90，AC=8，BC=6，经过点 C 且与边 AB相切 的动圆与 CA、CB 分别相交于点 P、Q，那么线段 PQ 长度的最小值是().A194B245C 5D 4 2 6 如图，在等腰 Rt ABC中，C=90，AC=BC=4，D 是 AB的中点，点 E 在 AB边上运动 点 E 不与点 A 重合，过 A、D、E 三点作 O，O 交 AC于另一点 F，在此运动变化的过

15、程中，线段 EF长度的最小值为 7如图，A、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，C 的圆心的坐标为(-1，0)，半径为 1，假设 D 是 C 上的一个动点，线段 DA与 y 轴交于点 E，那么 ABE面积的最小值是().A 2 B 1 C.222 D.2 2 8如图，A、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为 1，D 是 C 上的一个动点，射线 AD与 y 轴交于点 E，那么 ABE面积的最大值是().A 3 B113C103D 4 9如图，等腰 Rt ABC中，ACB=90，AC=BC=4，C 的半径为 1，点 P 在斜边 AB上，PQ 切

16、 O 于点 Q，那么切线长 PQ 长度的最小值为().A.7 B.2 2 C.3 D.4 10如图 BAC 60，半径长 1 的 O 与 BAC的两边相切，P 为 O 上一动点，以 P 为圆心，PA 长为半径的 P 交射线 AB、AC于 D、E 两点，连接 DE，那么线段 DE长度的围为.11在直角坐标系中，点 A 的坐标为 3，0，点 P m n，是第一象限一点，且 AB=2，那么 m n 的围为.围是引例如图在边长为的等边中以边为直径作以为圆心长为半径作为半圆弧上的一个动点不与两点重合射线交于点求的最大值引例如图半径长为的圆与的两边相切为圆上一动点以为圆心长为半径的圆交射线于两点连接那么线

17、段长度 思维方法注重了初高中知识的衔接引例通过隐藏圆高中轨迹的定义寻找动点与两个定点构成夹角的变化规律转化为特殊位置相切进展线段角度有关算同时对三角函数值的变化增减性进展了延伸考察其实质是高中直线斜率的直接运用 不等式的直接运用引例本例动点的个数由引例引例中的一个动点增加为三个动点从性质运用构图形式动点关联上增加了题目的难度解答中还是注意动点与一个定点构成三角形的不变条件构造弦直径所在的直角三角形从而转化为弦与.-.可修编.O ABxyP 12在坐标系中，点 A 的坐标为 3，0，点 B 是 y 轴右侧一点，且 AB=2，点 C 上直线 y=x+1 上一动点，且CB AB于点 B，那么tan

18、ACB m，那么m的取值围是.13在平面直角坐标系中，M 3，4，P 是以 M 为圆心，2 为半径的 M 上一动点，A-1，0、B 1，0，连接 PA、PB，那么 PA 2+PB 2 最大值是.综合点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件，构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！围是引例如图在边长为的等边中以边为直径作以为圆心长为半径作为半圆弧上的一个动点不与两点重合射线交于点求的最大值引例如图半径长为的圆与的两边相切为圆上一动点以为圆心长为半径的圆交射线于两点连接那么线段长度 思维方法注重了初高中知识的衔接引例通过隐藏圆高中轨迹的定义寻找动点与两个定点构成夹角的变化规律转化为特殊位置相切进展线段角度有关算同时对三角函数值的变化增减性进展了延伸考察其实质是高中直线斜率的直接运用 不等式的直接运用引例本例动点的个数由引例引例中的一个动点增加为三个动点从性质运用构图形式动点关联上增加了题目的难度解答中还是注意动点与一个定点构成三角形的不变条件构造弦直径所在的直角三角形从而转化为弦与