2023级高数下--期末考试题.docx

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1、20232023学年其次学期高数期末考试题一.填空题（每小题4分洪20分）1. z = 4f+9y2 点（2,1）的梯度夕也=16,18.2. f（x, j） = x4+ j4-%2- 2xy-9的极值点是 （11），（TT）3. 假设为圆周Y + /=/的右半部分, 则J”? + 2 ds =兀 a1.4. sin yi+（2xy2 + j+xzy2k,贝U力vA（101）=5. 设 = 3, y2 = 3 + x2, y3 = 3 + x2 +都是方程_2九）y_（%2 _2）y，+（2x-2）y = 6x-6 的解，则该方程的通解为y = G/ + 0?靖+ 3.二 .（本题8分）计算三

2、重积分01（/+产+2?）%, 其中。是由/ + y 2 + z2 = 1所围成的闭球体.原式=J。= dgj： d。J。, .厂之 sin cpdr -三 .（本题8分）证明:/（x, y）= 洞在点（0,0）处连续，力（。,。）与A （0,0）存在，但在（0,0）处不可微（1）因为吟胸=0 = /（0,0）,y-0所以f （x, y）= 屈在点（。,。）处连续.（2（0,0）; lim,加,。）一/（。,。）二0, - Ax同理/；（0,0）=0,所以4（。,。）与刀（。,。）存在.(3)因为lim /Ay.0y-0Ax2 + Ay2纣力(0,0) Ax + 4(0,0) Ay 所以f （

3、x, y）在（0,0）处不可微.四 .（本题8分）设函数（羽y）有连续偏导数,试用极坐标与 直角坐标的转化公式% = rcos, y= rsin 将X电一y型变换为匕。下的表达式.dy dx由= rcosO.y- rsin。得至!r - Jx2 + y2,0 - arctan ,从而xsin。dO cos。drdr . n SO一 =cos / 一 =sm d=dxdy dx十 日。du du十 y =.dydx dO五 .（本题8分）xdy-ydxL/ + y2 其中L为:计算（2）闭曲线闵+ | = 1（按反时针方向）（1）圆周（x-1?+（y-1）? =1（按反时针方向）（1）圆周（x-

4、l）2+（y-=1（按反时针方向） 由于孚二半 .（0,0）,利用格林公式, ox cyf xdy-ydxJ L x2 + y2（2）闭曲线国+ |y| = 1（按反时针方向） 作小圆广：J + 2 =/,取顺时针方向, 则在复连通区域上用格林公式有 r xdy-ydx c xdy-ydx六 .（本题8分）计算JJ ydS, E是平面x + y + z = 4被圆柱面f + 9口 截出的有限部分.X: z = 4-x-y,dS = y/3dxdy在xoy面的投影区域为D :x2 + y2l 则jjydS = JJCydxdy= 0（对称性）ic 八、1包.=3八 I = yzdzdx + Id

5、xdy.七 .（本题8分）计算曲面积分JJ ,八其中E为上半球面z =J4 Y -）2的上侧.E:z =a-V 取上侧, 即法向量 =x, y,z,利用对坐标的转换ydxdy = dxdy,z7 7cos aazax =cos/在wy面的投影区域为。:/ + y2 V 4+ 2dxdyz贝l/ 二 jj yzdzdx + Idxdy -二y2 + 2dxdDdx x x皿的通解.八 .（本题6分） 求微分方程 +）=通解为:y=0 CSX.X九 .（本题6分）求微分方程2y + y y = 2的通解.1X通解为：y = Cg2 + c2ex+十.（非化工类做）（本题6分）oo f-iy-1求幕

6、级数”T的收敛域.收敛域为-2,2十一.（非化工类做）（本题7分）1002 + x 3 n=Q将函甄（小二展开成麦克劳林级数, 并确定其成立区间.（-1广+ 尤”, xe（l,l）十二.（非化工类做）（本题7分）设函数f。）是以2为周期的周期函数，它在上的表达式为f（x） = 11.-7TX00X7T将其展开成傅立叶级数，并确定其成立范a4 二/（%）=Znn=12一1sin（2 - 1） x, x w 0, 匹 2 匹 3x = 0, 匹2匹34时的傅立叶级数收敛于0.十.（化工类做）（本题6分）求微分方程ilW:x3+3x2y2 + y4=C十一.（化工类做）（本题7分）。xds,其中为直线y = %及抛物线y = %2 J L计算所围成区域的整个边界.xds =Ll + 4x2dx+2xdx十二.（化工类做）（本题7分）求微分方程y + - y2=o的通解. i-y通角车为y = 1qx+c2