高考立体几何知识点详细总结.docx

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1、立体几何*考试内容平面及其根木性质，平面图形直观图画法直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质，三垂线定理及其逆定理两个平面的位置关系空间向量及其加法、减法、数乘；空间向量的坐标表示，空间向量的数量积； 直线的方向向量，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离 平面的法向量，点到平面的距离，直线和平面所成的角，向量在平面内的射影。 平行平面的推断和性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的推断和性质， 多面体，正多面体，棱锥棱柱，球。一、空间几何体1.柱、锥、台、球的构造特征（1）柱棱柱：一般的，有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公

2、共边 都相互平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱：棱柱中两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简 称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱：恻面与底面的公共顶点 叫做楼柱的顶点。圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱: 旋转轴叫做圆柱的轴：垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面.：无论旋转到什么位置，不 垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。梭柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的几何体叫做棱锥；这个多边形而叫做棱锥的底而或底；有公共顶点的各个三角形而叫做棱锥的 侧

3、面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做楂锥的侧棱。正四面体：对于校长为。正四面体的问题可将它补成一个边长为立。的正方体问题。2对棱间的距离为半。（正方体的边长）2正四面体的高手。正方体体对角线）历1正四面体的体积为力/（ Ke方体4匕卜三校锥二乙方体）正四面体的中心究竟面与顶点的距离之比为史正方体体对角线：耳/正方体体对角线）外接球的半径为半。（是正方体的外接球，那么半径=；/正方体体对角力 4内切球的半径为警。（是正四面体中心到四个面的距离，那么半径=!/正方体体对角线）圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的 几何体叫做圆锥：旋转轴

4、为圆锥的轴：垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形 成的曲面叫做圆锥的侧面。棱锥与圆锥统称为锥体。台楂台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的局部叫做楼台；原楂锥的底面 和截面分别叫做棱台的下底面和上底面：棱台也有侧面、侧棱、顶点。圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的局部叫做圆台；原圆锥的底面 和截面分别叫做圆台的下底面和上底面：圆台也有侧面、母线、轴。圆台和楼台统称为台体。（4）球定义：球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球体：球面所围成的几何体。性质：随意截面是圆面经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆 叫小圆）两点的球

5、面距离，是指经过球面上这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的 长。球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且-=、庐才，其中R为球半径，为截面半径，,为球心的到截面的距离。（5）组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的困难的几何体叫组合体。正多面体：定义：每个面都是有一样边数的正多边形，旦以每个顶点为其一端都有一样数目的棱的多 面体叫做正多面体。欧拉公式：V + F-E = 2 （V为简洁多面体的顶点数，尸为面数，E为棱数）r_ /Z1 + n2+ - 4- nF_ ? + + wv匕=（凡表示各个面上的棱数， %表示过各个顶点的棱数）2.多面体的面积和体积公式名称侧面积（SQ全面积（S全）体积（V）棱棱柱

6、直截面周长XIS +2S 底S , h=S fittifti , h柱直棱柱chSec-h棱 锥棱锥各侧面积之和1-S e h 3正棱锥-ch2S m+S k棱棱台各侧而面积之 和S m+S上底+S下联h (S i.ft+S 下或 3台1正棱台-(c+c )h, 2+心下底吊下底）表中S表示面积，c、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h表示斜高，1表示侧极长。3.旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球2 nrln rl兀(ri+r2) 1S全2n r(l+r)n r(l+r)五(r)+r2) 1+ n (r2i+r22)4 itR-VJi r?h (即 n r2l)n r2h 3n h (

7、r2i+rir2+r22) 3表中1、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，0、口分别表示圆台上、 下底面半径，R表示半径。4.空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置视察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。详细包括：(1)正视图：物体前前方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；(2)侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；(3)俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图：它能反映物体的宽度和长度；空间几何体的直观图斜二测画法建立直角坐标系，在水平放置的平面图形中取相互垂直的OX, 0Y,建立直角坐标系；画出斜坐标系，在而直观图的纸上(平面上画

8、出对应的0 X,OY,使NXOy=45 (或 135),它们确定的平面表示水平平面；画对应图形，在图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于卜轴，且长度保持不变； 在图形平行于丫轴的线段，在直观图中画成平行于Y .轴，且长度变为原来的一半；擦去协助线，图画好后，要擦去X轴、丫轴及为画图添加的协助线(虚线)。(2)平行投影与中心投影平行投影的投影线是相互平行的，中心投影的投影线相交于一点。二、立体几何网络图:(6)(1)线线平行的推断：平行于同始终线的两直线平行。假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交 线平行。假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们

9、的交线平行。垂直于同一平面的两直线平行。(2)线线垂直的推断：在平面内的一条直线，假如和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。在平面内的条直线，假如利这个平面的条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。假设始终线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内全部直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。(3)线面平行的推断：假如平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。(4)线面垂直的推断：假如始终线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直了这个平面。)假如两条平行线中的一条垂直于

10、一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。(M)始终线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。假如两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。(5)面面平行的推断：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。(垂直于同一条直线的两个平面平行。(6)面面垂直的推断：(15)一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面相互垂直。其他定理；(1)确定平面的条件：不公线的三点:直线和直线外一点:相交直线:(2)直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；直线与平面的位置关系：在平面内：平行；相交(垂直是它的特别状况)：平而与平面的位置关系：相交：:平行；(3)

11、等角定理：假如两个角的两边分别平行且方向一样，那么这两个角相等；假如两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角 (或直角)相等：(4)射影定理(斜线长、射影长定理)：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射 影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射 影相等；斜线段较长的射账也较长；垂线段比任何条斜线段都短。(5)最小角定理：斜线与平面内全部直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角。(6)异面直线的判定：反证法；过平面外点与平面内点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。(7)过点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内

12、。(8)假如一直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。(9)假如两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。唯一性定理：(1)过点，有旦只能作始终线和平面垂直。(2)过平面外一点，有且只能作一平面和平面平行。(3)过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。空间角的求法全部角的问题最终都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形)(1)异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：0va90；留意：假设异面直线中一条直线是三角形的一边，那么平移时可找三角形的中位线。有的还 可以通过补形，如：

13、将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成 一个底面是正方形的长方体。(2)线面所成的角：线面平行或直线在平面内：线面所成的角为0；线面垂直：线面所成的角为90：斜线与平面所成的角：范围()“vav9()“；即也就是斜线与它在平面内的 射影所成的角。(3)二面角：关键是找出二面角的平面角。方法：定义法；三垂线定理法；垂面法；q，留意：还可以用射影法：cos0 =、：其中。为二面角二一/一的大小，S为a内的一个封闭几何图形的面积：S为a内的一个封闭几何图形在夕内射影图形面积。距离的求法：(1)点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是 点到线、

14、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算。留意：求点到面的距离的方法：T脆法：干脆确定点到平面的垂线段长(垂线段一般在二面角所在的平面上)：转移法：转化为另一点到该平面的距离(利用线面平行的性质)；体积法：利用三法锥体积公式。(2)线线距离：关于异面直线的距离，常用方法有：定义法，关键是确定出4,。的公垂线段；转化为线面距离，即转化为与过b而平行于。的平面之间的距离，关键是找出或构造出这个平面：转化为面面距离:(3)线面、面面距离：线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离经常相互转化；常用的结论：(1)假设直线/在平面。内的射影是直线直线 2是平面。内经过/的斜足的一条直线

15、，/与/ 所成的角为仇，/与机所成的角为%, /与?所成的角为8,那么这三个角之间的关系是cos 6 = cos 仇 cos ：(2)如何确定点在平面的射影位置：I、假如一个角所在平面外一点到角两边距离相等，那么这点在平面上的射影在这个角的 平分线上：II、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线，假如斜线和这个知的两边夹角相等，那 么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上；11L假如平面外一点到平面上两点的距离相等，那么这一点在平面上的射影在以这两点为 端点的线段的垂直平分线上。垂线法：假如过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直，那么这一点在这平面上的射 影在过斜足且垂直于平面

16、内直线的直线上(三垂线定理和逆定理)；垂面法：假如两平面相互垂直，那么一个平面内任一点在另一平面上的射影在这两面的交 线上(面面垂直的性质定理)；整体法：确定点在平面的射影，可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影。(3)在四面体43CD中:假设AB CD, BCAD,那么AC L3D；且A在平面BCD上的射影是的。的垂心。假设AB=AC= AD,那么A在平面SCO上的射影是的。的外心。假设A到BC,CD,3。边的距离相等，那么4在平面8CO上的射影是的内心。(4)异面直线上两点间的距离公式：假设异面直线所成的角为8,它们公乖线段八人的长为d,在。力上分别取一点民/，设=AF = ni那么 EF = Jd2+ m2+ n2 2w/cos?(假如NE A厂为锐角，公式中取负号，假如NE A厂为钝角，公式中取正号)