新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第一章直线与圆 学案(知识点考点汇总及配套习题).docx

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1、第一章直线与圆1 直线与直线的方程-11.1 一次函数的图象与直线的方程-1-1.2直线的倾斜角、斜率及其关系-11.3 直线的方程-10-第1课时 直线方程的点斜式-10-第2课时 直线方程的两点式 直线方程的一般式-16-1.4两条直线的平行与垂直-24-1.5两条直线的交点坐标-341.6 平面直角坐标系中的距离公式-442 圆与圆的方程-512.1 圆的标准方程-512.2 圆的一般方程-59-2.3直线与圆的位置关系-66-2.4圆与圆的位置关系-75-1直线与直线的方程1.1 一次函数的图象与直线的方程1.2直线的倾斜角、斜率及其关系学习任务核心素养1 .在平面直角坐标系中，结合具

2、体图形掌握确定直 线位置的几何要素.（重点）2. 理解直线的斜率和倾斜角的概念.（重点）3. 理解直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系，并 会应用斜率公式求直线的斜率.（难点、重点）1 .通过直线的斜率和倾 斜角的概念的学习，培养 数学抽象素养.2 .借助斜率公式求直线 的斜率，提升数学运算素 养.途情境与问罂1. 已知直线上一个点，能确定一条直线吗？已知直线的方向，能确定一条直线吗？2. 已知直线上一个点和该直线的方向，能确定一条直线吗？3. 如何刻画直线的方向？cq新知初探一|1. 直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线/,把辿（正方向） 按逆时针方向绕着交点旋转到和

3、直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角.规定：当直线l和X轴平行或重合时，它的倾斜角为0.范围：倾斜角a的取值范围为0，V.2. 直线的斜率（1）直线过不同两点P（X , N）, P（,此），其斜率k = Z2 1（X尹了2）.X2X1（2）直线的斜率表示直线的倾斜程度.3. 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系（1）从函数角度看，k是a的函数，其中k=tan 其中a尹,图象如图所示.UI V当au。，时，斜率旧0，且k随倾斜角a的增大而增大；当aE，兀）时，斜率k0，且k随倾斜角a的增大而增大；n . .- .当a=2时，直线l与X轴垂直，此时直线l的斜率不存在.（2）如图，在直线l上任

4、取两个不同的点P1（x1，yi），P2（x2, y2）.由平面向量的. 、 . .一 . . 一 知识可知，向量P1P2是直线l的方向向量，它的坐标是（x2-x1，y2-y1），直线的倾斜角a、斜率k、方向向量P1P2分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中X轴的倾斜程度.它们之间的关系是k=：m=tan a（其中尹x2）.若上是直线/的斜率，则。=(1, Q是它的一个方向向量;若直线/的一个方向 向量的坐标为a，y),其中X尹0,则它的斜率k=yX匚m任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？若存在，唯一吗？提示直线都有倾斜角且唯一，但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是 2时，直线的斜率不存

5、在，此时，直线垂直于%轴；当倾斜角不是n时，直线的斜 率存在且唯一.rj初区身手一I1 .思考辨析(正确的画“J”，错误的画“X” )(1) 任一直线都有方向向量，且不唯一.()(2) 若直线的一个方向向量的坐标为(1, 、则该直线的斜率kf.()(3) 若一条直线的倾斜角为a,则它的斜率k=tan a.()(4) 当尹七时，过点P(%，y)，P(，y)的直线的斜率k=Z1y2.()121 112 22xiX2答案(1) V V X (4) V2. 已知直线l的倾斜角为60，则直线l的斜率为()A.B.寸3C. 1 D.B 由题意可知，直线l的斜率k=tan 60=、,3 3. 经过点(0，2

6、)和点(3, 0)的直线的斜率是.2 卜、*0223 斜率 k=30=3.4. 如图所示，直线l1，l2, l3都经过点P(3, 2)，又直线l1，l2, 13分别经过点 0(一2，1)，。2(4,2), 23(-3, 2),计算直线l1，l2, l3的斜率，并判断这些 直线的倾斜角是锐角还是钝角.解设.k, A3分别表示直线,匕，3的斜率.由于0, %，色的横坐标与P点的横坐标均不相等,2-2k=z =0.3 5 5八 -1-2 3-2-2所以外=二二=5, k尸3 =-4,由外0知，直线的倾斜角为锐角； 由外0知，直线匕的倾斜角为钝角； 由k3 = 0知，直线匕的倾斜角为0.疑难问题类型1

7、直线的倾斜角【例1】 求图中各直线的倾斜角.(1)(2)(3)解(1)如图(1),可知ZOAB为直线的倾斜角.易知ZABO = 30,AZOAB = 60，即直线的倾斜角为60.(1) (2)(3)(2) 如图(2),可知ZxAB为直线12的倾斜角，易知ZOBA = 45,AZOAB = 45,AZxAB =135，即直线l2的倾斜角为135.(3)如图(3),可知ZOAC为直线七的倾斜角，易知ZABO=60:.ZBAO = 30,:.ZOAC= 150,即直线七的倾斜角为150.广 *讴思领悟、求直线的倾斜角的两点注意(1)直线倾斜角的取值范围是【0,兀).当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为

8、0;当直线与x轴垂直时，倾斜角为71跟进训练1. 设直线/过坐标原点，它的倾斜角为a.如果将/绕坐标原点按逆时针方向 旋转45。得到直线,那么k的倾斜角为()A. a+45B. a135C. 135aD. 当0Wa 135时，倾斜角为a+45；当135Wa180时，倾斜角为a 135D 根据题意，画出图形，通过图形可知：当0Wa135时，的倾斜角为a+45;当 135Wa180 时，11 的倾斜角为 45+a-180 = a-135，故选 D.3类型2直线的斜率【例2】(1)已知两条直线的倾斜角分别为60, 135,求这两条直线的斜率;(2) 已知A(3，2), 5(4，1),求直线AB的斜率

9、；(3) 已知直线1的一个方向向量是(、扫，1),求该直线的斜率.(4)求经过两点A(2, 3), B(m, 4)的直线的斜率.解(1)直线的斜率分别为 = tan 60 = 3, = tan 135。= 1.21(2)直线AB的斜率幻广_43=7(3) 直线l的斜率k=1=*33(4) 当m = 2时，直线AB的斜率不存在；当m尹2时，直线AB的斜率为kAB =4-3 _ 1m-2 = m-2，厂 思领悟 求直线斜率的三种方法(1) 已知直线的倾斜角a(a尹90)时，可利用斜率与倾斜角的关系，即k=tan a 求得；(2) 已知直线上两点的坐标时，可利用直线斜率的定义求.要注意，其前提条件

10、是尹x2，若=x2时，直线斜率不存在；n .(3) 已知直线的方向向重v = (m，n)时，可利用k=m来求，但要注意，当m = 0 时，直线的斜率不存在.跟进训练2. 经过点P(2, m)和02m, 5)的直线的斜率等于：，则m的值是()A. 4B. 3 C. 1 或 3 D. 1 或 4,5m1 ，一 一B由2m2 = 2,解得 m = 3.类型3直线的倾斜角、斜率的应用布三苛度1三点共线问题【例3】如果三点A(2, 1)，B(2，m)，C(6, 8)在同一条直线上，求m的值.解m11m8 1 7kAB=22= 4 ，kAC=62 = 4,.A, B, C三点共线，1m 7幻 B = *A

11、C，即二 = 4,.m= 6.厂 思领悟 . 斜率是反映直线相对于X轴正方向的倾斜程度的.任意两点所确定的直线的方 向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等 可证点共线的原因.跟进训练3.求证：A(1,1), B(2,7), C(0,-3)三点共线.证明.A(1,1), B(-2,-7), C(0,3),7 (1)-3-(-1).kAB=21=2, kAC=01=2kAB = kAC直线AB与直线AC的斜率相同且过同一点A,直线AB与直线AC为同一直线.故A, B, C三点共线.帝三讨度W数形结合法求倾斜角或斜率范围【例4】 直线l过点P(1, 0),且与以A(2

12、, 1), B(0, 心)为端点的线段有公 共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围.解如图所示.3,.1-03-0. kAP = 2 1 1, kBP= 0 1ku(8,、j2U1,+8),.45WaW120.成思领悟直线与线段有交点求斜率问题，常用数形结合思想求解，先确定临界位置直 线的斜率，再让直线从一个临界位置转动到另一个临界位置，并考察斜率的变化 规律，最后确定是取“中间”，还是取“两边”.跟进训练4.已知点A(3, 3), 8(4, 2), C(Q, 2).若点。在线段BC (包括端点) 移动，求直线AD的斜率的变化范围.解如图所示.当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由幻B增大到kAC

13、,_32_1_3+2_5又 kAB 3+4 7， kAc303,所以直线AD的斜率的变化范围是1, 3匚逐备素养口1. 直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置的两个基本量，决定了这条直线相对 于x轴的倾斜程度.2. 倾斜角是90的直线没有斜率，倾斜角不是90的直线都有斜率，即直线的 倾斜角不为90时，斜率公式才成立.3. 斜率公式是以后研究直线方程的基础，需熟记并会灵活运用.3学以致用一1 .若直线l经过原点和(-1, 1)，则它的倾斜角是()A. 45 B. 135C. 45或 135D.-45B 作出直线1,如图所示，由图易知，应选B.2.下列图中，a能表示直线/的倾斜角的是() A. B. C

14、. D.A 由倾斜角的定义可得.3. 已知过两点A(m2-2, 77?23), B(3m2m, 2tn)的直线/的倾斜角为45。, 则实数m的值为.m232m,2 ,右=tan 45 = 1,m2+3m+2=0,l m2+2(3m2m)解得m= 1或一2. 但当m= 1时，B重合，舍去.:m=一2.4.已知点A(2, -1),若在坐标轴上存在一点P,使直线必的倾斜角为45。, 则点P的坐标为.(3, 0)或(0, 3)设 x 轴上点 P(z, 0)或 y 轴上点 P(0, n).由 kp=l,得 =1,得 伊=3, n = 3.用m2 (J2故点P的坐标为(3, 0)或(0, -3).5.已知

15、直线/的倾斜角a的取值范围为45WaW135。且a尹90。，求直线/的 斜率的取值范围.解设直线/的斜率为当 45a90时，k=tana6l, +):当 90a0, b0B. k0, b0C. k0D. k0, b0, b0时，直线一定经过第一象限；当a = 0时，y = |，直线显然经过第一象限；. 3a -. .一 一 一当a0,因此直线经过第一象限.综上可知，不论a为何值时，直线5ax5ya + 3 = 0 定经过第一象限.法二：将直线方程变形为一?=a5)，它表示经过点A(5，5),斜率为a 的直线.,点a5，5)在第一象限，直线l必经过第一象限.50(2)如图，直线OA的斜率k= =

16、3.50.直线l不经过第二象限，直线l的斜率B,.a3,即a的取值范围为alaN3.厂&思领悟含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系.若这无穷多 条直线过同一个点.则求该点时，将一般式方程变形为点斜式方程，便可求出该点 的坐标.跟进训练4. 设直线l的方程为(a+1)x+ya+2 = 0.(1) 若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的直线方程；(2) 若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围.解(1)直线 l 的方程(a+1)x+ya+2 = 0,可化为 v = (a1)x+a2.当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0,.(72 = 0, .a = 2,此时直线方

17、程为 3x+y = 0; .、. a2一当直线不过原点时，a尹2,由-i=a2, 得 a = 0,直线方程为x+y+2 = 0.故所求的直线方程为3x+y = 0或x+y+2 = 0.(2)直线l的方程为y= (a+1)x+a2,欲使直线l不经过第二象限，则(a+1)0, a2W0,解得aW 1.故所求实数a的取值范围为(一8,1.匚j必备素养一I1. 截距式方程应用的注意事项(1) 如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待 定系数法确定其系数即可.(2) 选用截距式直线方程时，首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂 直.(3 )要注意截距式直线方程的逆向应用.2.

18、 直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化为斜截式.一般 式化斜截式的步骤：(1) 移项，By =-Ax-C；(2) 当b尹。时，得y=B*B.C 、，一 -3. 在一般式Ax+By+C=0(A2+B2尹0)中，右A = 0，则y =万，匕表示一条与y轴垂直的直线；若B = 0,则x=C，它表示一条与x轴垂直的直线.Alj学以致用口1. 在x轴、y轴上截距分别是2，3的直线的方程为()A. 3x+2y+6 = 0B. 3x+2y+1=0C. 3x2y6 = 0D. 3x2y+1=0C 由题意可得，直线的裁距式方程为= =1,即3x2y6 = 0.2. 直线+*=1，化成一般式方程为（

19、）A. y= 3+4B. y= 3（13）C. 4x+3y12 = 0D. 4x+3y=12C 直线3+*= 1化成一般式方程为4x+3y12 = 0.3. 若方程Ax+By+C=0表示与两条坐标轴都相交的直线，则应满足的条件 是.A/0且B/0 由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A尹0且B70.4. 已知直线l：奴一y+1+2k=0.证明：l经过定点.证明直线方程变形为（+2）k（*1） = 0,当=2, y=1时方程对任意实数k恒成立，故直线过定点（一2, 1）.1.4两条直线的平行与垂直学习任务核心素养1.掌握两条直线平行与垂直的条件.（重点）1.通过两条直线平行或垂直的应2.能根

20、据已知条件判断两直线的平行与垂用，培养数学运算与直观想象素直.（重点）养.3.能利用两条直线平行或垂直进行实际应2.通过判断两直线的平行与垂用.（难点）直，培养逻辑推理素养.1. 直线y=+1与y=1的斜率有什么关系？在y轴上的裁距有什么关系？ 它们有什么位置关系？2. 直线y=x与y=x的斜率有什么关系？它们有什么位置关系？3. 直线x=a和有什么位置关系？4. 直线x=a和y = b,有什么位置关系？匚j新知初探一I1.两条直线平行设两条不重合的直线11, l2,倾斜角分别为a1, a2,斜率存在时斜率分别为k, k2.则对应关系如下：类型斜率存在斜率不存在前提条件口1 =仁2乂90仁1

21、=仁2 = 90对应关系l1l 的k1=k2l1l2仁两直线斜率都不存在1/2图示/ 7 .-3r .0X思牡1.(1)如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为a1与a2,斜率分别为k1与k2，若 l1l2,则a1与a2之间有什么关系？ k1与k2之间有什么关系？(2)对于两条不重合的直线11与l2,若k1=k2，是否一定有12?为什么？提示(1)若ll2, a1与a2之间的关系为a1 = a2;对于k1与k2之间的关系，当a1 = a2尹90。时，k1 = k2，当a1 = a2 = 90时，k1与 k2不存在.一定有l1l2.因为 k1 = k2，所以 tan a1 = tan a2，所以 a1 = a2，所以 11l2.2.两条直线垂直类型斜率存在其中一条斜率不存在前提条件%aj = 90a1 = 0, a2 = 90混应光击1钊法习r八 1刷法*右方？小 1 / J gI-L图示4侦-；2. (1)当两条直线垂直时，它们的倾斜角有什么关系？(2)当两条直线垂直时，它们的斜率之积一定是一1吗？提示(1)设两直线的倾斜角分别为aa2,若两直线垂直，则一a2l = 90.(2)不一定.若一条直线的斜率为0,则与其垂直的直线斜率不存在.U初试身丑I1. 思考辨析(正确的画“J”，错误的画“ X”)(1) 若不重合的两条直线的斜率相等，则这两条直