新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第二章 直线和圆的方程 知识点考点汇总及解题方法规律提炼.docx

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1、第二章 直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率-1 -2.1.1倾斜角与斜率-1 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定-6 -2.2直线的方程-11 -2.2.1 直线点斜式方程-11 -2.2.2 直线的两点式方程-15 -2.2.3 直线的一般式方程-19 -2.3直线的交点坐标与距离公式-24 -2.3.1两条直线的交点坐标-24 -2.3.2两点间的距离公式-24 -2.3.3 点到直线的距离公式-29 -2.3.4 两条平行直线间的距离-29 -2.4圆的方程-33 -2.4.1 圆的标准方程-33 -2.4.2 圆的一般方程-38 -2.5直线与圆、圆与圆的位置关系-42 -2.5

2、.1直线与圆的位置关系-42 -2.5.2 圆与圆的位置关系-48 -2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率1 .倾斜角的相关概念(1) 倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.如图所示，直线l的倾斜角是 4_4些，直线l的倾斜角是/BPx.(2)倾斜角的范围：直线的倾斜角a的取值范围是0WaV180,并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.2. 斜率的概念及斜率公式(1) 定义：倾斜角a(a尹90)的正切值.(2) 记法：A=tan a.(3) 斜率与倾斜角的对应关系.图示yI1NLIr0倾斜角(范围)a=00a

3、90a=9090 a0时，倾斜角a是锐角；当k=tan a=0时， 倾斜角a是0.3.直线的斜率k随倾斜角a的增大而增大吗？提示不是，在0，：内，k随a的增大而增大，在(2，兀内，k也是随a的增大而增大.【例3】已知两点A( 3,4), 5(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1) 求直线l的斜率k的取值范围；(2) 求直线l的倾斜角a的取值范围.思路探究结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之 间，要特别注意，当l的倾斜角小于90时，有k；kpB；当l的倾斜角大于90时， 则有kWkpA.一 ,一.4020解如图所示，由题意可知kp4 = wI= 1,

4、kpB = 3=i.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是kW 1或 kN 1.(2) 由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的 倾斜角是45, PA的倾斜角是135,所以a的取值范围是45WaW135.母题探究1.变条件本例中，三点坐标不变，其它条件改为过B的直线l与线段AP有 公共点，求直线l的斜率的取值范围.解如例题中图所示，,.、421居 AAB =-3-3 = -3,2- 0kBP=31=1，直线l的斜率的取值范围为一1，1 .2.变条件本例中，A、B两点坐标不变，其它条件去掉，在直线y= 1上 求一点P,使PA、PB的斜率互为相反

5、数.解L.点P在直线y=-1上，可设点P(x，-1).又条件可知kPA，kPB 一定存在.4+12+1由斜率公式得kP4+kPB=-3-x+.=0，-3解得x=4.故所求p点坐标为3，-1)厂.观法直线的倾斜角和斜率的关系(1) 直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是90时，直线 的斜率不存在，此时，直线垂直于%轴(平行于y轴或与y轴重合).(2) 直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度.当0WaV90 时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90a180时，斜率越大，直线的倾 斜程度也越大.2.1.2两条直线平行和垂直的判定1.两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在

6、斜率不存在条件T = a2 尹 90a1=a2=90对应关系l2台虹=2l20两直线斜率都不存在图示-2.两条直线垂直与斜率之间的关系图示A对应关系l1 l2(两条直线的斜率都存在， 且都不为零)台格二1l1的斜率不存在，l2的斜率为0 习 L L 12、类垠1两直线平行的判定及应用例n(i)根据下列给定的条件，判断直线与直线i2是否平行. 经过点 A(2,3), B(4,0), l2经过点 M( 3,1), N(2,2)； 的斜率为一2，12经过点A(4,2), B(2,3)； 11平行于y轴，l2经过点P(0,-2), 00,5)； 经过点 E(0,1), F(-2,-1), l2 经过点

7、 G(3,4), H(2,3).(2)试确定m的值，使过点A(m+1,0), B(-5, m)的直线与过点C(-4,3), D(0,5) 的直线平行.思路探究(1)先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断；(2) 利用两直线平行的条件建立方程，解方程求得.3 0121,解(1)知-2_(_4)_2, MN 2 ( 3) 1，ABkMN，所以 l1 与 l2 不 平行.1.321l1的斜率叫=一2，l2的斜率k2=24= 2，k1 = k2，所以l1与l2平行或重 合. 由题意，知l1的斜率不存在，且不与y轴重合，l2的斜率也不存在，且与y 轴重合，所以l1l2.1134 由题意，知 kEF=2一

8、0=1，kGH=2一3=1，kEF=kGH，所以 l1 与 l2平行或重合.需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，k =4(T)= 1fg 3 (2)所以E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合.(2)由题意知CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在，kAB =m，kcD=4=2.由于 ABCD，所以 k.R = km，即一m=1.解得 m = 2.AB CD6m 2经验证m = 2时，直线AB的斜率存在，故m的值为一2.判断两条不重合直线是否平行的步骤【例2】(1)判断下列各题中11与12是否垂直. 经过点 A(1,2), 8(1,2)； 12经过点 M(2,1), N(2,1)

9、; 11的斜率为一10； l2经过点A(10,2), 8(20,3)； 11 经过点 A(3,4), 8(3,10)； l2经过点 M(10,40), (10, 40).(2)已知直线 11 经过点 A(3, a), 8(a2,3)，直线 l2 经过点 C(2,3), D(1, a2), 如果l1l2,求a的值.思路探究(1)判断两直线垂直，当斜率存在时，利用k1k2=1,若有一条 斜率不存在时，判断另一条斜率是否为0.(2)含字母的问题判断要分k存在和不存在两种情况来解题.1 (T)_ 12,2(2) 解时=1(1)= 2, k2 2 ( 2)k1k2=1, ：.l1 与 l2 不垂直./.

10、l1l2.所以l2的斜率存在，设为k2.321k1 = 10, k2 = 205 =访，k1k2= 1，由A, 8的横坐标相等得l1的倾斜角为90,则l1x轴.4040k2=10 (10)= 0,则 l2x 轴，.l1l2.(2)因为直线l2经过点C(2,3), D(1, a2),当k2 = 0,即a2 = 3，亦即a = 5时，A(3,5), 8(3,3)，显然直线l1的斜率不存 在，满足l1l2;当k20,即a2尹3，亦即a尹5时，显然l1的斜率存在，设为 3a a23，要满足题意，则kk? = 1，得. 2 3, 1 2 = 1，解得a = 2.综上可知，a的值为5或2.厂 规|0且bN

11、0.【例3】已知直线l： 5ax5ya + 3 = 0.(1) 求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2) 为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.思路探究(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第 一象限；(2)直线不过第二象限即斜率大于0且与y轴的截距不大于0.解(1)证明：法一：将直线l的方程整理为y5=。&!)直线l的斜率为a，且过定点a5，5)，而点a5，5)在第一象限内，故不论 a为何值，l恒过第一象限.法二：直线l的方程可化为(5x1)a (5y3) = 0.上式对任意的a总成立，5x1=0，、5y3 = 0，即1x =x 5,35.即l过定点a5,5)

12、以下同法一.(2)直线OA的斜率为k=5-05-0=3.如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率akOA = 3, .aN3.母疆探究1 .本例中若直线在y轴的截距为2,求字母。的值，这时直线的一般式方程 是什么？解把方程5ax5ya + 3 = 0化成斜截式方程为y = ax-.由条件可知%=2解得a = 7,这时直线方程的一般式为：7x+y2 = 0.2. 本例中，a为何值时，已知直线与2x-y+3 = 0平行？垂直?5a 5 a + 3解若两直线平行时，则=*7+3解得a = 2,若两直线垂直时，则5aX2+( 5)X(1) = 0，解得a=2，故a = 2时，两直线平行；a=时两直线垂直

13、.3. 本例中将方程改为“x-(a-1)y-a-2 = 0”，若直线不经过第二象限，则 a的取值范围又是什么？解(1)当a1=0，即a=1时，直线为x=3，该直线不经过第二象限，满 足要求.当a1尹0，即a尹1时，直线化为斜裁式方程为y= x-，因为直 a 1 a 1线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得、a 1一，所以 a1.、aW 2或 a 1综上可知aN1.规律方法直线恒过定点的求解策略(1) 将方程化为点斜式，求得定点的坐标；(2) 将方程变形，把x, y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都 成立，故需系数为零，解方程组可得x, y的值，即

14、为直线过的定点.2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2两点间的距离公式1.两条直线的交点坐标几何元素及关系代数表示点AA (a, b)直线ll： Ax+By+C=G点A在直线l上Aa+Bb+C=0直线l1与l2的交点是AfA1x+By+C =0fx=a方程组L1的解是Ia 2%+B?y+C 2=0y=b2.直线 ： A1x+B1y+C1 = G(A1，B1 不同时为 0)； l2： A2x+B2y+C2 = 0(A2，B2不同时为。)的位置关系如表所示:方程组，fA1X+B1y+C1 = 0的解人2% + 82了 +。2 = 0一组无数组无解直线l1和l2公共点的个数一个无数个零个直线11和12的位置关系相交重合平行3.两点间的距离公式(1) 平面上的两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)间的距离公式IP1P2| = Y(X2X1)2+ 321)2.(2) 两点间距离的特殊情况 原点0(0,0)与任一点P(x, y)的距离IOP=X2+y2. 当 P/2x 轴(y1=y2)时，IP1P2I = Ix2-x1I. 当 PP2y 轴(x1=x2)时，IP1P2I = Iy2-y1I.nu/两条直线的交点问题【例1】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.(1) ： 2x-y = 7 和 l2： 3x+2y-7 = 0；(