2024届江苏南通市如皋市高三上学期8月诊断测试数学试题含答案.pdf

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1、高三 8 月诊断测试 数学试题第 1 页（共 4 页）如皋市如皋市 2024 届高三上学期届高三上学期 8 月诊断测试数 学 试 题月诊断测试数 学 试 题2023.08一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知1|11Axx，2|40Bx xxm，若AB，则实数 m 的取值范围（）.A.0,)B.(,3 C.3,0D.(,30,)2.一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的

2、比为（）.A.2:3B.3:2C.1:2D.3:43.设0a，且22 i1 iza，若 z 在复平面内对应的点在直线20 xy上，则a（）.A.1B.1C.2D.44.圆22:(1)(1)1Cxy上两动点 A，B 满足ABC为正三角形，则OAOB 的最大值为（）.A.2 3B.2 2C.2 23D.2 235.文化广场原名地质宫广场，是长春市著名的城市广场 现某兴趣小组准备在文化广场上对中央太阳鸟雕塑塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A 为太阳鸟雕塑最顶端，B 为太阳鸟雕塑塔的基座（即 B 在 A的正下方），在广场内（与 B 在同一水平面内）选取 C、D 两点 测得 CD 的长为.m兴

3、趣小组成员利用测角仪可测得的角有ACB、ACD、BCD、ADC、BDC，则根据下列各组中的测量数据，不能计算出太阳鸟雕塑塔高度 AB 的是（）.A.m、ACB、BCD、BDCB.m、ACB、BCD、ACDC.m、ACB、ACD、ADCD.m、ACB、BCD、ADC注意事项（请考生作答前认真阅读以下内容）：注意事项（请考生作答前认真阅读以下内容）：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔填涂准考证号.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上.3.非

4、选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.5.试卷共 4 页，共 22 小题；答题卡共 2 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.高三 8 月诊断测试 数学试题第 2 页（共 4 页）6.在ABC中，点 O 是 BC 的三等分点（靠近点B），过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同两点 M，N，若ABmAM ，ACnAN，m，n 均为正数，则11mn的最小值为（）.A.2B.213C.2 213D.2 3137.已知等比数列 na的首项为 1，公比为 q，nS是数列 na

5、的前 n 项和，则“0q”是“N,0nnS 恒成立”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.函数 sin2sin2xf xx的最大值为（）.A.32B.3 34C.5 38D.54二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.已知 F 为椭圆22221(0)xy

6、abab的一个焦点，,A B为该椭圆的两个顶点，若3,5AFBF ，则满足条件的椭圆方程为（）.A.22143xyB.22195xyC.2211615xyD.2212521xy10.函数()sincos xf xx，则（）.A.()f x为偶函数B.()f x的最小正周期是C.()f x在0,2上单调递增D.()f x的最小值为111.已知函数()f x的定义域1,1，满足 1xyf xfyfxy，且1()1.2f当0 x 时，()0f x，则下列说法正确的是（）.A.()f x是定义在1,1上的偶函数B.()f x在1,1上单调递增C.若11221,21nnnaaaa，则12nnf aD.当

7、 A，B 是钝角ABC的两个锐角时，sincosfAfB学科网（北京）股份有限公司高三 8 月诊断测试 数学试题第 3 页（共 4 页）12.如果一个凸 n 面体共有 m 个面是直角三角形，那么我们称这个凸 n 面体的直度为mn，则（）.A.三棱锥的直度的最大值为 1B.直度为34的三棱锥只有一种C.四棱锥的直度的最大值为 1D.四棱锥的直度的最大值为45三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分13.7 个人分乘三辆不同的汽车，每辆车最多坐 3 人，则不同的乘车方法有种.（用数字作答）14.在正方体1111ABCDABC D中

8、，4AB，O 为1AC的中点，若该正方体的棱与球 O 的球面有公共点，则球 O 的半径的取值范围是.15.过点(2,2)能作双曲线2221yxa的两条切线，则该双曲线离心率 e 的取值范围为.16.若5xxe，5eln1yy，则xy.四、解答题：本题共四、解答题：本题共6 6小题，共小题，共7070分分.请在请在答题卡指定区域内作答答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，E，F 分别是11C D，AB 的中点.（1）证明：直线1/BC平面1.

9、AECF（2）求点 B 到平面1AECF的距离.18.（本小题满分 12 分）已知 a，b，c 为ABC的内角 A，B，C 所对的边，(sinsin,sinsin)mCBBA，(,)ncb a，且.mn（1）求 C；（2）若2a，ABC的面积为2 3，且3ABDB ，求CD.#QQABSYKQogAAABAAARgCUQEACAGQkAGAAKgORFAEMAAACBFABAA=#高三 8 月诊断测试 数学试题第 4 页（共 4 页）19.（本小题满分 12 分）已知函数()lnexf xxxx.（1）求()f x的最大值;（2）证明：313exxxf xx20.（本小题满分 12 分）已知数

10、列 na的前 n 项和为*()nSnN，当2n 时，满足112nnnSnSnS.（1）证明：2132aaa；（2）证明：数列na为等差数列；（3）若12a ，公差*d N，则是否存在 n，d，使得15nS？若存在，求出所有满足条件的 n，d，若不存在，请说明理由21.（本小题满分 12 分）一只口袋装有形状、大小完全相同的 5 只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各 1 只现从口袋中先后有放回地取球 2n 次*nN，且每次取 1 只球（1）当3n 时，求恰好取到 3 次红球的概率；（2）X 表示 2n 次取球中取到红球的次数，,0X XYX为奇数，为偶数，求 Y 的数学期望（用 n 表示）

11、.22.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 G：22(1)1xy与抛物线 C：22(0)xpy p交于点 M，(N异于原点)O，MN 为该圆的直径，过点(0,2)E作直线交抛物线于 A，B 两点，过 A，B 两点分别作抛物线C 的切线交于点.P（1）证明：点 P 的纵坐标为定值；（2）若 F 是抛物线 C 的焦点，证明：.PFAPFB 高三 8 月诊断测试 数学参考答案第 1 页 共 6 页如皋市如皋市 2024 届高三上学期届高三上学期 8 月诊断测试数学参考答案月诊断测试数学参考答案2023.08一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.一、选择

12、题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号12345678答案BABDBCAB二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分.题号9101112答案BCDADBCAD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.题号13141516答案10502 2,2 321(1,2)(2,)35e四、解答题：本题共 6 小题，共 70

13、 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)证明：如图，连接 EF，因为 E，F 分别是11C D，AB 的中点，所以1ECBF，1/ECBF，所以四边形1EFBC为平行四边形，则1/EFBC，又EF 平面1A ECF，1BC 平面1A ECF，所以1/BC平面1.AECF(2)解：连接 EB，设点 B 到平面1A ECF的距离为.h11233E BFCBFCVSCC，在EFC中，2 2EF，5ECFC，12 2526.2EFCS又因为E BFCB EFCVV，所以12633h，解得6.3h

14、高三 8 月诊断测试 数学参考答案第 2 页 共 6 页18.解：(1)因为mn，所以(sinsin)()(sinsin)0CB cbBA a，由正弦定理得：()()()0cb cbba a，即222abcab，由余弦定理得：2221cos22abcCab，因为0C，所以;3C113(2)sin22 3222ABCSabCb ，解得4b，因为3ABDB ，所以 D 为 AB 的三等分点，2ADDB，则1112()3333CDCBBDCBBACBCACBCACB ，所以，即4 3.3CD 19.解：(1)()lnxef xxxx，定义域为(0,)，则21(1)()1xexfxxx 2(1)()x

15、xxex，令即在时,1xexx 令，得()f x在(0,1上单调递增，在(1,)上单调递减，高三 8 月诊断测试 数学参考答案第 3 页 共 6 页所以max()(1)1.f xfe(2)证明：要证313()xexxf xx，即证321 lnxxx，令令得1,x即在，即1 lnxx 即欲证321 lnxxx，只需证3211.xxx也就是证明332 0.(*)xx 设3()32(0)xxxx，则2()33xx，令()0 x，得1.x 当(0,1)x时，()0;x当(1,)x时，()0.x当1x 时，()x取到最小值(1)0.故(*)式成立，从而313()xexxf xx成立.20.解：(1)当3

16、n 时，21333SSS，所以21333SSS，即21233aaaa，即2132aaa，即证；(2)因为11(2)(2)nnnSnSnS n，即11)0(2(2)nnnnS n S SSn且1(2)nnnSSa n，11Sa，所以12(2)nnSnana n，则1112(1)(1)(3)nnSnanan，两式相减，可得111222(1)(3)nnnnnSSaananan，整理得11(2)(1)(3)nnnaanan，所以11(1)(2)nnnaana n，两式相减，可得11(1)(2)(1)(3)nnnnnanananan，整理得11(1)(2)0(3)nnnnaaan，且10n，所以1120

17、(3)nnnaaan，即当2n时，na成等差数列，高三 8 月诊断测试 数学参考答案第 4 页 共 6 页又由(1)可知，1a，2a，3a成等差数列，所以数列na为等差数列；(3)假设存在符合题意的 n，d，则由1(1)2nn ndSna，可知，(1)1522n ndn，当1n 时，上式显然不成立，当2n时，2(215)(1)ndn n，因为*dN，且215n为奇数，(1)n n为偶数，所以2(215)(1)nn n必为奇数，若2(215)1(1)nn n，则25300(2)nnn，无正整数解，所以2(215)3(1)nn n，整理得23730 0(2)nnn，解得24n，当2n 时，2(21

18、5)19(1)ndn nN，符合题意，当3n 时，2(215)7(1)ndn nN，符合题意，当4n 时，2(215)23(1)6ndn nN，不符合题意，综上，存在2n，19d 及3n，7d 符合题意21.解：(1)当3n 时，从装有 5 只小球的口袋中有放回的取球 6 次，共包含65种情况记“恰好取到 3 次红球”为事件 A，事件 A 包含3364C种情况故33466544256().553125CP A 答：当3n 时，恰好取到 3 次红球的概率为256.3125(2)由题意知，随机变量 Y 的所有可能取值为 0，1，3，5，*21().nnN则212(21)224(21).5ininn

19、CP Yi212(21)224(21)(21)(21)5ininnCiP Yii2(21)2(2)!(21)4(21)!(221)!5ninniini高三 8 月诊断测试 数学参考答案第 5 页 共 6 页22(21)21224(01,).5ininnnCi niN 所以()0(0)1(1)3(3)E YP YP YP Y 5(5)P Y(21)(21)nP Yn02122342521212122(4445nnnnnnnnCCC22214).nnC令021223425212121444nnnnnnnxCCC22214nnC，122324526212121444nnnnnnnyCCC210214

20、nnC，则021122223212121444nnnnnnnnxyCCC324425210212121444nnnnnnCCC2121(4 1)5nn，021122223212121444nnnnnnnnxyCCC324425210212121444nnnnnnCCC2121(4 1)3nn，所以212153.2nnnx所以2121222253()552nnnnnnnE Yx21212(53).5nnnn故 Y 的数学期望为21212(53).5nnnn22.证明：(1)由题意可知该圆与抛物线交于一条直径，由对称性可知交点坐标为(1,1)，(1,1)，代入抛物线方程可得21p，所以抛物线的方程

21、为2xy；设211(,)A x x，222(,)B x x，所以22121212ABxxkxxxx，所以直线 AB 的方程为21121()()yxxxxx，即1212().yxx xx x因为直线 AB 过点(0,2)E，所以122x x，所以122.x x 设直线 PA：211()yxk xx，与抛物线方程2yx联立，可解得1xx或1xkx，高三 8 月诊断测试 数学参考答案第 6 页 共 6 页又因为直线 PA 与抛物线相切，所以11xkx，所以12kx，所以直线 PA 的方程为21112()yxx xx，即2112yx xx，同理直线 PB 的方程为2222.yx xx联立两直线方程，可得1212(,)2xxPx x，由可知点 P 的纵坐标为定值2.(2)可知点1(0,)4F，准线 l：1.4y 过 A，B 分别作1AAl，1BBl于点1A，1B，可知111(,)4A x，所以1112A Fkx，又2112112122APxx xkxxxx，所以11A FAPkk，所以1.AFAP又，所以1AAF是等腰三角形，可知 PA 是1AF的中垂线，所以，所以1AAPAFP，所以1.PFAPA A 同理且1PFBPB B，所以，所以1111PABPB A，所以11PA APB B，所以.PFAPFB