条件概率、条件概率的性质及应用、全概率公式、贝叶斯公式（重点突围）含答案.pdf

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1、1条件概率、条件概率的性质及应用、全概率公式、贝叶斯公式条件概率、条件概率的性质及应用、全概率公式、贝叶斯公式目录【题型一】条件概率的理解【题型二】利用定义求条件概率【题型三】缩小样本空间求条件概率【题型四】概率的乘法公式【题型五】互斥事件的条件概率【题型六】全概率公式【题型七】多个事件的全概率问题【题型八】贝叶斯公式【题型一】条件概率的理解【题型一】条件概率的理解1 1 判断下列哪些是条件概率？(1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率；(2)掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率；(3)在一副扑克

2、的 52 张(去掉两张王牌后)中任取 1 张，已知抽到梅花的条件下，再抽到的是梅花 5 的概率【变式训练】【变式训练】1.下面几种概率是条件概率的是()A.甲、乙二人投篮命中率分别为06,07，各投篮一次都投中的概率B.甲、乙二人投篮命中率分别为06,07，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率C.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，则小明在一次上学中遇到红灯的概率2.把一枚硬币投掷两次，事件A=“第一次出现正面”，B=“第二次出现正面”，则P(B|A)等于()A.14B.12C.16D.18【题型二

3、】利用定义求条件概率【题型二】利用定义求条件概率1 1 抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间=1,2,3,4,5,6，事件A=2,3,5,B=1,2,4,5,6，求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A|B)【变式训练】【变式训练】1.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；2024高考数学专项条件概率、条件概率的性质及应用、全概率公式、贝叶斯公式（重点突围）2024高考数学专项条件概率、条件概率的性质及应用、全概率公式、贝叶斯公式（重点突围）2(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目

4、的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率2.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率3.5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求：(1)第一次取到新球的概率；(2)第二次取到新球的概率；(3)在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率4.设A，B为两个事件，且P(A)0，若P(AB)=13，P(A)=23，则P(B|A)等于()A.12B.29C.19D.495.一盒中装有5件产品，其中3件一等品，2件二等品，从中不放回地取出产品，每次1件，取两次已知第二次取得

5、一等品，则第一次取得二等品的概率是()A.12B.13C.14D.236.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B|A)等于()A.38B.1340C.1345D.347.已知A与B是两个事件，P(B)=14，P(AB)=18，则P(A|B)等于()A.13B.14C.38D.128.7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是()A.14B.15C.16D.1739.甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，

6、记P(A)=02，P(B)=018，P(AB)=012，则P(A|B)和P(B|A)分别等于()A.13，25B.23，25C.23，35D.12，3510.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于()A.49B.29C.12D.1311.小明早上步行从家到学校要经过两个有红绿灯的路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为04，在第二个路口遇到红灯的概率为05，在两个路口连续遇到红灯的概率是02，某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是()A.02B.03C.04D.05

7、12.分别用集合M=2,4,5,6,7,8,11,12中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另外一个元素与之构成可约分数的概率是13.设某种动物能活到20岁的概率为08，能活到25岁的概率为04，现有一只20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是14.已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个(1)若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；(2)若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率15.某社区活动中心打算周末去照看养老院的老人，现有4个志愿者服务小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要帮

8、助的养老院可供选择，每个志愿者小组只去一个养老院，设事件A为“4个志愿者小组去的养老院各不相同”，事件B为“小组甲独自去一个养老院”，则P(A|B)等于()A.29B.13C.49D.5916.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是075，连续两天为优良的概率是06，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.08B.075C.06D.045【题型三】缩小样本空间求条件概率【题型三】缩小样本空间求条件概率1 1集合A=1,2,3,4,5,6，甲、乙两人各从 A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概

9、率4【变式训练】【变式训练】1.集合A=1,2,3,4,5,6，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，乙抽到偶数的概率2.2022年6月3日是我国的传统节日“端午节”这天小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅，小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为()A.14B.34C.110D.3103.集合A=1，2，3，4，5，6，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率4.5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回

10、地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为【题型四】概率的乘法公式【题型四】概率的乘法公式1 1一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次求：(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率【变式训练】【变式训练】1.10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求：(1)甲抽到难签的概率；5(2)甲、乙都抽到难签的概率；(3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率2.设A，B为两个事件，已知P(A)=23，P(B|A)=12，则P(AB)等于()A.12B.13C.29D.233.某

11、人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是()A.110B.15C.45D.9104.已知P(B|A)=13，P(A)=25，则P(AB)等于()A.56B.910C.215D.1155.(多选)设P(A|B)=P(B|A)=12，P(A)=13，则()A.P(AB)=16B.P(AB)=56C.P(B)=13D.P(B)=1126.有一批种子的发芽率为09，出芽后的幼苗成活率为08在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是()A.072B.08C.086D.097.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，在下雨天里

12、，刮风的概率为38，则既刮风又下雨的概率为()A.8225B.12C.110D.348.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是()A.0665B.0564C.0245D.02859.设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为310，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A发生的概率为【题型五】互斥事件的条件概率【题型五】互斥事件的条件概率1 1在一个袋子中装有 10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸 2个球，求在第一个球是红球的条件下，第

13、二个球是黄球或黑球的概率6【变式训练】【变式训练】1.抛掷两颗质地均匀的骰子各一次(1)向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？(2)向上的点数不相同时，向上的点数之和为4或6的概率是多少？2.若B，C是互斥事件且P(B|A)=13，P(C|A)=14，则P(BC|A)等于()A.12B.13C.310D.7123.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为【题型六】全概率公式【题型六】全概率公式1 1某商店收进甲厂生产的产品 30 箱，乙厂生产的同种产品 20 箱，甲厂每箱装 100 个，废品率

14、为 0 06，乙厂每箱装120个，废品率为005，求：(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率【变式训练】【变式训练】1.已知P(BA)=04，P(BA)=02，则P(B)的值为()A.008B.08C.06D.0572.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行新冠疫情防控宣传参加活动的甲、乙两班的人数之比为53，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13求该社区居民遇到一位进行新冠疫情防控宣传的同学恰好是女生的概率3.盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽

15、出的是黑球的概率是()A.ba+b+cB.ba+cC.ba+bD.b+ca+b+c4.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为004，第二台的废品率为007，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为()A.021B.006C.094D.0955.一袋中装有10个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，7个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为()A.29B.13C.310D.7106.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查参加活动的甲、乙两班的人数之比为53，其中甲班中女生占35，乙

16、班中女生占13求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率7.学校举行演讲比赛，共有20名同学参加，学校决定让参赛选手通过抽签决定出场顺序不过，刘帅同学对抽签的公平性提出了质疑，他的理由是，如果第一个人抽的出场顺序是1号，那么其他人就抽不到1号了，所以每个人抽到1号的概率不一样刘帅的想法正确吗？特别地，第一个抽签的人抽到1号的概率与第二个抽签的人抽到1号的概率是否相等？为什么？8.把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个

17、球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母8B的球，则在第三个盒子中任取一个球如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为()A.059B.041C.048D.064【题型七】多个事件的全概率问题【题型七】多个事件的全概率问题1 1某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据：元件制造厂次品率提供元件的份额100201520010803003005设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率【变式训练】【变式训练】1.有三个箱子，其中1号箱装有1个红球和

18、4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，求取得红球的概率2.甲、乙、丙三人同时对一架飞机进行射击，三人击中的概率分别为04,05,07飞机被一人击中而击落的概率为02，被两人击中而击落的概率为06，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率3.有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为03，02,01,04，迟到的概率分别为025,03,01,0，则他迟到的概率为()A.065B.0075C.0145D.094.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份

19、和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的概率为()A.310B.21100C.730D.29905.袋中装有编号为1,2，N的N个球，先从袋中任取一球，如该球不是1号球就放回袋中，是1号球就不放回，然后再摸一次，则取到2号球的概率为6.设甲袋有3个白球和4个红球，乙袋有1个白球和2个红球现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，求从乙袋中取出的是2个红球的概率7.假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率95%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率【题型八】

20、贝叶斯公式【题型八】贝叶斯公式*1 1小张从家到公司上班总共有三条路可以走(如图)，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)=05，P(L2)=03，P(L3)=02，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)=02，P(C2)=04，P(C3)=07假设遇到拥堵会迟到，那么：(1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？(2)已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率是多少？【变式训练】【变式训练】1.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为21，货车中途停车修理的概率为002，客车为001，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率102.某试卷中1道选择

21、题有6个答案，其中只有一个是正确的考生不知道正确答案的概率为14，不知道正确答案而猜对的概率为16现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为()A.14B.119C.1116D.19243.电报发射台发出“”和“-”的比例为53，由于干扰，传送“”时失真的概率为25，传送“-”时失真的概率为13，则接收台收到“”时发出信号恰是“”的概率为4.电报发射台发出“”“-”的比例为53，由于干扰，传送“”时失真的概率为25，传送“-”时失真的概率为13，则接受台收到“”时发出信号恰是“”的概率为1条件概率、条件概率的性质及应用、全概率公式、贝叶斯公式条件概率、条件概率的性质及应用、全概率公式、贝叶斯公式

22、目录【题型一】条件概率的理解【题型二】利用定义求条件概率【题型三】缩小样本空间求条件概率【题型四】概率的乘法公式【题型五】互斥事件的条件概率【题型六】全概率公式【题型七】多个事件的全概率问题【题型八】贝叶斯公式【题型一】条件概率的理解【题型一】条件概率的理解1 1判断下列哪些是条件概率？(1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率；(2)掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率；(3)在一副扑克的 52 张(去掉两张王牌后)中任取 1 张，已知抽到梅花的条件下，再抽到的是梅花 5 的概率【详解】由条件概率

23、定义可知(1)(3)是，(2)不是【总结】判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的【变式训练】【变式训练】1.下面几种概率是条件概率的是()A.甲、乙二人投篮命中率分别为06,07，各投篮一次都投中的概率B.甲、乙二人投篮命中率分别为06,07，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率C.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，则小明在一次上学中遇到红灯的概率【答案】B【详解】由条件概率的定义知B为条件概率2.把一枚硬币投掷两次，事件A=“第一次出现正面”，B=“第二次出现

24、正面”，则P(B|A)等于()A.14B.12C.16D.18【答案】B【详解】P(AB)=14，P(A)=12，P(B|A)=P(AB)P(A)=12【题型二】利用定义求条件概率【题型二】利用定义求条件概率1 1抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间=1,2,3,4,5,6，事件A=2,3,5,B=1,2,4,5,6，求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A|B)【详解】方法1(定义法)：由已知得AB=2,5，由古典概型可知2P(A)=36=12，P(B)=56，P(AB)=26=13，所以由条件概率公式得P(A|B)=P(AB)P(B)=25方法2(缩小样本空间法)：因为B=1,2,4,5,6，

25、AB=2,5，所以n(B)=5,n(AB)=2，从而P(A|B)=n(AB)n(B)=25【总结】计算条件概率的两种方法(1)公式法：用字母A,B表示事件；分别计算概率P(AB)和P(A)；利用条件概率公式P(B|A)=P(AB)P(A)求概率(2)缩小样本空间法：原来的样本空间缩小为事件A；原来的事件B缩小为A与B同时发生的事件AB；利用古典概型概率公式P(B|A)=n(AB)n(A)求概率【变式训练】【变式训练】1.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在

26、第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率【详解】设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的样本点数n()=A26=30根据分步计数原理，得n(A)=A14A15=20，所以P(A)=n(A)n()=2030=23(2)因为n(AB)=A24=12，所以P(AB)=n(AB)n()=1230=25(3)由(1)(2)，得在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率 P(B|A)=P(AB)P(A)=2523=35【总结】利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算

27、概率P(AB)和P(A)(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)=P(AB)P(A)，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生2.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率【详解】设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC3P(A)=23，P(AC)=830=415，P(C|A)=P(AC)P(A)=253.5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求：(1)第一次取到新球的概率

28、；(2)第二次取到新球的概率；(3)在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率【详解】设“第一次取到新球”为事件A，“第二次取到新球”为事件B(1)P(A)=35(2)P(B)=32+2354=35(3)因为P(AB)=3254=310，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=124.设A，B为两个事件，且P(A)0，若P(AB)=13，P(A)=23，则P(B|A)等于()A.12B.29C.19D.49【答案】A【详解】P(B|A)=P(AB)P(A)=1323=125.一盒中装有5件产品，其中3件一等品，2件二等品，从中不放回地取出产品，每次1件，取两次已知第二次取得一等品

29、，则第一次取得二等品的概率是()A.12B.13C.14D.23【答案】A【详解】方法一设事件A为“第一次取得二等品”，事件B为“第二次取得一等品”，则事件AB为“第一次取得二等品，且第二次取得一等品”，所以P(A|B)=P(AB)P(B)=25342534+3524=12方法二设一等品为 a，b，c，二等品为 A，B，“第二次取得一等品”所包含的样本点有(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(A，a)，(A，b)(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共12个，在这12个样本点中，表示第一次取得二等品的样本点共有6个，所以所求概率为P=612=126

30、.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B|A)等于()A.38B.1340C.1345D.34【答案】B【详解】由题意得P(A)=59，事件AB为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”，若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1,5,7，第二次有3种情况，4故共有 2 2+3 3=13(个)样本点，则 P(AB)=1398=1372，由条件概率的定义，得 P(B|A)=P(AB)P(A)=13407.已知A与B是两个事件，P(B)=14，P(AB)=18，则P(A|B)等

31、于()A.13B.14C.38D.12【答案】D【详解】由条件概率的计算公式，可得P(A|B)=P(AB)P(B)=1814=128.7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是()A.14B.15C.16D.17【答案】C【详解】记“甲站在中间”为事件A，“乙站在末尾”为事件B，则n(A)=A66，n(AB)=A55，所以P(B|A)=A55A66=169.甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)=02，P(B)=018，P(AB)=012，则P(A|B)和P(B|A)分别等于()A.13

32、，25B.23，25C.23，35D.12，35【答案】C【详解】P(A|B)=P(AB)P(B)=0.120.18=23，P(B|A)=P(AB)P(A)=0.120.2=3510.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于()A.49B.29C.12D.13【答案】C【详解】由题意可知n(B)=C1322=12，n(AB)=A33=6，P(A|B)=n(AB)n(B)=612=1211.小明早上步行从家到学校要经过两个有红绿灯的路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为04，在第二个路口遇到红灯的概

33、率为05，在两个路口连续遇到红灯的概率是02，某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是()A.02B.03C.04D.05【答案】D【详解】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B，则P(A)=04，P(B)=05，P(AB)=02，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=0.20.4=0512.分别用集合M=2,4,5,6,7,8,11,12中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是512，则取出的另外一个元素与之构成可约分数的概率是【答案】47【详解】设“取出的两个元素中有一个是 12”为事件A，“取出的两个

34、元素构成可约分数”为事件 B，则n(A)=7，n(AB)=4，所以P(B|A)=n(AB)n(A)=4713.设某种动物能活到20岁的概率为08，能活到25岁的概率为04，现有一只20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是【答案】05【详解】设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，则P(A)=08，P(B)=04，又所求概率为P(B|A)，由于BA，故P(AB)=P(B)，则P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=0.40.8=05，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0514.已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个(1)若采取放回的方

35、法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；(2)若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率【详解】(1)两次都取得白球的概率P=2626=19(2)记事件A为“第一次取出的是红球”，事件B为“第二次取出的是红球”，则P(A)=4565=23，P(AB)=4365=25，利用条件概率的计算公式，可得P(B|A)=P(AB)P(A)=2532=3515.某社区活动中心打算周末去照看养老院的老人，现有4个志愿者服务小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要帮助的养老院可供选择，每个志愿者小组只去一个养老院，设事件A为“4个志愿者小组去的养老院各不相同”，事件B为“小组甲

36、独自去一个养老院”，则P(A|B)等于()A.29B.13C.49D.59【答案】A【详解】由题意P(A)=A4444，P(AB)=P(A)，P(B)=43344，P(A|B)=P(AB)P(B)=A444443344=2916.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是075，连续两天为优良的概率是06，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.08B.075C.06D.045【答案】A【详解】设某天的空气质量为优良是事件 B，随后一天的空气质量为优良是事件 A，故所求概率为 P(A|B)=P(AB)P(B)=0.60.75=08【题型三】缩小样本空间

37、求条件概率【题型三】缩小样本空间求条件概率1 1集合A=1,2,3,4,5,6，甲、乙两人各从 A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的6条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率【详解】将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个在这15个样本点中，乙抽到的数比甲抽到的数大的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3

38、,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P=915=35【总结】利用缩小样本空间法求条件概率的方法(1)缩：将原来样本空间缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB(2)数：数出A中事件AB所包含的样本点(3)算：利用P(B|A)=n(AB)n(A)求得结果【变式训练】【变式训练】1.集合A=1,2,3,4,5,6，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，乙抽到偶数的概率【详解】在甲抽到奇数的样本点中，乙抽到偶数的样本点有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P=91

39、5=352.2022年6月3日是我国的传统节日“端午节”这天小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅，小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为()A.14B.34C.110D.310【答案】A【详解】设事件A为“取到的两个粽子为同一种馅”，事件B为“取到的两个粽子都是腊肉馅”方法一n(A)=C22+C23=4，n(AB)=C22=1所以P(B|A)=n(AB)n(A)=14方法二P(A)=25，P(AB)=110，P(B|A)=P(AB)P(A)=11025=143.集合A=1，2，3，4，5，6，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先

40、取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率【详解】将甲抽到数字 a，乙抽到数字 b 记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，所以所求概率P=915=354.5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第

41、一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为【答案】12【详解】设第1次取到新球为事件A，第2次取到新球为事件B，则P(B|A)=n(AB)n(A)=3234=127【题型四】概率的乘法公式【题型四】概率的乘法公式1 1一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次求：(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率【详解】记“第一次取得白球”为事件A，“第二次取得白球”为事件B，则A表示事件“第一次取得黑球”，由题意，得(1)P(A)=610=35(2)P(AB)=P(A)P(B|A)=61059=13(3)P(A

42、B)=P(A)P(B|A)=41069=415【总结】概率的乘法公式公式P(AB)=P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想【变式训练】【变式训练】1.10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求：(1)甲抽到难签的概率；(2)甲、乙都抽到难签的概率；(3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率【详解】记事件A，B分别表示甲、乙抽到难签，则(1)P(A)=410=25(2)P(AB)=P(A)P(B|A)=2539=215(3)P(AB)=P(A)P(B|A)=3549=4152.设A，B为两个事件，已知P(A)=23，P(B|A)=12，则P(AB)等于()A.12B.13

43、C.29D.23【答案】B【详解】由概率的乘法公式，可得P(AB)=P(B|A)P(A)=1223=133.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是()A.110B.15C.45D.910【答案】A【详解】记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)=910，P(B|A)=19，所以P(AB)=P(A)P(B|A)=1104.已知P(B|A)=13，P(A)=25，则P(AB)等于()A.56B.910C.215D.1158【答案】C【详解】P(AB)=P(B|A)P(A)=1325=2155.(多选)设P(A|B)=P(B|A)=12，P(A

44、)=13，则()A.P(AB)=16B.P(AB)=56C.P(B)=13D.P(B)=112【答案】AC【详解】P(AB)=P(A)P(B|A)=1312=16，由P(A|B)=P(AB)P(B)，得P(B)=P(AB)P(A|B)=162=136.有一批种子的发芽率为09，出芽后的幼苗成活率为08在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是()A.072B.08C.086D.09【答案】A【详解】设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活而成长为幼苗)，则P(A)=09又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)=08，所以P(AB)=P(A)P(B|A)=

45、0908=0727.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，在下雨天里，刮风的概率为38，则既刮风又下雨的概率为()A.8225B.12C.110D.34【答案】C【详解】记“该地区下雨”为事件A，“刮风”为事件B，则P(A)=415，P(B)=215，P B|A)=38，所以P(AB)=P(A)P(B|A)=41538=1108.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是()A.0665B.0564C.0245D.0285【答案】A【详解】记事件A为“甲厂产品”

46、，事件B为“合格产品”，则P(A)=07，P(B|A)=095，P(AB)=P(A)P(B|A)=07095=06659.设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为310，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A发生的概率为【答案】35【详解】由题意知，P(AB)=310，P(B|A)=12由P(B|A)=P(AB)P(A)，得P(A)=P(AB)P(B|A)=31012=35【题型五】互斥事件的条件概率【题型五】互斥事件的条件概率1 1在一个袋子中装有 10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸 2个球，求在第一9个球是红球的条件下，第二个球是黄球或

47、黑球的概率【详解】(方法1)设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P(A)=110，P(AB)=12109=145，P(AC)=13109=130P(B|A)=P(AB)P(A)=145110=1045=29，P(C|A)=P(AC)P(A)=130110=13P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)=29+13=59所求的条件概率为59(方法1)n(A)=1C19=9，n(BC|A)=C12+C13=5，P(BC|A)=59所求的条件概率为59【总结】(1)利用公式P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)可使条件概率的计算较为

48、简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”(2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率【变式训练】【变式训练】1.抛掷两颗质地均匀的骰子各一次(1)向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？(2)向上的点数不相同时，向上的点数之和为4或6的概率是多少？【详解】(1)记事件A表示“两颗骰子中，向上的点数有一个是2”，事件B表示“两颗骰子向上的点数之和为7”，则事件 AB 表示“向上的点数之和为 7，其中有一个的点数是 2”，则 P(B)=636=16，P(AB)=236=118，所以P(A|B)=P(AB

49、)P(B)=13(2)记事件Mi表示“两颗骰子向上的点数之和为 i”，则事件“向上的点数之和为 4或6”可表示为M=M4M6，其中事件 M4与M6互斥，记事件 N表示“两颗骰子向上的点数不相同”，则事件 MiN表示“两颗骰子向上的点数不相同，且向上的点数之和为i”因为P(N)=3036=56，P(M4N)=236=118，P(M6N)=436=19，所以P(M|N)=P(M4M6|N)=P(M4|N)+P(M6|N)=P(M4N)P(N)+P(M6N)P(N)=11856+1956=152.若B，C是互斥事件且P(B|A)=13，P(C|A)=14，则P(BC|A)等于()A.12B.13C.

50、310D.712【答案】D【详解】因为B，C是互斥事件，所以P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)=13+14=7123.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为10【答案】67【详解】设事件 A 为“其中一瓶是蓝色”，事件 B 为“另一瓶是红色”，事件 C 为“另一瓶是黑色”，事件 D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D=BC，且B与C互斥又P(A)=C12C13+C22C25=710，P(AB)=C12C11C25=15，P(AC)=C12C12C25=25，故P(D|A)=P(BC|A)=P(B|A)+P