2.1.1集合的含义与表示.docx

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1、第2.1章2. 1. 1集合的含义与表示了解求心中有0高中要求1 了解集合的含义;，体会元素与集合的“属于”关系；2针对不同的具体问题，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法） 加以描述.LU基础知识夯实立完.知识体基1元素与集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或 集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）.2集合的元素特征确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故“帅哥”不能组成集合. 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集

2、合中的元素是不重复出现的.Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名“熊大“熊二“，以视区别.若集合4 = 1, 2, a,就意味a H 1且q W 2. 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.Eg：高一班每月都换座位也改变不了它是班的事实，1, 2, 3 = 2, 3, 1）.3元素与集合的关系若a是集合4的元素，则称a属于集合4,记作a C 4；若a不是集合4的元素，则称。不属于集合4记作Eg：菱形e 平行四边形, oe/v, 0e1, 2, 3, 4）.4常用数集自然数集（或非负整数集），记作N；正整数集，记作N*或明；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R

3、(2)大于一1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是 e Z且-1 V % 7,因此，用描述法表示为% 6Z|-1%7；大于一1且小于7的整数有0,123,456,因此，用列举法表示为0,123,4,5,6.9 .设集合/ = m| 巴 E N,m e N,m 10.3(1)试判断元素L2与集合4的关系；(2)用列举法表示集合4答案（1） 1 W 4 2 e 4（2）4 = 2,5,8解析(1)当血=1时，满足血e Nfm 10,而一 =一：0 N,故164；当血=2时，满足me工10,且三 =OWN,故2 4；(2)根据题意，mEM610，血一248,且(租2)EZ,又因.(根2)GN,

4、且是3的整数倍, kJa m - 2 = 0或3或6,.m= 2或5或8,.集合Z = m - ENfm e Nfm 1解析,集合4 = xax2+ 2% + 1 = 0,a 6 R至多有一个元素,.。=。或屋：_钻40,解得。或3,.a的取值范围是a|a = 0或a 1.故答案为：司。=0或之1.已知由实数构成的集合4满足条件:若a ，则詈且1),则集合4中至少有几个元素?证明你的结论.答案四解析 设集合4中有1元素a（Q W 0,月.a H 1）, 1 l+a* a E则6 A9： = 6 Ayl-a1 ai-a进而有空1 a-1=W e 4 ,又有= aE A,a+l1-a+i假设。=产

5、，则M = _i,矛盾，。宁，l-a1-a类似方法可证Q、产、-工和?四个数互不相等, l-a a q+1这就证得集合4中至少有四个元素.5集合的分类有限集，无限集，空集0.Eg：奇数集%|% = 2n + 1 , n G Z属于无限集，% e Rx2 + 1 = 0 = 0.6集合的表示方法列举法把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法.描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写 出这个集合中元素所具有的共同特征.一般格式：% 6 4|p（%）.用符号描

6、述法表示集合时应注意：（1）弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？（2）元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表 面的字母形式所迷惑.Eg集合元素化简结果xx2 % 2 = 0方程%2 _% - 2 = 0的解-L2(xx2 x 2 0不等式% 2Vo的解集%| - 1 % 一 /(%y)|y = x2 -x-2函数y = %2 - x - 2的图像上的点看集合先看元素类型.经典例题从典例中见解&健力【题型1】集合元素的特征【典题1】下列说法正确的是（）4数学成绩较好的同学组成一个集合；所有小的正数组成的集合

7、；C集合1 ,2 ,3 ,4 ,5和5 ,4 ,3 ,2 ,1表示同一个集合;D.1 , 0.5 , i 1,月这些数组成的集合有五个元素.224 Y 4解析由于“较好、“小的没有一个明确的标准，A,8的对象不具备确定性;O中的0.5 , 1 H三个数相等,I ,:相等，故集合只有3个元素；27 424集合具有无序性，所以C是正确的；故选C.变式练习1 ,下列选项能组成集合的是（）A.著名的运动健儿B.英文26个字母 C.非常接近0的数 D.勇敢的人答案B解析著名的运动健儿，元素不确定，不能组成集合；英文26个字母，满足集合元素的特征，所以能组成集合；非常接近0的数，元素不确定，不能组成集合；

8、勇敢的人，元素不确定，不能组成集合；故选8.2 ,若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形答案D3 .下列所给的对象能构成集合的是.所有直角三角形；（2）全国高耸的山脉；（3）比较接近1的正整数全体；某校高一年级的16岁以下的学生；（5）3, sm30,夕.解析（1）能，集合元素是直角三角形；不能，“高耸”的标准是模糊的、不确定的，所以元素不确定，故不能构成集合；不能，“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；(4)能，集合元素是“16岁以下的学生七不能，sm30 = 有两个数字重复，不符合元

9、素的互异性.故答案是(4)【题型2】元素与集合的关系【典题1】已知集合4含有两个元素。一 3和2a-1,若一3 G 4则实数a = 解析-3 e 4 -3 = q 3或-3 = 2a-l.若3 = q 3,则a = 0,此时集合/含有两个元素-3, -1,符合题意.若一3 = 2a1,则a = -1,此时集合/含有两个元素-4, -3,符合题意.综上所述，满足题意的实数a的值为。或-L变式练习1 .下列所给关系正确的个数是()ER；遮WQ; OWN*；|-4|N*.A. 1B. 2C. 3D. 4答案B解析对，故选2 .设不等式3-2% V0的解集为M,下列关系中正确的是()A. 0EMf2E

10、M B. 0eMf2EM C. 0eMf2M D.答案B解析当 = 0时，3-2% = 30,所以OEM；当 = 2时，3-2% =-K0,所以2CM.3 .对于集合4 = 2,4,6,若a 6 4 则6 那么a的取值是.解析 当a = 2,4满足题意，当a = 6时，6 6 = 0 044,已知非空集合M满足：若 6M,则-EM,则当4 6 M时，集合M的所有元素之积等于 1-X答案1解析依题意，得当4 6M时，有土 =从而W =A = 4eM,1一43十34于是集合M的元素只有4, j ：所有元素之积等于4x(勺x： = 1. 3434【题型3】集合的表示【典题1】用列举法表示下列集合(1

11、)11以内偶数的集合；方程( + 1)(/ _ 4)=。的所有实数根组成的集合；(3)一次函数y = 2x与y = x + 1的图象的交点组成的集合.解析(1)2,48,10；(2)解方程( + 1)(/ 4) = 0,得%1 = 1,%2 = -2,%3 = 2,故方程Q + 1)(7 4) = 0的所有实数根组成的集合为-2, 1,2；(3)解方程组)得仁；,因此一次函数y = 2%与y = % + 1的图象的交点为(1,2),故所求的集合为(1,2).【典题2设集合B =卜6 N |搭6 N. I2+x J试判断元素1, 2与集合8的关系；(2)用列举法表示集合瓦解析当 = 1时，多=2

12、CN. 乙I X当 = 20寸， 言= 2? = |N.因此lea, 2比B. 乙I乙乙I乙乙(2) v-e N, XGN,2 + %只能取2, 3, 6. 2+X,只能取0, 1, 4, A B =0, 1, 4).【典题3若集合4 = xax2 -ax + lO = 0,则实数Q的取值集合为()A. a|0 a 4 B. a|0 a 4 C. a|0 a 4 D. a|0 a 4解析当a = 0时，不等式等价于l0,此时不等式无解；当aH 0时，要使原不等式无解，应满足；：，即解得a4；综上，a的取值范围是0,4).故选：B.变式练习1 .集合P = xx - 2kf k G Z, M =

13、 xx = 2k + l,k E Z, S = xx = 4k + l,k E Z, a 6P, b E M,设。=a + b,则有()A. CEPB. CEMC. c ESD.以上都不对答案B解析a e P, b E M, c = a + b,设a = 2/q, kr E Z, b = 2k2 + 1，k2 E Z, c = 2kl + 2k2 + 1 = 2(k + fc2) + 1，又 h + B Z, c 6 M.2 .已知集合/= /+ s2 | c,s Z,且 E 4 y E A,则下列结论正确的是()A. x + y e A B. x - y E A C. xy E A D. A

14、答案C解析集合4 = t2 + s2 t,s e Z),.164 2 41 + 2 = 34,故+ 错误；又1-2 =-1 W4,故& ye A错误；又；0 4故。:4W 4错误；故选C. 2y(为什么xy e A?令 = t2 + s2,y =,xy = (t2 + s2)(ti + sp = t2tf + t2sf + s2tf + s2s1 = (tsi + st1)？ + (电ss2 e X)3 .集合Z = 匕y,%y - 1,其中 CZ, y e Z且y W 0,若0 G 4 则4中的元素之和为.答案0解析因为0 6 4所以若 = 0,则集合4 = 0,0,1不成立.所以工。0.若

15、因为yHO,所以yHO,所以必有y-l = 0,所以xy = l.因为 G Z, y E Z,所以 = y = 1 或 = y =1.若x = y = 1,此时4 = 1,1,0不成立，舍去.若 = y = -l,则/= - 1,1,0,成立.所以元素之和为1 - 1 + 0 = 0.4用列举法表示集合M = (mENfmEZ =；答案 M = 0,1,2,3,5,111 2解析:赤 从m Z；.M= 0,1,2,3,5,11.5 .设M是一个非空集合，#是它的一种运算，如果满足以下条件：对M中任意元素都有(a#b)#c = a#(b#c)；(2)对M中任意两个元素见b,满足a#b W M.则

16、称M对运算#封闭.下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为.-2,-1,1,21,-1,0ZQ.答案.解析(1)的意思是满足结合律，(2)的意思是两个元素运算后还属于原集合的.中，当a = -1, b = l时,a + b = 02,1,1,2),当 a = -2, b = 2时,ax b =-4 $ 2,-1,1,2,故中集合对加法和乘法都不封闭，中集合M = 1,一 1,0满足：(1)对M中任意元素a”,c都有(a + b) + c = a + (b + c)；(2)对M中任意两个元素a,b,满足a +故中集合对加法运算封闭，同理可得对乘法运算也封闭；中集合闻=2,整数加法和乘法运算均满足结

17、合律，满足第一点，整数加整数，整数乘以整数还是整数，满足第二点，故中集合对加法运算和乘法运算都封闭；中集合用=(2,有理数加法和乘法运算均满足结合律，满足第一点，有理数加有理数，有理数乘以 有理数还是整数，满足第二点，故中集合对加法运算和乘法运算都封闭；故答案为：6 .用描述法表示下列集合：(1)大于一3且小于4的所有自然数组成的集合；(2)不等式/ 一 2% - 3 0的解集；(3)(阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合)答案(1)用描述法表示为% e/V|-3%4；(2)用描述法表示为% e Rx2 -2%-3 0；（3）用描述法表示为（居y）| - 24 1解析集合4 = （xax

18、2+ 2% + 1 = 0, a G R至多有一个元素，。=。或？ /,解得。=。或a 2 1，（= 4 - 4a 1.故答案为：a|a = 0或a 1.轻松训练通过猫习，瑰国代力1 .下列各组对象能构成集合的是（）A.充分接近的所有实数B.所有的正方形C.著名的数学家D. 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4答案B解析 选项4、。不满足集合的确定性；集合8正方形是确定的，故能构成集合；选项。不满足集合的互异性.故选：B.2 .集合% -I,%2- L2中的不能取得值是（）答案B解析 根据集合元素的互异性，-可以把4BCD四个选项代入集合用排除法.3 .已知集合/= x|2% + a

19、0（a 6 R）,且1任4 2EA,则（ ）A. cl -4B. cl W -2C. 4 a V 2D. -4 V a W 2答案D解析1c4 2”,.L解得-4Va0）,那么下列结论正确的是（）A. 0 EAB. 1EA C. -1EA D. lA解析0,1,-1都不是2-10的解，则O,L1W4 故选：D.5 .若集合4 = 123, B= (x,y)|x + y - 4 Ofxfy E A)9则集合5中的元素个数为()A. 9B. 6C. 4D. 3答案0解析 通过列举，可知xy 6 4的数对共9对，即(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (

20、3,1), (3,2), (3,3)共 9 种, B= (%,y)|x + y - 4 Ofx,y E A, 易得(2,3), (3,2), (3,3)满足 + y-40, .集合B中的元素个数共3个.故选：D.6,已知/ = 0-2,2小+ 5处12且一364 则由Q的值构成的集合是 .答案-|)解析 - 3 G 4, A = a- 2f2a2+ 52 12；a 2 = -3(2a2+ 5a = -3e 2a2 + 5a H -3或 2 W 3，解得a = -5,2a2 + 5a H 12 Q - 2 W 12故答案：1.7 .已知含有三个实数的集合既可表示成a,，1,又可表示成q2,q +

21、 A0,则苏。17 +炉018 =答案1解析 根据题意，由q,1 =+ 40可得a = 0或g = 0,又由勺意义，则QW0,必有2 = 0,贝昉=0, aa则a, 0,1 = a2, a, 0,则有M = 1,即。=1或0 = 1,集合见0,1中，awl,则必有。=一1则Q2017 + 炉018 = (-1)2017 +。2。18 = 一上8 .试分别用列举法和描述法表示下列集合：方程/ - % - 2 = 0的解集；(2)大于一1且小于7的所有整数组成的集合.解析(1)方程/ 一 % 一 2 = 0的根可以用x表示，它满足的条件是2 % 2 = 0,因此，用描述法表示为% e R|%2 一 % 一 2 = 0；方程%2% 2 = 0的根是1,2,因此，用列举法表示为1,2.