第02讲常用逻辑用语.docx

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1、第02讲常用逻辑用语1充分条件与必要条件(1)充分条件、必要条件与充要条件的概念若p=q,则P是q的充分条件，q是P的必要条件P是q的充分不必要条件pnq且q分pP是q的必要不充分条件P分q且qnpP是q的充要条件poqP是q的既不充分也不必要条件P今q且q分p(2)从集合的角度：若条件P，q以集合的形式出现，即入=伊|2(*), B = x|q(x),则由AUB可得，p是q的充分条件，请 写出集合4 8的其他关系对应的条件p, q的关系.提示 若八星B,则p是q的充分不必要条件；若则p是q的必要条件；若4/8 则p是q的必要不充分条件；若4 = 8,则p是q的充要条件；若入28且八边8,则p

2、是q的既不充分也不必要条件.2、全称量词与全称命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词.(2)全称命题：含有全称量词的命题.(3)全称命题的符号表示：形如“对中的任意一个x,有p(x)成立”的命题，用符号简记为p(x).3、存在量词与特称命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词.(2)特称命题：含有存在量词的命题.(3)特称命题的符号表示：形如“存在中的元素刈，使p(xo)成立”的命题，用符号简记为三祀/,汉配).1、【2022年浙江省高考】设，R,则sinx = l是cosx = 0的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.

3、充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为sin? %+cos? x = l可得:【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得出答案.【详解】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题pFxwR,/ 2”的否定为7尤火f2V.故选：B.变式2、(深圳市南山区期末试题)命题“存在无理数加，使得加2是有理数”的否定为()A.任意一个无理数加，疗都不是有理数8存在无理数2,使得/不是有理数C.任意一个无理数2,小都是有理数d.不存在无理数加，使得病是有理数【答案】A【解析】【详解】根据特称命题 否定是全称命题得命题存在无理数加，使得/是有理数，的否定为

4、“任意一个无理数2,小都不是有理数”故选：A.方法总结：1、判定全称命题p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x,使p(x)成立.2、全称(或存在性)命题的否定是将其全称(或存在)量词改为存在量词(或全称量词)，并把结论否定.考向四存在性问题与恒成立问题4n1例4已知函数段)=x+7, g(x)=2+.若vxy 5，1，3x2e2, 3,使得xi)2g(x2)，求实数。的取值范 XLN 围.411【解析】因为/(x)=x+；的定义域为小1 ,4 (x+2)(x 2)所以/(x)=l；3=30ff为真命题，当 tz0

5、 q = 0,4x0不恒成立，故不成立；当qWO时解得。2，所以实数。的取值范围是(2，+ / = 164屋0，).方法总结：应用含有量词的命题求参数的策略：(1)对于全称量词命题(或q/(X)而n (或/(X)max).1、(2022,河北深州市中学高三期末)已知c = l,则a,b的平均数大于1”是“a,b,c的平均数大于1的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若a, b, c的平均数大于1,则竺合。+ 52,彳 1,即a, b, c的平均数大于1,反之亦成立，故选：C.2、（2022山东德州高三期末）已知向量=（l,x）,力=（x

6、，则x 1 +810x + 9xJl + f -& +8i依然成立,1 X/ ci-b当丁时，得 = 3,但当 = -3时9反向，此时37T夹角为180，所以由x。不能推出,，“为钝角；反之，若（七。）为钝角，贝且.-3,即x0且户-3,能推出x0；因此，“尤0”的否定为（）A. 3xeR , 2v0B. 3%gR , 2v 0C. VxeR , 2V 0D. VxeR , 2 0”为全称命题，该命题的否定为FxwR, 2y 0”.故选：A.4、（汕头市高三期末试题）已知集合4 =卜,20,集合3 =卜|九1,则以下命题为真命题的是（）A. 3xe A, xe B B.AC. Vxe A, x

7、e BD. VxeB, A【答案】A【解析】【详解】由题知，集合4 = 可120,集合5 = x|xl,所以3是A真子集，所以或 BxeA, xe 3或 X/xeB, xe A ,只有A选项符合要求，故选：A.5、（2022浙江绍兴模拟预测）中，A5是cos2Avcos2B的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】85245指3,由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可.【详解】在三角形中,因为 cos 2A cos 23 ,所以 l-2sin2 A sin 5若 A B ,贝 lja八 BP 27? sin A 27?sin B

8、, sin A sin 5a h若sinAsinB,由正弦定理7 = =不，得。b,根据大边对大角，可知 sin A sin B所以 A 夕,是 cos 2 A v cos 2 3 的充要条件故选：CY1.6、已知p： q乓2, q： N21+1220),得 17%Wxl+加.设集合 = 2, 10, B = -m, 1+m.因为夕是P的充分不必要条件，所以力，一 2 W 一加，所以一且等号不同时成立，1 +W10,X.J解得加W3,所以0W3, 故实数加的取值范围是(0, 3.7、(2022 江苏扬州期中)(本小题满分10分)已知集合，记函数的定义域为集合瓜(1)当 a=l 时,求4U&(2

9、)若是“xGB”的充分不必要条件，求实数。的取值范围.【解析】(1)当。=10寸，4 = x|00的。A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等差数列4的公差为d,则dwO,记同为不超过x的最大整数.若为单调递增数列，则d0,若则当22时，若40 可得，取 N=+1,则当N。时，40,所以，%是递增数列=”存在正整数M),当心即时，40；若存在正整数N(),当,N()时，。0,取ZeN*且ZN。，ak0 9假设d0,令%=以+ (-A)d攵,且k 十 k , 当k*+1时，4。.所以，%是递增数歹U是存在正整数N。，当N。时，为 。的

10、充分必要条件.故选：C.3、【2021年乙卷文科】已知命题p：*R,sinxl ；命题/DxeR , e国21 ,则下列命题中为真命题的是()A. PMB. PAC. P 八fD. -i(pv)【答案】A【解析】由于sinO=O,所以命题为真命题；由于y = e在R上为增函数，冈20,所以小*。=1,所以命题4为真命题；所以。八4为真命题，一pm、pdf、（pv9）为假命题.故选：A.1、命题“VxeO, tanxsinx”的否定为（）A.tanxosinxoB. 3xoO, tanxosinxoC. VxNO, tanxsinxD. Vx0, tanxsinx【答案】A【解析】由题意可知，命

11、题“Vx20, tanxNsinx”的否定为“玉巳0, tanx机,夕：相2Jx2-L = 2,： m2, ： m。成立的一个充分条件是（）xA. x-lC -lxOD. 0x0n0nx（x +1）（% 1）0=xl 或TvxvO,XX因为x|011川力1或_%。成立的一个充分条件是Ovxvl. x故选：C4、己知必|%区加（掰0）, q：一 10W4,若夕是夕的充分条件，则加的最大值为;若夕是q的必要条件，则m的最小值为.【答案】1 4【解析】由I x| W勿（加0）,得一/一加三一1若夕是4的充分条件= ,=OW1./ 4则力的最大值为1.mW 1若夕是,的必要条件=口考向一 充要条件、必

12、要条件的判断例 1、(1) “ = -4”是“直线2x + 1 = 0 与直线(a + 3)x+2y + 2 = 0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线2x+ay 1=0与直线(a + 3)x + 2y + 2 =。平行，则解得或y, 因为T H1,因此，= T”是“直线2x + ay-1 = 0与直线(a + 3)x+2y + 2 =。平行”的充分不必要条 件.故选：A.(2)在.回。中，“tanAvcosB”是“ 43C为钝角三角形”的()A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】

13、A解析】由tanA 0,则 0 sin A cos AcosB cosB = sinB ,12 J止匕时+故充分性成立.ABC为钝角三角形，若区为钝角，则tanCvcos5不成立；, tanC cos夕堤“ ABC为钝角三角形”的充分不必要条件.故选：A.(3) % = 是“复数产(。尺)为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当。=1时，Z乎二,二i,则Z为纯虚数可知 = 1 ”是“复数管（。e R）为纯虚数”的充分条件； 1 1当复数不一二：.；.；=一彳一为纯虚数时，八，解得：a = ll-i （l-i）（l + i）2+

14、*可知 = 1”是“复数管（。尺）为纯虚数”的必要条件；1 1综上所述，“。=1 ”是“复数管为纯虚数”的充要条件1 1故选：C变式1、（2022湖北江岸高三期末）“sina =”是sina =Losa”的（）2 3A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】DI7T57T解析】由 sina = ,可得。=F 2k 兀,keZ或 a = F 2ki, k eZ, 266当a = ? +e Z时，此时sin a w Ycosa ,即充分性不成立；63反之当sino = Ycoso时，tana = W,其中。可为?，此时sina = -4，即必要性不成立， 33

15、62所以“sin。是“sina =Losa”的既不充分也不必要条件. 23故选：D.变式2、（2022 山东济南高三期末）已知函数/（x）的定义域为R,则“/（力是偶函数”是是偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的图像性质，结合充分，必要条件的定义进行判断【详解】偶函数的图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称，根据这一特征，若/(x)是偶函数，则|/(%)|是偶 函数，若/(%)是奇函数，|/(刈也是偶函数，所以“/(力是偶函数”是“|/(%)|是偶函数的充分不必要条件 故选：A方法总结：充要条件的三种判断

16、方法(1)定义法：根据AS户夕进行判断.集合法：根据使0 q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这 个方法特别适合以否定形式给出的问题，考向二充分、必要条件等条件的应用例2、(多选题)下列选项中，是q的必要不充分条件的是()尤2v2A. ：3m 0则,根一 3 0,即3 v v 7且mw 5 ,7 -m m-3y2V2即“3 vz%7”是“方程上一 + ” = 1的曲线是椭圆”的必要不充分条件； 7-m m-3B , Va:e1 , 3不等式f 一凡o恒成立等价于a.d恒成立，等价于.9；.是“对3不

17、等式V 一o恒成立“必要不充分条件；C：q是首项为正数的等比数列，公比为9，二当4=1,夕=时，满足夕0 ,则+4。不成立，即充分性不成 立，反之若 a2fl_+ a2n 0 ,则 a1q2n2+ a1q2n0,-2(1 + )0,即 1 + vO，则9一1,即夕0成立，即必要性成立，则”0是“对任意的正整数，的1 +4 ：空间向量4 = (0, 1, -1) , b = (x,0, -1),贝1Jo仍=0 + 0 + 1,. ab17i1/. cos v a，b = 11= cos =一，|a|x|b| o2 + (-1)2 + I2 x7%2 + 02 + (-1)23 2解得x = l

18、,故“x = l”是“向量与力的夹角是工”的充分不必要条件.3变式 1、知集合4 = 邓;2 6x+80, B= x|(x-tz)(x3(7)0.若是 “xRB”的充分条件，求实数 a的取值范围.【解析】由 7 6x+80,得(x2)(x4)0,解得2a4,所以力=(2, 4).因为是“xB”的充分条件，所以因为 8 = x(xq)(x3q)0,则6 =(即3。)，4则L解得与3心4,3若质0,则5=(3%。)，与矛盾,故舍去.4 1综上所述，实数a的取值范围是2 .X- 1变式2、已知p：|1- a乓2, q： x22x+1 /7720(m0),若夕是q的充分不必要条件，求实数加 的取值范围

19、.x 1x 1【解析】由p: |1 其2,得一2W1 W2,解得一2WxW10.由夕:x22x+ 1 m20(m0), 得 口一(1 +加)口一(1 一m)WO, 解得lmWxWl+加.因为p是q的充分不必要条件,且等号不同时成立,、1 -m W - 2 11+加 10,X.解得团29,所以实数m的取值范围是9, +).变式3、 已知小|1- 3 1|0,则 3=12, 1 + m,f 1 - 2,则 、且等号不同时成立，解得力29;若阴=0,则8=1与/U3矛盾，故舍去；若 mx2；(3) p:至少有一个二次函数没有零点；(4) p:存在一个角。eR,使得sin2& + cos2。wl .(

20、2)下列四个命题：左(0,+8),八。1), 10g j X10g j X ； 23Vx(0, +oo), Qlog/；2(4)VxGl 0,产.3其中真命题的序号为【解析】(1) (l)p是全称命题.p ： 3xe/?,有国WX,如X=1,|l|=l W1 ,所以是真命题.(2)p 是全称命题.p ： Hxe 7? , %3 4工2，如 0=T 时，(1)3= 1X(1)2= 1,即(一1)33(1)2,所以P 是真命题.p是存在性命题.P：所有二次函数都有零点，如二次函数y=%2+2x+3=(x+l)2+20.VxR, y=d+2x+3w0.因为是真命题，所以是假命题.(4)p是存在性命题.p ： X/c Rsin? c+cos2 c=1 ,设任意角a终边与单位圆的交点为P(x, y).则sina = y,coso = x显然有,y2+x2=l,所以p是真命题.(2) 对于口，当x(0, +oo)时，总有曲成立，故口是假命题;对于口,当X=T1 1 1时，有l=log-=loglog 成立，故口是真命题;i 23 33 2对于口,2)故口是假命题;对于口,故口是真命题变式1、(2022广东佛山高三期末)设命题：*氏/2则p的否定为()A. VxR/22、B. VxgR,%2 2aC. 3xgR,22vD. 3xeR,22x