（尖子生培优）专题15用“排除法”解决重叠问题-2023-2024三年级数学思维拓展培优讲义（通用版）含答案.pdf

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1、（尖子生培优）用“排除法”解决重叠问题2023-2024三年级数学思维拓展（尖子生培优）用“排除法”解决重叠问题2023-2024三年级数学思维拓展 解决重叠问题要用到数学中的一个原理一一包含与排除原理，即当两个部分有重复部分时，为了不重复计算，应排除重复部分；可以从它们的和中排除重复部分，也可以先从一部分中排除重复部分再计算。1三（1）班每人至少订一份杂志，订现代少年报有 24 人，订中国少年报的有 28 人，两种杂志都订的有 13 人。三（1）班一共有多少人？2在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者，摘了草莓、山莓和李子者人数比只摘李子的人数多3 个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没摘

2、李子者多 4 人；50 个人没有摘草莓；11 个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有 60 人摘了李子。如果参与摘水果的总人数是 100 人，你能回答下列问题吗？（1）有几人摘了山莓；（2）有几人同时摘了三种水果；（3）有几人只摘了山莓；（4）有几人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；（5）有几人只摘了草莓。3某小学共有学生 540 人，在一次自愿参加的线上心理辅导讲座活动中，共有 50 人向辅导老师进行了提问。提问的人中，有 36 人用文字进行了提问，25 人用语音进行了提问，那么，既用文字又用语音提问的有多少人？4参加某项活动的人员中有 47 人会说英语，有 38 人会说法语，两种都会的有 22

3、 人，另外 15 人只会讲汉语一共有多少人参加了活动？5三个小朋友比赛猜灯谜，皮皮猜出了 18 个，果果猜出了 10 个，乐乐猜出了 12 个果果猜出的 10 个灯谜皮皮都猜出来了（1）皮皮和果果一共猜出了多少个灯谜？（2）皮皮和乐乐一共猜出了 23 个灯谜，皮皮和乐乐有几个灯谜都猜出来了？6三（1）班共有 36 名同学订阅杂志，其中订阅数学天地的有 21 人，订阅语文天地的有 18 人，每人至少订阅一种有多少名同学订阅了两种杂志？有的放矢能力巩固提升7六一儿童节文艺会演中，四年级（1）班有 36 人参加演出，其中跳舞表演的有 14 人，合唱表演的有 28人。两项演出都参加的有多少人？8三（3

4、）班做完语文作业的 38 人，做完数学作业的有 42 人，两种作业都完成的有 30 人，每人至少完成一种作业，三（3）班一共有学生多少人？9三年级一班有 45 人，他们去学习书法和绘画，每人至少学一门学习书法的有 26 人，学习绘画的有 25人书法和绘画都学习的有多少人？102021 年是红军长征胜利 85 周年。一个 44 人的国际旅游团到中央红军长征胜利纪念园参观，其中会讲英语的有 37 人，会讲汉语的有 25 人，每人至少会讲英语和汉语中的一种，英语和汉语都会讲的有多少人？11四年级有 72 人参加了“故事力”大赛的写故事和演故事比赛的两项活动，参加写故事的有 56 人，参加演故事的有

5、27 人。两项活动都参加的有多少人？12三年级有 68 人订阅了现代少年报，有 79 人订阅了中国少年报，其中有 12 人两种都订了。订阅了报刊的一共有多少人？13三（1）班有学生 56 人，每人至少参加美术和音乐兴趣小组中的一种，已知参加美术小组的有 35 人，参加音乐小组的有 38 人两个小组都参加的有多少人？14学校艺术节比赛，三（1）班报名参加唱歌和跳舞比赛的情况如图，参加唱歌和跳舞比赛的一共有多少人？15儿童节那天，实验小学参加展演的节目有歌唱类，舞蹈类、小品类、魔术类、相声类等，种类繁多，其中出演舞蹈类节目的有 47 人，出演小品类节目的有 35 人，两项都参加的有 15 人。出演

6、舞蹈类节目和出演小品类节目的一共有多少人？16某小学有 115 人参加了音乐、美术兴趣小组，其中 76 人参加音乐小组，54 人参加美术小组，同时参加这两个小组的有多少人？17同学们要到动物园去参观老虎馆和熊猫馆参观老虎馆的有 70 人，参观熊猫馆的有 65 人，两个馆都参加的有 40 人去动物园的一共有多少人？18把两根长都是 9 厘米的铁条焊接为一根长的铁条，焊接头（如图）是 3 厘米，焊接后的铁条长多少厘米？综合拔高拓展 19有两张相同的长方形纸条，长 10 厘米，宽 3 厘米，把它们十字交叉放在桌面上（如图），盖住桌面的面积有多大？20草地上有大兔、小兔、白兔、灰兔共 80 只，其中有

7、 55 只小兔，63 只灰兔，10 只大白兔。有多少只小灰兔？21一个长方形和一个正方形部分重叠（如图），两块没有重合的阴影部分的面积相差多少平方厘米？（单位：厘米）22如图：每根木条长 15 厘米，妈妈用绳子将两根木条固定在一起，接头处用去 10 毫米，连接后的木条长多少厘米？23如图，有大小两个正方形，阴影部分的面积比阴影部分的面积大 36 平方厘米，小正方形的边长是8 厘米，大正方形的面积是多少？24把两根长都是 15 厘米的铁条焊接为一根，接头处（如图）是 5 厘米焊接后的铁条长多少厘米？25淘气、笑笑、小迪三人去测体重三人共重 106 千克，淘气和笑笑共重 69 千克，笑笑和小迪共重

8、 72 千克，他们三人各自的体重是多少千克？26 曲米将两个完全相同的直角三角形的一部分叠放在一起（如图），涂色部分的面积是多少？（单位：cm）27期末检测，淘气语文和数学一共得了 188 分，数学和英语一共得了 184 分，语文和英语一共得了 180分。淘气这三科一共得了多少分？28用 5 张同样长的纸条粘接成一条长 32 厘米的纸条，如果每个接头处都重叠 2 厘米，那么原来每张纸条长多少厘米？29把 3 张 4 厘米的纸条黏到一起，黏合的部分长 5 毫米，黏成的纸条长多少厘米？30 把两根都是 10 厘米长的铁条焊接为一根铁条，焊接头（如图）处长 3 厘米，焊接后的铁条长多少厘米？1【考点

9、】容斥原理版权所有【答案】39 人。【分析】先用 24 加上 28 求出订现代少年报和订中国少年报的人数和，再减去两种杂志都订的13 人（即重复计算的人数），就是三（1）班参加的总人数。【解答】解：24+2813 5213 39（人）答：三（1）班一共有 39 人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。2【考点】容斥原理版权所有【答案】（1）58；（2）16；（3）26；（4）20；（5）9。【分析】根据题意，没摘草莓的人摘了山莓和李子但没有摘草莓的人（11 人）+只摘山莓者+只摘李子者50，所以：只摘山莓者+只摘李子者39 人；又因为“只摘山莓者两倍于只摘

10、李子者”，所以：393 只摘李子者（13 人），只摘山莓者（26 人）；因为“摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多3 人”，所以 13+316（人），摘了草莓、山莓和李子三种者（16 人），摘李子者只摘李子者（13 人）参考答案+摘三种者（16 人）+摘山莓和李子但没摘草莓者（11 人）+摘李子和草莓但没摘山莓者60；所以：6013161120，摘李子和草莓，但没摘山莓者（20 人）；摘草莓者总人数没摘草莓者1005050（人）；摘草莓者摘三种者（16 人）+摘李子和草莓，但没摘山莓者（20 人）+摘山莓和草莓但没摘李子者+只摘草莓者50（人），所以：摘山莓和草莓但没摘李子者+只摘草莓

11、者50162014，又因为“只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多 4 人”，所以：摘山莓和草莓但没摘李子者（144）/25（人），只摘草莓者5+49（人）摘山梅者11+26+16+558（人）。据此解答。【解答】解：没摘草莓的人摘了山莓和李子但没有摘草莓的人（11 人）+只摘山莓者+只摘李子者50，所以：只摘山莓者+只摘李子者39 人；又因为“只摘山莓者两倍于只摘李子者”，所以：39313，只摘李子者（13 人），只摘山莓者（26 人），因为“摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多 3 人”，所以 13+316（人），摘了草莓、山莓和李子三种者（16 人），摘李子者只摘李子者（13

12、 人）+摘三种者（16 人）+摘山莓和李子但没摘草莓者（11 人）+摘李子和草莓，但没摘山莓者60；所以：6013161120，摘李子和草莓，但没摘山莓者（20 人）；摘草莓者总人数没摘草莓者1005050（人）；摘草莓者摘三种者（16 人）+摘李子和草莓，但没摘山莓者（20 人）+摘山莓和草莓但没摘李子者+只摘草莓者50（人），所以：摘山莓和草莓但没摘李子者+只摘草莓者50162014，又因为“只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多 4 人”，所以：摘山莓和草莓但没摘李子者（144）/25（人），只摘草莓者5+49（人）摘山梅者11+26+16+558（人）。如图：答：（1）58 人摘了

13、山莓；（2）有 16 人同时摘了三种水果；（3）有 26 人只摘了山莓；（4）有 20 人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；（5）有 9 人只摘了草莓。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。3【考点】容斥原理版权所有【答案】11 人。【分析】根据“提问的人中，有 36 人用文字进行了提问，25 人用语音进行了提问”，可得两者的总人数：36+2561（人），再减去总人数 50 就是重复计算的人数，也就是既用文字又用语音提问的人数。【解答】解：36+2550 6150 11（人）答：既用文字又用语音提问的有 11 人。【点评】本题是典型的容斥原理问题，关键是熟练掌握容

14、斥原理的解题规律：既 A 又 B（A+B）总人数。4【考点】容斥原理版权所有【答案】见试题解答内容【分析】用 47 加上 38 求出它们的和，这样两种都会的多算了一次，然后减去 22 就是至少会一种的英语和法语，然后再加上 15 即可【解答】解：47+3822+15 63+15 78（人）答：一共有 78 人参加了活动【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：A 类 B 类元素个数总和属于 A 类元素个数+属于 B 类元素个数既是 A 类又是 B 类的元素个数 5【考点】容斥原理版权所有【答案】（1）18（2）7【分析】（1）用皮皮猜出的数量加上果果猜出的数量，减去他们都猜对的数量即可；（2

15、）用皮皮和乐乐猜出的数量相加，再减去他们一共猜出的数量，即为他们都猜出来的数量【解答】解：（1）18+1010 2810 18（个）答：皮皮和果果一共猜出了 18 个灯谜（2）18+1223 3023 7（个）答：皮皮和乐乐有 7 个灯谜都猜出来了，【点评】本题主要考查了容斥原理，明确容斥关系中，各部分之间的数量关系，是本题解题的关键 6【考点】容斥原理版权所有【答案】见试题解答内容【分析】用 21 加上 18 求出它们的和，这样两种杂志都订的多算了一次，然后减去 36 就是两种杂志都订的【解答】解：21+18363（名）答：有 3 名同学订阅了两种杂志【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式

16、为：A 类 B 类元素个数总和属于 A 类元素个数+属于 B 类元素个数既是 A 类又是 B 类的元素个数 7【考点】容斥原理版权所有【答案】6 人。【分析】先用 14 加 28 求出跳舞表演的和合唱表演的人数和，再减去四（1）班的总人数 36 就是重复计算的人数，也就是这两项演出都参加的人数。【解答】解：14+2836 4236 6（人）答：两项演出都参加的有 6 人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。8【考点】容斥原理版权所有【答案】见试题解答内容【分析】用 38 加上 42 求出做完数学作业和做完语文作业两者的和，再减去重叠部分两种作业都完成的30

17、 人即可【解答】解：38+4230 8030 50（人）答：三（3）班一共有学生 50 人【点评】两量重叠问题：A 类与 B 类元素个数的总和A 类元素的个数+B 类元素个数既是 A 类又是 B类的元素个数9【考点】容斥原理版权所有【答案】见试题解答内容【分析】由题意，用 26+25 就是只学习书法、只绘画以及书法和绘画都学习的人数的 2 倍，再减去总人数，即得重复计算的书法和绘画都学习的人数【解答】解：26+2545 5145 6（人）答：书法和绘画都学习的有 6 人【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出至少参加一种的人数，知识点是容斥原理一：总人数（A+B）既 A 又 B 10【考点】容斥

18、原理版权所有【答案】18 人。【分析】先用 37 加 25 求出会讲英语的和会讲汉语的人数和，再减去总人数 44 就是重复计算的人数，也就是英语和汉语都会讲的人数。【解答】解：37+2544 6244 18（人）答：英语和汉语都会讲的有 18 人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。11【考点】容斥原理版权所有【答案】11 人。【分析】根据容斥原理公式：既 A 又 B（A+B）总人数解答即可。【解答】解：56+2772 8372 11（人）答：两项活动都参加的有 11 人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。12【考点】容

19、斥原理版权所有【答案】135 人。【分析】订阅了现代少年报的人数+订阅了中国少年报的人数两种都订的人数总人数。【解答】解：68+7912 14712 135（人）答：订阅了报刊的一共有 135 人。【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。13【考点】容斥原理版权所有【答案】见试题解答内容【分析】用 35 人加上 38 人求出两者的和，再减去总人数 56 人，就是两个小组都参加的有多少人【解答】解：35+3856 7356 17（人）答：两个小组都参加的有 17 人【点评】两量重叠问题：A 类与 B 类元素个数的总和A 类元素的个数+B 类元素个数既是 A 类又是 B类的元素个数14【

20、考点】容斥原理版权所有 【答案】16 人。【分析】根据容斥原理，把图中把参加唱歌和跳舞比赛的人数相加，再减去两项都参加的人数就是总人数。【解答】解：12+95 215 16（人）答：参加唱歌和跳舞比赛的一共有 16 人。【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既 A 又 BA+B总数量（两种情况）。15【考点】容斥原理版权所有【答案】67 人。【分析】根据容斥原理公式：总人数（A+B）既 A 又 B 解答即可。【解答】解：35+4715 8215 67（人）答：出演舞蹈类节目和出演小品类节目的一共有 67 人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。16【考点

21、】容斥原理版权所有【答案】15。【分析】根据容斥问题公式，用参加音乐小组的人数加上参加美术小组的人数，减去总人数，就是参加两个小组的人数。【解答】解：76+54115 130115 15（人）答：同时参加这两个小组的有 15 人。【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既 A 又 BA+B总数量（两种情况）。17【考点】容斥原理版权所有【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，利用容斥问题原理，有关系式：参观老虎馆的人数+参观熊猫馆的人数两个馆都参加人数去参观的总人数把数代入计算即可【解答】解：70+6540 13540 95（人）答：去动物园的一共有 95 人【点评】此题考查了利用容斥问题原

22、理解决实际问题的灵活应用 18【考点】重叠问题版权所有【答案】15 厘米【分析】把两根长度都是 9 厘米的铁条焊接起来，根据加法的意义，两根铁条全长是 9+918 厘米，又因为焊接头长是 3 厘米，由于接头处是两根铁条重叠在一起的，则要减去一个重叠长度，所以焊接好后的铁条长 9+9315 厘米【解答】解：9+93 183 15（厘米）答：焊接后的铁条长 15 厘米【点评】完成本题要注意接头处是两根铁条重叠在一起的；所以要用总长度减去这部分重叠的长度19【考点】重叠问题版权所有【答案】见试题解答内容【分析】观察图可知：盖住桌面的面积是两张纸条的面积和，再减去重叠部分的面积，重叠的部分是一个边长是

23、 3 厘米的正方形，根据长方形的面积长宽，求出两张长方形纸条的面积，再根据正方形的面积边长边长求出重叠部分的面积，进而求出盖住桌面的面积【解答】解：103233 609 51（平方厘米）答：盖住桌面的面积 51 平方厘米【点评】解决本题关键是找清楚盖住桌面的面积是怎么构成的，再根据长方形和正方形的面积公式求解20【考点】重叠问题版权所有【答案】48 只。【分析】先用 80 减去 55 与 10 求出大灰兔的只数，然后用灰兔的总只数 63 减去大灰兔的只数，就是有多少只小灰兔。【解答】解：63（805510）6315 48（只）答：有 48 只小灰兔。【点评】本题考查了重叠问题，关键是明确数量之

24、间的包含关系。21【考点】重叠问题版权所有 【答案】见试题解答内容【分析】因重合的部分面积相等，所以两块没有重合的阴影部分的面积差就是大长方形的面积与小正方形面积的差【解答】解：8433 329 23（平方厘米）答：两块没有重合的阴影部分的面积差 32 平方厘米【点评】本题的关键是让学生理解两块没有重合的阴影部分的面积差就是大长方形的面积与小正方形面积的差 22【考点】重叠问题版权所有【答案】见试题解答内容【分析】2 根木条依次首尾固定在一起，重叠部分有 10 毫米，用两根木条的总长度减去 10 毫米，就是钉好后木条的长度【解答】解：10 毫米1 厘米 1521 301 29（厘米）；答：连接

25、后的木条长 29 厘米【点评】此题主要考查重叠问题，用两根木条的长度和减去重叠部分的长度即可 23【考点】重叠问题版权所有【答案】见试题解答内容【分析】阴影部分的面积比阴影部分的面积大 36 平方厘米，中间重叠部分是大小两个正方形的公共部分，所以大小两个正方形的面积差也是 36 平方厘米；小正方形的边长是 8 厘米，那么面积是 8864 平方厘米，然后再加上 36 就是大正方形的面积，据此解答即可【解答】解：88+36 64+36 100（平方厘米）答：大正方形的面积是 100 平方厘米【点评】解答本题关键是理解由于中间重叠部分是大小两个正方形的公共部分，所以大小两个正方形的面积差也是 36

26、平方厘米 24【考点】重叠问题版权所有【答案】25 厘米【分析】把两根长度都是 15 厘米的铁条焊接起来，根据加法的意义，两根铁条全长是 15+1530 厘米，又因为焊接头长是 5 厘米，由于接头处是两根铁条重叠在一起的，则要减去一个重叠长度，所以焊接好后的铁条长 15+15525 厘米【解答】解：15+155 305 25（厘米）答：焊接后的铁条长 25 厘米【点评】完成本题要注意接头处是两根铁条重叠在一起的；所以要用总长度减去这部分重叠的长度25【考点】重叠问题版权所有【答案】见试题解答内容【分析】用三人的总体重减去淘气和笑笑的体重和，就是小迪的体重；然后再用三人的总体重减去笑笑和小迪的体

27、重和就是淘气的体重据此解答即可【解答】解：小迪的体重为：1066937（千克）淘气的体重为：1067234（千克）笑笑的体重为：693435（千克）答：小迪重 37 千克，淘气重 34 千克，笑笑重 35 千克【点评】用三人的体重和减去其中两人的体重和，求出另一人的体重是解题的关键26【考点】重叠问题版权所有【答案】7 平方厘米【分析】由图意可知：三角形 BDG 是公共部分，所以阴影部分的面积就等于梯形 ACDG 的面积，梯形的下底、下底和高已知，从而利用梯形面积公式 S（a+b）h2 即可求解【解答】解：（3+4）22 722 7（平方厘米）答：阴影部分的面积是 7 平方厘米【点评】解答此题

28、的关键是明白：阴影部分的面积就等于梯形 ACDG 的面积，利用梯形面积公式即可求解27【考点】重叠问题版权所有【答案】276。【分析】将 188 分，184 分，180 分加起来，那么淘气的语文，数学，英语的分数各加了两次，再用分数和除以 2，就可以算出淘气这三科一共得了多少分。【解答】解：（188+184+180）2 5522 276（分）答：淘气这三科一共得了 276 分。【点评】此题考查了除法的运算法则及除法的简单应用。28【考点】重叠问题版权所有【答案】见试题解答内容【分析】5 张纸条粘接在一起共有（51）4 处重叠，每个接头处都重叠了 2cm，所以共重叠额 248 厘米，所以每张纸条

29、长（32+8）58（厘米）；由此解答【解答】解：514，248（厘米）（32+8）5 405 8（厘米）答：原来每张纸条长 8 厘米【点评】明确 5 张纸条粘接在一起共有 4 处重叠，是解答此题的关键 29【考点】重叠问题版权所有【答案】11 厘米【分析】因为每个接头都重叠 5 毫米，3 张纸条有 2 个接头，也就是重叠了 5210 毫米，用每张纸条的长度乘上 3 得出 3 张纸条总长度，再减去接头的长度即可求解【解答】解：5210（毫米）10 毫米1 厘米 431 121 11（厘米）答：黏成的纸条长 11 厘米【点评】本题解答的关键是弄清 3 张纸条有 2 个接头，不要误算成 3 个接头，还要注意单位换算 30【考点】重叠问题版权所有【答案】17 厘米【分析】把两根长度都是 10 厘米的铁条焊接起来，根据加法的意义，两根铁条全长是 10+1020 厘米，又因为焊接头长是 3 厘米，由于接头处是两根铁条重叠在一起的，则要减去一个重叠长度，所以焊接好后的铁条长 10+10317 厘米【解答】解：10+103 203 17（厘米）答：焊接后的铁条长 17 厘米【点评】完成本题要注意接头处是两根铁条重叠在一起的；所以要用总长度减去这部分重叠的长度