2022年高中课件教案说课计划 (9).docx

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1、2022年高中课件教案说课计划 (9) 第5讲数列（一）（中）第1段 好我们来说通项这一件事情，通项一般有两种求法，一种是推，一种是猜，我信任绝大多数人胜利都是靠猜。什么意思呢，就是你看到一个数列，然后你觉得它是一个什么通项，然后套上去，发觉果真是这样，就把它解下去了。你们要信任，在学数学当中，猜想恒久是一个很好的想法，恒久不要在任何时候丢掉你们的坑蒙拐骗的好习惯。学数学肯定要去学，肯定要去猜，它也许是什么样的，诶，那个地方细微环节须要调整一下，会猜的人才能学好数学，要你猜都不会猜，只会死算，那你数学确定学不好。好了，现在我来说一下，那么通项公式给我们最大的作用就在于，当我给定一个数列的通项之

2、后，这一个数列的每一项是不是都可以求出来，是不是这样的，从而我可以求出数列的随意一组项，递推形式最麻烦的地方就是这个地方，他给你的递推式，你很难转其求出特别靠后的项，所以大家肯定要知道，当你要处理一个函数一般形式的时候，那么通项的形式往往比较起作用，但是递推也能看出一些，我们举一个例子，假设我们看到这个形式，那你觉得这个数列的增长速度是怎么样的？缓慢？这个会以一个怎样的速度增长，差不多应当比2的倍数还要多的的速度增长，是不是应当这样，能不能看出来，你也许也能知道这个数列的直观，比如这个会以一个怎样的速度增长？好啦，这个我们就说一下。下面呢，讲一下这两个题目例1:我觉得特别的简洁，大家花一分钟的

3、时间就应当能写出来。它是用递推的形式，这两个题目的核心都是这样的一个递推关系，但是你从递推关系当中，或许能够发觉一些它属于通项奇妙究竟是什么，尽管这个题它本身是让我们通过递推关系去求它的项，但是我们要通过这个东西来猜一猜它的通项可能是一个什么样的形式。（给时间同学们在下面解这两道题）来，等于几？填一下，（学生回答）；等于什么呀，它应当是等于四分之三再乘以三分之二，是不是这样，；等于几？的话就把这里的四分之三换成几？是不是换成五分之四就可以了，五分之四再乘以四分之二，会做吧，这个结果应当是多少？；等于几？的话，是相当于五分之二再乘以一个什么呀？再乘以一个六分之五，那我们一般可以猜出来，对于这个数

4、列，一般是什么，应当等于。好，这是我们才出来的结果，是不是这样？但有的同学就说，那我能不能通过一个严格的证明来说明这个事情呢？也可以，我们简洁来介绍一下，在这个地方的手法我们和我们在这个（指前面求到）地方的手法其实是一样的。我们来看看，在这个时候你可能会用，我们发觉是不是这样，这是一个递推形式，那等于什么？它应当是是不是等于这个？也就是说，好这个时候我们是不是可以接着往下写，下一个应当写什么？应当是将再乘以是不是？也就是因为它每一项都这么下去的，好，根据这个递推形式往下走，最终我们这个地方乘的是几？最终应当乘的是。到了的时候，前面是多少呢？这样乘以多少了，已经是？这是做这种题目，许多同学在做这

5、个地方都会犯的一个错误，就是在写最终一步的时候写不清晰它应当是多少。应当是多少呢？最终一步和的关系乘以的是多少？应当是几？这里一般有两种方法，第一个你看（）， 和最终乘的是几可不行以用这种方法来算。还有一个是叫做，视察脚标之间的关系，留意了，因为我们以后在用递推的时候会用到这个。你看，每一次用这个形式的时候（）这个地方（）的脚标是，分子是,比大1，分母是，比大1，同样的（），这里变成了，分子比它大1，分母比分子大1，所以前面分子应当是几？上面是2，下面是不是应当是3，是这么回事儿吧？当然与，与等等是不是都约掉了，最终这个是不是与四分之三上的3约掉了，所以最终的结果应当是什么呀，等于。是不是这个

6、写法!留意一下，这种东西其实就是我们将来要学习的一个叠分法的一个变形，只不过我们利用这个手法在严格意义上说明它为什么最终的结果是，但是我更希望你们在做选择填空的时候这个通项是靠猜出来的，而不是靠算出来的。懂我的意思吧，猜出来的效率比算出来的要高许多。再来看下面这个，来，等于几？填一下，（学生回答3）3；那等于几？；等于几？那你猜它的通项应当是什么？ 应当等于。这个的通项怎么去求，我们放到后面去讲，在遇到这个式子的时候，我们怎么求通项，这个比较难，跟前面的不一样，（学生说一样，用等比，后面的1不管），怎么不管，你们这是扯淡，（老师不文明，大笑），怎么就不文明白，你倒是说明说明。没事，不想这个了。

7、下面我们来解决一个比前面两个略微困难一点的题目，好我们来看这个题目：例2:这个题目是西城区的一个模拟题，忘了是一模还是二模的一道题目，我们来看这道题，讲义上面有，（给时间同学们在下面解题）做完这个题目，把昨天发的资料上的这个题做一下，上面有这个题： 这两个题仍旧是用递推的形式来进行探讨的问题，必需找到这个推的感觉，就是找递推的核心就是去找与前一项的的关系究竟是什么，对吧？你得找到这种感觉。（做题时间，学生探讨声）做题的时候脑子要清晰，你要知道你每一步在做什么，在干啥，对吧。明天千万不要遗忘把学案带过来。（发学案）好，第一个题选什么，（A），明显是A，等于-1，是不是，所以那么的话就明显等于5倍

8、的，是不是这样，所以就是15。这个题就不看了。来看下面一题，题目：例3:（1）依据下列数列的前几项，写出数列的一个通项公式，并分析：求出，是否有最大值值，最小值？求出，是否有最大值，最小值？求出，是否有最大值值，最小值？（2）类比函数的单调性、有界性来分析数列的性质： = 1 * GB3 数列的通项公式是，当取何值时，最小？ = 2 * GB3 数列的通项公式是，当取何值时，最小？）这个题有意思，这个题就是为奇数的时候， 为偶数的时候，我们写一下，立刻就能知道这个数究竟是什么样子，当n等于1、3、5、7、9、11、13、凡是每一个奇数的时候就是1、3、5、7、9、11、13、这是题目告知我们的

9、。当为偶数的时候是什么意思呢，等于几？是不是应当写在的下面，它与相等，呢？你就发觉应当等于，那也写在的下面，等于几？它是等于，那等于几？它是等于，等于，与相等，等于几？应当等于，等于几？它是等于，等于，写到这里的时候，大家有没有发觉这个规律基本是什么？假如是一个偶数，你会怎么办？你会始终将它除以2，直到为一个奇数为止，我们举一个例子，比如说，你觉得它应当是多少？你首先把这个73化成什么？73是等于2的三次方乘以9，所以73肯定可以归到9那里去第5讲数列（一）（中）第2段是不是每个人都是这么做的？换言之，每一个偶数，这里我们可以写一下，假如你们学数学竞赛，有的同学学数学竞赛可能会知道，每一个偶数

10、都可以写成的形式，其中是一个奇数，这里可以理解吧，相当于它会除以若干，除以后只剩项了，是不是？关于的阶就是，其实，每一个偶数都可以写成的形式，那么它和是不是应当相等的？是不是这样的？（学生说可能是奇数）每一个偶数都可以写成的形式，基数能会被整除吗？那么再从另外一个地方动身，那么后面是不是应当是，再下面就应当是，那我们考虑这个序列，下面一个应当是什么？ 是不是这样的？假如这样下去，第八个出现的地方应当是什么？后面应当是，前面是你要是情愿可以接着写，一个，两个，三个，四个，五个，六个，七个，八个，是不是应当这样的？你要是不情愿算，干脆写都可以写出来，只是假如要你算第32个5是多少那你就得真的得写一

11、写了。好啦！所以说这个题目第8个5是这个数列的第640项，好，那等于多少？项是3，项是25，结果是28，很简洁吧！好，再下面的小题目就特别弱智了，例3这些小题看一看就行了（学生要答案说都不会做），来，例3这四个小题就干脆看了，第一个写通项，谁来说？2,4,8,16写下去，它们的通项是什么？，它是不是有最大值或最小值？有没有最小值？（有）是多少（2），木有最大值吧！这是第一个，其次个呢？它是什么？假如你要写得装13一点就是，是这样吧！那么它是否有最大值和最小值？有没有最大值，是多少？，最小值是多少？（没有）最小值为什么没有？它会无限接近于0，是不是应当这样？那它没有最小值。好！第三个，来，它应当

12、是什么？是，啊，为什么？你把负号去掉不就是上面的那个吗？，它不就是上面的这个加了一个负号吗？有问题吗？这不就是上面的这个数列加了一个负号吗？负的二的负二N次方（学生不理解）莫非要靠读东西的节奏来让你明白？不是负二的负二N次方而是负的二的负二N次方。懂了吗？好，这个数列是否有最大值和最小值？最小值是多少？，最大值呢？最大值没有，因为它往上无限趋近于0，是不是应当这样？好，来，这个单调增，其次个单调减，第三个单调增，是不是应当这样的，好吧，来，（学生的东西掉地上了，然后说，一般老师会帮学生捡起来）这个噢，然后呢？好，那我们偷窃一下刚才的这个学生的话，他说一般老师会帮学生捡起来，然后试图让我帮他捡起

13、来，假设现在假如发生这样的一种状况，我不帮他捡起来，假如他产生了怨恨，那这应当是怎样的一个心情呢，不是服了，做人有一个很重要的准则，不要因为别人没有帮助自己而觉得是别人不对（鼓掌）好，我们接着，你好好想想，其实真是这样的，许多事情就是这么发生的，因为别人没有帮助你，你会觉得他那么厌烦，别人没有这个义务。好了，我们来看这个题，这个题目的通项应当是什么，你可以写成再乘以，你也可以写成，这个式子有两个写法，我可以跟大家说一下，这个题目你可以把它写成什么呢？可以把它写成前面再乘以，这个可以这么写吧？但是这个呢？你也可以换个写法，干脆写成，然后看一下第一项是正的，再加一个负号，后面写等比数列的时候，我们

14、更多的写成这种形式（学生答写不写定义域），那你平常写，写定义域吗？但这里已经有下角标了，这里默认n是自然数，这个不要去抠这个，没有意义知道吗？除非他有特定的要求，他有n从第三项起先，要的时候可能会有要求。否则一般状况下你默认n是从1起先的，它有许多约定俗成的，这个数列有没有最大项和最小项，有没有？这个数列是怎么改变的？来，我们看一下，这个数列是怎么改变的，然后呢？、，它是不是应当这样改变？是不是应当这样？它应当是一个波动式的改变，而且肯定值越来越小，知道吧？它应当是这样的。它的最大值在哪里取？，最小值呢？，是不是应当这样的？后面的项，它们肯定值都比它们小，是不是应当这样的？没问题吧？这些东西其

15、实都比较假如呢，你肯定要去分析这种数列有没有界，第一个数列是无界的，其次个数列是有界的，第三个数列是有界的，第四个是有界的，什么叫有界？其实这个概念蛮无聊的，也就是某些地方用的，假如的肯定值，小于等于某个常数m，那么我们就称是有界的，这说明什么，从直观上来说，在线段两端之间，上面一条为m，下面一条为，同样一个函数有界，也可以用这种方式来定义，在有些时候可能会在出创新题的时候会出到，OK，下面我们再来看看数列单调性的问题，第一个，都不用干脆写，干脆看就行了，第一个，这里问当n取何值时，取最小值，很明显，n取3的时候，取最小值，这个没问题吧？下面这道题，的通项是问取哪一个的时候（3.6）气死了。这

16、里应当取什么？它有两个可能，3或者4.你只要代进去看就知道了，很明显应当是4，所以说这个没什么意思，写一写就知道了对吧？这种题目相当于你把函数看一看就知道了，没错吧，OK，这一块，数列的通项和递推，就说完了，下面呢，我们起先说数列的和。好，我们来看一看数列前n项和的问题（板书：数列的前n项和）一个数列 的前n项和一般我们会把它记作换言之，一般状况下（板书：）这个叫做求和指标，在左边的下边一般写出指标的起始项从起先，上面一般会写出的终结项，从1到 。（1233）数列的前项和 ：数列的前项和，有几点须要大家留意。第一，也可能是一个数列，因为当我们取、项的时候，它是不要有明确的指代的？是不是就是第一

17、项，是前两项的和，就是前三项的和，它是不是也是一个数列？这个数列就是原数列的求和数列，所以说当你看到、 之类的东西的时候，你不要去想太多，它也是一个数列当中的项，只不过这个数列与原来的数列有着各种各样的关系，那么既然也是一个数列，有的时候是可以求通项的，比如说我们后面要求的等差、等比数列会告知大家怎么求通项，求的通项相当于求前项和。其次，本身也存在着一个最闻名的递推关系，假如我们知道，那么将等于什么呢？，是不是？从这两个式子（，）我们可以得到一个很重要的递推形式：，但是请留意，这个式子是不是对全部的都成立？这个式子最至少得存在，是，是，也就是这个式子中等于几是不成立的？所以这个式子只能在的时候

18、成立，的时候是不成立的，是不是？的时候应当有什么结果？，这个时候没有的存在，所以，是不是这样的？好，在这个形式（）之下，我们就可以知道由怎样去求，比如说，这个过程，从求是一个很困难的过程，但从求却没有那么困难，比如说告知一个数列：（板书），求，是不是也同样是一个数列，同样有通项的，对于这个题目，我们就来想啊，是不是？那么怎么求呢？这个时候须要用什么来求？，是不是？换言之，我从后面的每一个我可以用什么方式来求？，但是留意，这个式子只能在的时候运用，所以到最终我们还须要再检验一下和所求的通项是否符合，带入检验这里符合，所以我们可以得到通项对全部的都是符合的。但是并不是意味着全部的都是这样的，我们举

19、个简洁的例子，比如说，这个式子，大家告知我这个式子的通项是什么？这个时候你会发觉，首先，恒久是用来求的，然后是的时候，我们发觉，仍旧是，这个时候你看一下，留意这个是的时候等于，符不符合这个通项？的时候不符合，所以这个时候你的通项只能分开写 （板书），留意，当你用去求的通项的时候，肯定要单独的拿出来算，只有的时候你才能用这个式子来计算，算完之后，你看看符不符合那个通项，假如符合了，那就OK，就一起把通项写出来，假如不符合，那你就把它分开写，肯定不行以一来就拿这个式子起先算，做这种题第一步恒久是先把解出来，肯定用求，然后再去求时的，求完了之后再来看两个通项是否一样。好，我们来看一下白板上的这两个小题，例4：（1）已知数列的前项和，则，通项；（2）已知数列的前项和，则，。）第（1）题，大家都很聪慧，我们来看第（2），我们可以写成，所以，那当的时候，等于多少？ 。好，下课休息一下。第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页