人教高一数学值域和单调性讲义中学教育中学学案_中学教育-中学学案.pdf

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1、第二节 一、函数值域的求法：求函数值域，必须首先确定函数定义域。1、常规方法：（1）通过图像求值域：适用于能画出图像的函数，如3,0,322xxxy；（2）配方法：对于求二次函数类值域的习题用配方法来求解；2、分离常数法（分式）例如)0(abaxdcxy，其值域为：acyy|关键：ababa1且0 baxc 3、判别式法 适用于形如11212cxbxacbxaxy，（1aa、不全为零且分式不可约的式子）4、换元法：适用于无理数中含自变量的函数，如xxy12。注意：设xt 1，必须确定 t 的取值范围。5、对于一些复杂的或者复合函数，要逐层的求值域。题型一、求一般函数的值域：例 1、求下列函数的

2、值域：（1）1 xy；（2）2415xxy；（3）123422xxxxy；（4）615822xxxxy（5）3274222xxxxy（6）1-2xxy 例 2、求下列函数的值域。（1）xy43，3,1x；（2）5,1,642xxxy；（3）113xxy；（4）xxy21 如配方法对于求二次函数类值域的习题用配方法来求解分离常数法分式例如其值域为关键判别式法且适用于形如不全为零且分式不可约的式子换元法适用于无理数中含自变量的函数如注意设必须确定的取值范围对于一些复杂的或者值域对于复合函数要逐层求解设内层函数为求出内层函数的值域内层值域即外层函数的定义域再利用函数性质求解逐层求解值域例求值域例求的

3、值域复合函数的值域二函数的单调性一般地设函数的定义域为如果对于定义域内的某个义域中任意选取证明单调性时不可随意用两个特殊值代替有序性即通常规定同区间性即属于同一区间三者缺一不可对于单独的一点由于它的函数值是唯一确定的常数没有增减的变化所以不存在单调性的问题因此在写单调区间时可以题型二、求复合函数的值域：对于复合函数，要逐层求解，设内层函数为 t，求出内层函数的值域，内层值域即外层函数的定义域，再利用函数性质求解。例 3、求值域：5,2,213)(xxxf。（逐层求解值域）例 4、求)32(log)(221xxxf的值域。（复合函数的值域）二、函数的单调性 一般地，设函数 y=f(x)的定义域为

4、 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D上是增函数，反之为减函数。注意：（1）单调性定义的理解：任意性：即从定义域中任意选取 x1，x2，证明单调性时不可随意用两个特殊值代替 x1，x2；有序性：即通常规定 x1x2；同区间性：即 x1，x2属于同一区间，三者缺一不可。如配方法对于求二次函数类值域的习题用配方法来求解分离常数法分式例如其值域为关键判别式法且适用于形如不全为零且分式不可约的式子换元法适用于无理数中含自变量的函数如注意设必须确定的取值范围对于一些复杂的或者值域对于复合函数要逐层

5、求解设内层函数为求出内层函数的值域内层值域即外层函数的定义域再利用函数性质求解逐层求解值域例求值域例求的值域复合函数的值域二函数的单调性一般地设函数的定义域为如果对于定义域内的某个义域中任意选取证明单调性时不可随意用两个特殊值代替有序性即通常规定同区间性即属于同一区间三者缺一不可对于单独的一点由于它的函数值是唯一确定的常数没有增减的变化所以不存在单调性的问题因此在写单调区间时可以 （2）对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性的问题，因此在写单调区间时，可以不包含区间端点，也可以不包含区间端点，但当函数在某些点无意义时，单调区间就不包含这些点。如：2-2

6、xy的增区间为），（0-，也可以写为0-，（。而函数x1y在），（0-上是减函数，但是不能写成在0-，（上为减函数，因为当0 x时，函数无意义。（3）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D叫做 y=f(x)的单调区间：单调区间可以是整个定义域。例如xy2在整个定义域范围）（,上是增函数，xy2-在整个定义域）（,上是减函数；单调区间也可以是定义域的真子集，例如2xy 在）（,上不具有单调性，但在）（0,上是减函数，在）（,0上是增函数；单调区间一般不可

7、以取并集，如xy1在）（0,上递减，在）（,0上也递减，但是不可以说xy1在），（）（00,上单调递减。在特殊情况下，可以把单调区间取并集，若 f(x)在 cbba,，上都是增或者减函数，即两个区间上单调性相同，而且函数的两个区间都包括同一个端点，则可以说函数f(x)在ca,上是增或者减函数。例5、定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有0)()(babfaf，则必有（）A、函数f(x)先增后减；B、函数f(x)先减后增 ；C、函数f(x)在 R上是增函数；D、函数f(x)在 R上是减函数；3判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D上的单调性的一般

8、步骤：1 任取x1，x2D，且x10 时，函数)(xaf与)(xf的单调性相同，当 a0 时，函数)(xaf与)(xf的单调性相反；（2）当函数)(xf恒为正或者恒为负时，)(xf与)(1xf的单调性相反；（3）若0)(xf，则)(xf与)(xf的单调性相同；（4）若)(xf与)(xg的单调性相同，则)(xf+)(xg的单调性与)(xg和)(xf的单调性相同；（5）若)(xf与)(xg的单调性想反，则)(xf-)(xg的单调性与)(xf的单调性相同。例 8、函数32)(2xxxf的单调递减区域为()A、3-，B、1-，C、，1 D、1-3-，三、单调性的应用技巧：1、用于比较函数值的大小：例

9、9、已知函数)(xfy 在上是减函数，试比较)43(f与函数)1(2 aaf的大小。如配方法对于求二次函数类值域的习题用配方法来求解分离常数法分式例如其值域为关键判别式法且适用于形如不全为零且分式不可约的式子换元法适用于无理数中含自变量的函数如注意设必须确定的取值范围对于一些复杂的或者值域对于复合函数要逐层求解设内层函数为求出内层函数的值域内层值域即外层函数的定义域再利用函数性质求解逐层求解值域例求值域例求的值域复合函数的值域二函数的单调性一般地设函数的定义域为如果对于定义域内的某个义域中任意选取证明单调性时不可随意用两个特殊值代替有序性即通常规定同区间性即属于同一区间三者缺一不可对于单独的一

10、点由于它的函数值是唯一确定的常数没有增减的变化所以不存在单调性的问题因此在写单调区间时可以2、利用单调性求参数的取值范围：例 10、已知2)1(2)(2xaxxf在4-，上是减函数，求实数 a 的取值范围。例 11、已知函数)1(,)1(,5)(2xxaxaxxxf在 R上是增函数，则 a 的取值范围是（）3、利用函数的单调性可以解决有关方程、不等式、值域等问题。例 12、（1）解方程048412552xxxxx）（。如配方法对于求二次函数类值域的习题用配方法来求解分离常数法分式例如其值域为关键判别式法且适用于形如不全为零且分式不可约的式子换元法适用于无理数中含自变量的函数如注意设必须确定的取

11、值范围对于一些复杂的或者值域对于复合函数要逐层求解设内层函数为求出内层函数的值域内层值域即外层函数的定义域再利用函数性质求解逐层求解值域例求值域例求的值域复合函数的值域二函数的单调性一般地设函数的定义域为如果对于定义域内的某个义域中任意选取证明单调性时不可随意用两个特殊值代替有序性即通常规定同区间性即属于同一区间三者缺一不可对于单独的一点由于它的函数值是唯一确定的常数没有增减的变化所以不存在单调性的问题因此在写单调区间时可以 （2）函数212xxy 4、复合函数的单调性 复合函数的单调性：同增异减。例如：函数xxf2-2)(函数xxxf)41(2)(2，单调递减。因为函数txf2)(1这个函数

12、在整个定义域范围内单调递增，而xxf2)(1在定义域范围内是单调递减的，所以xxf2-2)(在定义域范围内是单调递减的。若一个函数由多个简单函数复合而成，则此复合函数由简单函数中的减函数的个数决定，若减函数有偶数个，则这个复合函数是增函数，若减函数是奇数个，则这个复合函数是减函数。利用单调性可以求函数的最值，注意在利用函数的单调性求最值时，必须首先求出定义域，然后求出其单调区间，最后确定其最值。例 13、求函数228)(xxxf的单调区间。如配方法对于求二次函数类值域的习题用配方法来求解分离常数法分式例如其值域为关键判别式法且适用于形如不全为零且分式不可约的式子换元法适用于无理数中含自变量的函

13、数如注意设必须确定的取值范围对于一些复杂的或者值域对于复合函数要逐层求解设内层函数为求出内层函数的值域内层值域即外层函数的定义域再利用函数性质求解逐层求解值域例求值域例求的值域复合函数的值域二函数的单调性一般地设函数的定义域为如果对于定义域内的某个义域中任意选取证明单调性时不可随意用两个特殊值代替有序性即通常规定同区间性即属于同一区间三者缺一不可对于单独的一点由于它的函数值是唯一确定的常数没有增减的变化所以不存在单调性的问题因此在写单调区间时可以 例 14、求函数145221)(xxxf）（的单调区间和最值。学科提高：抽象函数单调性的证明。对于这一类题目，通常有两种方法，一种就是“凑”，凑定义

14、或者凑已知，从而使用已知的条件得出结论；另外一种是赋值法，给变量赋值必须根据条件和结论的关系，有时可能要进行多次的尝试。一般情况下，0，-1,1 这些特殊值都比较重要；证明单调性时，将函数的自变量变形为12xx或者是两个函数值之和比较常见。例 15、已知定义于），（0上的函数)(xf，对于任意的)0(,，yx,恒有)()()(yfxfxyf，且当10 x时，,0)(xf判断)(xf在），（0上的单调性。如配方法对于求二次函数类值域的习题用配方法来求解分离常数法分式例如其值域为关键判别式法且适用于形如不全为零且分式不可约的式子换元法适用于无理数中含自变量的函数如注意设必须确定的取值范围对于一些复杂的或者值域对于复合函数要逐层求解设内层函数为求出内层函数的值域内层值域即外层函数的定义域再利用函数性质求解逐层求解值域例求值域例求的值域复合函数的值域二函数的单调性一般地设函数的定义域为如果对于定义域内的某个义域中任意选取证明单调性时不可随意用两个特殊值代替有序性即通常规定同区间性即属于同一区间三者缺一不可对于单独的一点由于它的函数值是唯一确定的常数没有增减的变化所以不存在单调性的问题因此在写单调区间时可以