高一数学三角函数教案小学教育小学学案_中学教育-中学学案.pdf

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1、专题三：三角函数 余二高 郭华【考点审视】1、掌握三角函数概念，其中以三角函数的定义学习为重点。（理科：兼顾反三角）2、提高三角函数的恒等变形的能力，关键是熟悉诱导公式、同角关系、和差角公式及倍角公式等，掌握常见的变形方法。3、解决三角函数中的求值问题，关键是把握未知与已知之间的联系。4、熟练运用三角函数的性质，需关注复合问题，在问题转化过程中，进一步重视三角恒等变形。5、掌握)sin(xAy等的图象及性质，深刻理解图象变换之原理。6、解决与三角函数有关的（常见的）最值问题。7、正确处理三角形内的三角函数问题，主要是理解并熟练掌握正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理，提高边角、角角转化意识。8

2、、提高综合运用的能力，如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理。【疑难点拔】一、概念不清 例 1 若、为第三象限角，且，则（）（A）coscos（B）coscos（C）coscos（D）以上都不对 错解 选（A）分析：角的概念不清，误将象限角看成类似)23,(区间角。如取34,672，可知（A）不对。用排除法，可知应选（D）。二、以偏概全 例 2 已知msin，求cos的值及相应的取值范围。错解 当是第一、四象限时，21cosm，当是第二、三象限时，21cosm。分析：把限制为象限角时，只考虑1|m且0m的情形，遗漏了界限角。应补充：当1|m时，0cos),(2Zkk；当0m时，1cos

3、),(Zkk，或1cos。三、忽略隐含条件 例 3 若01cossinxx，求x的取值范围。错解 移项得1cossinxx，两边平方得)(222,02sinZkkxkx那么 即)(2Zkkxk 分析：忽略了满足不等式的x在第一象限，上述解法引进了1cossinxx。正解：1cossinxx即1)4sin(2x，由22)4sin(x得)(432442Zkkxk )(222Zkkxk 四、忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性 例 4 设、为锐角，且+120，讨论函数22coscosy的最值。错解)cos(211)cos()cos(1)2cos2(cos211y 可见，当1)cos(时，23m

4、axy；当1)cos(时，21miny。分析：由已知得90,30，6060，则1)cos(21 当1)cos(，即60时，21miny，最大值不存在。五、忽视应用均值不等式的条件 例 5 求函数)20,0(sincos2222xbaxbxay的最小值。错解 )12sin0(42sin4cossin2sincos)2()1(2222xabxabxxabxbxay 当12sinx时，aby4min 分析：在已知条件下，（1）、（2）两处不能同时取等号。正解：2222222222222)(2)cottan()cot1()tan1(baabbaxbxabaxbxay 角函数的恒等变形的能力关键是熟悉诱

5、导公式同角关系和差角公式及倍角公式等掌握常见的变形方法解决三角函数中的求值问题关键是把握未知与已知之间的联系熟练运用三角函数的性质需关注复合问题在问题转化过程中进一步重角形内的三角函数问题主要是理解并熟练掌握正弦定理余弦定理及三角形内角和定理提高边角角角转化意识提高综合运用的能力如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理疑难点拔一概念不清例为第三象限角且则以上都不及相应的取值范围错解当是第一四象限时当是第二三象限时分析把限制为象限角时只考虑且的情形遗漏了界限角应补充当时当时或三忽略隐含条件例若求的取值范围错解移项得两边平方得那么即分析忽略了满足不等式的在第一象限当且仅当xbxacottan

6、，即abx tan，时，2min)(bay 专题四：三角函数【经典题例】例 1：点 P 从（1，0）出发，沿单位圆122yx逆时针方向运动32弧长到达 Q 点，则Q 点的坐标为（）（A）)23,21(（B）)21,23(（C）)23,21(（D）)21,23(思 路 分 析 记POQ，由 三 角 函 数 定 义 可 知 Q点 的 坐 标),(yx满 足sin,cosryrx，故选（A）简要评述 三角函数定义是三角函数理论的基础，理解掌握能起到事半功倍的效果。例 2：求函数xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244的最小正周期、最大值和最小值.思路分析)(xf212sin41)

7、cossin1(21)cossin1(2cossin122xxxxxxx 所以函数 f(x)的最小正周期是，最大值是43，最小值是41.简要评述 三角恒等变形是历年高考考察的主要内容，变形能力的提高取决于一定量的训练以及方法的积累，在此例中“降次、化同角”是基本的思路。此外，求函数的周期、最值是考察的热点，变形化简是必经之路。例 3：已知)2,4(,41)24sin()24sin(，1cottansin22求的值.思路分析 )24cos()24sin()24sin()24sin(,4cos21)42sin(21得 .214cos 又.125),2,4(所以 于是 2sin2cos22cosco

8、ssincossin2cos1cottansin2222.325)3223()65cot265(cos)2cot22(cos 简要评述 此类求值问题的类型是：已知三角方程，求某三角代数式的值。一般来说先解三角方程，得角的值或角的某个三角函数值。如何使解题过程化繁为简，变形仍然显得角函数的恒等变形的能力关键是熟悉诱导公式同角关系和差角公式及倍角公式等掌握常见的变形方法解决三角函数中的求值问题关键是把握未知与已知之间的联系熟练运用三角函数的性质需关注复合问题在问题转化过程中进一步重角形内的三角函数问题主要是理解并熟练掌握正弦定理余弦定理及三角形内角和定理提高边角角角转化意识提高综合运用的能力如对实

9、际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理疑难点拔一概念不清例为第三象限角且则以上都不及相应的取值范围错解当是第一四象限时当是第二三象限时分析把限制为象限角时只考虑且的情形遗漏了界限角应补充当时当时或三忽略隐含条件例若求的取值范围错解移项得两边平方得那么即分析忽略了满足不等式的在第一象限重要，此题中巧用诱导公式、二倍角公式，还用到了常用的变形方法，即“化正余切为正余弦”。例 4：已知 b、c 是实数，函数 f(x)=cbxx2对任意、R有：,0)(sinf 且,0)cos2(f（1）求 f（1）的值；（2）证明：c3；（3）设)(sinf的最大值为 10，求 f（x）。思路分析（1）令=2，得,

10、0)1(f令=，得,0)1(f因此,0)1(f；（2）证明：由已知，当11x时，,0)(xf当31x时，,0)(xf通过数形结合的方法可得：,0)3(f化简得 c3；（3）由上述可知，-1，1 是)(xf的减区间，那么,10)1(f又,0)1(f联立方程组可得4,5cb,所以45)(2xxxf 简要评述 三角复合问题是综合运用知识的一个方面，复合函数问题的认识是高中数学学习的重点和难点，这一方面的学习有利于提高综合运用的能力。例 5：关于正弦曲线回答下述问题：（1）函数)43sin(log21xy的单调递增区间是Zkkxk348328；（2）若函数xaxy2cos2sin的图象关于直线8x对称

11、，则a的值是 1 ；（3）把函数)43sin(xy的图象向右平移8个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的 3 倍（纵坐标不变），则所得的函数解析式子是)8sin(xy ；（4）若函数)2|,0,0()sin(ABxAy的最大值是22，最小值是2，最小正周期是32，图象经过点（0，-42），则函数的解析式子是22)63sin(223xy；思路分析 略 简要评述 正弦曲线问题是三角函数性质、图象问题中的重点内容，必须熟练掌握。上述问题的解答可以根据正弦曲线的“五点画法”在草稿纸上作出函数的草图来验证答案或得到答案。例 6：函数xxxxfcossin12sin)(角函数的恒等变形的能力关键是熟悉

12、诱导公式同角关系和差角公式及倍角公式等掌握常见的变形方法解决三角函数中的求值问题关键是把握未知与已知之间的联系熟练运用三角函数的性质需关注复合问题在问题转化过程中进一步重角形内的三角函数问题主要是理解并熟练掌握正弦定理余弦定理及三角形内角和定理提高边角角角转化意识提高综合运用的能力如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理疑难点拔一概念不清例为第三象限角且则以上都不及相应的取值范围错解当是第一四象限时当是第二三象限时分析把限制为象限角时只考虑且的情形遗漏了界限角应补充当时当时或三忽略隐含条件例若求的取值范围错解移项得两边平方得那么即分析忽略了满足不等式的在第一象限A B C D（1）求 f

13、(x)的定义域；（2）求 f(x)的最大值及对应的 x 值。思路分析 （1）x|x222kxk且 Zk(2)设 t=sinx+cosx,则 y=t-1 42,12maxkxy Zk 简要评述 若)(xf关于xxcossin与xxcossin的表达式，求函数的最值常通过换元法，如令xxtcossin，使问题得到简化。例 7：在ABC 中，已知BACCAsin232cossin2cossin22（1）求证：a、b、c 成等差数列；（2）求角 B 的取值范围。思路分析（1）条件等式降次化简得bcaBCA2sin2sinsin（2）,2182682)(32)2(cos22222acacacacacca

14、accacaB，得 B的取值范围3,0(简要评述 三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”进行互换。例 8：水渠横断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为 h，梯形面积为 S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角应该是多少？思路分析 CD=cothhS,C=)cotsin2(hhS,转化为考虑y=sincos2的最小值，可得当3时，y 最小，即 C 最小。简要评述“学以致用”是学习的目的之一，三角知识的应用很广泛，在复习过程中应受到重视。角函数的恒等变形的能力关键是

15、熟悉诱导公式同角关系和差角公式及倍角公式等掌握常见的变形方法解决三角函数中的求值问题关键是把握未知与已知之间的联系熟练运用三角函数的性质需关注复合问题在问题转化过程中进一步重角形内的三角函数问题主要是理解并熟练掌握正弦定理余弦定理及三角形内角和定理提高边角角角转化意识提高综合运用的能力如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理疑难点拔一概念不清例为第三象限角且则以上都不及相应的取值范围错解当是第一四象限时当是第二三象限时分析把限制为象限角时只考虑且的情形遗漏了界限角应补充当时当时或三忽略隐含条件例若求的取值范围错解移项得两边平方得那么即分析忽略了满足不等式的在第一象限 【热身冲刺】一、选择

16、题：1若100a，则满足asin=0.5的角a 的个数是（C）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 2为了得到函数)62sin(xy的图象，可以将函数xy2cos的图象（B）（A）向右平移6个单位长度 （B）向右平移3个单位长度 （C）向左平移6个单位长度 （D）向左平移3个单位长度 3已知函数,sin)(xxf，则下面三个命题中：（1）0)4()1(ff；（2）0)43()2(ff；（3）0)43()3(ff；其中正确的命题共有（B）（A）0 个 （B）1个 （C）2 个 （D）3 个 4若)(xf是奇函数，且当x0 时，xxxfsin)(2，则当xR时，)(xf为(C)（A）xxsin2

17、 （B）xxsin2 （C）|x|xxsin （D）|x|xxsin 5函数)3sin()3cos(3)(xxxf是奇函数，则等于（D）（A）k （B）6k（C）3k（D）3k 6 如果圆222kyx至少覆盖函数kxxfsin3)(的一个最大值点和一个最小值点，则k的取值范围是（B ）（A）3|k （B）2|k （C）1|k （D）2|1k 7若x5,123，则 y2tan()tan()cos()366xxx 的最大值是（C ）（A）1225 （B）1126 （C）1136 （D）1235 8 函数xxycos2sin2在区间,32a上的最小值为-41，则a的取值为（C ）（A）),32（B）

18、0，32 （C）32,32 （D）34,32(9若ABC面积 S=)(41222cba则C=（C）角函数的恒等变形的能力关键是熟悉诱导公式同角关系和差角公式及倍角公式等掌握常见的变形方法解决三角函数中的求值问题关键是把握未知与已知之间的联系熟练运用三角函数的性质需关注复合问题在问题转化过程中进一步重角形内的三角函数问题主要是理解并熟练掌握正弦定理余弦定理及三角形内角和定理提高边角角角转化意识提高综合运用的能力如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理疑难点拔一概念不清例为第三象限角且则以上都不及相应的取值范围错解当是第一四象限时当是第二三象限时分析把限制为象限角时只考虑且的情形遗漏了界限角

19、应补充当时当时或三忽略隐含条件例若求的取值范围错解移项得两边平方得那么即分析忽略了满足不等式的在第一象限（A）2 （B）3 （C）4 （D）6 10已知向量),1,0(),2(),sin2,cos2(ba则a与b的夹角为（A）（A）23 （B）2 （C）2 （D）二、填空题：11若)(xf是以 5 为周期的奇函数，)3(f=4,且 cos21，则)2cos4(f=-4 .12函数y=lg(sinxcosx)的增区间是Zkkk 4,(13用x表示不超过实数x的最大整数。则2000sin30sin20sin10sin=-81 。14设sincosx，且0cossin33，则x的取值范围是2,0(；

20、三、解答题：15（文）求函数)3tan3lg(sin22xxy的定义域。答案：Zkkkkk)232,672(42,62(（理）二次函数 f（x）的二次项系数是负数，对任何Rx，都有)3(xf）=)1(xf，设 M=farcsin(sin4)，N=farcos(cos4)，讨论 M 和 N 的大小。答案：MN 16在锐角三角形 ABC中，.51)sin(,53)sin(BABA（）求证BAtan2tan；（）设AB=3，求AB边上的高.略解（）证明：.2tantan51sincos,52cossin.51sincoscossin,53sincoscossinBABABABABABABA 所以.t

21、an2tanBA（）解：BA2，,43)tan(,53)sin(BABA所以 即43tantan1tantanBABA ，将BAtan2tan代入上式并整理后解得 262tanB，舍去负值，.62tan2tanBA 角函数的恒等变形的能力关键是熟悉诱导公式同角关系和差角公式及倍角公式等掌握常见的变形方法解决三角函数中的求值问题关键是把握未知与已知之间的联系熟练运用三角函数的性质需关注复合问题在问题转化过程中进一步重角形内的三角函数问题主要是理解并熟练掌握正弦定理余弦定理及三角形内角和定理提高边角角角转化意识提高综合运用的能力如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理疑难点拔一概念不清例为第

22、三象限角且则以上都不及相应的取值范围错解当是第一四象限时当是第二三象限时分析把限制为象限角时只考虑且的情形遗漏了界限角应补充当时当时或三忽略隐含条件例若求的取值范围错解移项得两边平方得那么即分析忽略了满足不等式的在第一象限 设AB边上的高为CD.由 AB=AD+DB=622tantanCDBCDACD得 CD=2+6.17已知cossincossin2y，cossinx，其中.0，(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求函数 f(x)的最大值、最小值。答案：12xxy；;1;45minmaxyy 18在锐角ABC中，已知 ABC,且 B=60，又213)2cos1)(2cos1(CA，求证：c

23、ba22 略证：由已知得21)cos(,413coscosCACA又，进一步可求出23)cos(AC，得75,60,45CBA，cRRRba275sin44264)60sin245(sin22 19（1）已知)2,0(x，证明不存在实数)1,0(m能使等式 cosx+msinx=m(*)成立；（2）试扩大x的取值范围，使对于实数)1,0(m，等式(*)能成立；（3）在扩大后的x取值范围内，若取33m,求出使等式(*)成立的x值。提示：（1）可化为1)42tan(xm（2）)2,2(x（3）6x 20设函数)(xf=ab，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，3sin2x)，xR.(1

24、)若31)(xf且x 3，3，求x；（2）若函数 y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|2)平移后得到函数 y=)(xf的图象，求实数 m、n 的值.略解：（）依题设，)(xf=2cos2x+3sin2x=1+2sin(2x+6).由31)(xf，得23)62sin(x，33x4x.（）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数nmxy)(2sin2的图象，即函数 y=)(xf的图象.角函数的恒等变形的能力关键是熟悉诱导公式同角关系和差角公式及倍角公式等掌握常见的变形方法解决三角函数中的求值问题关键是把握未知与已知之间的联系熟练运用三角函数的性质需关注复合问题在问

25、题转化过程中进一步重角形内的三角函数问题主要是理解并熟练掌握正弦定理余弦定理及三角形内角和定理提高边角角角转化意识提高综合运用的能力如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理疑难点拔一概念不清例为第三象限角且则以上都不及相应的取值范围错解当是第一四象限时当是第二三象限时分析把限制为象限角时只考虑且的情形遗漏了界限角应补充当时当时或三忽略隐含条件例若求的取值范围错解移项得两边平方得那么即分析忽略了满足不等式的在第一象限由（）得)(xf=2sin2(x+12)+1.|m|2，m=12，n=1.角函数的恒等变形的能力关键是熟悉诱导公式同角关系和差角公式及倍角公式等掌握常见的变形方法解决三角函数中的求值问题关键是把握未知与已知之间的联系熟练运用三角函数的性质需关注复合问题在问题转化过程中进一步重角形内的三角函数问题主要是理解并熟练掌握正弦定理余弦定理及三角形内角和定理提高边角角角转化意识提高综合运用的能力如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理疑难点拔一概念不清例为第三象限角且则以上都不及相应的取值范围错解当是第一四象限时当是第二三象限时分析把限制为象限角时只考虑且的情形遗漏了界限角应补充当时当时或三忽略隐含条件例若求的取值范围错解移项得两边平方得那么即分析忽略了满足不等式的在第一象限