含对数式的极值点偏移问题论文社科文章_论文-会议文章.pdf

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1、6 含对数式的极值点偏移问题 二f 2X0-X2，比较X2与2X0 7 的大小，即比较X0与宁的大小.2.又一解题策略：根据 f x f X2建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造 函数，利用对数平均不等式链求解.对数平均不等式的介绍与证明 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系:、ab乞L(a,b)乞勺匕(此式记为 对数平均不等式)取等条件：当且仅当 a二b时，等号成立._ a亠b 只证：当 a=b时，.、ab:L(a,b)：2 证明如下:(I)先证:.ab：L(a,b)IHIII a+b(II)再证：L(a,b):2 构造函数 g(x)=lnx2 9,(x 1)，则 g(x)

2、=丄(x+1)不等式 Cyf 2(-1)a+b b(兰+i)1.若f X的极值点为X0，则根据对称性构造一元差函数 Fx=fX0，X-fX0-X，F x的单调性以及F 0=0，借助于f为i=f X2=X。-X。-X2 与 f|_Xo Xo 巧借 X2 两个正数a和b的对数平均定义:a-b -丰 b),ln(3 ln2)a(a=b).不失一般性，可设 a b.不等式一aa；i)二 2Inxcx(其中X=J2A1)a x b 构造函数 f(x)=2In x-(x,(x 1)，2 1 1 2 则 f(刈二-二二(1-一)2.X X X 因为X 1时，f(x)-0，所以函数f(x)在(1：)上单调递减

3、,故f(x)：f(1)=0，从而不等式 成立;4(x-1)2 2,亠八2.X(x 1)x(x 1)a b 因为x.1时，g(x).0,所以函数g(x)在(1,七)上单调递增，故g(x)：g(1)=0，从而不等式 成立；m亠b 综合(I)(II)知，对-a,bR，都有对数平均不等式ab_L(a,b)成立，2 当且仅当a二b时，等号成立.例 1.已知函数 f(x)=lnx-ax2 (2-a)x.(1)讨论f(x)的单调性；1 1 1(2)设 a.0，证明：当 0：x 时，f(x)f(x)；a a a(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于 代B两点，线段AB中点的横坐标为 沧，证明:【解析】门)易

4、得：当*0时，/(力在(02)上单调递曹 当心0时，/仗)在(0丄)上单调递増，在(-;+x)B调递减一 a a(2)法一：构造函数 g(x)=f(+x)-/(-算)：(0 兀 0,PP/(-+x)/(-x.1 1 法二：构造以a为主元的函数，设函数 h(aH f(x)-f(x)，a a 1 1 由 0：x，解得 0:a：a x 1 当 0：a 时，h(a)0,.h(a)在(0：)上单调递增，x 1 1 1 而 h(0)=0,所以 h(a)0，故当 0：x 时，f(x)f(x).a a a f(x。)：0.则如=圧+沪圧-沪(1+ax)(l 则 h(a)=ln(1 ax)-ln(1-ax)-2

5、ax，h(a)1+ax 1-ax 3 2 x 小 2x a _2x _ 2 2，1-a x 即比较与宁的大小又一解题策略根据建立等式通过消参恒等变形转化为对数平均捆绑构造巧借函数利用对数平均不等式链求解对数平均不等式的介绍与证明丰两个正数和的对数平均定义对数平均与算术平均几何平均的大小关系乞乞明如下先证不等式一构造函数因为时所以函数上单调递减故从而不等式成立再证不等式兰构造函数则丄亠八因为时所以函数在七上单调递增故从而不等式成立综合知对都有对数平均不等式当且仅当二时等号成立例已知函数讨论的单当心时仗在丄上单调递増在调递减一法一构造函数算兀丄则如圧沪圧沪二刃在丄上单调递増又二兀法二构造以为主元的

6、函数设函数小则由解得当时在上单调递增而所以故当时由知只育当且的最大值丄时函数才会育两个零点不妨设斗（3）由（1知，只育当a0,且的最大值丄）0时，a 函数y=f（x）才会育两个零点不妨设，（斗0）/（场卫）.0 坷Xj,则0瓷码蝶丄疋毛p故i-jqe（Dt丄几 a a a 由得：-码*八丄十2-切Af（丄一（丄一町=/（=/（巧,a a a a a 又由/CO在（-）上单调递减,a 所以比-码，于是况=岀二禺A丄,a 2 a 由i知，7W0(3)问另解：由f(人)=f(x2)=0 2 2 二 ln x-ax(2 _a)%=In x _ax2(2 _ a)x2=0 2 2=In Xi-1n x2

7、 2(xi-x2)=a(xi-x2 为 一 x2)In 捲In x2+2(捲x2)F Xi*xr O 可+冷、兔一$+两_曲 二 術+帀+1 2 lnx1-In Xj 4-2(xx-xa)1 口 西一 In 盘斗 In 为 Tn x2 二-（兀工在）2 Injq-ID Xi 刹用式可得：M（ln jq+ln JC）m 21Q西！勺 由题于y=m与y=xlnx交于不同两点，易得出则 m：0 上式简化为 In（为 x2）2=In e 二 0:x1x2 2 e求证:0：x1x2 即比较与宁的大小又一解题策略根据建立等式通过消参恒等变形转化为对数平均捆绑构造巧借函数利用对数平均不等式链求解对数平均不等

8、式的介绍与证明丰两个正数和的对数平均定义对数平均与算术平均几何平均的大小关系乞乞明如下先证不等式一构造函数因为时所以函数上单调递减故从而不等式成立再证不等式兰构造函数则丄亠八因为时所以函数在七上单调递增故从而不等式成立综合知对都有对数平均不等式当且仅当二时等号成立例已知函数讨论的单当心时仗在丄上单调递増在调递减一法一构造函数算兀丄则如圧沪圧沪二刃在丄上单调递増又二兀法二构造以为主元的函数设函数小则由解得当时在上单调递增而所以故当时由知只育当且的最大值丄时函数才会育两个零点不妨设斗 Inx 例 3：已知函数f x(a R)，曲线y=f x在点1,f 1 处的切线与直线 x y 1=0垂直.x+a

9、(1)试比较20162017与20172016的大小，并说明理由；(2)若函数g x二f x-k有两个不同的零点x1,x2，证明：x1?x2 e2.【答案】(1)20162017 20172016(2)见解析【幫析】试题廿析：的导数，由两直线垂直的杀件；斜率相等，刃可得到卿僦率和切 点坐标，进而 f(x)的解折式和导数，求出草调区间，可得f(2017),即可得到 201 沪口与 2017u 的大小 (H)运用分折法证明，不妨设白根的定义可焊所以化简得 luxj-kxif to-fc-0.可得 lM+luX2=k 工，也就是 k Xl+2）池松hb即证眄，上一,令玉“*刚 盹血令h(t)=lar

10、-2 巧一冷 坷土形 工+1/+!求出导数，判断单删生，即可得证.1+a 1 1 所以f x 2，又由切线方程可得f 1=1，即 1,解得a=0 （1+a）1+a 1+a Inx 此时f x：x 令 f x 0，即 1-lnx 0，解得 0：x：e；令 f x：0,即 1-lnx：0,解得 x-e 所以f x的增区间为 0,e，减区间为 e,-2017In2016 2016In2017，20162017-20172016.（2）证明：不妨设x1 x?0因为g x.（二g x2=0 所以化简得 In%-kx,=0,In x2-kx2=0 (1)依题意得 x+a -lax 第 _ （兀+舁 试题解

11、析:1-1 nx x2 所以 f 2016 f 2017，即 In 2016 2016 In 2017 2017 即比较与宁的大小又一解题策略根据建立等式通过消参恒等变形转化为对数平均捆绑构造巧借函数利用对数平均不等式链求解对数平均不等式的介绍与证明丰两个正数和的对数平均定义对数平均与算术平均几何平均的大小关系乞乞明如下先证不等式一构造函数因为时所以函数上单调递减故从而不等式成立再证不等式兰构造函数则丄亠八因为时所以函数在七上单调递增故从而不等式成立综合知对都有对数平均不等式当且仅当二时等号成立例已知函数讨论的单当心时仗在丄上单调递増在调递减一法一构造函数算兀丄则如圧沪圧沪二刃在丄上单调递増又

12、二兀法二构造以为主元的函数设函数小则由解得当时在上单调递增而所以故当时由知只育当且的最大值丄时函数才会育两个零点不妨设斗可得 lnx-i InX2 二 k x x2,In为Inx2 二 k 为x2.要证明x1x2 e,即证明In为+1 nx2 2，也就是k(Xj+x2)A2 因为k=lnxinx2，所以即证 X 一 X?所以 X|X2 e2.点睛：本题主要考查函数导数 与切线的关系，考查利用导数来证明不等式，考查利用分析法和导数来证明 不等式的方法 有关导数与切线的问题，关键的突破口在与切点和斜率，本题中已知切线和某条直线垂直，也即是给出斜率，利用斜率可求得函数的参数值.利用导数证明不等式通常

13、先利用分析法分析，通过转化后 再利用导数来证明.21教育网 In xi I nx2 2 x1 x2 即In.为2，令生“,X2 X1 x2 x2 则 t 1，即证 Int 2 t _1 t+1 2 t-1 t 1(t 1)，由 d+1)3 故函数h t在1,:是增函数，所以 h t h 1=0，即 Int 得证.t+1 即比较与宁的大小又一解题策略根据建立等式通过消参恒等变形转化为对数平均捆绑构造巧借函数利用对数平均不等式链求解对数平均不等式的介绍与证明丰两个正数和的对数平均定义对数平均与算术平均几何平均的大小关系乞乞明如下先证不等式一构造函数因为时所以函数上单调递减故从而不等式成立再证不等式

14、兰构造函数则丄亠八因为时所以函数在七上单调递增故从而不等式成立综合知对都有对数平均不等式当且仅当二时等号成立例已知函数讨论的单当心时仗在丄上单调递増在调递减一法一构造函数算兀丄则如圧沪圧沪二刃在丄上单调递増又二兀法二构造以为主元的函数设函数小则由解得当时在上单调递增而所以故当时由知只育当且的最大值丄时函数才会育两个零点不妨设斗K 例 4：已知函数 f（x）=lnx+a（a,b R）X（I）讨论函数 f X的单调区间与极值；（n）若b.0且f x _0恒成立，求eaJ-b 1的最大值；（川）在（n）的条件下，且 eaJ-b 1取得最大值时，设 F b m m R，且函数F x有两 个零点x4,x

15、2，求实数 m的取值范围，并证明：x4x2 e.【答案】（I）答案见解析；（n）当 Inb=a-1时，eaJ-b 1最大为 i；（m）证明过程见解析【解析】试題分析；（I）求导数，分类讨论，利用导数的正员，讨论跚f 的单谓区间与极值 当b0时上由（1 胃=lab+l-aQ,-b+l r 即可求會 a】一b+l 的豪犬值（111）F（b）=-m meR）f构造凶乩 狷出当（5）吋,，b F（x）f 0、x-HKKfl,F（x）f m+再用分析法进行证明6卩可*utfiJKtfr:（I）/*（工）=丄-=辽,当签0时，rMo恒成立，曲數/（刘的里调鬻区间为心），无极值；当“0时，xE（o.i）rj

16、,f（刃“丸0乜时“励数才（耳的里调蔽区间为占”詹区间为（II）当启AOB 寸，由】）得 _/（对叭二卫王OJnbkd-l上乏总 4：扌7-6十1玄I,nb=a-1 时，召i-ir+l最犬为L F*,1 4 M-l*M U）-2 二-亍 0（川）由（n）知，当ea J-b 1取最大值 1 时,ea，=b=a-1=Inb=F bb b-m,b 0,记 F x=0=Inx-mx=0,不妨 In%=m 设为：X2,由题意 In x2=mx?,贝V Inx1x 2二 m x 1 x 2,x ln-ln =wa(-Xj 1=m=冷-T?欲证明x（x2 只需证明In为刈 2，只需证明 m为 X2 2,14

17、 ln卫沁 空1五 即证明x1 In卷 2，即证 x2 一捲 x1，设t x t-1 f，则只需证明Int 2 rn，也就是证明 即比较与宁的大小又一解题策略根据建立等式通过消参恒等变形转化为对数平均捆绑构造巧借函数利用对数平均不等式链求解对数平均不等式的介绍与证明丰两个正数和的对数平均定义对数平均与算术平均几何平均的大小关系乞乞明如下先证不等式一构造函数因为时所以函数上单调递减故从而不等式成立再证不等式兰构造函数则丄亠八因为时所以函数在七上单调递增故从而不等式成立综合知对都有对数平均不等式当且仅当二时等号成立例已知函数讨论的单当心时仗在丄上单调递増在调递减一法一构造函数算兀丄则如圧沪圧沪二刃

18、在丄上单调递増又二兀法二构造以为主元的函数设函数小则由解得当时在上单调递增而所以故当时由知只育当且的最大值丄时函数才会育两个零点不妨设斗lnt-2 0,记 u t=1 nt-2 ,t 1,所以，所以 u t 在 1,亠j单调递增，所以u tj、u 1=0,所以原不等式成立.21世纪教育网版权所有 alnx 例 5:已知函数，-U，其中 沙 x（1）若，讨论乙；-二的单调区间；（2）已知函数 的曲线与函数 的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为，证明：X）卜电.【答案】（I）见解析（n）见解析.JTV【解析】（I）由已知得：、|-.X I-lnx a?Fr（x）=-1）=（1-x-lnx）X

19、 X 当1.时，-,;当 时，丨 .故若，在 上单调递增，在 上单调递减；故若，在 上单调递减，在 上单调递增.in 勺（II）不妨设勺，勺，依題意 一=b（x1It f”气 h”史 同理 Zm 屮 Mx/r 卜 即比较与宁的大小又一解题策略根据建立等式通过消参恒等变形转化为对数平均捆绑构造巧借函数利用对数平均不等式链求解对数平均不等式的介绍与证明丰两个正数和的对数平均定义对数平均与算术平均几何平均的大小关系乞乞明如下先证不等式一构造函数因为时所以函数上单调递减故从而不等式成立再证不等式兰构造函数则丄亠八因为时所以函数在七上单调递增故从而不等式成立综合知对都有对数平均不等式当且仅当二时等号成立

20、例已知函数讨论的单当心时仗在丄上单调递増在调递减一法一构造函数算兀丄则如圧沪圧沪二刃在丄上单调递増又二兀法二构造以为主元的函数设函数小则由解得当时在上单调递增而所以故当时由知只育当且的最大值丄时函数才会育两个零点不妨设斗X t+1 t-I 取二，即只需证明 成立.即只需证-成立.X2 t-1 t+1 1 4(t-I2 -I ，,在区间|-上单调递增，t(t+I)2 t(t+1)Z:-：I 宀：成立.故原命题得证.例6:已知函数f Inx(1)若f x在点e2,f e2 处的切线与直线4x y=0垂直，求函数f x的单调递增区间;(2)若方程f x=1有两个不相等的实数解 Xi,x2，证明：xi

21、 x2 2e.【答案】(I)0,1和1,e;(n)见解析【解析】试题分析:让)利用趣鶯酉先东得冥針空前值，然后结合导函数与匣的数的关系求徇函針前星调区i啊可扌 本题利用分析洼证明较好，首先写出斗，七满足时关系式，然后结合对数的运董法则进行恒答变形”*十U(g響，讨碍映 E论一 过殛解折：CI/(=二J/=L 二令(斗签寸述，得；xe(Orl)v(l,e)即/(邓的里调牆区闾対(Q1)和(心)二 ax2 lnx1-Inx 亍 a x-x=ax1 哒 Inx a x1 x2-In x(I nx2 a 二 为-X2*x x?2、X1.X2，只要证 X1X2 e2 二 Inx1 Inx2 2 只需证

22、Inx1 Inx a x1 x=x1 x2 InX1 一皿2 2，不妨设x1 x2 X1-X2 即证m 鱼士空,令互珂 1,x2 x x2 x2 lnx2 lnx1 即比较与宁的大小又一解题策略根据建立等式通过消参恒等变形转化为对数平均捆绑构造巧借函数利用对数平均不等式链求解对数平均不等式的介绍与证明丰两个正数和的对数平均定义对数平均与算术平均几何平均的大小关系乞乞明如下先证不等式一构造函数因为时所以函数上单调递减故从而不等式成立再证不等式兰构造函数则丄亠八因为时所以函数在七上单调递增故从而不等式成立综合知对都有对数平均不等式当且仅当二时等号成立例已知函数讨论的单当心时仗在丄上单调递増在调递减

23、一法一构造函数算兀丄则如圧沪圧沪二刃在丄上单调递増又二兀法二构造以为主元的函数设函数小则由解得当时在上单调递增而所以故当时由知只育当且的最大值丄时函数才会育两个零点不妨设斗2(t-n 2(t-n 4 只需证 Int,g t=Int Int 2,t+1 t+1 t+1 则g t在1,：上单调递增，g t g 1=0(t 1),即证 即比较与宁的大小又一解题策略根据建立等式通过消参恒等变形转化为对数平均捆绑构造巧借函数利用对数平均不等式链求解对数平均不等式的介绍与证明丰两个正数和的对数平均定义对数平均与算术平均几何平均的大小关系乞乞明如下先证不等式一构造函数因为时所以函数上单调递减故从而不等式成立再证不等式兰构造函数则丄亠八因为时所以函数在七上单调递增故从而不等式成立综合知对都有对数平均不等式当且仅当二时等号成立例已知函数讨论的单当心时仗在丄上单调递増在调递减一法一构造函数算兀丄则如圧沪圧沪二刃在丄上单调递増又二兀法二构造以为主元的函数设函数小则由解得当时在上单调递增而所以故当时由知只育当且的最大值丄时函数才会育两个零点不妨设斗