大学数学公式总结大全中学教育中考_中学教育-中考.pdf

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1、导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxd

2、xCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：诱导公式：函数 角 A sin cos tg ctg -sin cos-tg-ctg 90-cos sin ctg tg 90+cos-sin-ctg-tg 180-sin-cos-tg-ctg 180+-sin-c

3、os tg ctg 270 -cos-sin ctg tg 270 +-cos sin-ctg-tg 360 -sin cos-tg-ctg 和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数

4、周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相360 +sin cos tg ctg 和差角公式：和差化积公式：2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公

5、式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相倍角公式：半角公式：正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin 余弦定理：Cabbaccos2222 反三角函数性质：arcct

6、gxarctgxxx2arccos2arcsin 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用：曲率：定积分的近似计算：定积分应用相关公式：空间解析几何和向量代数：多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用：),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGF

7、FGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法：重积分及其应用：和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分

8、及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相柱面坐标和球面坐标：曲线积分：曲面积分：高斯公式：dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnndiv)coscoscos(.,0div,div)coscoscos()(成：因此，高斯公式又可写，通量：

9、则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：通量与散度：高斯公式的物理意义斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：三角级数：傅立叶级数：周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：微分方程的相关概念：阳光怡茗工作室 和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和

10、球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)式的通解 两个不相等实根)04(2 qp 两个相等实根)04(2 qp 一对共轭复根)04(2 qp 二阶常系数非齐次线性微分方程 概率公式部分 1随机事件及其概率 吸收律：AABAAAA)(AB

11、AAAAA)(反演律：BABA BAAB 2概率的定义及其计算 若BA )()()(APBPABP 对任意两个事件A,B,有)()()(ABPBPABP 加法公式：对任意两个事件A,B,有 3条件概率 乘法公式 全概率公式 Bayes 公式 和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即

12、单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相4随机变量及其分布 分布函数计算 5离散型随机变量(1)0 1 分布(2)二项分布),(pnB 若P(A)=p *Possion定理 有 ,2,1,0!)1(limkkeppCkknnknknn(3)Poisson 分布 )(P 6连续型随机变量 阳光怡茗工作室(1)均匀分布 ),(baU(2)指数分布 )(E(3)正态分布 N(,2)*N(0,1)

13、标准正态分布 7.多维随机变量及其分布 二维随机变量(X,Y)的分布函数 边缘分布函数与边缘密度函数 8.连续型二维随机变量(1)区域G 上的均匀分布，U(G)(2)二维正态分布 和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数

14、展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相9.二维随机变量的 条件分布 10.随机变量的数字特征 数学期望 阳光怡茗工作室 随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 X 的 k 阶绝对原点矩 X 的 k 阶中心矩 X 的 方差 X,Y 的 k+l 阶混合原点矩 X,Y 的 k+l 阶混合中心矩 X,Y 的 二阶混合原点矩 X,Y 的二阶混合中心矩 X,Y 的协方差 X,Y 的相关系数 X 的方差 D(X)=E(X-E(X)2)协方差 相关系数 线性

15、代数部分 梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。沟通：突出各部分内容间的联系。充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展

16、开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相的方法。阳光怡茗工作室 大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。基本运算 ABBA CBACBA cBcABAc dAcAAdc AcddAc 00ccA或0A。TTAccA。转置值不变AAT 逆值变AA11 321,A，3 阶矩阵 有关乘法的基本运算 线性性质 BABABAA2121，结合律 BCAC

17、AB kkkBAAB不一定成立！AAE，AEA kAkEA，kAAkE 与数的乘法的不同之处 kkkBAAB不一定成立！无交换律 因式分解障碍是交换性 和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数

18、傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相 一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如 无消去律（矩阵和矩阵相乘）当0AB时0 A或0B 由0A和00 BAB 由0A时CBACAB（无左消去律）特别的 设A可逆，则A有消去律。左消去律：CBACAB。右消去律：CBCABA。如果A列满秩，则A有左消去律，即 00BAB CBACAB 可逆矩阵的性质 i）当A可逆时，TA也可逆，且 TTAA11。kA也可逆，且 kkAA11。数0c，cA也可逆，111 AccA。ii）A，B是两个n阶

19、可逆矩阵AB也可逆，且 111ABAB。推论：设A，B是两个n阶矩阵，则EBAEAB 命题：初等矩阵都可逆，且 和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微

20、分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相 命题：准对角矩阵 kkAAAA0000000000002211可逆每个iiA都可逆，记11221111000000000000kkAAAA 伴随矩阵的基本性质：阳光怡茗工作室 当A可逆时，EAAA*得AAA*1，（求逆矩阵的伴随矩阵法）且得：11*AAAA AAAAA1111*伴随矩阵的其他性质 1*nAA,1*AAA ,*TTAA *1AccAn,*,*ABAB kkAA*，AAAn 2*。2n时，AA*dcbaA*关于矩阵右上肩记号：T，k，1，*i)任何两个的次序可交换

21、，如 TTAA*，*11AA等 ii)111,ABABABABTTT，但 kkkABAB不一定成立！线性表示 和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分

22、方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相 sssxxx221121,有解 xs,21有解Tsxxx,1 Ax有解，即可用 A 的列向量组表示 srrrCAB,21，nA,21，则nsrrr,2121。st,2121，则存在矩阵C，使得Cst,2121 线性表示关系有传递性 当pstrrr,212121，则ptrrr,2121。等价关系：如果s,21与t,21互相可表示 ts,2121 记作ts,2121。线性相关阳光怡茗工作室 1s，单个向量，0 x 相关0 2s，21,相关对应分量成比例 21,相关nnbababa:

23、2211 向量个数s=维数n，则n1,线性相（无）关 01n nA,21，0Ax有非零解0 A 如果ns，则s,21一定相关 0Ax的方程个数n未知数个数s 和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三

24、角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相 如果s,21无关，则它的每一个部分组都无关 如果s,21无关，而,21s相关，则s,21 证明：设cccs,1不全为 0，使得011cccss 则其中0c，否则scc,1不全为 0，011sscc，与条件s,1无关矛盾。于是sscccc11。当s,1时，表示方式唯一s1无关 （表示方式不唯一s1相关）若st,11，并且st，则t,1一定线性相关。证明：记sA,1，tB,1，则存在ts矩阵C，使得 ACB。0Cx有s个方程，t个未知

25、数，ts，有非零解，0C。则0ACB，即也是0Bx的非零解，从而t,1线性相关。各性质的逆否形式 如果s,21无关，则ns。如果s,21有相关的部分组，则它自己一定也相关。如果s1无关，而s,1，则s,1无关。和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为

26、消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相 如果st11，t1无关，则st。推论：若两个无关向量组s1与t1等价，则ts。极大无关组 一个线性无关部分组 I，若 I#等于秩 I6421,，I就一定是极大无关组 s,21无关ss,21 sss,12121 另一种说法：取s,21的一个极大无关组 I I也是,21s的极大无关组,I相关。证明：,1IIs相关。可用s,1唯一表示 sss,11 stsst,11111 ts,11

27、ttss,1111 矩阵的秩的简单性质 A行满秩：mAr A列满秩：nAr n阶矩阵A满秩：nAr A满秩A的行（列）向量组线性无关 A可逆 0 Ax只有零解，Ax唯一解。矩阵在运算中秩的变化 初等变换保持矩阵的秩 ArArT 和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体积内所产

28、生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相 0c时，ArcAr BrArBAr BrArABr,min A可逆时，BrABr 弱化条件：如果A列满秩，则 BAB 证：下面证0ABx与0Bx同解。是0ABx的解0AB 0B是0Bx的解 B可逆时，ArABr 若0AB，则 nBrAr（A的列数，B的行数）A列满秩时 BrABr B行满秩时 ArABr BrArnABr 解的性质 10Ax的解的性质。阳光怡茗工

29、作室 如果e,21是一组解，则它们的任意线性组合eeccc2211一定也是解。20Ax 如果e,21是Ax的一组解，则 eeccc2211也是Ax的解121eccc eeccc2211是0Ax的解021eccc 特别的：当21,是Ax的两个解时，21是0Ax的解 和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物

30、理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相 如果0是Ax的解，则n维向量也是Ax的解0是0Ax的解。解的情况判别 方程：Ax，即nnxxx2211 有解n,21 无解 AA|唯一解 nAA|无穷多解 nAA|方程个数m：当 mA 时，mA|，有解 当nm 时，nA，不会是唯一解 对于齐次线性方程组0Ax，只有零解 nA（即A列满秩）（有非零解 nA）特征值特征向量 是A

31、的特征值是A的特征多项式AxE 的根。两种特殊情形：（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。（2）1Ar时：A的特征值为 Atr,0,0,0 特征值的性质 命题：n阶矩阵A的特征值的重数AErn 命题：设A的特征值为n,21，则 An 21 和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的

32、物理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相 Atrn 21 命题：设是A的特征向量，特征值为，即A，则 对于A的每个多项式 Af，xfAf 当A可逆时，11A，|*AA 命题：设A的特征值为n,2 1，则 Af的特征值为 nfff,2 1 A可逆时，1A的特征值为n 1,1,12 1 *A的特征值为nAAA 2 1|,|,|TA的特征值也是n,21 特征值的应用 求行

33、列式nA,|2 1 判别可逆性阳光怡茗工作室 是A的特征值EAAE 0 不可逆 EA 可逆不是A的特征值。当 0Af时，如果 0cf，则cEA可逆 若是A的特征值，则 f是 Af的特征值 0f。ccf0不是A的特征值AcE可逆。n 阶矩阵的相似关系 当UAAU 时，AB，而UAAU 时，AB。相似关系有 i）对称性：ABBA BAUU 1，则1 UBUA 和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度

34、多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相 ii）有传递性：BA，CB，则CA BAUU 1，CBVV 1，则 命题 当BA时，A和B有许多相同的性质 BA BA A，B的特征多项式相同，从而特征值完全一致。A与B的特征向量的关系：是A的属于的特征向量1 U是B的属于的特征向量

35、。正定二次型与正定矩阵性质与判别 可逆线性变换替换保持正定性 nxxxf,21变为nyyyg,21，则它们同时正定或同时不正定 BA，则A，B同时正定，同时不正定。例如ACCBT。如果A正定，则对每个0 x （C可逆，0 x，0Cx！）我们给出关于正定的以下性质 A正定EA 存在实可逆矩阵C，CCAT。A的正惯性指数n。A的特征值全大于0。A的每个顺序主子式全大于0。阳光怡茗工作室 判断A正定的三种方法：和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何

36、上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相 顺序主子式法。特征值法。定义法。基本概念 对称矩阵AAT。反对称矩阵AAT。简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为 1，台角正上方的元素都为 0。如果A是一个n阶矩阵，A是阶梯形矩阵A是上

37、三角矩阵，反之不一定 矩阵消元法：（解的情况）写出增广矩阵 A，用初等行变换化 A为阶梯形矩阵B。用B判别解的情况。i）如果B最下面的非零行为d0,0，则无解，否则有解。ii）如果有解，记是B的非零行数，则 n 时唯一解。n时无穷多解。iii）唯一解求解的方法（初等变换法）去掉B的零行，得 00 B，它是 cnn矩阵，0B是n阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。则0 nnbiinnbb01 1都不为0。ErBA行行 就是解。阳光怡茗工作室 和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多

38、元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相一个n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211的值：是!n项的代数和 每一项是n个元素的乘积，它们共有!n项 nnjjjaaa2121

39、其中njjj21是n,2,1的一个全排列。nnjjaa11 前面乘的应为njjj211 njjj21的逆序数 代数余子式 ijM为ija的余子式。定理：一个行列式的值D等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。范德蒙行列式 jiijnaaaaa)(11111 2nC个 乘法相关 AB的ji,位元素是A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和。乘积矩阵的列向量与行向量 （1）设nm矩阵nA,21，n维列向量Tnbbb,21，则 矩阵乘法应用于方程组 方程组的矩阵形式 Ax，Tmbbb,21 方程组的向量形式 和差化积公式倍角公

40、式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相 （2）设C

41、AB，AB的第i个列向量是A的列向量组的线性组合，组合系数是B的第i个列向量的各分量。AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数是A的第i个行向量的各分量。矩阵分解 当矩阵C的每个列向量都是A的列向量的线性组合时，可把C分解为A与一个矩阵B的乘积 特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题 对角矩阵从右侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各列向量 对角矩阵从左侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各行向量 于是AAE，AEA kAkEA，kAAkE 两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘 对角矩阵的k次方幂只须把每个对角线上元素作k次方幂 对一个n阶矩阵A，规定 Atr为A

42、的对角线上元素之和称为A的迹数。于是 TkTkT1 TkTtr1 TTtr 其他形式方阵的高次幂也有规律 例如：101020101A 初等矩阵及其在乘法中的作用阳光怡茗工作室 （1）jiE,：交换E的第ji,两行或交换E的第ji,两列 和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体

43、积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相 （2）)(ciE：用数 0c乘E的第i行或第i列 （3）)(,cjiE：把E的第j行的c倍加到第i行上，或把E的第i列的c倍加到第j列上。初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵A等同于对A作一次相当的初等行（列）变换 乘法的分块法则 一般法则：在计算两个矩阵A和B的乘积时，可以先把A和B用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求A的纵向分割与B的横向分割一致。两种常用

44、的情况 （1）BA,都分成 4 块 22211211AAAAA，22211211BBBBB 其中1 iA的列数和jB1的行数相等，2iA的列数和jB2的行数相关。（2）准对角矩阵 矩阵方程与可逆矩阵 两类基本的矩阵方程 （都需求A是方阵，且0A）（I）的解法：（II）的解法，先化为TTTBxA。TTTxEBA。通过逆求解：BAx，BAx1 可逆矩阵及其逆矩阵 定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵H，使得EAH，且EHA，则称A是可逆矩阵，称H是A的逆矩阵，证作1A。定理：n阶矩阵A可逆0 A 求1A的方程（初等变换法）和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布

45、尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相 伴随矩阵 线性表示 可以用s,21线性表示，即可以表示为s,21的

46、线性组合，也就是存在sccc,21使得 ssccc2211 记号：s,21 线性相关性 线性相关：存在向量i可用其它向量sii,111线性表示。线性无关：每个向量i都不能用其它向量线性表示 定 义：如 果 存 在 不 全 为0的sccc,21，使 得02211ssccc则 称s,21线性相关，否则称s,21线性无关。即：s,21线性相（无）关011ssxx有（无）非零解 0,21xs有（无）非零解 极大无关组和秩 定义：s,21的一个部分组 I称为它的一个极大无关组，如果满足：i）I线性无关。ii）I再扩大就相关。定义：规定s,21的秩 Is#,21。如果s,21每个元素都是零向量，则规定其秩

47、为0。有相同线性关系的向量组 定义：两个向量若有相同个数的向量：ss,2121，并且向量方程 0,2211ssxxx与02211ssxxx同解，则称它们有相同的线性关系。对应的部分组有一致的相关性。和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯

48、公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相 421,的对应部分组421,，若421,相关，有不全为0的421,ccc使得 0442211ccc，即0,0,0,421ccc是02211ssxxx的解，从而也是02211ssxxx的解，则有 0442211ccc，321,也相关。极大无关组相对应，从而秩相等。有一致的内在线表示关系。设：sA,21，sB,21，则 02211ssxxx 即 0Ax，02211ssxxx 即 0Bx。s,21

49、与s,21有相同的线性关系即0Ax与0Bx同解。反之，当0Ax与0Bx同解时，A和B的列向量组有相同的线性关系。矩阵的秩 定理：矩阵A的行向量组的秩=列向量组的秩 规定 Ar行（列）向量组的秩。Ar的计算：用初等变换化A为阶梯形矩阵B，则B的非零行数即 Ar。命题：AAr的非零子式阶数的最大值。阳光怡茗工作室 方程组的表达形式 1mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 和差化积公式倍角公式半角公式正弦定理余弦定理反三角函数性质高阶导数公式莱布尼兹公式中值定理与导数应用曲率定积分的近似计算定积分应用相关公式空间解析几何和向量代数多元

50、函数微分法及应用微分法在几何上的应用过在点空间曲线处的法平面方程方向导数与梯度多元函数的极值及其求法重积分及其应用柱面坐标和球面坐标曲线积分曲面积分高斯公式散度高斯公式的物理意义通量通量与散度即单位体积内所产生的流体质量若则为消失因此高斯公成幂级数一些函数展开成幂级数欧拉公式三角级数傅立叶级数周期为的周期函数的傅立叶级数微分方程的相关概念阳光怡茗工作室一阶线性微分方程全微分方程二阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程及其解法式的通解两个不相 2Ax 是解 A 3nnxxx2211 有解n,21 基础解系和通解 10Ax有非零解时的基础解系 e,21是0Ax的基础解系的条件：每个i都是0Ax的解