椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习中学教育高考_中学教育-高中教育.pdf

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1、（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面内与两个定点 F1、F2的距离之和等于定长（大于|F1F2|）的点的 轨迹叫做 椭圆。这两个定点 F1、F2叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的 焦 距。对椭圆定义的几点说明：（1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球 面）；（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分；（3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于|F1F2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于|F1F2|时，我们得到的是线段 F1F2；当这个“常数”小于|F1F2|时，无 轨迹。这两种特殊情况，同学

2、们必须注意。（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个 对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为 A1，A2，B1，B 2，于是我们易得|A1A2|的值就是那个“常数”，且|B2F2|+|B 2F1|、|B1F2|+|B 1F1|也等于那个“常数”。同学们想一想 其中的道理。（5）中心在原点、焦点分别在 x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：2 2 2 2 2 2 1（a b 0）,2 2 1（a b 0）,a b a b 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a b 0，a2 c2 b2。不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（

3、第一个椭圆的 焦点坐标为（c，0）和（c，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，c）和（0，c）。椭圆的 焦点在 x 轴上 标准方程中 x2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上 标准方程中 y2 项 的分母较大。（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率对于第一类性质，只 x2 y2 要 2 2 1（a b 0）的有关性质中横坐标 x 和纵坐标 y 互换，就可以得出 ab 22 y2 x2 1（a b 0）的有关性质。总结如下：ab 几点说明：1）长轴：线段 A1A2，长为 2a；短

4、轴：线段 B1B2，长为 2b；焦点在长轴上。2）对于离心率 e，因为 ac0，所以 0e0，n0 且mn）。分析：根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，a、b 解析：（1）因为椭圆的焦点在 x轴上，所以设它的标准方程为 22 x 2 y 2 1 22 ab ab0）2a10，2c8，a5，c4 所以所求的椭圆的标准方程为 2 y x2 1 25 9 2）因为椭圆的焦点在 y轴上，所以设它的标准方程为 y2 2 a 2 x 1（ab0）b2 由椭圆的定义知，2a(23)(25 2)2(23)2(52 2)2 32 10 21 10 2 10 又c2，b2a2c21046 22 所

5、以所求的椭圆的标准方程为 y x 1 10 6 3）解法一：若焦点在 x轴上，设所求椭圆方程为 2 y x 1(ab 0)22 ab 由A（3，2）和B（2 3，1）两点在椭圆上可得：22(3)2(2)2 1 2 2 1 a2 b2 解之得(2 3)2 12 1 a2 b2 1 a2 15 b2 5 若焦点在 y轴上，设所求椭圆方程为 2 y x 1（ab 0），同上可解得 22 ab a2 5 b2 焦点两焦点的距离叫做椭圆的焦距对椭圆定义的几点说明在平面内是前提否则得不到平面图形去掉这个条件我们将得到一个椭球面两个定点的设定不同于圆的定义中的一个定点学习时注意区分作为到这两个定点的距离的和

6、的常数必必须注意下面我们对椭圆进行进一步观察发现它本身具备对称性有两条对称轴和一个对称中心我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为于是我们易得的值就是那个常数且也等于那个常数同学们想一想其中的道理中心在原点焦点分别坐标也不同第一个椭圆的焦点坐标为和第二个椭圆的焦点坐标为和椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大二椭圆的几何性质椭圆的几何性质可分为两类一类是与坐标系有关的性质如顶由A（3，2）和 B（2 3，1）两点在椭圆上可得焦点两焦点的距离叫做椭圆的焦距对椭圆定义的几点说明在平面内是前提否则得不到平面图形去掉这个条件我们将得到一个椭球面两个定点的设定不同于圆的

7、定义中的一个定点学习时注意区分作为到这两个定点的距离的和的常数必必须注意下面我们对椭圆进行进一步观察发现它本身具备对称性有两条对称轴和一个对称中心我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为于是我们易得的值就是那个常数且也等于那个常数同学们想一想其中的道理中心在原点焦点分别坐标也不同第一个椭圆的焦点坐标为和第二个椭圆的焦点坐标为和椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大二椭圆的几何性质椭圆的几何性质可分为两类一类是与坐标系有关的性质如顶m（3）2 n（2）2 1 22 m（2 3）2 n 12 1 即 3m 4n 1，解得 m 15 12m n 1 1 n 5 22

8、 故所求的椭圆方程为 x2 y2 1 15 5 点评：（1）求椭圆的标准方程时，首先应明确椭圆的焦点位置，再用待定系数法求 a、b。（2）第（3）小题中的椭圆是存在且惟一的，为计算简便，可设其方程为 mx2 ny21 m0，n 0），不必考虑焦点位置，直接可求得方程想一想，为什么？例 2已知 B、C是两个定点，|BC|6，且 ABC的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方程。分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系为选择适当的坐标系，常常需要画出草 图。如图所示，由 ABC的周长等于 16，|BC|6可知，点A到B、C两点的距离的和是常数，即|AB|AC|16 6 1

9、0，因此，点 A的轨迹是以 B、C为焦点的 椭圆，据此可建立坐标系并画出草图。解析：如图所示，建立坐标系，使 x 轴经过点 B、，原点 与 BC的中点重合。由已知|AB|AC|BC|16，|BC|6，有|AB|AC|10，即点 A的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆，且 2c 6，2a10，222 c 3，a 5，b 5 3 16。由于点 A在直线 BC上时，即 y0 时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点 A的轨迹方程 22 是 x y 1（y 0）。25 16 点评：椭圆的定义在解题中有着广泛的应用，另外，求出曲线的方程后，要检查一下方 程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应

10、在方程后注明，常用限制条件 来注明。2 2 2 2 例 3一动圆与已知圆 O1：（x3）2y21外切，与圆 O2：（x 3）2 y2 81 内切，试求 动圆圆心的轨迹方程。分析：两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，可以找到动圆圆心满足的条件。解析：两定圆的圆心和半径分别为 O1（3，0），r 11；O2（3，0），r29 设动圆圆心为 M（x，y），半径为 R，则由题设条件可得|MO1|1R，|MO2|9R|MO1|MO2|10 由椭圆的定义知：M在以 O1、O2为焦点的椭圆上，且 a5，c3。222 b a c 25 9 16 22 故动圆圆心的轨迹方程为 x y 1。焦点两焦点的距

11、离叫做椭圆的焦距对椭圆定义的几点说明在平面内是前提否则得不到平面图形去掉这个条件我们将得到一个椭球面两个定点的设定不同于圆的定义中的一个定点学习时注意区分作为到这两个定点的距离的和的常数必必须注意下面我们对椭圆进行进一步观察发现它本身具备对称性有两条对称轴和一个对称中心我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为于是我们易得的值就是那个常数且也等于那个常数同学们想一想其中的道理中心在原点焦点分别坐标也不同第一个椭圆的焦点坐标为和第二个椭圆的焦点坐标为和椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大二椭圆的几何性质椭圆的几何性质可分为两类一类是与坐标系有关的性质如顶25 1

12、6 点评：正确地利用两圆内切、外切的条件，合理地消去变量 R，运用椭圆定义是解决本 题的关键，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。焦点两焦点的距离叫做椭圆的焦距对椭圆定义的几点说明在平面内是前提否则得不到平面图形去掉这个条件我们将得到一个椭球面两个定点的设定不同于圆的定义中的一个定点学习时注意区分作为到这两个定点的距离的和的常数必必须注意下面我们对椭圆进行进一步观察发现它本身具备对称性有两条对称轴和一个对称中心我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为于是我们易得的值就是那个常数且也等于那个常数同学们想一想其中的道理中心在原点焦点分别坐标也不同第一个椭圆的焦点坐标为和第二个椭圆的焦点坐标为和椭圆的焦点在

13、轴上标准方程中项的分母较大椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大二椭圆的几何性质椭圆的几何性质可分为两类一类是与坐标系有关的性质如顶22 例 4已知 P是椭圆 x y 1 上的一点，F1、F2是两个焦点，且 F1PF230，求 25 16 PF1F2的面积。分析：如图所示，已知 P30，要求 PF1F2的面积，如用 1|F1F2|yP|，因为求 P点坐标较繁，所以用 S 2 1|PF1|PF2|sin30 较好，为此必须先求出|PF1|PF2|，2 从结构形式可看出用余弦定理可得出夹 30角的两边的乘 积。22 解析：由方程 x y 1，得 a5，b4，25 16 c 3，|F1F2|2c6|

14、PF1|PF2|2a10 F1PF230 在 F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos30 即 62|PF1|22|PF1|PF2|PF2|22|PF1|PF2|3|PF1|PF2|2（2 3）|PF1|PF2|（|PF1|PF2|）2361003664，|PF1|PF2|64 64 23 2 3)1 1 1 S F1PF2 1|PF1|PF2|sin30 164（2 3）1 16（2 3）例 5椭圆ax2by21与直线xy1相交于P、Q两点，若|PQ|2 2，且PQ的中点C与 椭圆中心连线的斜率为 2，求椭圆方程。2 分析：该题是求椭圆方程，

15、即利用题设中的两个独立条件，求出 a、b之值即可 解析：22 由 ax2 by2 1得（ab）xy1 x2 2bx b10 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则 2b b 1 x1 x2，x1x2 a b a b|PQ|1 12（x1 x2）2 4x1x2 2 （2b）2 4 b 1 a b a b 2 2 a b ab 2 2 ab 焦点两焦点的距离叫做椭圆的焦距对椭圆定义的几点说明在平面内是前提否则得不到平面图形去掉这个条件我们将得到一个椭球面两个定点的设定不同于圆的定义中的一个定点学习时注意区分作为到这两个定点的距离的和的常数必必须注意下面我们对椭圆进行进一步观察发现它本身具备对称性

16、有两条对称轴和一个对称中心我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为于是我们易得的值就是那个常数且也等于那个常数同学们想一想其中的道理中心在原点焦点分别坐标也不同第一个椭圆的焦点坐标为和第二个椭圆的焦点坐标为和椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大二椭圆的几何性质椭圆的几何性质可分为两类一类是与坐标系有关的性质如顶又 PQ的中点 C（b，1 b），即 C（b，a）ab ab ab ab a 2 kOC a b a 由得 a 1，b 2 b b 2 3 3 ab 所求椭圆方程为 x 2y 1 33 得的弦的中点的横坐标是 1，求该椭圆方程。2 分析：本题中涉及到弦

17、的中点及弦所在直线的斜率，故可采用“平方差法”22 y1 x1 1，22 ab 两式相减得：(y1 y2)(y1 y2)(x1 x2)(x1 x2)0 22 ab y1 y2 a2(x1 x2)x1 x2 b2(y1 y2)又因为椭圆焦点为 F（0，50）则 a2 b250 由解得：a275，b2 25 22 该椭圆方程为 y x 1 75 25 22 例 7设P是椭圆 x2 y2 1（ab0）上的一点，a2 b2 a2 1 2 b2(1)a23b2 求证：椭圆的离心率 2 e 例 6中心在原点的椭圆 C的一个焦点是 F（0，50），又这个椭圆被直线 l：y3x2 截 解析：据题意，此椭圆为焦

18、点在 y轴上的标准形式的椭圆，设其方程为 0）设直线 与椭圆 的交点分别为（，），（，2 y 2 a 2 x2 1 2 ab 2 y2 2 x2 b2 F1、F2是椭圆的焦点，且 F1PF2=90 焦点两焦点的距离叫做椭圆的焦距对椭圆定义的几点说明在平面内是前提否则得不到平面图形去掉这个条件我们将得到一个椭球面两个定点的设定不同于圆的定义中的一个定点学习时注意区分作为到这两个定点的距离的和的常数必必须注意下面我们对椭圆进行进一步观察发现它本身具备对称性有两条对称轴和一个对称中心我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为于是我们易得的值就是那个常数且也等于那个常数同学们想一想其中的道理中心在原点焦点分

19、别坐标也不同第一个椭圆的焦点坐标为和第二个椭圆的焦点坐标为和椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大二椭圆的几何性质椭圆的几何性质可分为两类一类是与坐标系有关的性质如顶证明：P是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2 a 在RtF1PF2中，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2（2c）2 4c2 由 2，得|PF1|2 2|PF1|PF2|PF2|2 4a2|PF1|PF2|=2（a2c2）由和，据韦达定理逆定理，知|PF1|PF2|是方程 z23az+2（a2c2）=0的两根，2 2 2 则=4a 8（a c）0，c21

20、 2 （），即 e a2 2 1.如果方程 x2 ky2 2 表示焦点在 y轴上的椭圆，那么实数 k的取值范围是 A.（0，）B.（0，2）C.（1，）D.（0，1）2.22 已知椭圆 x y 1，F1、F2分别为它的两焦点，过 F1的焦点弦 CD与x轴成 角（02，解之得 0k0，n0，mn），把P（3，4），Q（4，3）55 m 16n 1 代入得 25 16m 9n 1 25 2 解得 m 1，n 1，故椭圆方程为 x2 y 1。25 25由两点间距离公式可得|AB|4 10 5 6.解析：设|PF1|m，|PF2|n，在 F1PF2 中，由椭圆定义知 由得，3mn 256，故 mn 2

21、56 3 因此，7.解析：连接，256 3 64 3 3 2 3 如图所示，设 B、C为BC的两个三等分点，则 B（24，0），C（24，0），AC，设 A（x，y），BM、CN又分别为 ACB与 ABC的中位线。11 S F PF mnsin60 1 2 2 2 8.解析：间的线段。答案：F1、F2两点间的线段 9.解析：焦点两焦点的距离叫做椭圆的焦距对椭圆定义的几点说明在平面内是前提否则得不到平面图形去掉这个条件我们将得到一个椭球面两个定点的设定不同于圆的定义中的一个定点学习时注意区分作为到这两个定点的距离的和的常数必必须注意下面我们对椭圆进行进一步观察发现它本身具备对称性有两条对称轴和一

22、个对称中心我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为于是我们易得的值就是那个常数且也等于那个常数同学们想一想其中的道理中心在原点焦点分别坐标也不同第一个椭圆的焦点坐标为和第二个椭圆的焦点坐标为和椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大二椭圆的几何性质椭圆的几何性质可分为两类一类是与坐标系有关的性质如顶 10.解析：设弦的两端点分别为 A（x1，y1）、B（x2，y2），则有 x1 y1 1，16 4 1 2 y 1（y 6）81 36 12.解：以直线 MN为 x轴，以线段 MN的中垂线为 y轴建立平面直角坐标系，如图所示。ab0），分别记 M、N、P点的坐标为（

23、c，0）、（c，0）和（x0，y0）tan tan(N）2 在 MNP中，|MN|2c，MN上的高为 4c，3 SMNP 1 2c 4c 1，解得 c 3 2 3 2 即 P(5 3,2 3），由此得|PM|2 15，|PN|15 6,3 33 由题设知 y0 y0 1(x0 c)2 1(x0 c)2 解得 5 x0 c 3 即 P(5c,4c)4 3 3 c 3 y0 22 x2 y2 16 4 两式相减得(x1 x2)(x1 x2)(y1 y2)(y1 y2)16 y1 y2 x1 x2 4(x1 x2)16(y1 y2)44 16 2 即弦所在直线的斜率为 又弦过（2，1）点，故弦所在直

24、线的方程是 x2y 40 11.解：设顶点 A的坐标为 x，y），由题意得：y6 x y 6 4 x9 x2 顶点 A的轨迹方程为：22 设所求椭圆方程为 x y 1 22 ab 焦点两焦点的距离叫做椭圆的焦距对椭圆定义的几点说明在平面内是前提否则得不到平面图形去掉这个条件我们将得到一个椭球面两个定点的设定不同于圆的定义中的一个定点学习时注意区分作为到这两个定点的距离的和的常数必必须注意下面我们对椭圆进行进一步观察发现它本身具备对称性有两条对称轴和一个对称中心我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为于是我们易得的值就是那个常数且也等于那个常数同学们想一想其中的道理中心在原点焦点分别坐标也不同第一个

25、椭圆的焦点坐标为和第二个椭圆的焦点坐标为和椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大二椭圆的几何性质椭圆的几何性质可分为两类一类是与坐标系有关的性质如顶a 1(|PM|PN|)15，从而 b2a2c23 故所求的椭圆方程为 22 4x y 1 2 2 15 3 焦点两焦点的距离叫做椭圆的焦距对椭圆定义的几点说明在平面内是前提否则得不到平面图形去掉这个条件我们将得到一个椭球面两个定点的设定不同于圆的定义中的一个定点学习时注意区分作为到这两个定点的距离的和的常数必必须注意下面我们对椭圆进行进一步观察发现它本身具备对称性有两条对称轴和一个对称中心我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为于是我们易得的值就是那个常数且也等于那个常数同学们想一想其中的道理中心在原点焦点分别坐标也不同第一个椭圆的焦点坐标为和第二个椭圆的焦点坐标为和椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大二椭圆的几何性质椭圆的几何性质可分为两类一类是与坐标系有关的性质如顶