第二十三章特殊的平行四边形中学教育中考_中学教育-中考.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第二十三章 特殊的平行四边形 （2012 湖南益阳，7，4 分）如图，点 A是直线 l 外一点，在 l 上取两点 B、C，分别以 A、C 为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点 D，分别连结 AB、AD、CD，则四边形 ABCD一定是（）A平行四边形 B矩形 C菱形 D梯形 【解析】从题目中（BC、AB 长为半径画弧，两弧交于点 D，）可以得到四边形 ABCD 的两组对边分别相等，所以得到四边形 ABCD 是平行四边形。【答案】A【点评】根据尺规作图得到对边相等，只要考生记住两组对边分别相等的四边形是平行四

2、边形这一定义，就可以得到答案，难度不大。23.1 矩形（2012 湖北襄阳，9，3 分）如图 4，ABCD 是正方形，G 是 BC 上（除端点外）的任意一点，DEAG 于点 E，BFDE，交 AG 于点 F下列结论不一定成立的是 AAEDBFA BDEBFEF CBGFDAE DDEBGFG 【解析】由 ABCD 是正方形，得 ADBA，BADABG90，DAEBAF90 又DEAG，BFDE，BFAG，BAFABF90 DAEABF 而AEDBFA90，AEDBFADEAF，AEBFDEBFAFAEEF由 ADBC 得DAEBGF 及AEDGFB90，可知BGFDAE可见 A，B，C 三选项

3、均正确，只有 D 选项不能确定【答案】D【点评】此题是由人教课标版数学教材八年级下册第 104 页的第 15 题改编而成，并将九年级下册第 48 页练习 2 融合进来，源于教材而又高于教材，综合考查了正方形的性质、全等三角形、相似三角形知识，是一道不可多得的基础好题 （2012山东泰安，9，3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD、AC 于点 E、O，连接 CE，则 CE 的长为（）A.3 B.3.5 C.2.5 D.2.8 图 4 A C B D E F G A B C D E O 学习好资料 欢迎下载【解析】设 CE 的长为 x,因为

4、EO 垂直平分 AC，所以 AE=CE=x,所以 ED=4-x,在 RtCED中，由勾股定理得 CD2+ED2=CE2，22+（4-x）2=x2,解得 x=2.5.【答案】C.【点评】本题在矩形中综合考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，用方程的思想解几何问题是一种行之有效的思想方法。（2012 安徽，14，5 分）如图，P是矩形 ABCD 内的任意一点，连接 PA、PB、PC、PD，得到PAB、PBC、PCD、PDA，设它们的面积分别是 S1、S2、S3、S4，给出如下结论：S1+S2=S3+S4 S2+S4=S1+S3 若 S3=2 S1，则 S4=2 S2 若 S1=S2，则 P

5、点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是_（把所有正确结论的序号都填在横线上）.解析：过点 P分别向 AD、BC作垂线段，两个三角形的面积之和42SS 等于矩形面积的一半，同理，过点 P分别向 AB、CD作垂线段，两个三角形的面积之和31SS 等于矩形面积的一半.31SS=42SS,又因为21SS，则32SS=ABCDSSS2141,所以一定成立 答案：点评：本题利用三角形的面积计算，能够得出成立，要判断成立，在这里充分利用所给条件，对等式进行变形.不要因为选出，就认为找到答案了，对每个结论都要分析，当然感觉不一定对的，可以举反例即可.对于 这一选项容易漏选.（2012 江苏盐城，15，3

6、分）如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形为矩形，只需加上的一个条件是 （填上你认为正确的一个答案即可）.【解析】本题考查了矩形的判定.掌握矩形的定义和判定方法是关键.由四边形 ABCD 的两组对边 AB=DC，AD=BC 知：四边形 ABCD 是平行四边形，而“有一个角是直角或对角线相等”的平行四边形的矩形，故可填的条件是：四边形 ABCD 内有一个直角或 AC=BD.阳分如图点是直线外一点在上取两点分别以为圆心长为半径画弧两弧交于点分别连结则四边形一定是平行四边形矩形菱形梯形解析从题目中长为半径画弧两弧交于点可以得到四边形的两组

7、对边分别相等所以得到四边形是平行四边形答案难度不大矩形湖北襄阳分如图是正方形是上除端点外的任意一点于点交于点下列结论不一定成立的是图解析由是正方形得又而由得及可知可见三选项正确只有选项不能确定答案点评此题是由人教课标版数学教材八年级下册第页似三角形知识是一道不可多得的基础好题山东泰安分如图在矩形中对角线的垂直平分线分别交于点连接则的长为学习好资料欢迎下载解析设的长为因为垂直平分所以所以在中由勾股定理得解得答案点评本题在矩形中综合考查了线段学习好资料 欢迎下载【答案】答案不唯一，如A=90或 AC=BD，等.【点评】本例考查平行四边形和矩形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定方法，

8、及其相互关系.（2012 湖南湘潭，20，6 分）如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用m25），现在已备足可以砌m50长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为2300m.【解析】要利用条件确定矩形的长和宽，设矩形的长为 X，宽为x300，根据条件要求：0X25 且 0X+x60050，且 Xx300，从而确定 20X25，再设计一种具体砌法，若 X 取 20，则x300=15，矩形花园ABCD的 BC 长 20 米，AB 长 15 米。若 X 取 25，则x300=12，矩形花园ABCD的BC 长 25 米，AB 长 12 米

9、。等等。【答案】设矩形的长为 X，宽为x300，根据条件要求：0X25 且 0X+x60050，且 Xx300，从而确定 20X25，再设计一种具体砌法，如，矩形花园ABCD的 BC 长 20 米，AB 长 15 米。或矩形花园ABCD的 BC 长 25 米，AB 长12 米。等等。【点评】此题考查了矩形的面积和不等式的解集。根据限制条件列不等式，确定矩形的长和宽的取值范围，并由矩形面积选取矩形的长和宽的具体值。（2012 浙江省绍兴，15，5 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，将ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 B处，又将CEF 沿 EF

10、 折叠，使点 C 落在直线EB与 AD 的交点 C处.则 BCAB 的值为 .25mMABCDN阳分如图点是直线外一点在上取两点分别以为圆心长为半径画弧两弧交于点分别连结则四边形一定是平行四边形矩形菱形梯形解析从题目中长为半径画弧两弧交于点可以得到四边形的两组对边分别相等所以得到四边形是平行四边形答案难度不大矩形湖北襄阳分如图是正方形是上除端点外的任意一点于点交于点下列结论不一定成立的是图解析由是正方形得又而由得及可知可见三选项正确只有选项不能确定答案点评此题是由人教课标版数学教材八年级下册第页似三角形知识是一道不可多得的基础好题山东泰安分如图在矩形中对角线的垂直平分线分别交于点连接则的长为学

11、习好资料欢迎下载解析设的长为因为垂直平分所以所以在中由勾股定理得解得答案点评本题在矩形中综合考查了线段学习好资料 欢迎下载 【解析】连接 CC，根据题意可知AEF=90，又 C、C关于 EF 对称，所以 CCEF，所以 AECC，又 ACEC，所以四边形 AECC是平行四边形，又B=ABE=90，所以四边形 AECC是菱形，所以EAC=ECA，又EAC=BAE，所以EAC=ECA=BAE=30，在 RtABC 中，BC：AB=3:1【答案】3【点评】解答折叠问题的关键是利用折叠前后其中相等的边和相等的角之间的等量关系 （2012 湖南湘潭，19，6 分）如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车

12、位示意图，已知mBC2,mCD4.5,30DCF,请你计算车位所占的宽度EF约为多少米？（73.13，结果保留两位有效数字.）EFCDAB【解析】运用直角三角形边角关系或三角函数值求出 DE 和 DF 的长。【答案】在直角三角形 CDF 中，30DCF,DF=21CD=2.7,ADE=900-CDF=DCF=300,在直角三角形 ADE 中，DE=ADcosADE=2 23=3,FE=DF+DE=2.7+34.43.【点评】此题考查了矩形和直角三角形边角关系及三角函数值的运用。23.2 菱形（2012 四川成都，9，3 分）如图在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD交于点 O，下列说法错误的

13、是（）AAB DC B AC=BD C AC BD D OA=OC 阳分如图点是直线外一点在上取两点分别以为圆心长为半径画弧两弧交于点分别连结则四边形一定是平行四边形矩形菱形梯形解析从题目中长为半径画弧两弧交于点可以得到四边形的两组对边分别相等所以得到四边形是平行四边形答案难度不大矩形湖北襄阳分如图是正方形是上除端点外的任意一点于点交于点下列结论不一定成立的是图解析由是正方形得又而由得及可知可见三选项正确只有选项不能确定答案点评此题是由人教课标版数学教材八年级下册第页似三角形知识是一道不可多得的基础好题山东泰安分如图在矩形中对角线的垂直平分线分别交于点连接则的长为学习好资料欢迎下载解析设的长为

14、因为垂直平分所以所以在中由勾股定理得解得答案点评本题在矩形中综合考查了线段学习好资料 欢迎下载 ABCDO 解析：本题考查的是菱形的性质，菱形是特殊的平行四边形，所以四边形具有的性质，菱形都有，所以选项 A、D 都是对的；另外菱形还有自己特殊的性质，对角线互相垂直等等，所以选项 C 也是对的。所以，根据排除法可知，选项 B 是错误。答案：选 B 点评：平行四边形及各种特殊的平行四边形的性质，是一个重要的考点，同学们要能结合图形熟练掌握它们的性质和判定。(2012 山东省临沂市，17，3 分）如图，CD 与 BE 互相垂直平分，ADDB,BDE=700，则CAD=0.【解析】CD 与 BE 互相

15、垂直平分，四边形 BDEC 是菱形，又ADDB,BDE=700，ADE=200，DEF=550，DAE=350，CAD=700.【答案】700【点评】此题主要考查了学生对线段垂直平分线及菱形的性质和判定的理解及运用 菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等 (2012 山东省聊城，19，8 分）矩形 ABCD 对角线相交与 O，DE/AC，CE/BD.求证：四边形 OCED 是菱形.解析：可以先证四边形 OCED 是平行四边形，再找一组邻边相等.解：因为 DE/AC，CE/BD，所以四边形 OCED 是平行四边形.又因为在矩形 ABCD，BD、AC 是对角线，所以 AC=BD，OC=O

16、D=21AC=21BD.阳分如图点是直线外一点在上取两点分别以为圆心长为半径画弧两弧交于点分别连结则四边形一定是平行四边形矩形菱形梯形解析从题目中长为半径画弧两弧交于点可以得到四边形的两组对边分别相等所以得到四边形是平行四边形答案难度不大矩形湖北襄阳分如图是正方形是上除端点外的任意一点于点交于点下列结论不一定成立的是图解析由是正方形得又而由得及可知可见三选项正确只有选项不能确定答案点评此题是由人教课标版数学教材八年级下册第页似三角形知识是一道不可多得的基础好题山东泰安分如图在矩形中对角线的垂直平分线分别交于点连接则的长为学习好资料欢迎下载解析设的长为因为垂直平分所以所以在中由勾股定理得解得答案

17、点评本题在矩形中综合考查了线段学习好资料 欢迎下载 所以四边形 OCED 是菱形.点评：熟练掌握菱形判断方法是解题的关键.（2012 湖北襄阳，23，7 分）如图 10，在梯形 ABCD 中，ADBC，E 为 BC 的中点，BC2AD，EAED2，AC 与 ED 相交于点 F（1）求证：梯形 ABCD 是等腰梯形；（2）当 AB 与 AC 具有什么位置关系时，四边形 AECD 是菱形？请说明理由，并求出此时菱形 AECD 的面积 【解析】（1）通过证明DECAEB，得 ABCD（2）运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”易发现四边形 ABED 和四边形 AECD 均为平行四边形，从而有

18、ABDE，然后结合菱形的性质，发现 AB 需与 AC 垂直，接着发现ABE 是等边三角形即可解决问题【答案】解：（1）证明：ADBC，DECEDA，BEAEAD 又EAED，EADEDA DECAEB 又EBEC，DECAEB ABCD梯形 ABCD 是等腰梯形（2）当 ABAC 时，四边形 AECD 是菱形 证明：ADBC，BEECAD，四边形 ABED 和四边形 AECD 均为平行四边形 ABED ABAC，AEBEEC 四边形 AECD 是菱形 过 A 作 AGBE 于点 G，AEBEAB2，ABE 是等边三角形，AEB60AG3 S菱形AECDECAG232 3【点评】第（1）问简单，

19、第（2）问属于条件开放探究性问题，解答时，可以“执果索因”，从题目的结论出发逆向追索，再通过综合分析推理而获得结果 （2012浙江省温州市，19，8 分）如图，ABC 中，90B，AB=6cm,BC=8cm。将ABC 沿射线 BC 方向平移 10cm，得到DEF，A,B,C 的对应点分别是 D,E,F，连结 AD。求证：四边形 ACFD 是菱形。图 10 A C B D E F 阳分如图点是直线外一点在上取两点分别以为圆心长为半径画弧两弧交于点分别连结则四边形一定是平行四边形矩形菱形梯形解析从题目中长为半径画弧两弧交于点可以得到四边形的两组对边分别相等所以得到四边形是平行四边形答案难度不大矩形

20、湖北襄阳分如图是正方形是上除端点外的任意一点于点交于点下列结论不一定成立的是图解析由是正方形得又而由得及可知可见三选项正确只有选项不能确定答案点评此题是由人教课标版数学教材八年级下册第页似三角形知识是一道不可多得的基础好题山东泰安分如图在矩形中对角线的垂直平分线分别交于点连接则的长为学习好资料欢迎下载解析设的长为因为垂直平分所以所以在中由勾股定理得解得答案点评本题在矩形中综合考查了线段学习好资料 欢迎下载 【解析】把握平移的特征：平移不改变图形的形状和大小，对应线段相等，平行（或在同一条直线上菱形判定方法：邻边相等的平行四边形；四条边相等的四边形。【答案】证法一：B=90，AB=6cm，BC=

21、8cm，AC=10cm 由平移变换的性质得 CF=AD=10cm，DF=AC，AD=CF=AC=DF，四边形 ACFD 是菱形 证法二：由平移变换的性质得 ADCF，AD=CF=10cm，四边形 ACFD 是平行四边形 B=90，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm AC=CF，AD=CF=AC=DF，ACFD是菱形【点评】本题考察了平移及菱形的判定方法，难度不大 （2012 浙江省嘉兴市，19，8分）如图,已知菱形ABCD 的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连结CE.(1)求证:BD=EC;(2)若E=50 ,求BAO 的大小.第19题OCDBEA 阳分如图点是直线外一

22、点在上取两点分别以为圆心长为半径画弧两弧交于点分别连结则四边形一定是平行四边形矩形菱形梯形解析从题目中长为半径画弧两弧交于点可以得到四边形的两组对边分别相等所以得到四边形是平行四边形答案难度不大矩形湖北襄阳分如图是正方形是上除端点外的任意一点于点交于点下列结论不一定成立的是图解析由是正方形得又而由得及可知可见三选项正确只有选项不能确定答案点评此题是由人教课标版数学教材八年级下册第页似三角形知识是一道不可多得的基础好题山东泰安分如图在矩形中对角线的垂直平分线分别交于点连接则的长为学习好资料欢迎下载解析设的长为因为垂直平分所以所以在中由勾股定理得解得答案点评本题在矩形中综合考查了线段学习好资料 欢

23、迎下载【解析】（1）证得四边形 BECD 是平行四边形即可；（2）先证ABOE50.再证BAO90ABO40.【答案】（1）菱形 ABCD，ABCD,AB CD,又BE=AB，四边形 BECD 是平行四边形，BD=EC.（2）BECD,BDCE,ABOE50.又菱形 ABCD，ACBD,BAO90ABO40 【点评】本题主要考查学生的逻辑推理能力，要求能灵活运用菱形的性质及平行四边形的判定、性质进行推理论证.中档题.本市若干天空气质量情况条形统计图 （2012 北京，19，5）如图，在四边形ABCD中，对角线ACBD，交于点E，9045302BACCEDDCEDE ，2 2BE 求CD的长和四

24、边形ABCD的面积【解析】利用特殊的度数解直角三角形，并求其面积。【答案】过点 D 作 DFAC CED=45，DFEC，DE=2 EF=DF=1 又DCE=30 DC=2 AEB=45，BAC=90，BE=2 AE=2 AC=2+1+3=3+3 S四边形ABCD=113 392(33)1(33)222 【点评】本题考查了已知特殊角（如 45、30）和其邻边的长度，利用这些条件构造直角三角形，求出其它边的长度。（2012 湖南娄底，23，9 分）如图 11，在矩形 ABCD 中，M、N 分别是 AD、BC 的中点，P、Q 分别是 BM、DN 的中点.（1）求证：MBANDC；（2）四边形 MP

25、NQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由.A D C B M N P Q EABDCF阳分如图点是直线外一点在上取两点分别以为圆心长为半径画弧两弧交于点分别连结则四边形一定是平行四边形矩形菱形梯形解析从题目中长为半径画弧两弧交于点可以得到四边形的两组对边分别相等所以得到四边形是平行四边形答案难度不大矩形湖北襄阳分如图是正方形是上除端点外的任意一点于点交于点下列结论不一定成立的是图解析由是正方形得又而由得及可知可见三选项正确只有选项不能确定答案点评此题是由人教课标版数学教材八年级下册第页似三角形知识是一道不可多得的基础好题山东泰安分如图在矩形中对角线的垂直平分线分别交于点连接则的长为学习好资料欢迎

26、下载解析设的长为因为垂直平分所以所以在中由勾股定理得解得答案点评本题在矩形中综合考查了线段学习好资料 欢迎下载【解析】（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用 SAS 判定MBA NDC；（2）四边形 MPNQ 是菱形，连接 AN，有（1）可得到 BM=CN，再有中点得到 PM=NQ，再通过证明MQD NPB 得到 MQ=PN，从而证明四边形 MPNQ 是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形 MQNP 是菱形【答案】证明：（1）四边形 ABCD 是矩形，AB=CD，AD=BC，A=C=90，在矩形 ABCD 中，M、N 分别是 AD、BC 的中点，AM=12AD，C

27、N=12BC，AM=CN，在MAB NDC，AB=CD，A=C=90，AM=CN，MAB NDC；（2）四边形 MPNQ 是菱形，理由如下：连接 AN，易证：ABNBAM，AN=BM，MAB NDC，BM=DN，P、Q 分别是 BM、DN 的中点，PM=NQ，DM=BN，DQ=BP，MDQ=NBP，MQD NPB四边形 MPNQ 是平行四边形，M 是AB 中点，Q 是 DN 中点，MQ=12AN，MQ=12BM，MP=12BM，MP=MQ，四边形 MQNP 是菱形【点评】此题主要考查了菱形的判定与矩形的判定，灵活地应用矩形与菱形的性质是解决问题的关键 23（2012 江苏盐城，23，10 分）

28、如图所示，在梯形 ABCD中，AD BC，BDC=900，E 为BC上一点，BDE=DBC （1）求证：DE=EC （2）若 AD=12BC,试判断四边形 ABED 的形状，并说明理由 【解析】本题考查了平行四边形、菱形的性质与判定掌握判定的方法是关键.（1）根据条件可用等角对等边来证明（2）先证四边形 BCDE 是平行四边形，然后再证它是菱形.【答案】（1）BDC=900，BDE+CDE=900，B+C=900，由BDE=DBC，CDE=C，DE=EC （2）BDE=DBC，BE=DE，BE=EC，又AD=12BC，AD=BE，又AD BC，四边形ABED 是平行四边形，又BE=DE，四边形

29、 ABED 是菱形【点评】本题考查了平行四边形的判定定理、菱形的判定定理.（2011山东省潍坊市，题号 22，分值 10）22、(本题满分 10 分)如图，已知平行四边形 ABCD，过 A 作 AMBC 与 M，交 BD 于 E，过 C 作 CN于，交于，连结 AF、CE.（1）求证：四边形 AECF 为平行四边形；（2）当 AECF 为菱形，M 点为 BC 的中点时，求 AB：AE 的值。第 23 题图 阳分如图点是直线外一点在上取两点分别以为圆心长为半径画弧两弧交于点分别连结则四边形一定是平行四边形矩形菱形梯形解析从题目中长为半径画弧两弧交于点可以得到四边形的两组对边分别相等所以得到四边形

30、是平行四边形答案难度不大矩形湖北襄阳分如图是正方形是上除端点外的任意一点于点交于点下列结论不一定成立的是图解析由是正方形得又而由得及可知可见三选项正确只有选项不能确定答案点评此题是由人教课标版数学教材八年级下册第页似三角形知识是一道不可多得的基础好题山东泰安分如图在矩形中对角线的垂直平分线分别交于点连接则的长为学习好资料欢迎下载解析设的长为因为垂直平分所以所以在中由勾股定理得解得答案点评本题在矩形中综合考查了线段学习好资料 欢迎下载 考点：平行四边形的判定，菱形的判定 解答：（1）证明：因为 AEBC，所以AMB=90，因为 CN，所以CNA=90 又因为 BCAD，所以BCN=90 所以 A

31、ECF 又由平行得ADE=CBD,AD=BC 所以ADEBCF，所以 AE=CF 因为 AECF，AE=CF 所以四边形 AECF 为平行四边形.（2）当平行四边形 AECF 为菱形时，连结 AC 交 BF 于点 O，则 AC 与 EF 互相垂直平分，又 OB=OD,所以 AC 与 BD 互相垂直平分 所以，四边形 ABCD 为菱形 所以 AB=BC 因为 M 是 BC 的中点，AMBC，所以ABM CAM，所以 AB=AC 为等边三角形，所以ABC=60，CBD=30 在 RTBCF 中，CF:BC=tan CBF=33,又 AE=CF,AB=BC,所以 AB：AE=3 点评：本题考查了平行

32、四边形的判定，菱形的性质，解直角三角形的有关知识。解决此类综合问题的关键在于根据已知图形，联想到它的性质，选择其中的部分性质进行计算或证明。(2012 重庆，24，10 分)已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 为边 BC的中点，DF与对角线 AC交于点 M，过 M作 ME CD于点 E,1=2。(1）若 CE=1，求 BC的长；(2）求证 AM=DF+ME。21EMFABCD 阳分如图点是直线外一点在上取两点分别以为圆心长为半径画弧两弧交于点分别连结则四边形一定是平行四边形矩形菱形梯形解析从题目中长为半径画弧两弧交于点可以得到四边形的两组对边分别相等所以得到四边形是平行四边形答案难度不大矩形

33、湖北襄阳分如图是正方形是上除端点外的任意一点于点交于点下列结论不一定成立的是图解析由是正方形得又而由得及可知可见三选项正确只有选项不能确定答案点评此题是由人教课标版数学教材八年级下册第页似三角形知识是一道不可多得的基础好题山东泰安分如图在矩形中对角线的垂直平分线分别交于点连接则的长为学习好资料欢迎下载解析设的长为因为垂直平分所以所以在中由勾股定理得解得答案点评本题在矩形中综合考查了线段学习好资料 欢迎下载 解析：延长 DF,BA交于 G，可证CEM CFM,CDF BGF,通过线段的简单运算，即可求得。答案：（1）四边形 ABCD 是菱形CB=CD,AB CD 1=ACD,1=2 2=ACD

34、MC=MD ME CD CD=2CE=2 BC=CD=2(2)延长 DF,BA交于 G，四边形 ABCD 是菱形BCA=DCA,BC=2CF,CD=2CE CE=CF CM=CMCEM CFM,ME=MF AB CD 2=G,GBF=BCD CF=BF CDF BGF DF=GF 1=2,G=21=GAM=GM=MF+GF=DF+ME 点评：利用三角形全等来解决线段的有关问题是常见的思考方法，遇到中点延长一倍，是常见的辅助性做法。21GEMFABCD (2012 山东省临沂市，22，7 分）如图，点 A、F、C、D 在同一直线上，点 B 和点 E 分别在直线 AD 的两侧，且 AB=DE,A=

35、D,AF=DC.（1）求证：四边形 BCEF 是平行四边形；（2）若ABC=900，AB=4，BC=3，当 AF 为何值时，四边形 BCEF是菱形。【解析】（1）证明ABCDEF，即可得到BC=EF,BC EF,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判断；（2）假设四边形 BCEF 是菱形，连接 BE，当ABC=900，AB=4，BC=3 时，应用勾股定理可求得 AC=5342222 BCAB,可求得ABC BGC,应用三角形相似的性质求得 AF=57，所以当 AF=57时，四边形 BCEF 是菱形 解：（1）读图分析线段 FC 是公共部分，AF=DC,AF+FC=DC+FC,即 AC

36、=DF，又AB=DE,A=D,ABCDEF,BC=EF,ACB=DFE.BCEF,四边形 BCEF 是平行四边形;（2）若四边形 BCEF 是菱形，连接 BE，交 CF 于点 G，阳分如图点是直线外一点在上取两点分别以为圆心长为半径画弧两弧交于点分别连结则四边形一定是平行四边形矩形菱形梯形解析从题目中长为半径画弧两弧交于点可以得到四边形的两组对边分别相等所以得到四边形是平行四边形答案难度不大矩形湖北襄阳分如图是正方形是上除端点外的任意一点于点交于点下列结论不一定成立的是图解析由是正方形得又而由得及可知可见三选项正确只有选项不能确定答案点评此题是由人教课标版数学教材八年级下册第页似三角形知识是一

37、道不可多得的基础好题山东泰安分如图在矩形中对角线的垂直平分线分别交于点连接则的长为学习好资料欢迎下载解析设的长为因为垂直平分所以所以在中由勾股定理得解得答案点评本题在矩形中综合考查了线段学习好资料 欢迎下载 BECF,FG=CG,ABC=900，AB=4，BC=3，由勾股定理得，AC=5342222 BCAB,BGC=ABC=900，ACB=BCG,ABCBGC,BCCGACBC,即353CG,CG=59,FC=2CG=518.AF=AC-FC=5-518=57.当 AF=57时，四边形 BCEF 是菱形。【点评】本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键

38、23.3 正方形（2012 贵州铜仁，18，4 分以边长为 2 的正方形的中心 O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于 A、B 两点，则线段 AB 的最小值是_ 【解析】如图四边形 CDEF 是正方形，OCD=ODB=45，COD=90，OC=OD，AOOB，AOB=90，COA+AOD=90，AOD+DOB=90，COA=DOB，在COA 和DOB 中，COADOB，OA=OB，AOB=90，AOB 是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB=OA，要使 AB 最小，只要 OA 取最小值即可，根据垂线段最短，OACD 时，OA 最小，正方形 CDEF，阳分如图点是直线外一点在上取两

39、点分别以为圆心长为半径画弧两弧交于点分别连结则四边形一定是平行四边形矩形菱形梯形解析从题目中长为半径画弧两弧交于点可以得到四边形的两组对边分别相等所以得到四边形是平行四边形答案难度不大矩形湖北襄阳分如图是正方形是上除端点外的任意一点于点交于点下列结论不一定成立的是图解析由是正方形得又而由得及可知可见三选项正确只有选项不能确定答案点评此题是由人教课标版数学教材八年级下册第页似三角形知识是一道不可多得的基础好题山东泰安分如图在矩形中对角线的垂直平分线分别交于点连接则的长为学习好资料欢迎下载解析设的长为因为垂直平分所以所以在中由勾股定理得解得答案点评本题在矩形中综合考查了线段学习好资料 欢迎下载 F

40、CCD，OD=OF，CA=DA，OA=CF=1，AB=OA=【解答】2.【点评】本题考查了正方形的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、等知识，题目具有代表性，有一定的难度。解答本题关键是判断 AB=2OA 时，AB 最小，即 OA 与 OB 分别与正方形边长垂直时 AB 有最小值。(2012 年浙江省宁波市,12,3)勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书周髀算经中，就有“若勾三，股四，则弦五”记载，如图 1 是由边长相等的小正形和直角三角形构成的 可 以 用 其 面 积 关 系 验 证 勾 股 定 理。图 2 是 由 图 1 放 入 矩 形 内 得 到 的

41、，BAC=900,AB=3,AC=4,D,E,F,G,H,I 都在矩形 KLMJ 的边上，则矩形 KLMJ 的面积为(A)90 (B)100 (C)110 (D)121 【解析】如图，延长 AB 交 KF 于点 O，延长 AC 交 GM 于点 P，所以，四边形 AOLP 是正方形，边长 AO=AB+AC=3+4=7，所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，矩形 KLMJ 的面积为 1011=110 故选 C【答案】C【点评】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键 （2012 四川内江，21，9 分）如图 11，四边形 ABCD 是矩形，E 是 BD 上的一点，

42、BAEBCE，AEDCED，点 G 是 BC、AE 延长线的交点，AG 与 CD 相交于点 F（1）求证：四边形 ABCD 是正方形；阳分如图点是直线外一点在上取两点分别以为圆心长为半径画弧两弧交于点分别连结则四边形一定是平行四边形矩形菱形梯形解析从题目中长为半径画弧两弧交于点可以得到四边形的两组对边分别相等所以得到四边形是平行四边形答案难度不大矩形湖北襄阳分如图是正方形是上除端点外的任意一点于点交于点下列结论不一定成立的是图解析由是正方形得又而由得及可知可见三选项正确只有选项不能确定答案点评此题是由人教课标版数学教材八年级下册第页似三角形知识是一道不可多得的基础好题山东泰安分如图在矩形中对角

43、线的垂直平分线分别交于点连接则的长为学习好资料欢迎下载解析设的长为因为垂直平分所以所以在中由勾股定理得解得答案点评本题在矩形中综合考查了线段学习好资料 欢迎下载（2）当 AE2EF 时，判断 FG 与 EF 有何数量关系？并证明你的结论 【解析】（1）四边形 ABCD 是矩形，只需证得一组邻边相等即可说明它是正方形接下来通过证明AEDCED 得 ADCD 解决问题（2）由（1）中全等三角形得 AECE，DAEDCE，再由 BGAD 得GEAD，从而DCEG，这样就可证明CEGFEC，由它产生相似比并结合 AE2EF 即可得解【答案】解：（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，BADBCD90 B

44、AEBCE，BADBAEBCDBCE，即EADECD AEDCED，EDED，AEDCEDADCD 矩形 ABCD 是正方形（2）FG3EF 理由：BGAD，GEAD 由于EADECD，GECD CEGFEC，CEGFECCEEFEGCE 由（1）知 CEAE，而 AE2EF，故 CE2EF EG2CE4EF，即 EFFG4EF FG3EF【点评】本题综合考查了矩形、正方形、全等三角形、相似三角形知识，题目条件简洁明了，突出了对基础知识、核心知识的交叉考查，是一道中档好题解决问题（2），还可通过证明AEBFED，ADFGCF 解决 （2012 贵州贵阳，21，10 分）如图，在正方形 ABCD

45、 中，等边三角形 AEF 的顶点 E,F 分别在 BC 和 CD 上.（1）求证：CE=CF；（2）若等边三角形 AEF 的边长为 2，求正方形 ABCD 的周长.C B A D E F G 图 11 阳分如图点是直线外一点在上取两点分别以为圆心长为半径画弧两弧交于点分别连结则四边形一定是平行四边形矩形菱形梯形解析从题目中长为半径画弧两弧交于点可以得到四边形的两组对边分别相等所以得到四边形是平行四边形答案难度不大矩形湖北襄阳分如图是正方形是上除端点外的任意一点于点交于点下列结论不一定成立的是图解析由是正方形得又而由得及可知可见三选项正确只有选项不能确定答案点评此题是由人教课标版数学教材八年级下

46、册第页似三角形知识是一道不可多得的基础好题山东泰安分如图在矩形中对角线的垂直平分线分别交于点连接则的长为学习好资料欢迎下载解析设的长为因为垂直平分所以所以在中由勾股定理得解得答案点评本题在矩形中综合考查了线段学习好资料 欢迎下载 解析：（1）可证 RtABERtADF；（2）可得EFC 是等腰直角三角形，由等边三角形 AEF 的边长为 2，可得 EF=2，解直角三角形可得正方形 ABCD 的边长.解：（1）证明：四边形 ABCD 正方形，B=D=90,AB=AD.AEF 是等边三角形，AE=AF.RtABERtADF,BE=DF,BC=CD,CE=CF.（2）在 RtEFC 中，CE=CF=2

47、sin45=2.设正方形 ABCD 的边长为 x，则 x2+(x-2)2=22.解得，x=262（舍负），正方形ABCD 的周长为 4262=22+26.点评：直线型问题主要有两种形式，一种是证明，一种是计算，主要考查学生的逻辑推理能力以及空间观念.计算时一般考虑勾股定理、特殊角等的运用，列方程求解是常用方法.23.4 梯形 （2012广州市，5，3 分）如图 2，在等腰梯形 ABCD 中，BCAD，AD=5，DC=4，DEAB 交 BC 于点 E，且 EC=3，则梯形 ABCD 的周长是（）ECBAD A.26 B.25 C.21 D.20【解析】由题意知，四边形 ABED 为平行四边形，可

48、知 BE=AD=5，从而得到 BC 的长，【答案】梯形 ABCD 的周长为 AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21.答案为 C。【点评】本题主要用到梯形常用的辅助线，把等腰梯形分为平行四边形和等腰三角形。关键是求出下底的长。(2012 山东省临沂市，11，3 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC,对角线 AC、BD相交于点 O，下列结论不一定正确的是（）D A B C E F 第21题图 阳分如图点是直线外一点在上取两点分别以为圆心长为半径画弧两弧交于点分别连结则四边形一定是平行四边形矩形菱形梯形解析从题目中长为半径画弧两弧交于点可以得到四边形的两组对边分别相等所以得到四边形是平

49、行四边形答案难度不大矩形湖北襄阳分如图是正方形是上除端点外的任意一点于点交于点下列结论不一定成立的是图解析由是正方形得又而由得及可知可见三选项正确只有选项不能确定答案点评此题是由人教课标版数学教材八年级下册第页似三角形知识是一道不可多得的基础好题山东泰安分如图在矩形中对角线的垂直平分线分别交于点连接则的长为学习好资料欢迎下载解析设的长为因为垂直平分所以所以在中由勾股定理得解得答案点评本题在矩形中综合考查了线段学习好资料 欢迎下载 A.AC=BD B.OB=OC C.BCD=BDC D.ABD=ACD 【解析】四边形 ABCD 是梯形,ADBC,AC=BD，ABC=DCB,AOD BOC,OB=

50、OC,OBC=OCB,ABD=DCA.【答案】选 C.【点评】此题考查了等腰梯形的性质与相似三角形的判定与性质 解此题的关键是注意数形结合思想的应用与排除法的应用 （2012 四川内江，16，5 分）如图 8，四边形 ABCD 是梯形，BDAC 且 BDAC，若 AB2，CD4，则 S梯形ABCD .【解析】如下图所示，过点 B 作 BEAC，与 DC 的延长线交于点 E，BFDE 于 F接下来，可证得BDE 是等腰直角三角形，BF12DE12(DCCE)12(DCAB)12(24)3，所以 S梯形ABCD12(ABDC)BF12(24)39 【答案】9【点评】在等腰梯形问题中，如果有对角线互