第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步SECTION2外语学习托福_高等教育-大学课件.pdf

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1、 场论初步 一、场论的基本概念及梯度、散度与旋度 标量场空间区域 D 的每点 M(x,y,z)对应一个数量值(x,y,z)，它在此空间区域 D 上就 构成一个标量场，用点 M(x,y,z)的标函数(x，y，z)表示若 M 的位置用矢径 r 确定，贝 U 标量 可以看作变矢 r 的函数=(r).例如温度场 u(x,y,z),密度场(x,y,z),电位场 e(x,y,z)都是标量场.矢量场空间区域 D 的每点 M(x,y,z)对应一个矢量值 R(x,y,z)，它在此空间区域 D 上就构成一个矢量场，用点 M(x,y,z)的矢量函数 R(x,y,z)表示若 M 的位置用矢径 r 确定，则矢量 R 可

2、以看作变矢 r 的矢函数 R(r)：R(r)=X(x,y,z)i+Y(x,y,z)j+Z(x,y,z)k 例如流速场(x,y,z),电场 E(x,y,z),磁场 H(x,y,z)都是矢量场.与标量场的情况一样，矢量场概念与矢函数概念，实质上是一样的.沿用这些术语(标量场、矢量场)是为了保留它们的自身起源与物理意义.梯度 grad=(一,)=i+j+k x y z x y z 式中=i 一+j 一+k 一称为哈密顿算子，也称为耐普拉算子.grad 有的书刊中记作 del.x y z grad 的方向与过点(x,y,z)的等量面=C 的法线方向 N 重合，并指向 增加的一方，是函数 变化率最大的方

3、向，它的长度等于 N 梯度具有性质:grad(+)=grad+grad(、为常数)grad()=grad+grad gradF()=F grad 方向导数 方向导数为 在方向 I上的变化律，它等于梯度在方向 I上的投影.散度 X Y Z divR=+丄+上=R=div(X,丫,Z)x y z 式中为哈密顿算子 散度具有性质：div(a+b)=diva+divb(、为常数)div(a)=div a+a grad div(a xb)=b rot a a rotb rotR=()i+(-X y z z 旋度具有性质:rot(a)=rot a+a Xgrad rot(axb)=(b )a(a )b+(

4、div b)a (div a)b 梯度、散度、旋度混合运算运算 grad 作用到一个标量场 产生矢量场 grad，运算 式中 I=(cos=l grad=cos x H-cos H-cos y z,cos,cos）为方向 I的单位矢量,为其方向角.XR=式中 为哈密顿算子，旋度也称涡度,rot R 有的书刊中记作 curl R.rot(a+b)=rot a+rot b 为常数）div 作用到一个矢量场 R 产生标量场 div R,运算 rot 作用到一个矢量场 R 产生新的矢量场 rot R.这三种运算的混合运算公式如下：div rot R=0 rot grad=0 2 2 2 div gra

5、d=2 x+2+2 y z grad div R=(R)rot rot R=X(XR)div grad(+)=div grad +div grad(、为常数)div grad()=div grad+div grad+2 grad grad grad div R rot rot R=R 式中 为哈密顿算子，=2为拉普拉斯算子.势量场(守恒场)若矢量场 R(x,y,z)是某一标函数(x,y,z)的梯度，即 R=grad 或 X=,Y=,Z=x y z 则 R 称为势量场，标函数 称为 R 的势函数.矢量场 R 为势量场的充分必要条件是：rot R=0，或 X=丄 Y=Z Z=_X y x，z y，

6、x z 势函数计算公式 x y(x,y,z)=(xo,yo,z0)+x X x,y。，z。dx+y Y x,y,z dy x yo z+Z x,y,z dz 无散场(管形场)若矢量场 R 的散度为零，即 div R=0,则 R 称为无散场.这时必存在 一个无散场 T,使 R=rot T,对任意点 M 有 T-1 rOtRdV 4 r 式中 r 为 dV 到 M 的距离，积分是对整个空间进行的.无旋场若矢量场 R 的旋度为零，即 rot R=0,则 R 称为无旋场.势量场总是一个无旋 场，这时必存在一个标函数，使 R=grad，而对任意点 M 有 丄 dvRdv 4 r 式中 r 为 dV 到

7、M 的距离，积分是对整个空间进行的.、梯度、散度、旋度在不同坐标系中的表达式 1.单位矢量的变换 一般公式假定 x=f(,),y=g(,),z=h(,)把(，)空间的一个区域匸-对一地连续映射为(x，y，z)空间的一个区域 D，并假定 f，g，h 都有连续偏导数，因为对应 是一对一的，所以有 二(x，再假定，也有连续偏导数，则有 dx dy dz 或逆变换 d d d y，z)，x,y,z,x,y,z x x x d d d 丄 d 丄 d y d z,z,z d d d dx dy dz x y z dx dy dz x y z dx dy dz x y z 沿 dx,dy,dz 方向的单位

8、矢量记作 i,j,k，沿d,d,d方向的单位矢量记作e,e,e，则 x cos y sin 0 z z 单位矢量为 e cos i sin j e sin i cos j ez k 它们的偏导数为 ez ez z x.i yj z k 2 2 2 x y z 1 x y.z i j-k I 2 2 2 x y z J-1 x i yj z k e e 2 z 2 2 圆柱面坐标系的单位矢量 对于圆柱面坐标系（图8.11）球面坐标系的单位矢量 对于球面坐标系（图8.12）x r sin cos y r sin sin z r cos Or,0 2,0 图 S.12 ,0 2,z 单位矢量为 er

9、 sin cos i sin sin j cos k e cos cos i cos sin j sin k e sin i cos j 它们的偏导数为 er e e r r r er e-e,-0 e er,0 e e.sin e,cos e,sin er cos e 2.矢量的坐标变换 一般公式一个由（x,y,z）坐标系所表达的矢量可以用（，）坐标系来表达：=（x，y，z=xi+y j+z k=e e e 式中 x x x x 1 2 2 2/2 2 2 1 2 2 2 T x y z x y z x y z y y y y!2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 x y z 1 x

10、y z x J y z z z z:2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 x y z x y z x y z 圆柱面坐标系与直角坐标系的互换由圆柱面坐标系到直角坐标系的变换公式 cos sin sin cos 由直角坐标系到圆柱面坐标系的变换公式 y cos 球面坐标系与直角坐标系的互换 由球面坐标系到直角坐标系的变换公式 x r sin cos cos cos sin y r sin sin cos sin cos z r cos sin 由直角坐标系到球面坐标系的变换公式 3.各种算子在不同坐标系中的表达式 设 U=U(x,y,z)是一个标函数，V=V(x,y,z)是一个矢函数.在圆柱面

11、坐标系中各种算子的表达式 哈密顿算子 e+e+ez z 梯 度 gradU U e U+e 1 U U+ez-z 散 度 divV 1 V 1 z z 旋 度 rotV XV 1-e+z z e+1 1 ez 拉普拉斯算子 U div gradU 1 U 1 2U 2U 2 2 2 z2 在球面坐标系中各种算子的表达式 1 1 哈密顿算子=er+e+e-r r rsi nx cos y sin xSin xSi n cos y sin sin xcos cos y cos sin xSin y cos cos sin 1+-r sin 三、曲线积分、曲面积分与体积导数 矢量的曲线积分及其计算公

12、式矢量场 R(r)沿曲线的曲线积分定义为 式中 ri-1=ri ri-1,右边极限与的选择无关，曲线 由 A 到 B(图 8.13)若矢函数R(r)是连续的(就是它的三个分量是 连续函数),曲线 也是连续的，且有连续转动的 切线，则曲线积分 R(r)dr=lim r 0 R()-ri-1 gradU=U=er U+e r sin div V=V=4,r r sin sin r sin rotV=XV=1 r sin sin er 拉普拉斯算子 U=div gradU r sin 1 U sin-r 2U 1 2 T 2 2 r sin B R r dr 存在.一质点沿着移动时力R所作的功.位置

13、(图 8.15).矢量的曲面积分 设 S 为一曲面，令 N=cos,cos,cos 单位矢量,而 dS=NdS 表示面积矢量元素.又设(r)=(x,y,z)是定义在曲面 S 上的连续标函 数,R(r)=(X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z)是定义在曲面 S 上的连续矢函数，则曲面积分有如下的三 种形式：1 标量场的通量（或流量）dS=dydz i+dzdx j+dxdy k S Syz Szx Sxy R r dr=Xdx Ydy Zdz R 1 2 r dr=R r 1 dr+R r dr 2（图 8.14）R r dr=R r dr R r T r dr=R r dr+T

14、r dr kR r dr=k R r dr(k 为常数)矢量的环流 如果 为一闭曲线,则沿曲线 的曲线积分 R r dr=Xdx Ydy Zdz 称为矢量场R(r)沿闭曲线 的环流.势量场沿任何闭曲线的环流都等于零 它的势函数为 时，则曲线积分 B R r dr=R r dr=(B)(A)A 与连接 A,B 两点的路径无关，只依赖于 A,B 两点的 这里规定法线单位矢量与曲面分布在切面的两侧 表示在曲面 S 上一点的法线 矢量曲线积分的计算公式如下:.如果R(r)为一势量场,且 图&16 式中 Syz,SZx,SXy分别表示曲面 S 在 Oyz 平面，Ozx 平面,Oxy 平面上的投影.SXy

15、的正负号规定如下：当从z轴正方 向看去时，看到的是曲面 S 的正面，认为 Sy 为正，如果 看到的是曲面的反面，则认为 Sxy为负（图 8.16）.2 矢量场的标通量 式中 Syz等的意义同 1.3 矢量场的矢通量 标量场 的体积导数就是它的梯度:dS grad=lim -V 0 V 矢量场R的体积导数之一是它的散度:R dS div R=lim V 0 V 矢量场R的另一个体积导数是它的旋度:R dS rot R=lim V 0 V 四、矢量的积分定理 R dS=Syz Xdydz+zx Ydzdx+Sxy Zdxdy RXdS=Syz(Zj Yk)dydz+(Xk Zi)dzdx+(Yi

16、Xj)dxdy 式中 Syz等的意义同 1.矢量的体积导数 如果 S 是包围体积 V 的闭曲面，并包含点 r，则沿闭曲面 S 的曲面积 dS,：R dS,匚 S S RXdS）与体积 V 之比，当 V 趋于零时（即它的直径 0）的极限称为 标量场（或矢量场 R）在点 r 处的体积导数（或空间导数）.高斯公式 div RdV=R dS=R NdS V S S 即 X Y dxdydz X cos Y cos Z cos dS V X y z S 式中S为空间区域V的边界曲面,N=cos ,cos,cos 为 在 S 上一点的法线单位矢量，R(r)=(X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y

17、,z)在 V+S 上有连续偏导数.!斯托克斯公式 rot R dlS=rot R NdS=。R dr 图 R-17 S S L 即 Z Y,X Z,Y X dydz dzdx dxdy S y z z x x y Z Y X Z Y X 川 cos cos cos dS S y z z x x y=l Xdx Ydy Zdz L 为曲面 S 的闭边界曲线(L 的正向与 N 构成右手系).S 的每点有切 y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z)在曲面的所有点单值，并在与 格林公式 grad dS=grad grad dV S V 式中 S 为空间区域 V 的边界曲面，为两个标函数，在 S 上具有连续偏导数，且在 V 上具式中 S 为一定曲面的一侧,面，其方向连续地依赖于曲面上的点，而边界曲线 L 上的每点都有切线(图 8.17).R(r)=(X(x,S 足够靠近的点处有连续偏导数 grad S grad dS=V dV grad dS=dV S V 2 2 dzdx dxdy 2 2 y z V x y 2 dV z dydz S X