数学建模·炮弹射击问题文学艺术军事技术_文学艺术-报告文学.pdf

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1、精心整理 问题 2：射击问题 作者：摘要 本文就两种不同的情况，建立了两个炮弹的模型，利用了矢量分析和画图的方法求解得出了一致结果即最大射程和最佳发射角。在模型一、二中，我们建立了炮弹发射的理想化的模型，用matlab 软件，分析得到：0h时，最大射程为gaavxmsin*cos220，最佳发射角为45；0h时，最大射程为22*22max202020ghvghvghghvs，最佳发射角度为20202arccosvghva 问题重述 设炮弹的发射角为a，发射初速度为0v，试研究：当炮弹在高度为h 时的最大射程和最佳发射角。考虑到炮弹发射时应满足以下条件：1、发射角度最佳；2、射程最大；3、离地高

2、度一定；精心整理 由此我们容易想到用优化理论解决问题。题目假设 1、本题以中国解放军装备的93 式 60 毫米远射程迫击炮为研究对象。据查相关资料【1】，中国解放军 93 式 60 毫米远射程迫击炮最大初速：329 米/秒；最大射程：5564 米；高低射界：45 度-85 度；圆周射界：360 度。2、炮弹发射时，是以炮弹在不同高度的最大射程和最佳发射角进行发射；3、在考虑不同高度发射时，发射角、发射程与初速度之间的关系一一对应的；4、假设炮弹发射时空气阻力与推力相互抵消。变量说明 模型建立与求解 模型一：研究0h 根据炮弹斜抛运动的规律：炮弹斜上抛的仰角为a，抛出的初速度为0v。我们先将0v

3、正交分解为水平分速度xv和竖直分速度yv。根据数学关系可以得出：若把它看作是可忽略空气影响的“理想抛体【2】”，则根据运动分解的理论可知：斜上抛物体水平方向不受力，应作匀速直线avvxcos0，其位移方运动，其速度为程应为：tavx*cos0(1)得出了一致结果即最大射程和最佳发射角在模型一二中我们建立了炮弹发射的理想化的模型用软件分析得到时最大射程为最佳发射角为时最大射程为最佳发射角度为问题重述设炮弹的发射角为发射初速度为试研究当炮弹在高度为时们容易想到用优化理论解决问题题目假设本题以中国解放军装备的式毫米远射程迫击炮为研究对象据查相关资料中国解放军式毫米远射程迫击炮最大初速米秒最大射程米高

4、低射界度度圆周射界度炮弹发射时是以炮弹在不同高度的最时空气阻力与推力相互抵消变量说明模型建立与求解模型一研究根据炮弹斜抛运动的规律炮弹斜上抛的仰角为抛出的初速度为我们先将正交分解为水平分速度和竖直分速度根据数学关系可以得出若把它看作是则根据运动斜上抛物体精心整理 斜上抛物体竖直方向受向下的重力，与竖直向上的初速度avvysin0的方向相反，应作竖直上抛运动，其位移方程应为：2021*singttavy(2)由上列的(1)式可以导出：avxtcos0(3)将(3)式代入(2)式：导出：avgxxay2202cos2*tan（4）这里称导出的(4)式为“斜上抛物体运动的轨道方程”。“射程”是斜上抛

5、物体运动的最大水平位移。因为斜上抛炮弹是在水平面上发射的，所以它的抛出点和落地点在同一水平面上（这实际上是日常最常见的斜上抛情况），也就是说物体在竖直方向的起点和终点的位移0y。因此我们将0y代入前面导出的(4)式（即“轨道方程”），就可推导出最大水平位移mx（即“射程”）：得出了一致结果即最大射程和最佳发射角在模型一二中我们建立了炮弹发射的理想化的模型用软件分析得到时最大射程为最佳发射角为时最大射程为最佳发射角度为问题重述设炮弹的发射角为发射初速度为试研究当炮弹在高度为时们容易想到用优化理论解决问题题目假设本题以中国解放军装备的式毫米远射程迫击炮为研究对象据查相关资料中国解放军式毫米远射程迫

6、击炮最大初速米秒最大射程米高低射界度度圆周射界度炮弹发射时是以炮弹在不同高度的最时空气阻力与推力相互抵消变量说明模型建立与求解模型一研究根据炮弹斜抛运动的规律炮弹斜上抛的仰角为抛出的初速度为我们先将正交分解为水平分速度和竖直分速度根据数学关系可以得出若把它看作是则根据运动斜上抛物体精心整理 axaavgxmmcos*sincos2220(5)将(5)式两边约去axmcos可得：gaavxmsin*cos220(6)根据数学中的“三角学3”知识我们知道：aaac o s*s i n22s i n(7)将(7)式代入(6)式：gavxm2s i n20(8)若以s表示“射程”（即最大水平位移mx）

7、则gavs2sin20（9）我们称(9)式为斜上抛物体运动的“射程公式”。现在我们根据“射程公式”讨论前面所提出的问题：当 V0不变时，以多大的仰角a斜上抛出的物体射程最远？据射程公式：得出了一致结果即最大射程和最佳发射角在模型一二中我们建立了炮弹发射的理想化的模型用软件分析得到时最大射程为最佳发射角为时最大射程为最佳发射角度为问题重述设炮弹的发射角为发射初速度为试研究当炮弹在高度为时们容易想到用优化理论解决问题题目假设本题以中国解放军装备的式毫米远射程迫击炮为研究对象据查相关资料中国解放军式毫米远射程迫击炮最大初速米秒最大射程米高低射界度度圆周射界度炮弹发射时是以炮弹在不同高度的最时空气阻力

8、与推力相互抵消变量说明模型建立与求解模型一研究根据炮弹斜抛运动的规律炮弹斜上抛的仰角为抛出的初速度为我们先将正交分解为水平分速度和竖直分速度根据数学关系可以得出若把它看作是则根据运动斜上抛物体精心整理 可以看出g是常量，若0v不变，则决定s大小的因素就只有a2sin的数值了。用 matlab 软件绘图4，观察其解：程序如下：a=0:0.1:pi s=3292*sin(2*a)/9.8 plot(a,s)Gridon 则 s 最大时：即：45a 当抛物的初速度0v不变时，以45的仰角斜上抛出的物体射程最远。模型二：0h 我们先将初速度V0进行水平、竖直两个方向的正交分解（如图所示）a为0v与xv

9、之间的夹角：再接斜下抛物体的运动分解为：水平方向的匀速直线运动；竖直方向的竖直下抛运动。得出了一致结果即最大射程和最佳发射角在模型一二中我们建立了炮弹发射的理想化的模型用软件分析得到时最大射程为最佳发射角为时最大射程为最佳发射角度为问题重述设炮弹的发射角为发射初速度为试研究当炮弹在高度为时们容易想到用优化理论解决问题题目假设本题以中国解放军装备的式毫米远射程迫击炮为研究对象据查相关资料中国解放军式毫米远射程迫击炮最大初速米秒最大射程米高低射界度度圆周射界度炮弹发射时是以炮弹在不同高度的最时空气阻力与推力相互抵消变量说明模型建立与求解模型一研究根据炮弹斜抛运动的规律炮弹斜上抛的仰角为抛出的初速度

10、为我们先将正交分解为水平分速度和竖直分速度根据数学关系可以得出若把它看作是则根据运动斜上抛物体精心整理 它们的运动方程如下：tavx*cos0；（1）2021*singttavy；（2）将已知量h代入竖直方向运动方程(2)中：2021*singttavh；（3）又因为由模型一知道：gavxm2sin20；（4）由（1）知avxtcos0；（5）xxsssm21；（6）gavtsin201；gavghavtsin2sin02202；gavghavtttsin2sin022021；tavs*cos0；得出了一致结果即最大射程和最佳发射角在模型一二中我们建立了炮弹发射的理想化的模型用软件分析得到时最

11、大射程为最佳发射角为时最大射程为最佳发射角度为问题重述设炮弹的发射角为发射初速度为试研究当炮弹在高度为时们容易想到用优化理论解决问题题目假设本题以中国解放军装备的式毫米远射程迫击炮为研究对象据查相关资料中国解放军式毫米远射程迫击炮最大初速米秒最大射程米高低射界度度圆周射界度炮弹发射时是以炮弹在不同高度的最时空气阻力与推力相互抵消变量说明模型建立与求解模型一研究根据炮弹斜抛运动的规律炮弹斜上抛的仰角为抛出的初速度为我们先将正交分解为水平分速度和竖直分速度根据数学关系可以得出若把它看作是则根据运动斜上抛物体精心整理 即水平射程是：gavghavavs)sin2sin(*cos02200；令abco

12、s；所以gbvbvbghvbbvs42024022042402 对其求导，关于b的方程：令0s 即20202vghvb 即20202cosvghva 即20202arccosvghva 又由函数的单调性可知：当20202arccos0vghva，函数单调递增；当22arccos2020avghv，函数单调递减；得出了一致结果即最大射程和最佳发射角在模型一二中我们建立了炮弹发射的理想化的模型用软件分析得到时最大射程为最佳发射角为时最大射程为最佳发射角度为问题重述设炮弹的发射角为发射初速度为试研究当炮弹在高度为时们容易想到用优化理论解决问题题目假设本题以中国解放军装备的式毫米远射程迫击炮为研究对象

13、据查相关资料中国解放军式毫米远射程迫击炮最大初速米秒最大射程米高低射界度度圆周射界度炮弹发射时是以炮弹在不同高度的最时空气阻力与推力相互抵消变量说明模型建立与求解模型一研究根据炮弹斜抛运动的规律炮弹斜上抛的仰角为抛出的初速度为我们先将正交分解为水平分速度和竖直分速度根据数学关系可以得出若把它看作是则根据运动斜上抛物体精心整理 即在20202arccosvghva时，S 最大。结果分析 当高度为 h=0 时，gaavxmsin*cos220,水平方向为x距离靠角度来控制，要使x尽可能的远，则要保证抛射角为45 当高度为 h0 时：gavghavavs)sin2sin(*cos02200可以通过此

14、公式来计算水平位移s 其中20202arccosvghva；小结 要控制炮弹的射程，在高度和速度一定时，可以通过控制角度来控制射程只要不超过最大射程，也就是说在炮弹任意射程以内都可以打到。参考文献 1 中国铁血网()2 普通高中课程标准实验教科书物理必修 2 人民教育出版社 3 普通高中课程标准实验教科书数学必修 4 江苏教育出版社 得出了一致结果即最大射程和最佳发射角在模型一二中我们建立了炮弹发射的理想化的模型用软件分析得到时最大射程为最佳发射角为时最大射程为最佳发射角度为问题重述设炮弹的发射角为发射初速度为试研究当炮弹在高度为时们容易想到用优化理论解决问题题目假设本题以中国解放军装备的式毫

15、米远射程迫击炮为研究对象据查相关资料中国解放军式毫米远射程迫击炮最大初速米秒最大射程米高低射界度度圆周射界度炮弹发射时是以炮弹在不同高度的最时空气阻力与推力相互抵消变量说明模型建立与求解模型一研究根据炮弹斜抛运动的规律炮弹斜上抛的仰角为抛出的初速度为我们先将正交分解为水平分速度和竖直分速度根据数学关系可以得出若把它看作是则根据运动斜上抛物体精心整理 4 数学模型（第四版）高等教育出版社姜启源、谢金星、叶俊编 附录 a=0:0.1:pi s=3292*sin(2*a)/9.8 plot(a,s)Gridon 得出了一致结果即最大射程和最佳发射角在模型一二中我们建立了炮弹发射的理想化的模型用软件分析得到时最大射程为最佳发射角为时最大射程为最佳发射角度为问题重述设炮弹的发射角为发射初速度为试研究当炮弹在高度为时们容易想到用优化理论解决问题题目假设本题以中国解放军装备的式毫米远射程迫击炮为研究对象据查相关资料中国解放军式毫米远射程迫击炮最大初速米秒最大射程米高低射界度度圆周射界度炮弹发射时是以炮弹在不同高度的最时空气阻力与推力相互抵消变量说明模型建立与求解模型一研究根据炮弹斜抛运动的规律炮弹斜上抛的仰角为抛出的初速度为我们先将正交分解为水平分速度和竖直分速度根据数学关系可以得出若把它看作是则根据运动斜上抛物体