数学建模之单摆摆动问题分析中学教育高考_论文-会议文章.pdf

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1、数学建模之单摆摆动问题分析 数学建模在实际中的应用 单摆摆动问题分析 学号 姓名 专业 根据平常接触到的摆钟、秋千等实物中，抽象出单摆的模型。在理想条件下，单摆的摆动规律大致分为两种情况:小角度摆动和大角度摆动，分别针对这两种情况，从摆动微分方程出发，之后采取不同的方法分析。小角度摆动时，可做三角近似代替，将非线性微分方程转化为线性微分方程，进而求出其解析解，得到小摆角时单摆运动规律。通过matlab 软件的验证，可以明显的看出结果与实际相符的很好。一、问题描述 针对理想条件下的单摆，分析在小摆角和大摆角两种不同情况下的运动规律。二、模型假设 1.悬挂小球的细线伸缩和质量均忽略不记，线长比小球

2、的直径大得多;2.装置严格水平;3.不受空气阻力，且无驱动力。三、符号说明 符号 含义 (rad)单摆偏离平衡位置的角位移,单摆的最大摆角,(rad)0 g 2 重力加速度，取 9.8m/s l 细线长，取 1m t(s)单摆摆动时间 四、模型建立与求解 1.最简单的单摆模型(如图 1)1 图 1 简单单摆模型 o2.小角度时单摆运动规律(5),1 单摆的运动微分方程为:2d,g+=0(1)sin,2dtl 当摆角很小时,sin,故方程 1 可简化为:,2d,g+=0(2),2dtl 这是一个简单的谐振动方程，其解析解为:,，,=Acos()(3),00其固定角频率为:g,=(4)0l得其周期

3、为:,2，lT=(5)2,0g,0 o 可以利用 matlab 软件在0,5分别作出方程(1)和方程(2)的解得图像，如图 2 千等实物中抽象出单摆的模型在理想条件下单摆的摆动规律大致分为两种情况小角度摆动和大角度摆动分别针对这两种情况从摆动微分方程出发之后采取不同的方法分析小角度摆动时可做三角近似代替将非线性微分方程转化为线性问题描述针对理想条件下的单摆分析在小摆角和大摆角两种不同情况下的运动规律二模型假设悬挂小球的细线伸缩和质量忽略不记线长比小球的直径大得多装置严格水平不受空气阻力且无驱动力三符号说明符号含义单摆偏离平衡位单摆模型小角度时单摆运动规律单摆的运动微分方程为当摆角很小时故方程可

4、简化为这是一个简单的谐振动方程其解析解为其固定角频率为得其周期为可以利用软件在分别作出方程和方程的解得图像如图图小角度单摆摆动规律方程 图 2 小角度单摆摆动规律 (方程(1)的解，*方程(2)的解)o 由图像可以看出两方程的解的图像几乎吻合，可以说明当较小时(5)，,两方程的解几乎相等，故周期公式此时较为准确。o 上述结论仅仅适用于摆角很小时(5)，当摆角很大时，方程 sin 不,再成立，方程(1)和方程(2)的解不再相近，故周期公式(5)不再成立。下面我们继续讨论摆角比较大时的单摆运动规律。3.大摆角时单摆运动规律 (1)文献【2】从相图的角度得出单摆运动周期的精确解为:,2Td02 T=

5、(6),220,1,sin(,/2)sin,0,为研究大摆角时单摆运动周期准确解，我们利用 matlab 软件在0,区间上 2 T做出 T、的图像，得到周期的准确解。0T0 3 千等实物中抽象出单摆的模型在理想条件下单摆的摆动规律大致分为两种情况小角度摆动和大角度摆动分别针对这两种情况从摆动微分方程出发之后采取不同的方法分析小角度摆动时可做三角近似代替将非线性微分方程转化为线性问题描述针对理想条件下的单摆分析在小摆角和大摆角两种不同情况下的运动规律二模型假设悬挂小球的细线伸缩和质量忽略不记线长比小球的直径大得多装置严格水平不受空气阻力且无驱动力三符号说明符号含义单摆偏离平衡位单摆模型小角度时单

6、摆运动规律单摆的运动微分方程为当摆角很小时故方程可简化为这是一个简单的谐振动方程其解析解为其固定角频率为得其周期为可以利用软件在分别作出方程和方程的解得图像如图图小角度单摆摆动规律方程 图 3 单摆大摆角周期准确解 T如图可以看出，随着摆角的增大，单摆的运动周期逐渐增大，也随之增大。T0(2)其他参考公式 为求出单摆的周期，有时我们仅仅需要比较简单的近似公式还计算，T为文 2献【3】利用格林函数法得到的近似公式:24,00 T=T(1+)(7)-0216384 00,经计算，T的相对误差随着的增加而迅速增加，当摆角达到 36(54)时 02 误差达到 0.1%(0.5%)，这对于精确计算已经不

7、满足要求。T 为文献【4】给出另外一个简单近似计算公式:3 1T=T(8)30 cos(,/2)0 0 该公式简单实用，由公式可以计算，当摆角为 57 是相对误差为 0.1%;当摆 0 角 90 时误差未达到 0.75%。利用另外一种近似求解的方法余弦函数法求的周期:4 ,11，3,2400sin，sinT=T1+(9),04422，42,由公式显而易见可得，周期随着摆角的增大而增大。千等实物中抽象出单摆的模型在理想条件下单摆的摆动规律大致分为两种情况小角度摆动和大角度摆动分别针对这两种情况从摆动微分方程出发之后采取不同的方法分析小角度摆动时可做三角近似代替将非线性微分方程转化为线性问题描述针

8、对理想条件下的单摆分析在小摆角和大摆角两种不同情况下的运动规律二模型假设悬挂小球的细线伸缩和质量忽略不记线长比小球的直径大得多装置严格水平不受空气阻力且无驱动力三符号说明符号含义单摆偏离平衡位单摆模型小角度时单摆运动规律单摆的运动微分方程为当摆角很小时故方程可简化为这是一个简单的谐振动方程其解析解为其固定角频率为得其周期为可以利用软件在分别作出方程和方程的解得图像如图图小角度单摆摆动规律方程五、结论 对于类似单摆的运动问题，一般都希望求得微分方程的严格的解析表达式进 而得到完全准确的运动规律，但很多时候都无法直接求出这类非线性微分方程准 确解，那么此时就可以考虑采取近似求解的方式，之后再采取一

9、定的方式验证结 果;或者可以直接借助数学软件接触需要的数值解。Matlab 软件为解决这些数 学问题提供了很大的方便。附件:程序 1:function xp=pp1(t,x)xp=zeros(2,1);xp(1)=x(2);xp(2)=-9.8*sin(x(1);end function wp=pp2(t,x)wp=zeros(2,1);wp(1)=x(2);wp(2)=-9.8*x(1);end t0=0;tf=10;t,x=ode45(pp1,t0,tf,0,pi/36);t1,x1=ode45(pp2,t0,tf,0,pi/36);plot(t,x(:,1),k-);hold on 千等

10、实物中抽象出单摆的模型在理想条件下单摆的摆动规律大致分为两种情况小角度摆动和大角度摆动分别针对这两种情况从摆动微分方程出发之后采取不同的方法分析小角度摆动时可做三角近似代替将非线性微分方程转化为线性问题描述针对理想条件下的单摆分析在小摆角和大摆角两种不同情况下的运动规律二模型假设悬挂小球的细线伸缩和质量忽略不记线长比小球的直径大得多装置严格水平不受空气阻力且无驱动力三符号说明符号含义单摆偏离平衡位单摆模型小角度时单摆运动规律单摆的运动微分方程为当摆角很小时故方程可简化为这是一个简单的谐振动方程其解析解为其固定角频率为得其周期为可以利用软件在分别作出方程和方程的解得图像如图图小角度单摆摆动规律方

11、程plot(t1,x1(:,1),k*)axis(0 10-0.04 0.04)title(?)xlabel(t/s)ylabel(?/rad)text(3,-0.032,?1?)text(3,-0.036,*?2?)程序 2:a=0;b=pi/2;n=1000;h=(b-a)/n;l=1;g=9.8;h1=pi/(2*n);c=a:h1:b;5 m=2*pi*sqrt(l/g);x=a;s=0;for i1=1:(n+1)f0=4*sqrt(l/g)/sqrt(1-(sin(c(i1)/2)2*(sin(x)2);for i2=1:n x=x+h;f1=4*sqrt(l/g)/sqrt(1-

12、(sin(c(i1)/2)2*(sin(x)2);s=s+(f0+f1)*h/2;千等实物中抽象出单摆的模型在理想条件下单摆的摆动规律大致分为两种情况小角度摆动和大角度摆动分别针对这两种情况从摆动微分方程出发之后采取不同的方法分析小角度摆动时可做三角近似代替将非线性微分方程转化为线性问题描述针对理想条件下的单摆分析在小摆角和大摆角两种不同情况下的运动规律二模型假设悬挂小球的细线伸缩和质量忽略不记线长比小球的直径大得多装置严格水平不受空气阻力且无驱动力三符号说明符号含义单摆偏离平衡位单摆模型小角度时单摆运动规律单摆的运动微分方程为当摆角很小时故方程可简化为这是一个简单的谐振动方程其解析解为其固定

13、角频率为得其周期为可以利用软件在分别作出方程和方程的解得图像如图图小角度单摆摆动规律方程f0=f1;end disp(s);s1(i1)=s;s=0;end q=s1/m;plot(c,s1,linewidth,3)grid hold on plot(c,m,linewidth,3)hold on plot(c,q,linewidth,3)title(?)xlabel(?/rad)ylabel(?)text(0.8,1.9,?T0)text(1.2,2.15,?T)text(0.8,1.1,?T/T0)6 千等实物中抽象出单摆的模型在理想条件下单摆的摆动规律大致分为两种情况小角度摆动和大角度摆动分别针对这两种情况从摆动微分方程出发之后采取不同的方法分析小角度摆动时可做三角近似代替将非线性微分方程转化为线性问题描述针对理想条件下的单摆分析在小摆角和大摆角两种不同情况下的运动规律二模型假设悬挂小球的细线伸缩和质量忽略不记线长比小球的直径大得多装置严格水平不受空气阻力且无驱动力三符号说明符号含义单摆偏离平衡位单摆模型小角度时单摆运动规律单摆的运动微分方程为当摆角很小时故方程可简化为这是一个简单的谐振动方程其解析解为其固定角频率为得其周期为可以利用软件在分别作出方程和方程的解得图像如图图小角度单摆摆动规律方程