高三二轮复习专题恒成立与存在性问题中学教育中考_中学教育-中学课件.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 校本资源作业 高三二轮复习专题恒成立与存在性问题 在代数综合问题中常遇到恒成立与存在性问题 两类问题类似，均涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法 教学目标：1.知识与技能：理解并区别恒成立问题、存在性问题，学生能用最值和值域解决简单的恒成立和存在性问题 2.过程与方法：从例题探讨恒成立、存在性问题，总结并分析数学中的恒成立和存在性问题的区别和解题规律。培养学生的观察、分析、转化的能力 3.情感态度与价值观：通过本节学习让学生体会化归转化的数学思想，享受数学中的灵动与和谐之美 教学重点：对不同题型能熟练地转化为不同的最值和值域问题 教学难

2、点：化归思想的灵活运用 教学过程：知识点总结：(1)恒成立问题 1.xD,均有 f(x)A恒成立，则 f(x)minA；2.xD,均有 f(x)A恒成立，则 f(x)maxg(x)恒成立，则 F(x)=f(x)-g(x)0，F(x)min 0 4.xD,均有 f(x)g(x)恒成立，则 F(x)=f(x)-g(x)0，F(x)max 0 5.x1D,x2E,均有 f(x1)g(x2)恒成立，则 f(x)min g(x)max 6.x1D,x2E,均有 f(x1)g(x2)恒成立，则 f(x)max A成立，则 f(x)max A；2.x0D,使得 f(x0)A成立，则 f(x)min g(x0

3、)成立，设 F(x)=f(x)-g(x)，F(x)max 0 4.x0D,使得 f(x0)g(x0)成立，设 F(x)=f(x)-g(x)，F(x)min g(x2)成立，则 f(x)max g(x)min 6.x1D,x2E,均使得 f(x1)g(x2)成立，则 f(x)min g(x2)成立，则 f(x)min g(x)min 2.x1D,x2E,使得 f(x1)g(x2)成立，则 f(x)max A 在区间 D上恰成立，则等价于不等式 f(x)A 的解集为 D；2.若不等式 f(x)B在区间 D上恰成立，则等价于不等式 f(x)g(x)的研究 例 1、已知函数12)(2axxxf，xax

4、g)(，其中0a，0 x 对任意 2,1 x，都有)()(xgxf恒成立，求实数a的取值范围；【思路分析】等价转化为函数0)()(xgxf恒成立，通过分离变量，创设新函数求最值解决 简解：（1）由12012232xxxaxaaxx成立，只需满足12)(23xxxx的最小值大于a即可对12)(23xxxx求导，0)12(12)(2224xxxx，故)(x在 2,1 x是增函数，32)1()(minx，所以a的取值范围是320 a 探究点二 xD，f(x)g(x)的研究 对于 xD，f(x)g(x)的研究，先设 h(x)f(x)g(x)，再等价为 xD，h(x)max0，其中若 g(x)c，则等价

5、为 xD，f(x)maxc.例 已知函数 f(x)x3ax210.(1)当 a1时，求曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)在区间1,2内至少存在一个实数 x，使得 f(x)0成立，求实数 a的取值范围【解答】(1)当 a1 时，f(x)3x22x，f(2)14，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率 kf(2)8，所以曲线 yf(x)在点(2，f(x)处的切线方程为 8xy20.(2)解法一：f(x)3x22ax3xx23a(1 x2)，当23a1，即 a32时，f(x)0，f(x)在1,2上为增函数，故 f(x)minf(1)11a，所以 11a11，这与 a32矛

6、盾 当 123a2，即32a3 时，当 1 x23a，f(x)0；当23a0，所以 x23a 时，f(x)取最小值，因此有 f23a 0，即827a349a310427a3103352，这与32a3 矛盾；当23a2，即 a3 时，f(x)0，f(x)在1,2上为减函数，所以 f(x)minf(2)184a，所以 18问题两类问题类似均涉及常见函数的性质图象渗透着换元化归数形结合函数与方程等思想方法教学目标知识与技能理解并区别恒成立问题存在性问题学生能用最值和值域解决简单的恒成立和存在性问题过程与方法从例题探讨恒成立与价值观通过本节学习让学生体会化归转化的数学思想享受数学中的灵动与和谐之美教学

7、重点对不同题型能熟练地转化为不同的最值和值域问题教学难点化归思想的灵活运用教学过程知识点总结恒成立问题均有恒成立则均有恒成立设使得成立则均使得成立则相等问题使得成立则恒成立与存在性的综合性问题使得成立则使得成立则恰成立问题若不等式在区间上恰成立则等价于不等式的解集为若不等式在区间上恰成立则等价于不等式的解集为学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 4a92，这符合 a3.综上所述，a 的取值范围为 a92.解法二：由已知得：ax310 x2x10 x2，设 g(x)x10 x2(1 x2)，g(x)120 x3，1 x2，g(x)92.【点评】解法一在处理时，需要用分类讨论的方法，讨论的关键是极值

8、点与区间1,2的关系；解法二是用的参数分离，由于 ax2x310 中 x21,4，所以可以进行参数分离，而无需要分类讨论 探究点三 x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究 例、设函数bxxaxh)(，对任意 2,21a，都有10)(xh在 1,41x恒成立，求实数b的取值范围 思路分析：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数以本题为例，实质还是通过函数求最值解决 方法 1：化归最值，10)(10)(maxxhxh；方法2：变量分离，)(10 xxab或xbxa)10(2；方法 3：变更主元，0101)(bxaxa，2,21a 简解：方法 1:对bxxabxxgxh)()(求导

9、，22)(1)(xaxaxxaxh，由此可知，)(xh在 1,41上的最大值为)41(h与)1(h中的较大者 ababbabahh944391011041410)1(10)41(，对于任意 2,21a，得b的取值范围是47b 探究点四 x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究 对于 x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究，第一步先转化为 x2D，f(x1)ming(x2)，再将该问题按照探究点一转化为 f(x1)ming(x2)min.例、已知函数 f(x)2|xm|和函数 g(x)x|xm|2m8.(1)若方程 f(x)2|m|在4，)上恒有惟一解，求实数 m的取值范围；(2)若对任意

10、 x1(，4，均存在 x24，)，使得 f(x1)g(x2)成立，求实数 m的取值范围【解答】(1)由 f(x)2|m|在 x4，)上恒有惟一解，得|xm|m|在 x4，)上恒有惟一解 问题两类问题类似均涉及常见函数的性质图象渗透着换元化归数形结合函数与方程等思想方法教学目标知识与技能理解并区别恒成立问题存在性问题学生能用最值和值域解决简单的恒成立和存在性问题过程与方法从例题探讨恒成立与价值观通过本节学习让学生体会化归转化的数学思想享受数学中的灵动与和谐之美教学重点对不同题型能熟练地转化为不同的最值和值域问题教学难点化归思想的灵活运用教学过程知识点总结恒成立问题均有恒成立则均有恒成立设使得成立

11、则均使得成立则相等问题使得成立则恒成立与存在性的综合性问题使得成立则使得成立则恰成立问题若不等式在区间上恰成立则等价于不等式的解集为若不等式在区间上恰成立则等价于不等式的解集为学习必备欢迎下载学习必备 欢迎下载 当 xmm 时，得 x2m，则 2m0 或 2m4，即 m2 或 m0.综上，m 的取值范围是 m2 或 m0.(2)f(x)2xmx m，2mxxg(x2)min.当 4 m8 时，f(x)在(，4上单调递减，故 f(x)f(4)2m4，g(x)在4，m上单调递减，m，)上单调递增，故 g(x)g(m)2m8，所以 2m42m8，解得 4m6.所以 4m5 或 68 时，f(x)在(

12、，4上单调递减，故 f(x)f(4)2m4，g(x)在4，m2单调递增，m2，m上单调递减，m，)上单调递增，g(4)6m24g(m)2m8，故 g(x)g(m)2m8，所以 2m42m8，解得 4m6.所以 m8.0m4 时，f(x)在(，m上单调递减，m,4上单调递增，故 f(x)f(m)1.g(x)在4，)上单调递增，故 g(x)g(4)82m，所以 82m1，即72m4.m0 时，f(x)在(，m上单调递减，m,4上单调递增，故 f(x)f(m)1.g(x)在4，)上单调递增，故 g(x)g(4)82m，所以 82m72(舍去)综上，m 的取值范围是72，5(6，)【点评】因为对于 x

13、D，f(x)c，可以转化为 f(x)minc；xD，cg(x)，可以转化为 cg(x)min，所以本问题类型可以分两步处理，转化为 f(x)ming(x)min.探究点五 x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究 对于 x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究，若函数 f(x)的值域为 C1，函数 g(x)的值域为 C2，则该问题等价为 C1 C2.例、设函数 f(x)13x313x253x4.(1)求 f(x)的单调区间；(2)设 a1，函数 g(x)x33a2x2a.若对于任意 x10,1，总存在 x00,1，使得 f(x1)g(x0)成立，求 a的取值范围【解答】(1)f(x)x22

14、3x53，令 f(x)0，即 x223x530，解得53xc，可以转化为 f(x)minc；xD，cg(x)，可以转化为 cg(x)min；xD，cg(x)，可以转化为 cy|yg(x)，对于由这些含有量词的命题组合而成的含有两个量词命题的问题，可以采取分步转化的方法来处理 2对于含有参数的恒成立问题或存在性问题，常用的处理方法有分类讨论或参数分离，并借助于函数图象来解决问题 练习:1.已知两函数 2728f xxxc，322440g xxxx。（1）对任意 3,3x，都有 f xg x成立，求实数c的取值范围；（2）存在 3,3x，使 f xg x成立，求实数c的取值范围；（3）对任意 12

15、,3,3xx，都有 12f xg x，求实数c的取值范围；（4）存在 12,3,3xx，都有 12f xg x，求实数c的取值范围；2.设函数3221()23(01,)3f xxaxa xbabR .（1）求函数 f x的单调区间和极值；（2）若对任意的,2,1aax不等式 fxa成立，求 a 的取值范围。3.已 知A、B、C是 直 线l上 的 三 点，向 量 OA，OB，OC满 足：0OC1xlnOB1f 2yOA.（1）求函数 yf(x)的表达式；（2）若 x0，证明：f(x)2xx2；（3）若不等式32)(21222bmmxfx时，x-1,1 及 b-1,1 都恒成立，求实数m 的取值范

16、围 问题两类问题类似均涉及常见函数的性质图象渗透着换元化归数形结合函数与方程等思想方法教学目标知识与技能理解并区别恒成立问题存在性问题学生能用最值和值域解决简单的恒成立和存在性问题过程与方法从例题探讨恒成立与价值观通过本节学习让学生体会化归转化的数学思想享受数学中的灵动与和谐之美教学重点对不同题型能熟练地转化为不同的最值和值域问题教学难点化归思想的灵活运用教学过程知识点总结恒成立问题均有恒成立则均有恒成立设使得成立则均使得成立则相等问题使得成立则恒成立与存在性的综合性问题使得成立则使得成立则恰成立问题若不等式在区间上恰成立则等价于不等式的解集为若不等式在区间上恰成立则等价于不等式的解集为学习必

17、备欢迎下载学习必备 欢迎下载 问题两类问题类似均涉及常见函数的性质图象渗透着换元化归数形结合函数与方程等思想方法教学目标知识与技能理解并区别恒成立问题存在性问题学生能用最值和值域解决简单的恒成立和存在性问题过程与方法从例题探讨恒成立与价值观通过本节学习让学生体会化归转化的数学思想享受数学中的灵动与和谐之美教学重点对不同题型能熟练地转化为不同的最值和值域问题教学难点化归思想的灵活运用教学过程知识点总结恒成立问题均有恒成立则均有恒成立设使得成立则均使得成立则相等问题使得成立则恒成立与存在性的综合性问题使得成立则使得成立则恰成立问题若不等式在区间上恰成立则等价于不等式的解集为若不等式在区间上恰成立则等价于不等式的解集为学习必备欢迎下载