高中数学联赛平面几何重点梅涅劳斯定理中学教育竞赛题_中学教育-竞赛题.pdf

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1、梅涅劳斯定理 梅涅劳斯定理证明 梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与ABC的三边 AB、BC、CA或其延长 线交于 F、D、E点，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。或：设 X、Y、Z分别在ABC的 BC、CA、AB所在直线上，则 X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。证明定理 证明一 过点 A作 AGBC 交 DF的延长线于 G,则 AF/FB=AG/BD,CE/EA=DC/AG。三式相乘得：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(D

2、C/AG)=1 证明二 过点 C作 CPDF交 AB于 P，则 BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有 AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在ABC的边 AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，则 F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。梅涅劳斯(Menelaus)定理 证明三 过 ABC三点向三边引垂线 AABBCC，所以 AD：DB=AA：BB，BE：EC=BB：CC，CF：FA=CC：AA 所以(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 证

3、明四 连接 BF。（AD：DB）（BE：EC）（CF:FA)=（SADF：SBDF）（SBEF：SCEF）（SBCF：SBAF）=（SADF：SBDF）（SBDF：SCDF）（SCDF：SADF）=1 此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：在ABC的三边 BC、CA、AB或其延长线上分别取 L、M、N三点，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是 L、M、N三点共线的充要条件是=1。第一角元形式的梅涅劳斯定理 如图：若 E，F，D三点共线，则 (sinACF/sinFCB)(sinBAD/sinDAC)(sinCBA/sinABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正

4、弦值之积 该形式的梅涅劳斯定理也很实用 第二角元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点 O，且 EDF共线，则（sinAOF/sinFOB)(sinBOD/sinDOC)(sinCOA/sinAOE)=1。(O 不与点 A、B、C重合)记忆 ABC为三个顶点，DEF为三个分点 (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 条直线与的三边或其延长线交于点那么或设分别在的所在直线上则共线的充要条件是证明定理证明一过点作交的延长线于则三式相乘得证明二过点作交于则所以有它的逆定理也成立若有三点分别在的边或其延长线上且满足则三点共点定义该定理可使其容易理解和记忆在的三边或其延长线上分别取三点又分比是于是

5、三点共线的充要条件是第一角元形式的梅涅劳斯定理如图若三点共线则即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积该形式的梅涅劳斯定理也很实顶到分分到顶顶到分分到顶空间感好的人可以这么记上下整右下上数学意义使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算其逆定理还是可以用来解决三点共线三线共点等问题的判定方法是平面几何学以及射影几何学中的 （顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）=1 空间感好的人可以这么记：（上 1/下 1）*（整/右）*（下 2/上 2）=1 数学意义 使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是

6、平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。实际应用 为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的 A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。例如直升机降落在 A点，我们从 A点出发，“游历”了其它五个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点 A。另外还有一个要求，就是同一直

7、线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。从 A点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明：方案 从 A经过 B（不停留）到 F（停留），再返回 B（停留），再到 D（停留），之后经过 B（不停留）到 C（停留），再到 E（停留），最后从 E经过 C（不停留）回到出发点 A。按照这个方案，可以写出关系式：（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。从 A点出发的旅游方案还有：方案 可以简记为：ABFDECA，由此可写出以下公式：（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。从 A出发还可以向“C”方向走，于是有：方

8、案 ACEDFBA，由此可写出公式：条直线与的三边或其延长线交于点那么或设分别在的所在直线上则共线的充要条件是证明定理证明一过点作交的延长线于则三式相乘得证明二过点作交于则所以有它的逆定理也成立若有三点分别在的边或其延长线上且满足则三点共点定义该定理可使其容易理解和记忆在的三边或其延长线上分别取三点又分比是于是三点共线的充要条件是第一角元形式的梅涅劳斯定理如图若三点共线则即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积该形式的梅涅劳斯定理也很实顶到分分到顶顶到分分到顶空间感好的人可以这么记上下整右下上数学意义使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算其逆定理还是可以用来解决三点共线三线共点等问

9、题的判定方法是平面几何学以及射影几何学中的 （AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。从 A出发还有最后一个方案：方案 AECDBFA，由此写出公式：（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。我们的直升机还可以选择在 B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的另外一些公式。值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。当直升机降落在 B点时，就会有四项因式。而在 C点和 F点，既会有三项的公式，也会有四项的公式。公式为四项时，有的景点会游览了两次。不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看看。还可以从逆时针来看，从第

10、一个顶点到逆时针的第一个交点比上到下一个顶点的距离，以此类推，可得到三个比例，它们的乘积为 1.现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。那些复杂的相除相乘的关系式，不会再写错或是记不住吧。条直线与的三边或其延长线交于点那么或设分别在的所在直线上则共线的充要条件是证明定理证明一过点作交的延长线于则三式相乘得证明二过点作交于则所以有它的逆定理也成立若有三点分别在的边或其延长线上且满足则三点共点定义该定理可使其容易理解和记忆在的三边或其延长线上分别取三点又分比是于是三点共线的充要条件是第一角元形式的梅涅劳斯定理如图若三点共线则即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积该形式的梅涅劳斯定理也很实顶到分分到顶顶到分分到顶空间感好的人可以这么记上下整右下上数学意义使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算其逆定理还是可以用来解决三点共线三线共点等问题的判定方法是平面几何学以及射影几何学中的