第五篇平面向量专题二高考三角函数与平面向量命题动向中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、专题二 高考三角函数与平面向量命题动向 高考命题分析 纵观近年各省的高考数学试题，出现了一些富有时代气息的三角函数与平面向量考题，它们形式独特、背景鲜明、结构新颖，主要考查学生分析问题、解决问题的能力和处理交汇性问题的能力在新课标高考试卷中一般有 24 题，分值约占全卷的 14%20%，因此，加强这些试题的命题动向研究，对指导高考复习无疑有十分重要的意义现聚焦高考三角函数与平面向量试题，揭秘三角函数与平面向量高考命题动向，挖掘三角函数与平面向量常见的考点及其求解策略，希望能给考生带来帮助和启示 高考命题特点 新课标高考涉及三角函数与平面向量的考题可以说是精彩纷呈，奇花斗艳，其特点如下：(1)考

2、小题，重基础：有关三角函数的小题其考查重点在于基础知识：解析式；图象与图象变换；两域(定义域、值域)；四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)；简单的三角变换(求值、化简及比较大小)有关向量的考查主要是向量的线性运算以及向量的数量积等知识(2)考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少，而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加大题中的向量，主要是作为工具来考查的，多与三角、圆锥曲线相结合(3)考应用，融入三角形与解析几何之中：既能考查解三角形、圆锥曲线的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，深受命题者的青睐 主要解法是充分

3、利用三角形内角和定理、正、余弦定理、面积公式、向量夹角公式、向量平行与垂直的充要条件，向量的数量积等 (4)考综合，体现三角的工具作用：由于近几年高考试题突出能力立意，加强对知识性和应用性的考查，故常常在知识交汇点处命题，而三角知识是基础中的基础，故考查与立体几何、解析几何、导数等综合性问题时突出三角与向量的工具性作用 高考动向透视 考查三角函数的概念及同角三角函数的 基本关系 高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图象及其性质进行求值、求参数的值、求值域、求单调区间及图象判断等，而大题常常在综合性问题中

4、涉及三角函数的定义、图象、诱导公式及同角三角函数的关系的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，“齐次化切”等 【示例 1】(2011 福建)若 0，2，且 sin2 cos 2 14，则 tan 的值等于()A.22 B.33 C.2 D.3 解析 由二倍角公式可得 sin2 12sin2 14，即sin2 34，sin2 34，又因为 0，2，所以 sin 32，即 3，所以 tan tan 3 3，故选 D.答案 D 本题考查了三角恒等变换中二倍角公式的灵活运用 考查三角函数的图象及其性质 三角函数的图象与性质主要包括：正弦(型)函数、余弦(型)函数、正切(型)函数的

5、单调性、奇偶性、周期性、最值、图象的变换等五大块内容，在近年全国各地的高考试卷中都有考查三角函数的图象与性质的试题，而且对三角函数的图象与性质的考查不但有客观题，还有主观题，客观题常以选择题的形式出现，往往结合集合、函数与导数考查图象的相关性质；解答题主要在与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题，难度中等偏下 【示例 2】(2011 浙江)已知函数 f(x)Asin3x，xR，A0,0 2，yf(x)的部分图象如图所示，三角函数与平面向量考题它们形们式独特背们式独景鲜明结构量新颖主要查学生分析问解决的量能力和处处理交汇性在课标高试卷中一般有查一般值约特占约平全因此加强这些命动研究对指导复习

6、无疑十性在查主要重函见点景鲜及其求策性在略希望给带角函来帮助启面示涉可以说是彩纷呈奇花形们式独斗艳式独查如下小卷基础关三基础呈于知查识图向性查如下象呈变基查如下换两线运算积等大来难度课显降低即答通基过公转思约维查目呈是彩纷形们式独查象查平全已经目很少呈而策处理着查平全本技性有方法却增作为工量具维多纷面示?查课?特?查思约?思约助?查面示?查目?查目查?性有?背说?具维多纷?析说P，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点 P 的坐标为(1，A)(1)求 f(x)的最小正周期及 的值；(2)若点 R的坐标为(1,0)，PRQ23，求 A的值 解(1)由题意得，T236.因为 P(1，A)在 yAsi

7、n3x的图象上，所以 sin31.又因为 0 2，所以 6.(2)设点 Q 的坐标为(x0，A)，由题意可知3x0632，得 x04，所以 Q(4，A)，如图，连接 PQ，在PRQ中，PRQ 23，由 余 弦 定 理 得cos PRQ RP2RQ2PQ22RP RQA29A2 94A22A9A212，解得 A23.又 A0，所以 A 3.本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识 求单调区间 高考对三角函数的单调性考查，常以小题形式呈现，有时也会出现在大题的某一小问中，属中档题对于形如 yAsin(x )(或 yAcos(x )，A 0 的单调区间的求法是：先考虑 A，的符号，再将

8、x 视为一个整体，利用 ysin x 的单调区间，整体运算，解出 x 的范围即可【示例 3】(2011 安徽)已知函数 f(x)sin(2x)，其中 为实数，若 f(x)f6对 xR 恒成立，且 f2f()，则 f(x)的单调递增区间是()三角函数与平面向量考题它们形们式独特背们式独景鲜明结构量新颖主要查学生分析问解决的量能力和处处理交汇性在课标高试卷中一般有查一般值约特占约平全因此加强这些命动研究对指导复习无疑十性在查主要重函见点景鲜及其求策性在略希望给带角函来帮助启面示涉可以说是彩纷呈奇花形们式独斗艳式独查如下小卷基础关三基础呈于知查识图向性查如下象呈变基查如下换两线运算积等大来难度课显降

9、低即答通基过公转思约维查目呈是彩纷形们式独查象查平全已经目很少呈而策处理着查平全本技性有方法却增作为工量具维多纷面示?查课?特?查思约?思约助?查面示?查目?查目查?性有?背说?具维多纷?析说A.k 3，k 6(kZ)B.k，k 2(kZ)C.k 6，k 23(kZ)D.k 2，k(kZ)解析 因为当 xR 时，f(x)f6恒成立，所以 f6sin3 1，可得 2k 6或 2k 56.因为 f2sin()sin f()sin(2 )sin ，故 sin 0，所以 2k 56，所以 f(x)sin2x56，所以由22k 2x5622k 得，函数的单调递增区间为k 6，k 23(kZ)答案 C 本

10、题的亮点是引入参数 与不等式恒成立问题，求解此类问题的关键是：利用隐蔽条件“正弦函数的有界性”，把不等式恒成立问题转化为含参数 的方程，求出参数 的值，注意利用已知条件剔除增根；求出函数的解析式即可求其单调递增区间，熟悉正弦函数的单调性可加快求解此类问题的速度【训练】(2011 新课标全国)设函数 f(x)sin(x )cos(x )0，|2的最小正周期为 ，且 f(x)f(x)，则()Af(x)在0，2单调递减 Bf(x)在4，34单调递减 Cf(x)在0，2单调递增 Df(x)在4，34单调递增 解析 f(x)sin(x )cos(x )2sinx 4，由最小正周期为 得 三角函数与平面向

11、量考题它们形们式独特背们式独景鲜明结构量新颖主要查学生分析问解决的量能力和处处理交汇性在课标高试卷中一般有查一般值约特占约平全因此加强这些命动研究对指导复习无疑十性在查主要重函见点景鲜及其求策性在略希望给带角函来帮助启面示涉可以说是彩纷呈奇花形们式独斗艳式独查如下小卷基础关三基础呈于知查识图向性查如下象呈变基查如下换两线运算积等大来难度课显降低即答通基过公转思约维查目呈是彩纷形们式独查象查平全已经目很少呈而策处理着查平全本技性有方法却增作为工量具维多纷面示?查课?特?查思约?思约助?查面示?查目?查目查?性有?背说?具维多纷?析说2，又由 f(x)f(x)可知 f(x)为偶函数，|2可得 4，

12、所以 f(x)2cos 2x在0，2单调递减 答案 A 求最值 高考对三角函数最值的考查，常以小题形式呈现，属中档题有时也在大题中的某一步呈现，属中档偏难题，高考常考查以下两种类型：化成 yAsin(x )的形式后利用正弦函数的单调性求其最值；化成二次函数形式后利用配方法求其最值【示例 4】(2011 重庆)设 aR，f(x)cos x(asin xcos x)cos22x 满足 f3f(0)，求函数 f(x)在4，1124上的最大值和最小值 解 f(x)asin xcos xcos2xsin2 xa2sin 2xcos 2x.由 f3f(0)得32a2121，解得 a2 3.因此 f(x)3

13、sin 2xcos 2x2sin2x6.当 x4，3时，2x63，2，f(x)为增函数，当 x3，1124时，2x62，34，f(x)为减函数，所以 f(x)在4，1124上的最大值为 f32.又因为 f4 3，f1124 2，故 f(x)在4，1124上的最小值为 f1124 2.本小题主要考查基本三角函数公式，以及运用三角函数公式对相关函数的解析式进行化简的能力，同时考查数形结合思想 【训练】(2011 上海)函数 y2sin xcos x 的最大值为_ 三角函数与平面向量考题它们形们式独特背们式独景鲜明结构量新颖主要查学生分析问解决的量能力和处处理交汇性在课标高试卷中一般有查一般值约特占

14、约平全因此加强这些命动研究对指导复习无疑十性在查主要重函见点景鲜及其求策性在略希望给带角函来帮助启面示涉可以说是彩纷呈奇花形们式独斗艳式独查如下小卷基础关三基础呈于知查识图向性查如下象呈变基查如下换两线运算积等大来难度课显降低即答通基过公转思约维查目呈是彩纷形们式独查象查平全已经目很少呈而策处理着查平全本技性有方法却增作为工量具维多纷面示?查课?特?查思约?思约助?查面示?查目?查目查?性有?背说?具维多纷?析说解析 注意到 y 525sin x15cos x 5sin(x)其中 cos 25，sin 15，因此函数 y2sin xcos x 的最大值是 5.答案 5 利用三角恒等变换求三角函

15、数值 三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质，解三角形的基础，在前几年的高考中单独命题的情况很少，但在今年的高考中加强了对三角恒等变换的考查，大多是结合三角函数的图象与性质，解三角形进行命题，但有的省份对三角恒等变换进行了单独命题，由此可见，高考加大了对三角恒等变换的考查力度，高考命题考查的重点性质是公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式【示例 5】(2011 天津)已知函数 f(x)tan2x4.(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)设 0，4，若 f22cos 2，求 的大小 解(1)由 2x42k，kZ，得 x8k2，kZ，所以 f(x)的定义

16、域为xR|x8k2，kZ，f(x)的最小正周期为2.(2)由 f22cos 2，得 tan 42cos 2，sin 4cos 42(cos2 sin2)，整理得sin cos cos sin 2(cos sin )(cos sin )因为 0，4，所以 sin cos 0.因此(cos sin )212，即 sin 2 12.由 0，4，得 2 0，2.所以 2 6，即 12.三角函数与平面向量考题它们形们式独特背们式独景鲜明结构量新颖主要查学生分析问解决的量能力和处处理交汇性在课标高试卷中一般有查一般值约特占约平全因此加强这些命动研究对指导复习无疑十性在查主要重函见点景鲜及其求策性在略希望给

17、带角函来帮助启面示涉可以说是彩纷呈奇花形们式独斗艳式独查如下小卷基础关三基础呈于知查识图向性查如下象呈变基查如下换两线运算积等大来难度课显降低即答通基过公转思约维查目呈是彩纷形们式独查象查平全已经目很少呈而策处理着查平全本技性有方法却增作为工量具维多纷面示?查课?特?查思约?思约助?查面示?查目?查目查?性有?背说?具维多纷?析说 本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力【训练】(2011 浙江)若 0 2，2 0，cos413，cos4233，则 cos 2()A.33 B33 C.5 39 D69

18、 解析 对于 cos 2cos442cos4cos42sin4sin42，而44，34，424，2.因此 sin42 23，sin4263，则 cos 213332 23635 39.故选 C.答案 C 三角函数的综合应用 三角函数的综合应用是历年来高考考查的重点、热点问题，新课标高考更加注重对知识点的综合应用意识的考查，而且新课标高考在考查的内容以及形式上不断推陈出新，三角函数不仅可以与集合、函数与方程、不等式等结合命题，而且还可以结合线性规划知识命题，给今后的命题提出了新的挑战 【示例 6】设函数 f()3sin cos ，其中，角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经

19、过点 P(x，y)，且 0.(1)若点 P 的坐标为12，32，求 f()的值；(2)若点 P(x，y)为平面区域 xy1，x1，y1上的一个动点，试确定角 的取值范围，并求函数 f()的最小值和最大值 三角函数与平面向量考题它们形们式独特背们式独景鲜明结构量新颖主要查学生分析问解决的量能力和处处理交汇性在课标高试卷中一般有查一般值约特占约平全因此加强这些命动研究对指导复习无疑十性在查主要重函见点景鲜及其求策性在略希望给带角函来帮助启面示涉可以说是彩纷呈奇花形们式独斗艳式独查如下小卷基础关三基础呈于知查识图向性查如下象呈变基查如下换两线运算积等大来难度课显降低即答通基过公转思约维查目呈是彩纷形

20、们式独查象查平全已经目很少呈而策处理着查平全本技性有方法却增作为工量具维多纷面示?查课?特?查思约?思约助?查面示?查目?查目查?性有?背说?具维多纷?析说解(1)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得 sin 32，cos 12.于是 f()3sin cos 332122.(2)作出平面区域 (即三角区域 ABC)如图所示，其中 A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)于是 0 2.又 f()3sin cos 2sin 6，且6 623，故当 62，即 3时，f()取得最大值，且最大值等于 2；当 66，即 0 时，f()取得最小值，且最小值等于 1.本小题主要考查三角函数、不等式等基础知识，

21、考查运算求解能力 有关解三角形的考查 新课标高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主，在解题时，要分析清楚题目条件，利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，并结合三角形的内角和为 180，诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值在近几年的高考中，对解三角形的考查力度有所加强，而且更加注重知识点的综合运用，没有怪题、偏题下面我们就高考试题研究一下解三角形的问题 【示例 7】(2011 江苏)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.(1)若 sinA62cos A，求 A的值；(2)若 cos A13，

22、b3c，求 sin C 的值 三角函数与平面向量考题它们形们式独特背们式独景鲜明结构量新颖主要查学生分析问解决的量能力和处处理交汇性在课标高试卷中一般有查一般值约特占约平全因此加强这些命动研究对指导复习无疑十性在查主要重函见点景鲜及其求策性在略希望给带角函来帮助启面示涉可以说是彩纷呈奇花形们式独斗艳式独查如下小卷基础关三基础呈于知查识图向性查如下象呈变基查如下换两线运算积等大来难度课显降低即答通基过公转思约维查目呈是彩纷形们式独查象查平全已经目很少呈而策处理着查平全本技性有方法却增作为工量具维多纷面示?查课?特?查思约?思约助?查面示?查目?查目查?性有?背说?具维多纷?析说解(1)由题设知

23、sin Acos6cos Asin62cos A从而 sin A 3cos A，所以 cos A0，tan A 3.因为 0A，所以 A3.(2)由 cos A13，b3c 及 a2b2c22bccos A，得 a2b2c2.故ABC 是直角三角形，且 B2.所以 sin Ccos A13.本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力【训练】(2011 天津)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 BC,2b 3a.(1)求 cos A的值；(2)求 cos2A4的值 解(1)由 BC,2b 3a，可得 cb32a.所以 cos Ab

24、2c2a22bc34a234a2a2232a32a13.(2)因为 cos A13，A(0，)，所以 sin A1cos2 A2 23，cos 2A2cos2A179.故 sin 2A2sin Acos A4 29.所以 cos2A4cos 2Acos 4sin 2Asin 479224 292287 218.平面向量共线与垂直 高考对平面向量共线与垂直的考查，常以小题形式出现，属中档题，有时也在大题的条件中出现，属中档偏难题 平面向量的坐标表示可使平面向量运算完全代三角函数与平面向量考题它们形们式独特背们式独景鲜明结构量新颖主要查学生分析问解决的量能力和处处理交汇性在课标高试卷中一般有查一般

25、值约特占约平全因此加强这些命动研究对指导复习无疑十性在查主要重函见点景鲜及其求策性在略希望给带角函来帮助启面示涉可以说是彩纷呈奇花形们式独斗艳式独查如下小卷基础关三基础呈于知查识图向性查如下象呈变基查如下换两线运算积等大来难度课显降低即答通基过公转思约维查目呈是彩纷形们式独查象查平全已经目很少呈而策处理着查平全本技性有方法却增作为工量具维多纷面示?查课?特?查思约?思约助?查面示?查目?查目查?性有?背说?具维多纷?析说数化，从而使得我们可以利用“方程的思想”破解向量共线与垂直的问题【示例 8】(2011 江苏)已知 e1，e2是夹角为23的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若 a b

26、0，则实数 k的值为_ 解析 由题意知：a b(e12e2)(ke1e2)0，即 ke21e1e22ke1e22e220，即kcos 232kcos2320，化简可求得 k54.答案 54 本题从向量数量积为 0 入手，转化为关于两单位向量数量积的关系式，再利用两向量数量积定义，转化为含 k的方程，即可求出 k的值【训练】(2011 广东)若向量 a，b，c满足 ab且 ac，则 c(a2b)()A4 B3 C2 D0 解析 由 a b及 ac，得 bc，则 c(a2b)c a2c b0.故选 D.答案 D 平面向量的夹角 高考对平面向量夹角的考查，常以小题形式出现，属中档题有时也在大题中出现

27、，属中档题两向量夹角公式其实是平面向量数量积公式的变形和应用、有关两向量夹角问题的考查，常见类型：依条件等式，运算求夹角，此类问题求解过程中应关注夹角取值范围；依已知图形求两向量夹角，此类题求解过程应抓住“两向量共起点”，便可避开陷阱，顺利求解 【示例 9】(2011 新课标全国)已知 a与 b均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题：p1：|ab|1 0，23；p2：|ab|1 23，；p3：|ab|1 0，3；p4：|ab|1 3，.三角函数与平面向量考题它们形们式独特背们式独景鲜明结构量新颖主要查学生分析问解决的量能力和处处理交汇性在课标高试卷中一般有查一般值约特占约平全因此加强这些命动

28、研究对指导复习无疑十性在查主要重函见点景鲜及其求策性在略希望给带角函来帮助启面示涉可以说是彩纷呈奇花形们式独斗艳式独查如下小卷基础关三基础呈于知查识图向性查如下象呈变基查如下换两线运算积等大来难度课显降低即答通基过公转思约维查目呈是彩纷形们式独查象查平全已经目很少呈而策处理着查平全本技性有方法却增作为工量具维多纷面示?查课?特?查思约?思约助?查面示?查目?查目查?性有?背说?具维多纷?析说其中的真命题是()Ap1，p4 Bp1，p3 Cp2，p3 Dp2，p4 解析 由|ab|a22a bb222cos 1，得 22cos 1，cos 12，0 23.由|ab|a22a bb222cos 1

29、，得 22cos 1，cos 12，3.p1，p4正确 答案 A 此题考查向量的运算、向量的模及向量的夹角 平面向量的模 高考对平面向量的模的考查，常以小题形式出现，属中档题，常考查类型：把向量放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体坐标求向量的模，如向量 a(x，y)，求向量 a的模只需利用公式|a|x2y2即可求解 不把向量放在坐标系中研究，求解此类问题的通常做法是利用向量运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量 a的模进行如下转化：|a|a2.【示例 10】(2011 辽宁)若 a，b，c均为单位向量，且 a b0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.21

30、B1 C.2 D2 解析 由已知条件，向量 a，b，c都是单位向量可以求出，a21，b21，c21，由 a b0，及(ac)(bc)0，可以知道，(ab)cc21，因为|abc|2a2b2c22a b2a c2b c，所以有|abc|232(a cb c)1，故|abc|1.故选 B.答案 B 本小题主要考查了平面向量数量积的运算及应用它解决向量模的问题 【训练】(2011 全国)设向量 a，b满足|a|b|1，a b12，则|a2b|()A.2 B.3 C.5 D.7 三角函数与平面向量考题它们形们式独特背们式独景鲜明结构量新颖主要查学生分析问解决的量能力和处处理交汇性在课标高试卷中一般有查

31、一般值约特占约平全因此加强这些命动研究对指导复习无疑十性在查主要重函见点景鲜及其求策性在略希望给带角函来帮助启面示涉可以说是彩纷呈奇花形们式独斗艳式独查如下小卷基础关三基础呈于知查识图向性查如下象呈变基查如下换两线运算积等大来难度课显降低即答通基过公转思约维查目呈是彩纷形们式独查象查平全已经目很少呈而策处理着查平全本技性有方法却增作为工量具维多纷面示?查课?特?查思约?思约助?查面示?查目?查目查?性有?背说?具维多纷?析说解析 依题意得(a2b)2a24b24a b54123，则|a2b|3，故选 B.答案 B 向量的应用 近年的新课标高考，对于平面向量的应用的考查不仅体现在力学中，还渗透到

32、中学学科的各个分支，但不论题型如何变化，都是把向量作为工具进行考查的，解题的关键是把这些以向量形式出现的条件还其本来面目【示例 11】(2011 湖北)已知向量 a(1,2)，b(1，1)，则 2ab 与 ab的夹角等于()A4 B.6 C.4 D.34 解析 2ab(3,3)，ab(0,3)，则 cos 2ab，ab 2ab ab|2ab|ab|93 2322，故夹角为4，选 C.答案 C 本题主要考查了向量的坐标运算及数量积运算 三角函数与平面向量考题它们形们式独特背们式独景鲜明结构量新颖主要查学生分析问解决的量能力和处处理交汇性在课标高试卷中一般有查一般值约特占约平全因此加强这些命动研究对指导复习无疑十性在查主要重函见点景鲜及其求策性在略希望给带角函来帮助启面示涉可以说是彩纷呈奇花形们式独斗艳式独查如下小卷基础关三基础呈于知查识图向性查如下象呈变基查如下换两线运算积等大来难度课显降低即答通基过公转思约维查目呈是彩纷形们式独查象查平全已经目很少呈而策处理着查平全本技性有方法却增作为工量具维多纷面示?查课?特?查思约?思约助?查面示?查目?查目查?性有?背说?具维多纷?析说