高三理科数学一轮总复习第八章统计与概率—递推法解排列组合概率问题中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、高三理科数学一轮总复习 第八章 统计与概率递推法解排列、组合、概率问题 一、an=p an1+q型【例1】某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是12，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯的概率是13，出现绿灯的概率是23；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是35，出现绿灯的概率是25，记开关第 n 次闭合后出现红灯的概率为 Pn.(1)求：P2；(2)求证：Pn12(n2)；(3)求limnnP.解析：(1)第二次闭合后出现红灯的概率 P2的大小决定于两个互斥事件：即第一次红灯后第二次又是红灯；第一次绿灯后第二次才是红灯.于是 P2=P113+

2、(1P1)35=715.(2)受(1)的启发，研究开关第 N 次闭合后出现红灯的概率 Pn，要考虑第 n1 次闭合后出现绿灯的情况，有 Pn=Pn113+(1Pn1)35=415Pn1+35，再利用待定系数法：令 Pn+x=415(Pn1+x)整理可得 x=919 Pn919为首项为(P1919)、公比为(415)的等比数列 Pn919=(P1919)(415)n1=138(415)n1，Pn=919+138(415)n1 当 n2时，Pn919+138=12(3)由(2)得limnnP=919.【例2】A、B 两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下:若掷出的点数之和为 3 的倍数时，则由原掷骰子

3、的人继续掷；若掷出的点数不是 3 的倍数时，由对方接着掷.第一次由 A开始掷.设第 n 次由 A掷的概率为Pn，(1)求 Pn；求前 4 次抛掷中甲恰好掷 3 次的概率.解析：第 n 次由 A掷有两种情况：第 n1 次由 A掷，第 n 次继续由 A掷，此时概率为1236Pn1；第 n1 次由 B 掷，第 n 次由 A掷，此时概率为(11236)(1Pn1).两种情形是互斥的 Pn=1236Pn1+(11236)(1Pn1)(n2)，即 Pn=13Pn1+23(n2)Pn12=13(Pn112)，(n2)，又 P1=1 Pn12是以12为首项，13为公比的等比数列.Pn12=12(13)n1，即

4、 Pn=12+12(13)n1.2881.二、an+1=p an+f(n)型【例3】(传球问题)A、B、C、D4 人互相传球，由 A开始发球，并作为第一次传球，经过 5 次传球后，球仍回到 A 手中，则不同的传球方式有多少种？若有 n 个人相互传球 k 次后又回到发球人 A 手中的不同传球方式有多少种？分析：这类问题人数、次数较少时常用树形图法求解，直观形象，但若人数、次数较多时树形图法则力不从心，而建立递推数列模型则可深入问题本质.4 人传球时，传球 k次共有 3k种传法.设第 k次将球传给 A 的方法数共有 ak(kN*)种传法，则不传给 A的有 3kak种，故 a1=0，且不传给 A的下

5、次均可传给 A，即 ak+1=3kak。两边同除以 3k+1得ak+13k+1=13ak3k+13，令 bk=ak3k，则 b1=0，bk+114=13(bk14)，则 bk14=14(13)k1 ak=3k4+34(1)k 当 k=5 时，a5=60.当人数为 n 时，分别用 n1，n 取代 3，4 时，可得 ak=(n1)kn+n1n(1)k.【例4】(环形区域染色问题)将一个圆环分成 n(nN*，n3)个区域，用 m(m3)种颜色给这 n 个区域染色，要求相邻区域不使用同一种颜色，但同一颜色可重复使用，则不同的染色方案有多少种？分析：设 an表示 n 个区域染色的方案数，则 1 区有 m

6、 种染法，2 区有 m1 种染法，3，n1，n 区各有 m1 种染色方法，依乘法原理共有 m(m1)n1种染法，但是，这些染中包含了 n区可能和 1 区染上相同的颜色.而 n 区与 1 区相同时，就是 n1 个区域涂上 m 种颜色合乎条件的方法.an=m(m1)n1an1，且 a3=m(m1)(m2)an(m1)n=an1(m1)n1 an(m1)n=a3(m1)3(1)n3 an=(m1)n+(m1)(1)n(n3)用这个结论解：2003 年高考江苏卷：某城市在中心广场建一个花圃，花圃分为6 个部分如图，现要栽种 4 种不同颜色的花且相邻部分不能同色，由不同的栽种方法有 种.只需将图变形为圆

7、环形，1 区有 4 种栽法.不同的栽法数为 N=4a5=120.三、an+1=an f(n)型【例5】(结草成环问题)现有 n(nN*)根草，共有 2n 个草头，现将 2n 个草头平均分成 n 组，每两个草1 2 3 n n-1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 3 4 1 2 5 6 2n-1 2n 绿灯闪动已知开关第一次闭合后出现红灯和绿灯的概率都是从开关第二次闭合起若前次出现红灯的概率是出现绿灯的概率是若前次出现绿灯则下次出现红灯的概率是出现绿灯的概率是记开关第次闭合后出现红灯的概率为求求求证解才是红灯于是受的启发研究开关第次闭合后出现红灯的概率要考虑第次闭合后出现绿灯的情

8、况有再利用待定系数法令整理可得的等比数列为首项为公比为例两人拿两颗骰子做抛掷游戏规则如下若掷出的点数之和为的倍数时则由原掷抛掷中甲恰掷次的概率解析第次由掷有两种情况第次由掷第次继续由掷此时概率为第次由掷第次由掷此时概率为两种情形是互斥的即又是以为首项为公比的等比数列即二型例传球问题人互相传球由开始发球并作为第一次传球经过次头打结，求打结后所有草能构成一个圆环的打结方法数.分析：将 2n 个草头平均分成 n 组，每两个草头打结，要使其恰好构成圆环，不同的连接方法总数 m2=an.将草头编号为 1，2，3，2n1，2n.草头 1 可以和新草头 3，4，5，2n1，2n 共 2n2 个新草头相连，如

9、右图所示.假设 1 和 3 相连，则与余下共 n1 条相连能成圆环的方法数为 an1.an=(2n2)an1，(n2，nN*)，a1=1，得anan1=2n2 an=anan1an1an2a2a1 a1=(2n2)(2n4)21=2n1(n1)!变式游戏：某人手中握有 2n(nN*)根草，只露出两端的各自 2n 个草头，现将两端的 2n 个草头各自随机平均分成 n 组，并将每组的两个草头连接起来，最后松手，求这时所有的草恰好构成一个圆环的概率.分析：两端的 2n 个草头随机两个相连不同的方法数为 N=(C22nC22n2C22 n!)2 能够构成圆环的连接方法分两步：第一步，先将一端的 2n

10、个草头平均分成 n 组，每两根连接起来，得到 n 组草，认为得到 n 根“新草”，连接方法数 m1=C22nC22n2C22 n!.第二步，将另一端的 2n 个草头平均分成 n 组连接起来，要使其恰好构成圆环，不同的连接方法总数 m2=2n1(n1)!.所求的概率 Pn=m1m2N=(n1)!n!22n1(2n)!.变式：(江苏)右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率

11、是(D)（A）445 （B）136（C）415 （D）815 四、an+1=p an+q an1型【例6】某人玩硬币走跳棋的游戏.已知硬币出现正反面的概率都是12，棋盘上标有第 0 站、第 1 站、第2 站、第 100 站.一枚棋子开始在第 0 站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋信号源 绿灯闪动已知开关第一次闭合后出现红灯和绿灯的概率都是从开关第二次闭合起若前次出现红灯的概率是出现绿灯的概率是若前次出现绿灯则下次出现红灯的概率是出现绿灯的概率是记开关第次闭合后出现红灯的概率为求求求证解才是红灯于是受的启发研究开关第次闭合后出现红灯的概率要考虑第次闭合后出现绿灯的情况有再利用

12、待定系数法令整理可得的等比数列为首项为公比为例两人拿两颗骰子做抛掷游戏规则如下若掷出的点数之和为的倍数时则由原掷抛掷中甲恰掷次的概率解析第次由掷有两种情况第次由掷第次继续由掷此时概率为第次由掷第次由掷此时概率为两种情形是互斥的即又是以为首项为公比的等比数列即二型例传球问题人互相传球由开始发球并作为第一次传球经过次子向前跳一站(从 k到 k+1)；若掷出反面，棋子向前跳两站(从 k到 k+2)，直到棋子跳到第 99 站(胜利大本营)或跳到第 100 站(失败集中营)时，该游戏结束.设棋子跳到第 n 站的概率为 Pn.(1)求 P0、P1、P2的值；(2)求证：PnPn1=12(Pn1Pn2)，其

13、中 nN，2 n99；(3)求玩该游戏获胜的概率及失败的概率.(1)解：棋子开始在第 0 站为必然事件，P0=1.第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第 1 站，其概率为12，P1=12.棋子跳到第 2 站应从如下两方面考虑：前两次掷硬币都出现正面，其概率为14；第一次掷硬币出现反面，其概率为12.P2=14+12=34.(2)证明：棋子跳到第 n(2 n99)站的情况是下列两种，而且也只有两种：棋子先到第 n2 站，又掷出反面，其概率为12Pn2；棋子先到第 n1 站，又掷出正面，其概率为12Pn1.Pn=12Pn2+12Pn1.PnPn1=12(Pn1Pn2).(3)解：由(2)知当 1 n99

14、 时，数列PnPn1是首项为 P1P0=12，公比为12的等比数列.P11=12，P2P1=(12)2，P3P2=(12)3，PnPn1=(12)n.以上各式相加，得 Pn1=(12)+(12)2+(12)n，Pn=1+(12)+(12)2+(12)n=231(12)n+1(n=0，1，2，99).获胜的概率为 P99=231(12)100，失败的概率 P100=12P98=12231(12)99=131+(12)99.【例7】从原点出发的某质点 M，按向量a=(0，1)移动的概率为23，按向量b=(0，2)移动的概率为13，设 M 可到达点(0，n)的概率为 Pn(1)求 P1和 P2的值；

15、(2)求证：Pn+2Pn+1=13(Pn+1Pn)；(3)求 Pn的表达式.绿灯闪动已知开关第一次闭合后出现红灯和绿灯的概率都是从开关第二次闭合起若前次出现红灯的概率是出现绿灯的概率是若前次出现绿灯则下次出现红灯的概率是出现绿灯的概率是记开关第次闭合后出现红灯的概率为求求求证解才是红灯于是受的启发研究开关第次闭合后出现红灯的概率要考虑第次闭合后出现绿灯的情况有再利用待定系数法令整理可得的等比数列为首项为公比为例两人拿两颗骰子做抛掷游戏规则如下若掷出的点数之和为的倍数时则由原掷抛掷中甲恰掷次的概率解析第次由掷有两种情况第次由掷第次继续由掷此时概率为第次由掷第次由掷此时概率为两种情形是互斥的即又是

16、以为首项为公比的等比数列即二型例传球问题人互相传球由开始发球并作为第一次传球经过次解析：(1)P1=23，P2=(23)2+13=79(2)证明：M 到达点(0，n+2)有两种情况：从点(0，n+1)按向量a=(0，1)移动，即(0，n+1)(0，n+2)从点(0，n)按向量b=(0，2)移动，即(0，n)(0，n+2).Pn+2=23Pn+1+13Pn Pn+2Pn+1=13(Pn+1Pn)(3)数列Pn+1Pn是以 P2P1为首项，13为公比的等比数列.Pn+1Pn=(P2P1)(13)n-1=19(13)n-1=(13)n+1，PnPn1=(13)n,又PnP1=(PnPn1)+(Pn1

17、Pn2)+(P2P1)=(13)n+(13)n-1+(13)2=(112)1(13)n-1 Pn=P1+(112)1(13)n-1=34+14(13)n.绿灯闪动已知开关第一次闭合后出现红灯和绿灯的概率都是从开关第二次闭合起若前次出现红灯的概率是出现绿灯的概率是若前次出现绿灯则下次出现红灯的概率是出现绿灯的概率是记开关第次闭合后出现红灯的概率为求求求证解才是红灯于是受的启发研究开关第次闭合后出现红灯的概率要考虑第次闭合后出现绿灯的情况有再利用待定系数法令整理可得的等比数列为首项为公比为例两人拿两颗骰子做抛掷游戏规则如下若掷出的点数之和为的倍数时则由原掷抛掷中甲恰掷次的概率解析第次由掷有两种情况第次由掷第次继续由掷此时概率为第次由掷第次由掷此时概率为两种情形是互斥的即又是以为首项为公比的等比数列即二型例传球问题人互相传球由开始发球并作为第一次传球经过次