三角函数应用题练习及答案小学教育小学考试_小学教育-小学教育.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 三角函数的应用题 第一阶梯 例 1如图，ADBC，ACBC，若 AD=3，DC=5，且B=30，求AB的长。解：DAC=90 由勾股定理，有 CD2=AD2+AC2 AD=3，DC=5 AC=4 B=30 AB=2AC AB=8 例 2 如图，ABC中，B=90，D是 BC上一点，且 AD=DC，若 tg DAC=41,求 tg BAD。探索：已知 tgDAC是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求BAD的正切值需要满足怎样的条件？点拨：由于已知中的 tg DAC不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地 D点作 AC的垂线。又要求BAD的正切值应已知 RtBAD

2、的三边长，或两条直角边 AB、BD的长，根据已知可知没有提 供边长的条件，所以要充分利用已知中的 tgDAC的条件。由于 AD=DC，即C=DAC，这时也可 把正切值直接移到 RtABC中。解答：过 D点作 DEAC 于 E，41DAC tg 且AEDEDAC tg 设 DE=k，则 AE=4k AD=DC,DAC=C，AE=EC AC=8k 41BCABtgC 设 AB=m，BC=4m 由勾股定理，有 AB2+BC2=AC2 km17178 kBC171732 由勾股定理，有 CD2=DE2+EC2 kCD17 学习必备 欢迎下载 kBD171715 由正切定理，有 .815BADtgABD

3、BBADtg 例 3 如图，四边形 ABCD 中，D=90，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求 sinB。探索：已知条件提供的图形是什么形？其中D=90，AD=3，DC=4，可提供什么知识？求 sinB 应放在什么图形中。点拨：因已知是四边形所以不能求解，由于有D=90，AD=3，DC=4，这样可求 AC=5，又因有 AB=13，BC=12，所以可证ABC是 Rt，因此可求 sinB。解：连结 AC D=90 由勾股定理，有 AC2=CD2+CD2 AD=3，CD=4，AC=5 AB=13，BC=12 132=122+52 ACB=90 由正弦定义，有 135sinsinBABAC

4、B 第二阶梯 例 1 如图，在河的对岸有水塔 AB，今在 C处测得塔顶 A的仰角为 30，前进 20 米后到 D处，又测得 A的 仰角为 45，求塔高 AB。探索：在河对岸的塔能否直接测得它的高度？为什么在 C、D两处测得仰角的含义是什么？怎样用 CD的长？点拨：要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如何利用两个仰角及 CD长，由于塔身与地面垂直，且 C、D、B三点共线这时可以构成一个直角三角形，且有ACB=30，ADB=45，这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。解：根据仰角的定义，有 ACB=30，ADB=45 又 ABCB 于 B。DAB=45 DB=AB

5、设 AB=x 由正切定义，有 知是否在直角三角形中如果不在怎么办要求的正切值需要满足怎样的条件点拨由于已知中的不在直角三角形中所以需要转化到直角三角形中即可地点作的垂线又要求的正切值应已知的三边长或两条直角边的长根据已知可知没有提供理有由勾股定理有学习必备欢迎下载由正切定理有例如图四边形中求探索已知条件提供的图形是什么形其中可提供什么知识求应放在什么图形中点拨因已知是四边形所以不能求解由于有这样可求又因有所以可证是因此可求解连结由为求塔高探索在河对岸的塔能否直接测得它的高度为什么在两处测得仰角的含义是什么怎样用的长点拨要直接隔岸测得塔高是不可能的也不可能直接过河去测量这时只能考虑如何利用两个仰

6、角及长由于塔身与地面垂直且三点共线这学习必备 欢迎下载 20)13(,20)13(.xCDxCDCBABACBtgDBABADBtg及 解得)13(10 x 即塔高)13(10AB 答：塔高 AB为)13(10米。第三阶梯 例 1 已知等腰三角形的顶点为 A，底边为 a，求它的周长及面积。探索：在现在的已知条件下能否求得周长与面积？如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为 a，能否确定腰长及各个内角呢？首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办？点拨：由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形，再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量

7、。设已知ABC中，AB=AC，BC=a（如图）解：过 A点作：ADBC 竽 D点，设BAD=AB=AC BD=CD=CADBADa,2 根据正弦定义，有 sin2.sin2sin2sinaACaaABABBDBAD同理即 AB+AC+BC=a+sina 由余切定义，有 DBADBADctg AD=ctga2 ADBCSABC21 知是否在直角三角形中如果不在怎么办要求的正切值需要满足怎样的条件点拨由于已知中的不在直角三角形中所以需要转化到直角三角形中即可地点作的垂线又要求的正切值应已知的三边长或两条直角边的长根据已知可知没有提供理有由勾股定理有学习必备欢迎下载由正切定理有例如图四边形中求探索已

8、知条件提供的图形是什么形其中可提供什么知识求应放在什么图形中点拨因已知是四边形所以不能求解由于有这样可求又因有所以可证是因此可求解连结由为求塔高探索在河对岸的塔能否直接测得它的高度为什么在两处测得仰角的含义是什么怎样用的长点拨要直接隔岸测得塔高是不可能的也不可能直接过河去测量这时只能考虑如何利用两个仰角及长由于塔身与地面垂直且三点共线这学习必备 欢迎下载 ctgaSABC42 注意：也可设BAC=，则BAD=2。例 2 有一块矩形纸片 ABCD，若把它对折，B点落在 AD上 F处，如果 DC=6cm，且DFC=2，ECB=，求折痕 CE长。探索：根据已知条件图形对折，B点落在 F点的含义是什么

9、？它会有怎样的结论？这时又可以形成什么 图形关系？另知 DC 的长能否求折痕呢？又根据条件我们还可以确定什么？这时又可形成怎样的问题？点拨：由于 F点的形成是因对折 B点而形成的，因此可有EBCFEC，同时又可有AEFCDF。根据已知条件DFC=2 及ECB=，这时就可以形成与角有关的图形。进而可求 CE的长。解：根据已知条件，有 EBCFEC EB=EF，BC=FC，ECB=ECF CFD=2，且ECB=ECF=由余弦定义，有 CFCDADC cos ADC=90 2 2sinCDCF 由余弦定义，有 CECFFCE cos cos2sin6CE 例 3 如图 6-5-5，某船向正东方向航行

10、，在 A处望见灯塔 C在东北方向，前进到 B处望见灯塔 C在北偏西 30，又航行了半小时，望见灯塔 C恰在西北方向，若船速为每小时 20 海里，求 A、D两点间的距离，（结果不取近似值）图 6-5-5 思路分析：知是否在直角三角形中如果不在怎么办要求的正切值需要满足怎样的条件点拨由于已知中的不在直角三角形中所以需要转化到直角三角形中即可地点作的垂线又要求的正切值应已知的三边长或两条直角边的长根据已知可知没有提供理有由勾股定理有学习必备欢迎下载由正切定理有例如图四边形中求探索已知条件提供的图形是什么形其中可提供什么知识求应放在什么图形中点拨因已知是四边形所以不能求解由于有这样可求又因有所以可证是

11、因此可求解连结由为求塔高探索在河对岸的塔能否直接测得它的高度为什么在两处测得仰角的含义是什么怎样用的长点拨要直接隔岸测得塔高是不可能的也不可能直接过河去测量这时只能考虑如何利用两个仰角及长由于塔身与地面垂直且三点共线这学习必备 欢迎下载 易知ACD是等腰直角三角形，要求 AD，不能利用 ACD直接求得，由于,102120BD图形中再没有其他的直角 三角形，必须构造直角三角形，作 CEAD 于 E，只要求出 CE，就可能以求出 AD，借助两个直角三角形（BCE和 DCE）中，BE、DE与 BD的关系以及 BE与 CE之间的关系就可求 CE。解 作 CEAD，垂足为 E，设 CE=x海里 CAD=

12、CDA=90-45=45，CE=AE=DE=x。在 RtBCE中，CBE=90-30=60，,3360cotxCEBE 由 DE-BE=BD 得，212033xx，解得3515 x。）xAD海里)(31030(2。答：A、D两点间的距离为)31030(海里。第四阶梯 例 1 有一段防洪大堤，其横断面为梯形 ABCD，ABDC，斜坡 AD的坡度 i1=1:1.2,斜坡 BC的坡度 i2=1:0.8，大坝顶宽 DC为 6 米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形 DCFE，EFDC，点E、F分别在 AD、BC的延长线上（如图 6-5-6），当新大坝顶宽 EF为 3.8 米时，大坝

13、加高了几米？图 6-5-6 思路分析：本题实质上是梯形 CDEF 的有关计算问题，注意到大堤加高但坡度不变，即 DE、CF的坡度公别为 1:1.2,1:0.8,又 DC=6 米，EF=3.8 米,要求大坝加高的高度,分别作 FHDC 于 G,FHDC于 H,利用 RtDEG,RtCFH和矩形 EFHG可以求出新 大坝的高度.解 作 EGDC,FHDC,垂足分别为 G,H,则四边形 EFHG 是矩形,GH=EF=3.8米.设大坝加高 x 米,则 EG=FH=x 米。知是否在直角三角形中如果不在怎么办要求的正切值需要满足怎样的条件点拨由于已知中的不在直角三角形中所以需要转化到直角三角形中即可地点作

14、的垂线又要求的正切值应已知的三边长或两条直角边的长根据已知可知没有提供理有由勾股定理有学习必备欢迎下载由正切定理有例如图四边形中求探索已知条件提供的图形是什么形其中可提供什么知识求应放在什么图形中点拨因已知是四边形所以不能求解由于有这样可求又因有所以可证是因此可求解连结由为求塔高探索在河对岸的塔能否直接测得它的高度为什么在两处测得仰角的含义是什么怎样用的长点拨要直接隔岸测得塔高是不可能的也不可能直接过河去测量这时只能考虑如何利用两个仰角及长由于塔身与地面垂直且三点共线这学习必备 欢迎下载 i1=1:1.2,i2=1:0.8,.8.01,2.11CHFHDGEG.8.0,2.1xCHxDG 由

15、DG+GH+CH=6，得 1.2x+3.8+0.8=6.解得 x=1.1 答：大坝加高了 1.1 米。例 2 如图 6-5-7，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形式气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市 A的正南方向 220 千米 B处有一台风中心，其中心最大风力为 12 级，每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以 15 千米/时的速度沿北偏东 30方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。（2）若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间

16、有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？图 6-5-7 思路分析：（1）作 ADBC 于 D，达到或超过四级风力所影响的范围是距台风中心不超过（12-4）20=160 千米的范围内，比较 AD与 160 的大小关系，就可以确定该城市是否受这次台风的影响。（2）当 A点距台风中心不超过 160 千米时，将受到台风的影响，如图 6-5-7，AE=AF=160 千米，当台风中心从 E处移 到 F 处时，该城市都会受到这次台风的影响，利用勾股定理计算出 EF的长度，就可以计算出这次台风影响该城 市的持续时间。（3）显然当台风中心位于 D处时，A市所受这次台风的风力最大。解（1）如图 6-5-

17、7，由点 A作 ADBC，垂足为 D。AB=220，B=30，)(11021千米 ABAD。由题意，当 A点距台风中心不超过 160 千米时，将会受到台风的影响，由于 AD=110160,所以 A市会受到这次台 风的影响.(2)在 BD及 BD的延长线上分别取 E,F 两点,使 AE=AF=160 千米.由于当 A点距台风中心不超过 160 千米时,将会受到台风的影响.所以当台风中心从 E点移到 F点时,该城市都会到这次台风的影响.在 RtADE中,由勾股定理,得5301101602222ADAEDE 15602 DEEF(千米).知是否在直角三角形中如果不在怎么办要求的正切值需要满足怎样的条

18、件点拨由于已知中的不在直角三角形中所以需要转化到直角三角形中即可地点作的垂线又要求的正切值应已知的三边长或两条直角边的长根据已知可知没有提供理有由勾股定理有学习必备欢迎下载由正切定理有例如图四边形中求探索已知条件提供的图形是什么形其中可提供什么知识求应放在什么图形中点拨因已知是四边形所以不能求解由于有这样可求又因有所以可证是因此可求解连结由为求塔高探索在河对岸的塔能否直接测得它的高度为什么在两处测得仰角的含义是什么怎样用的长点拨要直接隔岸测得塔高是不可能的也不可能直接过河去测量这时只能考虑如何利用两个仰角及长由于塔身与地面垂直且三点共线这学习必备 欢迎下载 该台风中心以 15 千米/时的速度移

19、动,这次台风影响该城市的持续时间154151560(小时).(3)当台风中心位于 D处时,A 市所受这次台风的风力最大,其最大风马牛不相及力为)(5.62011012级 四、【课后练习】A组 1如图：6-5-8，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基的下底宽 AB=_。2如图 6-5-9，在高 2 米，坡角为 30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 _ 米（精确到 0.1 米）图 6-5-8图 6-5-9 3如图 6-5-10，在高离铁塔 150 米的 A 处，用测角仪测得塔顶的仰角为 30，已知测角仪高 AD=1.52米，则塔高 BE=_（精确到 0.1 米）图 6-5-10图

20、6-5-11 4某防洪堤坝的横断面是梯形，已知背水坡的坡长为 60 米，坡角为 30，则坝高为_ 米。5升国旗时，某同学站地离旗杆底部 24 米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为 30，若双眼离地面 1.5 米，则旗杆高度为_ 米，（用含根号的式子表示）6在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为 45，沿水平方面再向塔底前进 a 米，又测得塔尖的仰角为 60，那么电视塔高为_。7若太阳光线与地面成 37角，一棵树的影长为 10m，则树高 h 的取值范围是（）A3h5 B、5h10 C.10h15 8河堤的横断面如图 6-5-11所示。堤高 BC是 5 米，迎水坡 AB的长是 1

21、3 米。那么斜坡 AB的坡宽 I 是（）A1：3 B、1：2 6 C.1:2.4 D.1:2 9.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成 80角。房屋朝南的窗子高 AB=1.8m,要在窗子外面上方安装一个水平挡光板 AC，使午间光线不能直接射入室内（如图：6-5-12），那么挡光板 AC的宽度至少应为（）知是否在直角三角形中如果不在怎么办要求的正切值需要满足怎样的条件点拨由于已知中的不在直角三角形中所以需要转化到直角三角形中即可地点作的垂线又要求的正切值应已知的三边长或两条直角边的长根据已知可知没有提供理有由勾股定理有学习必备欢迎下载由正切定理有例如图四边形中求探索已知条件提供的

22、图形是什么形其中可提供什么知识求应放在什么图形中点拨因已知是四边形所以不能求解由于有这样可求又因有所以可证是因此可求解连结由为求塔高探索在河对岸的塔能否直接测得它的高度为什么在两处测得仰角的含义是什么怎样用的长点拨要直接隔岸测得塔高是不可能的也不可能直接过河去测量这时只能考虑如何利用两个仰角及长由于塔身与地面垂直且三点共线这学习必备 欢迎下载 图 6-5-12 图 6-5-13 A1.8tan80m B.1.8cos80m C.80sin8.1m D.1.8cot80m 10.如图 6-5-13，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽 6 米，坝高 24 米，斜坡 AB的坡角为 45，斜坡 CD的坡度

23、I=1：2，则坝底 AD的长为（）A42 米 B、（30+243）米 C、78 米 D、（30+83）米 11、如图 6-5-14，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 a,则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）Asin1 B.cos1 C.sina D.1 图 6-5-14 12.如图 6-5-15，直升飞机在跨河大桥 AB的上方 P点处，此时飞机离地面的高度 PO=450米，且 A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为=30,=45，求大桥 AB的长（精确到 1 米，供选的数据：21.41,31.73）.13.某型号飞机的机翼形状如图 6-5-16所示

24、，其中 ABCD，根据图中的数据计算 AC、BD和 CD的长度。（结果保留根号）14如 6-5-17，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽度为 6 米，坝高 10 米，斜坡 AB的坡度是 1：2（AR：BR），现要加高 2 米，在坝顶宽度和斜坡坡度不变的情况下，加固一条长 50 米的大坝，需要多少土方？15 如图 6-5-18,已知 C城市在 B城市的正北方向，两城市相距 100 千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段 BC），经测量，森林保护区 A在 B城市的北偏东 40方向上，又在 C城市的南偏东 56的方向上，已知森林保护区 A的范围是以 A为圆心，半径为 50 千米的圆，问：计算

25、修筑的这条公路会不会穿越保护区？为什么？（已知 tan40=0.839,tan56=1.483）B组 1、1、知小山的高为 h,为了测得小山顶上铁塔 AB的高 x,在平地上选择一点 P，在 P点处测得 B点的仰角为，A点的仰角为。（见右表中测量目标图 6-5-19）知是否在直角三角形中如果不在怎么办要求的正切值需要满足怎样的条件点拨由于已知中的不在直角三角形中所以需要转化到直角三角形中即可地点作的垂线又要求的正切值应已知的三边长或两条直角边的长根据已知可知没有提供理有由勾股定理有学习必备欢迎下载由正切定理有例如图四边形中求探索已知条件提供的图形是什么形其中可提供什么知识求应放在什么图形中点拨因

26、已知是四边形所以不能求解由于有这样可求又因有所以可证是因此可求解连结由为求塔高探索在河对岸的塔能否直接测得它的高度为什么在两处测得仰角的含义是什么怎样用的长点拨要直接隔岸测得塔高是不可能的也不可能直接过河去测量这时只能考虑如何利用两个仰角及长由于塔身与地面垂直且三点共线这学习必备 欢迎下载（1）试用、和 h 的关系式表示铁塔高 x;（2）在右表中根据第一次和第二次的“测得数据”，填写“平均值”一列中、的数值；（3）根据表中数据求出铁塔 x 的值。（精确到 0.01m）2.如图 6-5-20，某校的教室 A位于工地 O的正西方向，且 OA=200米，一台拖拉机从 O点出发，以每秒 5 米的速度沿

27、北偏西 53方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为 130 米，试问教室 A是否在拖拉机的噪声污染范围内？若 不 在，请 说 明 理 由；若 在，求 出 教 室A 受 污 染 的 时 间 有 几 秒？（已 知sin530.80,sin370.60,tan370.75）图 6-5-20 C组 1、已知ABC中，BAC=90，ADBC 于 D，CD=9，AB=20，求 sinB。2、已知水库大坝的横截面是梯形 ABCD，若 BCAD，坝顶 BC宽 5 米，坝高 20 米，斜坡 AB的坡度之 i=12.5，斜坡 CD的坡度 i=12，求坝底 AD及 AB、CD长。3、在 RtABC中，ACB=Rt,CD

28、AB 于点 D，AD 4,54sin ACD则 CD，BC。A组答案 1、34m 2、5.5 3、88.1 米 4.30 5.(83+1.5)6.a233米 7B 8、C 9、D 10、C 11、A 12、329 米 13、AC=36米，BD=6米，CD=（33311）米 14、5000 米3 15、过点 A 作 ADBC，垂足为D，在 RtADC中，CD=56tanAD；在 RtABD中，BD=40tanAD，依题意有56tanAD+40tanAD=100。所以 AD=40tan56tan40tan56tan10053.58，因为 AD50，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越森林保护区。B组

29、答案：1（1）x=1tantanh;(2)=2918，=3559；（3）x30.88m 2作 ABOM 于 B，易知AOB=90-53=37，所以 AB=OAsinAOB=OAsin372000.60=120(米)。因为 120 130，所以教室 A在噪声污染范围内，依题意，在 OM上取两点 C、D，连结 AC、AD，使 AC=AD=130米。在 Rt ABC 中，由勾股定理可得 BC=50米，所以 CD=2BC=100 米，5100=20（秒），教室 A受噪声污染时间为 20 秒。C组答案：知是否在直角三角形中如果不在怎么办要求的正切值需要满足怎样的条件点拨由于已知中的不在直角三角形中所以需

30、要转化到直角三角形中即可地点作的垂线又要求的正切值应已知的三边长或两条直角边的长根据已知可知没有提供理有由勾股定理有学习必备欢迎下载由正切定理有例如图四边形中求探索已知条件提供的图形是什么形其中可提供什么知识求应放在什么图形中点拨因已知是四边形所以不能求解由于有这样可求又因有所以可证是因此可求解连结由为求塔高探索在河对岸的塔能否直接测得它的高度为什么在两处测得仰角的含义是什么怎样用的长点拨要直接隔岸测得塔高是不可能的也不可能直接过河去测量这时只能考虑如何利用两个仰角及长由于塔身与地面垂直且三点共线这学习必备 欢迎下载 1、易证ABDABC，即 AB2=BCBD，设 BD=x，则20920 xx

31、 x=16，即 BD=25，AC=15，53sinB 2、作 BEAD 于 E，CFAD 于 F，AD=95米，AB53.9 米，CD44.7 米。3、3，知是否在直角三角形中如果不在怎么办要求的正切值需要满足怎样的条件点拨由于已知中的不在直角三角形中所以需要转化到直角三角形中即可地点作的垂线又要求的正切值应已知的三边长或两条直角边的长根据已知可知没有提供理有由勾股定理有学习必备欢迎下载由正切定理有例如图四边形中求探索已知条件提供的图形是什么形其中可提供什么知识求应放在什么图形中点拨因已知是四边形所以不能求解由于有这样可求又因有所以可证是因此可求解连结由为求塔高探索在河对岸的塔能否直接测得它的高度为什么在两处测得仰角的含义是什么怎样用的长点拨要直接隔岸测得塔高是不可能的也不可能直接过河去测量这时只能考虑如何利用两个仰角及长由于塔身与地面垂直且三点共线这