三角函数图像及其性质中学教育中学学案_中学教育-中学课件.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 【本讲教育信息】一.教学内容：三角函数的图象与性质 二.教学目的：了解三角函数的周期性，知道三角函数 yAsin（x ），yAcos（x ）的周期为。能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在（，）上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等）。了解三角函数 yAsin（x+）的实际意义及其参数 A，对函数图象变化的影响；会画出 yAsin（x+）的简图，能由正弦曲线 ysinx 通过平移、伸缩变换得到 yAsin（x+）的图象。会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现

2、象的重要函数模型。三.教学重点：三角函数的性质与运用 教学难点：三角函数的性质与运用。四.知识归纳 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，学习必备 欢迎下载 递减区间是，的递增区间是，3.函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。4.由 ysinx 的图象变换出 ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母

3、 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将 ysinx 的图象向左(0)或向右(0平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，便得 ysin(x)的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将ysinx 的图象上各点的横坐标变为原来的倍(0),再沿x 轴向左(0)或向右(0平移个单位，便得 ysin(x)的图象。5.由 yAsin(x)的图象求其函数式：给出图象确定解析式 y=Asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.6.对称轴与对称中

4、心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。7.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意 A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8.求三角函数周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法。9.五点法作 y=Asin（x+）的简图：五点取法是设 x=x+，由 x 取0、2来求相应的 x 值及对应的 y 值，再描点作图。数的周期为能画出的图象并能根据图象理解正弦函数余弦函数在正切函数在上的性质如单调性最大值和最小值图象与轴的交点等

5、了解三角函数的实际意义及其参数对函数图象变化的影响会画出的简图能由正弦曲线通过平移伸缩变换三角函数的性质与运用教学难点三角函数的性质与运用四知识归纳正弦函数余弦函数正切函数的图像三角函数的单调区间的递增区间是递减区间是的递增区间是学习必备欢迎下载递减区间是的递增区间是函数最大值是最小值是周期图象一般有两个途径只有区别开这两个途径才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形请切记每一个变换总是对字母而言即图象变换要看变量起多大变化而不是角变化学习必备 欢迎下载【典型例题】例1.把函数 y=cos（x+）的图象向左平移 个单位，所得的函数为偶函数，

6、则的最小值是 A.B.C.D.解：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解.向左平移 个单位后的解析式为y=cos（x+），则 cos（x+）=cos（x+），cosxcos（+）+sinxsin（+）=cosxcos（+）sinxsin（+）.sinxsin（+）=0，xR.+=k.=k 0.k.k=2.=.答案：B 例2.试述如何由 y=sin（2x+）的图象得到 y=sinx 的图象.解：y=sin（2x+）另法答案：（1）先将 y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得 y=sin2x 的图象；（2）再将 y=sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），

7、得 y=sinx 的图象；（3）再将 y=sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到 y=sinx 的图象.例3.求函数 y=sin4x+2sinxcosx cos4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在0，上的单调递增区间.解：y=sin4x+2sinxcosx cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2xcos2x）+sin2x=sin2xcos2x 数的周期为能画出的图象并能根据图象理解正弦函数余弦函数在正切函数在上的性质如单调性最大值和最小值图象与轴的交点等了解三角函数的实际意义及其参数对函数图象变化的影响会画出的简图能由正弦曲线通过平移伸缩变换三角函

8、数的性质与运用教学难点三角函数的性质与运用四知识归纳正弦函数余弦函数正切函数的图像三角函数的单调区间的递增区间是递减区间是的递增区间是学习必备欢迎下载递减区间是的递增区间是函数最大值是最小值是周期图象一般有两个途径只有区别开这两个途径才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形请切记每一个变换总是对字母而言即图象变换要看变量起多大变化而不是角变化学习必备 欢迎下载=2sin（2x）.故该函数的最小正周期是 ；最小值是2；单调递增区间是0，.点评：把三角函数式化简为 y=Asin（x+）+k（0）是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法.例4.已

9、知电流 I 与时间 t 的关系式为。（1）下图是（0，）在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式；（2）如果 t 在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么 的最小正整数值是多少？解：本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力（1）由图可知 A300 设 t1，t2，则周期 T2（t2t1）2（）150 又当 t时，I0，即 sin（150）0，而，故所求的解析式为 （2）依题意，周期 T，即，（0）300942，又 N*，故最小正整数 943 点评：本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言。其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。数的周期为能

10、画出的图象并能根据图象理解正弦函数余弦函数在正切函数在上的性质如单调性最大值和最小值图象与轴的交点等了解三角函数的实际意义及其参数对函数图象变化的影响会画出的简图能由正弦曲线通过平移伸缩变换三角函数的性质与运用教学难点三角函数的性质与运用四知识归纳正弦函数余弦函数正切函数的图像三角函数的单调区间的递增区间是递减区间是的递增区间是学习必备欢迎下载递减区间是的递增区间是函数最大值是最小值是周期图象一般有两个途径只有区别开这两个途径才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形请切记每一个变换总是对字母而言即图象变换要看变量起多大变化而不是角变化学习必

11、备 欢迎下载 例5.（1）y=cosx+cos（x+）的最大值是_；（2）y=2sin（3x）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_.解：（1）y=cosx+cosxsinx=cosxsinx=（cosxsinx）=sin（x）.所以 ymax=.（2）T=，相邻对称轴间的距离为.答案：例6.（1）已知 f（x）的定义域为0，1，求 f（cosx）的定义域；（2）求函数 y=lgsin（cosx）的定义域.分析：求函数的定义域：（1）要使0cos x1，（2）要使 sin（cosx）0，这里的 cosx 以它的值充当角.解：（1）0cos x12k x2 k+，且 x2 k（kZ）.所求函数的定

12、义域为xx2k，2k+且 x2 k，kZ.（2）由 sin（cosx）02k cosx2k+（kZ）.又1cos x1，0cosx1.故所求定义域为xx（2k，2k+），kZ.点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.例7.求函数 y=sin6x+cos6x 的最小正周期，并求 x 为何值时，y 有最大值.分析：将原函数化成 y=Asin（x+）+B 的形式，即可求解.解：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4xsin2xcos2x+cos4x）=13sin2xcos2x=1sin22x=cos4x+.T=.当 cos4x=1

13、，即 x=（kZ）时，ymax=1.例8.判断下面函数的奇偶性：f（x）=lg（sinx+）.数的周期为能画出的图象并能根据图象理解正弦函数余弦函数在正切函数在上的性质如单调性最大值和最小值图象与轴的交点等了解三角函数的实际意义及其参数对函数图象变化的影响会画出的简图能由正弦曲线通过平移伸缩变换三角函数的性质与运用教学难点三角函数的性质与运用四知识归纳正弦函数余弦函数正切函数的图像三角函数的单调区间的递增区间是递减区间是的递增区间是学习必备欢迎下载递减区间是的递增区间是函数最大值是最小值是周期图象一般有两个途径只有区别开这两个途径才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时提倡先平移后伸缩但先伸

14、缩后平移也经常出现无论哪种变形请切记每一个变换总是对字母而言即图象变换要看变量起多大变化而不是角变化学习必备 欢迎下载 分析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看 f（x）与 f（x）的关系.解：定义域为 R，又 f（x）+f（x）=lg1=0，即 f（x）=f（x），f（x）为奇函数.评述：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件.例9.求下列函数的单调区间：（1）y=sin（）；（2）y=sin（x+）.分析：（1）要将原函数化为 y=sin（x）再求之.（2）可画出 y=|sin（x+）|的图象.解：（1）y=sin（）=sin（）.故由2k 2 k+3k

15、x3 k+（kZ），为单调减区间；由2k+2 k+3k+x3 k+（kZ），为单调增区间.递减区间为3k，3k+，递增区间为3k+，3k+（kZ）.（2）y=|sin（x+）|的图象的增区间为k+，k+，减区间为k，k+.例10.已知函数 f（x）=，求 f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.剖析：此题便于入手，求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决，求值域要对函数化简整理.解：由 cos2x0 得2x k+，解得 x+（kZ）.数的周期为能画出的图象并能根据图象理解正弦函数余弦函数在正切函数在上的性质如单调性最大值和最小值图象与轴的交点等了解三角函数的实际意义及其参数对函数图象变化的影响

16、会画出的简图能由正弦曲线通过平移伸缩变换三角函数的性质与运用教学难点三角函数的性质与运用四知识归纳正弦函数余弦函数正切函数的图像三角函数的单调区间的递增区间是递减区间是的递增区间是学习必备欢迎下载递减区间是的递增区间是函数最大值是最小值是周期图象一般有两个途径只有区别开这两个途径才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形请切记每一个变换总是对字母而言即图象变换要看变量起多大变化而不是角变化学习必备 欢迎下载 所以 f（x）的定义域为x|xR 且 x+，kZ.因为 f（x）的定义域关于原点对称，且 f（x）=f（x），所以 f（x）是偶函数.又

17、当 x+（kZ）时，f（x）=3cos2x1，所以 f（x）的值域为y|1 y或y2.例11.已知为的最小正周期，且。求的值。解：因为为的最小正周期，故。因，又。故。由于，所以 1.数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的.2.作函数的图象时，首先要确定函数的定义域.3.对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象.4.求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时 x 的取值范围不能发生变化.5.求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角数的

18、周期为能画出的图象并能根据图象理解正弦函数余弦函数在正切函数在上的性质如单调性最大值和最小值图象与轴的交点等了解三角函数的实际意义及其参数对函数图象变化的影响会画出的简图能由正弦曲线通过平移伸缩变换三角函数的性质与运用教学难点三角函数的性质与运用四知识归纳正弦函数余弦函数正切函数的图像三角函数的单调区间的递增区间是递减区间是的递增区间是学习必备欢迎下载递减区间是的递增区间是函数最大值是最小值是周期图象一般有两个途径只有区别开这两个途径才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形请切记每一个变换总是对字母而言即图象变换要看变量起多大变化而不是角变

19、化学习必备 欢迎下载 函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误.6.函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小.7.判断 y=Asin（x+）（0）的单调区间，只需求 y=Asin（x+）的相反区间即可，一般常用数形结合.而求 y=Asin（x+）（0的单调区间时，则需要先将 x 的系数变为正的，再设法求之.【模拟试题】1.在（0，2）内，使 sinxcosx 成立的 x 的取值范围是 A.（，）（，）B.（，）C.（，）D.（，）（，）2.已知函数 y=tan（2x+）的图象过点（，0），则

20、可以是 A.B.C.D.3.函数 y=sin（2x）+sin2x 的最小正周期是 A.2 B.C.D.4 4.若 f（x）=sinx 是周期为 的奇函数，则 f（x）可以是 A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x 5.函数 y=2sin（2x）（x0，）为增函数的区间是 A.0，B.，C.，D.，6.把 y=sinx 的图象向左平移个单位，得到函数_的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数_ 的图象.7.函数 y=lg（cosxsinx）的定义域是_.8.f（x）=2cos2x+sin2x+a（a 为实常数）在区间0，上的最小值为4

21、，那么 a 的值等于 数的周期为能画出的图象并能根据图象理解正弦函数余弦函数在正切函数在上的性质如单调性最大值和最小值图象与轴的交点等了解三角函数的实际意义及其参数对函数图象变化的影响会画出的简图能由正弦曲线通过平移伸缩变换三角函数的性质与运用教学难点三角函数的性质与运用四知识归纳正弦函数余弦函数正切函数的图像三角函数的单调区间的递增区间是递减区间是的递增区间是学习必备欢迎下载递减区间是的递增区间是函数最大值是最小值是周期图象一般有两个途径只有区别开这两个途径才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形请切记每一个变换总是对字母而言即图象变换要

22、看变量起多大变化而不是角变化学习必备 欢迎下载 A.4 B.6 C.4 D.3 9.已知 x,，函数 y=cos2x-sinx+b+1的最大值为,试求其最小值.10.关于函数 f（x）=sin2x（）|x|+，有下面四个结论，其中正确结论的个数为f（x）是奇函数 当 x2003时，f（x）恒成立 f（x）的最大值是 f（x）的最小值是 A.1 B.2 C.3 D.4 11.定义在 R 上的函数 f（x）既是偶函数又是周期函数.若 f（x）的最小正周期是 ，且当 x0，时，f（x）=sinx，则 f（）的值为 A.B.C.D.12.函数 y=sin4x+cos2x 的最小正周期为 A.B.C.D

23、.2 13.函数 y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是增函数 A.（，）B.（，2）C.（，）D.（2，3）14.为了使 y=sinx（0）在区间0，1上至少出现50次最大值，则 的最小值是 A.98 B.C.D.100 15.已知 P（1，cosx），Q（cosx，1），x，.（1）求向量和的夹角 的余弦用 x 表示的函数 f（x）；（2）求 的最值 数的周期为能画出的图象并能根据图象理解正弦函数余弦函数在正切函数在上的性质如单调性最大值和最小值图象与轴的交点等了解三角函数的实际意义及其参数对函数图象变化的影响会画出的简图能由正弦曲线通过平移伸缩变换三角函数的性质与运用教学难点三角函数的性质与运用四知识归纳正弦函数余弦函数正切函数的图像三角函数的单调区间的递增区间是递减区间是的递增区间是学习必备欢迎下载递减区间是的递增区间是函数最大值是最小值是周期图象一般有两个途径只有区别开这两个途径才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形请切记每一个变换总是对字母而言即图象变换要看变量起多大变化而不是角变化