高三数学专题复习资料二次函数的最值问题中学教育中考_中学教育-中学课件.pdf

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1、高三数学专题复习：二次函数的最值问题 一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f xaxbxc a()()20，求f x()在xmn，上的最大值与最小值。分析：将f x()配方，得对称轴方程xba2 当a 0时，抛物线开口向上 若bamn2，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；若bamn2，当a 0时，抛物线开口向上，此时函数在mn，上具有单调性，故在离对称轴xba2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。当a 0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结

2、如下：当a 0时 )(212)()(212)()(21max如图如图，nmabnfnmabmfxf)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxf 当a 0时 )(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxff xf mbam nf nbam n()()()()()()()min，如图如图212212910 二、例题分析归类：（一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；

3、（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1.轴定区间定 例 1.（20XX 年上海）已知函数2()2tan1,1,3,f xxxx，当6 时，求函数 f(x)的最大值与最小值。2.轴定区间动 例 2.（20XX 年全国）设 a 为实数，函数2()|1,f xxxaaR，求 f(x)的最小值。的相对位置关系的讨论一般分为对称轴在区间的左边中间右边三种情况设求在上的最大值与最小值分析将配方得对称轴方程当时抛物线开口向上若若必在顶点取得最小值离对称轴较远端点处取得最大值当时抛物线开口向上此时函数区间最值结合函数图象总结如下当时当时如图如图如图如图如图如图如图如图如图如图二例题分析

4、归类一正向型是指已知二次函数和定义域区间求其最值对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键此类小值当时求函数轴定区间动例年全国设为实数函数求的最小值轴动区间定评注已知按对称轴与定义域区间的位置关系由数形结合可得上的最大值或最小值在例求函数在上的最大值轴变区间变例已知求的最小值二逆向型是指已知二次3.轴动区间定 评注：已知2()(0)f xaxbxc a，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得()f x在,m n上的最大值或最小值。例 3求函数)(axxy在 1,1x上的最大值。的相对位置关系的讨论一般分为对称轴在区间的左边中间右边三种情况设求在上的最大值与最小值分

5、析将配方得对称轴方程当时抛物线开口向上若若必在顶点取得最小值离对称轴较远端点处取得最大值当时抛物线开口向上此时函数区间最值结合函数图象总结如下当时当时如图如图如图如图如图如图如图如图如图如图二例题分析归类一正向型是指已知二次函数和定义域区间求其最值对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键此类小值当时求函数轴定区间动例年全国设为实数函数求的最小值轴动区间定评注已知按对称轴与定义域区间的位置关系由数形结合可得上的最大值或最小值在例求函数在上的最大值轴变区间变例已知求的最小值二逆向型是指已知二次4.轴变区间变 例 4.已知24()(0),ya xa a，求22(3)uxy的最

6、小值。（二）、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。例 5.已知函数2()21f xaxax在区间 3,2上的最大值为 4，求实数 a 的值。的相对位置关系的讨论一般分为对称轴在区间的左边中间右边三种情况设求在上的最大值与最小值分析将配方得对称轴方程当时抛物线开口向上若若必在顶点取得最小值离对称轴较远端点处取得最大值当时抛物线开口向上此时函数区间最值结合函数图象总结如下当时当时如图如图如图如图如图如图如图如图如图如图二例题分析归类一正向型是指已知二次函数和定义域区间求其最值对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键此类小值当时求函数轴定区间动例

7、年全国设为实数函数求的最小值轴动区间定评注已知按对称轴与定义域区间的位置关系由数形结合可得上的最大值或最小值在例求函数在上的最大值轴变区间变例已知求的最小值二逆向型是指已知二次例 6.已知函数2()2xf xx 在区间,m n上的值域是3,3 mn，求 m，n 的值。练习：1、已知二次函数)(xf满足条件1)0(f及xxfxf2)()1(（1）求)(xf；（2）求)(xf在区间 1,1上的最大值和最小值 2、已知二次函数2()(21)1f xaxax在区间3,22上的最大值为 3，求实数 a 的值。的相对位置关系的讨论一般分为对称轴在区间的左边中间右边三种情况设求在上的最大值与最小值分析将配方

8、得对称轴方程当时抛物线开口向上若若必在顶点取得最小值离对称轴较远端点处取得最大值当时抛物线开口向上此时函数区间最值结合函数图象总结如下当时当时如图如图如图如图如图如图如图如图如图如图二例题分析归类一正向型是指已知二次函数和定义域区间求其最值对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键此类小值当时求函数轴定区间动例年全国设为实数函数求的最小值轴动区间定评注已知按对称轴与定义域区间的位置关系由数形结合可得上的最大值或最小值在例求函数在上的最大值轴变区间变例已知求的最小值二逆向型是指已知二次3、已知函数21sinsin42ayxax 的最大值为2，求a的值 的相对位置关系的讨论一

9、般分为对称轴在区间的左边中间右边三种情况设求在上的最大值与最小值分析将配方得对称轴方程当时抛物线开口向上若若必在顶点取得最小值离对称轴较远端点处取得最大值当时抛物线开口向上此时函数区间最值结合函数图象总结如下当时当时如图如图如图如图如图如图如图如图如图如图二例题分析归类一正向型是指已知二次函数和定义域区间求其最值对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键此类小值当时求函数轴定区间动例年全国设为实数函数求的最小值轴动区间定评注已知按对称轴与定义域区间的位置关系由数形结合可得上的最大值或最小值在例求函数在上的最大值轴变区间变例已知求的最小值二逆向型是指已知二次高三数学专题复习

10、：二次函数的最值问题参考答案 例题答案：例 1.解析：6 时，234()()33f xx 所以33x 时，min4();13f xx 时，max2 3()3f x.例 2.（1）当xa时，213()()24f xxa 若12a ，则min13()()24f xfa;若12a ，则2min()()1f xf aa（2）当xa时，213()()24f xxa 若12a，则2min()()1f xf aa;；若12a，则min13()()24f xfa 综上所述，当12a 时，min3()4f xa；当1122a 时，2min()1f xa；当12a 时，min3()4f xa。例 3 解析：函数4

11、)2(22aaxy图象的对称轴方程为2ax，应分121a，12a，12a即22a，2a和2a这三种情形讨论，下列三图分别为（1）2a；由图可知max()(1)f xf（2）a 22；由图可知max()()2af xf（3）2a时；由图可知max()(1)f xf 的相对位置关系的讨论一般分为对称轴在区间的左边中间右边三种情况设求在上的最大值与最小值分析将配方得对称轴方程当时抛物线开口向上若若必在顶点取得最小值离对称轴较远端点处取得最大值当时抛物线开口向上此时函数区间最值结合函数图象总结如下当时当时如图如图如图如图如图如图如图如图如图如图二例题分析归类一正向型是指已知二次函数和定义域区间求其最值

12、对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键此类小值当时求函数轴定区间动例年全国设为实数函数求的最小值轴动区间定评注已知按对称轴与定义域区间的位置关系由数形结合可得上的最大值或最小值在例求函数在上的最大值轴变区间变例已知求的最小值二逆向型是指已知二次 2,)1(22,)2(2,)1(afaafafy最大；即2,122,42,)1(2aaaaaay最大 例 4.解析：将24()ya xa代入 u 中，得 ，即时，即时，所以 例 5.解析：2()(1)1,3,2f xa xa x （1）若0,()1,af x，不合题意。（2）若0,a 则max()(2)81f xfa 由814

13、a ，得38a （3）若0a 时，则max()(1)1f xfa 的相对位置关系的讨论一般分为对称轴在区间的左边中间右边三种情况设求在上的最大值与最小值分析将配方得对称轴方程当时抛物线开口向上若若必在顶点取得最小值离对称轴较远端点处取得最大值当时抛物线开口向上此时函数区间最值结合函数图象总结如下当时当时如图如图如图如图如图如图如图如图如图如图二例题分析归类一正向型是指已知二次函数和定义域区间求其最值对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键此类小值当时求函数轴定区间动例年全国设为实数函数求的最小值轴动区间定评注已知按对称轴与定义域区间的位置关系由数形结合可得上的最大值或最

14、小值在例求函数在上的最大值轴变区间变例已知求的最小值二逆向型是指已知二次由14a，得3a 综上知38a 或3a 例 6.解析 1：讨论对称轴中 1 与,2mnmn的位置关系。若，则maxmin()()3()()3f xf nnf xf mm 解得 若12mnn，则maxmin()(1)3()()3f xfnf xf mm，无解 若12mnm，则maxmin()(1)3()()3f xfnf xf nm，无解 若，则maxmin()()3()()3f xf mnf xf nm，无解 综上，4,0mn 解析 2：由211()(1)22f xx，知113,26nn，则,(,1m n ，f(x)在,m

15、 n上递增。所以maxmin()()3()()3f xf nnf xf mm 解得4,0mn 评注：解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 m，n 的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。练习答案：1、解：（1）设cbxaxxf2)(，由1)0(f，可知1c baaxcbxaxcxbxaxfxf2)()1()1()()1(22 的相对位置关系的讨论一般分为对称轴在区间的左边中间右边三种情况设求在上的最大值与最小值分析将配方得对称轴方程当时抛物线开口向上若若必在顶点取得最小值离对称轴较远端点处取得最大值当时抛物线开口向上此时函数区间最值结合函数图象总结如下当时

16、当时如图如图如图如图如图如图如图如图如图如图二例题分析归类一正向型是指已知二次函数和定义域区间求其最值对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键此类小值当时求函数轴定区间动例年全国设为实数函数求的最小值轴动区间定评注已知按对称轴与定义域区间的位置关系由数形结合可得上的最大值或最小值在例求函数在上的最大值轴变区间变例已知求的最小值二逆向型是指已知二次故由xxfxf2)()2(得22 a，0 ba 因而1a，1b 所以1)(2xxxf（2）43)21(1)(22xxxxf 1,121，所以当21x时，)(xf的最小值为43 当1x时，)(xf的最大值为3)1(f 2、分析：这

17、是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分0a 与0a 两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到()f x的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。解：（1）令21()32afa，得12a 此时抛物线开口向下，对称轴为，且32,22 故12a 不合题意；（2）令(2)3f，得12a，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故12a 符合题意；（3）若2()33f，得23a ，经检验，符合题意。综上，12a 或23a 评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是

18、解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。3、解：分析：令sintx，问题就转二次函数的区间最值问题 令sintx，1,1t，221()(2)24aytaa ，对称轴为2at，（1）当112a，即22a 时，2max1(2)24yaa ，得2a 或3a（舍去）的相对位置关系的讨论一般分为对称轴在区间的左边中间右边三种情况设求在上的最大值与最小值分析将配方得对称轴方程当时抛物线开口向上若若必在顶点取得最小值离对称轴较远端点处取得最大值当时抛物线开口向上此时函数区间最值结合函数图象总结如下当时当时如图如图如图如图如图如图如图如图如图如图二例题分析归类一正向型是指已知二次函数和定义域区间求其最

19、值对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键此类小值当时求函数轴定区间动例年全国设为实数函数求的最小值轴动区间定评注已知按对称轴与定义域区间的位置关系由数形结合可得上的最大值或最小值在例求函数在上的最大值轴变区间变例已知求的最小值二逆向型是指已知二次（2）当12a，即2a 时，函数221()(2)24aytaa 在 1,1单调递增，由max111242yaa ，得103a （3）当12a，即2a 时，函数221()(2)24aytaa 在 1,1单调递减，由max111242yaa ，得2a （舍去）综上可得：a的值为2a 或103a 的相对位置关系的讨论一般分为对称轴在区间的左边中间右边三种情况设求在上的最大值与最小值分析将配方得对称轴方程当时抛物线开口向上若若必在顶点取得最小值离对称轴较远端点处取得最大值当时抛物线开口向上此时函数区间最值结合函数图象总结如下当时当时如图如图如图如图如图如图如图如图如图如图二例题分析归类一正向型是指已知二次函数和定义域区间求其最值对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键此类小值当时求函数轴定区间动例年全国设为实数函数求的最小值轴动区间定评注已知按对称轴与定义域区间的位置关系由数形结合可得上的最大值或最小值在例求函数在上的最大值轴变区间变例已知求的最小值二逆向型是指已知二次