高中数学专题训练五——三个二次问题中学教育中考_中学教育-教学研究.pdf

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1、高中数学专题训练三个二次问题（二次函数、不等式、方程）1.解关于x的不等式：(1)x2(a1)xa0，(2)0222 mxx 2 设集合 A=x|x23k22k(2x1)，B=x|x2(2x1)kk20，且 AB，试求 k的取值范围 3不等式(m22m3)x2(m3)x10 的解集为 R，求实数 m 的取值范围 4已知二次函数 yx2pxq，当 y0 时，有21x31，解关于 x 的不等式 qx2px10 5若不等式012pqxxp的解集为42|xx，求实数 p 与 q的值 6.设f xaxbxc a20，若 f 01，f 11，f 11,试证明：对于任意 11x，有f x 54.7.（经典题

2、型，非常值得训练）设二次函数 02acbxaxxf，方程 f xx 0的两个根xx12,满足axx1021.当 1,0 xx时，证明 1xxfx.8.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围.实数的取值范围已知二次函数当时有解关于的不等式若不等式的解集为求实数与的值设若试证明对于任意有经典题型非常值得训练设二次函数方程的两个根满足当时证明已知关于的二次方程若方程有两根其中一根在区间内另一根在两点求线段在轴上的射影的长的取值范围已知实数满足关系

3、式且令求的表达式若时有最小值求和的值如果二次函数的图象与轴的交点至少有一个在原点的右侧试求的取值范围二次函数中实数满足其中求证方程在内恒有解一个小服装当月产量为多少时可获得最大利润最大利润是多少元已知是实数函数当时证明证明当时设二次函数方程的两个根满足且函数的图像关于直线对称证明已知二次函数设方程的两个实数根为和如果设函数的对称轴为如果求的取值范围求9.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c和一次函数 g(x)=bx，其中 a、b、c满足 abc,a+b+c=0,(a,b,cR).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点 A、B；(2)求线段 AB在 x轴上的射影 A1B1的长的取值范围.10

4、.已知实数 t 满足关系式33loglogayataa(a0 且 a1)(1)令 t=ax,求 y=f(x)的表达式；(2)若 x(0,2时，y有最小值 8，求 a 和 x 的值.11.如果二次函数 y=mx2+(m3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求 m的取值范围.12.二次函数 f(x)=px2+qx+r 中实数 p、q、r 满足mrmqmp12=0,其中 m0,求证：(1)pf(1mm)0 的解集是x|ax(0a),求不等式cx2+bx+a0 的解集.实数的取值范围已知二次函数当时有解关于的不等式若不等式的解集为求实数与的值设若试证明对于任意有经典题型非常值得训

5、练设二次函数方程的两个根满足当时证明已知关于的二次方程若方程有两根其中一根在区间内另一根在两点求线段在轴上的射影的长的取值范围已知实数满足关系式且令求的表达式若时有最小值求和的值如果二次函数的图象与轴的交点至少有一个在原点的右侧试求的取值范围二次函数中实数满足其中求证方程在内恒有解一个小服装当月产量为多少时可获得最大利润最大利润是多少元已知是实数函数当时证明证明当时设二次函数方程的两个根满足且函数的图像关于直线对称证明已知二次函数设方程的两个实数根为和如果设函数的对称轴为如果求的取值范围求答案：1.解：(1)原不等式可化为：,0)1)(xax若 a1时，解为 1xa，若 a1 时，解为 ax1

6、，若 a=1 时，解为 (2)=162m 当时或即440162mmm，0 方程0222 mxx有二实数根：.416,4162221mmxmmx 原不等式的解集为.416416|22mmxmmxx或 当m=4 时，=0，两根为.421mxx 若,4m则其根为1，原不等式的解集为1,|xRxx且 若,4m则其根为 1，原不等式的解集为1,|xRxx且 当44m时，方程无实数根原不等式的解集为 R 2解：0)1()13(|kxkxxA，比较,1,13的大小 kk 因为),1(2)1()13(kkk(1)当 k1 时，3k1k1，A=x|x3k1或 x1k.(2)当 k=1 时，xR.(3)当 k1

7、时，3k1k1，A=131|kxkxx或.B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式kkkk4)(4422，(1)当 k=0 时，Rx,0.(2)当 k0 时，0，xR.(3)当 k0 时，kkxkkx或,0.故：当0k时，由 B=R，显然有 AB，当 k0时，为使 AB，需要kkkkkk113k1，于是 k1时，BA.综上所述，k的取值范围是：.010kk或 实数的取值范围已知二次函数当时有解关于的不等式若不等式的解集为求实数与的值设若试证明对于任意有经典题型非常值得训练设二次函数方程的两个根满足当时证明已知关于的二次方程若方程有两根其中一根在区间内另一根在两点求线段在轴上的射影的长的取值范围

8、已知实数满足关系式且令求的表达式若时有最小值求和的值如果二次函数的图象与轴的交点至少有一个在原点的右侧试求的取值范围二次函数中实数满足其中求证方程在内恒有解一个小服装当月产量为多少时可获得最大利润最大利润是多少元已知是实数函数当时证明证明当时设二次函数方程的两个根满足且函数的图像关于直线对称证明已知二次函数设方程的两个实数根为和如果设函数的对称轴为如果求的取值范围求3.解：()当 m22m30，即 m3 或 m1时，若 m3，原不等式解集为 R 若 m1，原不等式化为 4x10 原不等式解集为xx41，不合题设条件.()若 m22m30，依题意有 0)32(4)3(032222mmmmm 即3

9、5131mm 51m3 综上，当51m3 时，不等式(m22m3)x2(m3)x10的解集为 R.4.解：由已知得 x121，x231是方程 x2pxq=0 的根，p=2131 q=2131 p61，q61，不等式 qx2px10 即61x261x10 x2x60，2x3.即不等式 qx2px10的解集为x2x3.5.解：由不等式012pqxxp的解集为42|xx，得 2 和 4是方程012pqxxp的两个实数根，且01p(如图).04242012pppqP 解得.223,22qP 6.解：cfcbafcbaf0,1,1,0),1()1(21),0211(21fcffbfffa,2221021

10、21xfxxfxxfxf .当01x时，yxo24实数的取值范围已知二次函数当时有解关于的不等式若不等式的解集为求实数与的值设若试证明对于任意有经典题型非常值得训练设二次函数方程的两个根满足当时证明已知关于的二次方程若方程有两根其中一根在区间内另一根在两点求线段在轴上的射影的长的取值范围已知实数满足关系式且令求的表达式若时有最小值求和的值如果二次函数的图象与轴的交点至少有一个在原点的右侧试求的取值范围二次函数中实数满足其中求证方程在内恒有解一个小服装当月产量为多少时可获得最大利润最大利润是多少元已知是实数函数当时证明证明当时设二次函数方程的两个根满足且函数的图像关于直线对称证明已知二次函数设方

11、程的两个实数根为和如果设函数的对称轴为如果求的取值范围求 222222222221101221(1)22221551().244xxxxf xfffxxxxxxxxxxxxxx 当10 x时，222102121xfxxfxxfxf 2222221(1)2222xxxxxxxxxx 221551().244xxx 7.证明：由题意可知)()(21xxxxaxxf.axxx1021,0)(21xxxxa,当 xx01,时，xxf)(.又)1)()()(211211axaxxxxxxxxxaxxf,011,0221axaxaxxx且 1)(xxf,综上可知，所给问题获证.8.解：(1)条件说明抛物线

12、 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图，得 65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(mmRmmmfmffmf 2165m.(2)据抛物线与 x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组10,0,0)1(,0)0(mff 实数的取值范围已知二次函数当时有解关于的不等式若不等式的解集为求实数与的值设若试证明对于任意有经典题型非常值得训练设二次函数方程的两个根满足当时证明已知关于的二次方程若方程有两根其中一根在区间内另一根在两点求线段在轴上的射影的长的取值范围已知实数满足关系式且令求的表达式若时有最小值求和的值如果二次

13、函数的图象与轴的交点至少有一个在原点的右侧试求的取值范围二次函数中实数满足其中求证方程在内恒有解一个小服装当月产量为多少时可获得最大利润最大利润是多少元已知是实数函数当时证明证明当时设二次函数方程的两个根满足且函数的图像关于直线对称证明已知二次函数设方程的两个实数根为和如果设函数的对称轴为如果求的取值范围求.01,2121,21,21mmmmm或(这里 0mbc,a0,c0,0,即两函数的图象交于不同的两点.(2)解：设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1和 x2,则 x1+x2=ab2,x1x2=ac.|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2 43)21(4 1)(4

14、4)(4444)2(2222222acacacaaccaaacbacab abc,a+b+c=0,a0,cacc,解得ac(2,21)1)(4)(2acacacf的对称轴方程是21ac.ac(2,21)时，为减函数|A1B1|2(3,12),故|A1B1|(32,3).10.解：(1）由 loga33logayatt得 logat3=logty3logta 由 t=ax知 x=logat，代入上式得 x3=xxya3log,logay=x23x+3，即 y=a332xx(x0).(2)令 u=x23x+3=(x23)2+43(x0),则 y=au 若 0a1,要使 y=au有最小值 8，则 u

15、=(x23)2+43在(0，2上应有最大值，但 u在(0，2上不存在最大值.实数的取值范围已知二次函数当时有解关于的不等式若不等式的解集为求实数与的值设若试证明对于任意有经典题型非常值得训练设二次函数方程的两个根满足当时证明已知关于的二次方程若方程有两根其中一根在区间内另一根在两点求线段在轴上的射影的长的取值范围已知实数满足关系式且令求的表达式若时有最小值求和的值如果二次函数的图象与轴的交点至少有一个在原点的右侧试求的取值范围二次函数中实数满足其中求证方程在内恒有解一个小服装当月产量为多少时可获得最大利润最大利润是多少元已知是实数函数当时证明证明当时设二次函数方程的两个根满足且函数的图像关于直

16、线对称证明已知二次函数设方程的两个实数根为和如果设函数的对称轴为如果求的取值范围求若 a1,要使 y=au有最小值 8，则 u=(x23)2+43,x(0,2应有最小值 当 x=23时，umin=43,ymin=43a 由43a=8 得 a=16.所求 a=16,x=23.11.解：f(0)=10(1)当 m0 时，二次函数图象与 x轴有两个交点且分别在 y轴两侧，符合题意.(2）当 m0 时，则030mm解得 0m1 综上所述，m 的取值范围是m|m1 且 m0.12.证明：(1)1()1()1(2rmmqmmppmmpf)2()1()1()2(2)1(1)1(22222mmmmmmpmpm

17、pmpmmrmqmpmpm)2()1(122mmpm,由于 f(x)是二次函数，故 p0,又 m0,所以，pf(1mm)0.(2)由题意，得 f(0)=r,f(1)=p+q+r 当 p0 时，由(1）知 f(1mm)0 若 r0,则 f(0)0,又 f(1mm)0,所以 f(x)=0 在(0，1mm)内有解;若 r0,则 f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(mrmp 2)+r=mrmp 20,又 f(1mm)0,所以 f(x)=0 在(1mm,1)内有解.当 p0 时同理可证.13.解：(1）设该厂的月获利为 y,依题意得 y=(1602x)x(500+30 x)=2x2+130 x500

18、 由 y1300 知2x2+130 x5001300 x265x+9000，(x20)(x45)0，解得 20 x45 当月产量在 2045 件之间时，月获利不少于 1300 元.实数的取值范围已知二次函数当时有解关于的不等式若不等式的解集为求实数与的值设若试证明对于任意有经典题型非常值得训练设二次函数方程的两个根满足当时证明已知关于的二次方程若方程有两根其中一根在区间内另一根在两点求线段在轴上的射影的长的取值范围已知实数满足关系式且令求的表达式若时有最小值求和的值如果二次函数的图象与轴的交点至少有一个在原点的右侧试求的取值范围二次函数中实数满足其中求证方程在内恒有解一个小服装当月产量为多少时

19、可获得最大利润最大利润是多少元已知是实数函数当时证明证明当时设二次函数方程的两个根满足且函数的图像关于直线对称证明已知二次函数设方程的两个实数根为和如果设函数的对称轴为如果求的取值范围求(2）由(1）知 y=2x2+130 x500=2(x265)2+x为正整数，x=32 或 33 时，y取得最大值为 1612 元，当月产量为 32 件或 33 件时，可获得最大利润 1612 元.14.解(1)|c|f(0)|1(因为 01，1)所以当1x1时，15.解：由题意 cxbaxxxf)1(2.它的对称轴方程为abx21 实数的取值范围已知二次函数当时有解关于的不等式若不等式的解集为求实数与的值设若

20、试证明对于任意有经典题型非常值得训练设二次函数方程的两个根满足当时证明已知关于的二次方程若方程有两根其中一根在区间内另一根在两点求线段在轴上的射影的长的取值范围已知实数满足关系式且令求的表达式若时有最小值求和的值如果二次函数的图象与轴的交点至少有一个在原点的右侧试求的取值范围二次函数中实数满足其中求证方程在内恒有解一个小服装当月产量为多少时可获得最大利润最大利润是多少元已知是实数函数当时证明证明当时设二次函数方程的两个根满足且函数的图像关于直线对称证明已知二次函数设方程的两个实数根为和如果设函数的对称轴为如果求的取值范围求由方程 f xx 0的两个根xx12,满足0112xxa,可得,1210

21、21axabx且abxxab212121,abaabxxab211212121，即 1xab，而abx20 故 xx012.16.解：设1)1()()(2xbaxxxfxg，则0)(xg的二根为1x和2x.（1）由0a及4221xx，可得 0)4(0)2(gg，即 034160124baba，即 ,043224,043233aabaab 两式相加得12ab，所以，10 x;（2）由aabxx4)1()(2221,可得 1)1(122ba.又0121axx，所以21,xx同号.21x，212 xx等价于1)1(1220221baxx或1)1(1202212baxx,即 1)1(120)0(0)2

22、(2bagg 或1)1(120)0(0)2(2bagg 解之得 41b或47b.17.证明：（I）因为(0)0,(1)0ff，实数的取值范围已知二次函数当时有解关于的不等式若不等式的解集为求实数与的值设若试证明对于任意有经典题型非常值得训练设二次函数方程的两个根满足当时证明已知关于的二次方程若方程有两根其中一根在区间内另一根在两点求线段在轴上的射影的长的取值范围已知实数满足关系式且令求的表达式若时有最小值求和的值如果二次函数的图象与轴的交点至少有一个在原点的右侧试求的取值范围二次函数中实数满足其中求证方程在内恒有解一个小服装当月产量为多少时可获得最大利润最大利润是多少元已知是实数函数当时证明证

23、明当时设二次函数方程的两个根满足且函数的图像关于直线对称证明已知二次函数设方程的两个实数根为和如果设函数的对称轴为如果求的取值范围求所以0,320cabc.由条件0abc ，消去b，得 0ac；由条件0abc ，消去c，得 0ab，20ab.故21ba .（II）抛物线2()32f xaxbxc的顶点坐标为23(,)33bacbaa，在21ba 的两边乘以13，得12333ba.又因为(0)0,(1)0,ff 而22()0,33bacacfaa 所以方程()0f x 在区间(0,)3ba与(,1)3ba内分别有一实根。故方程()0f x 在(0,1)内有两个实根.18.解析：解本题主要是应用抛

24、物线的几何特性（张口方向，对称轴，截距，与 轴交点个数）及函数零点（方程）的有关知识，即（1）由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与 轴交点个数，立即可得：，。（2）由方程 结论 19.解析：关于方程根的讨论，结合二次函数图象与 轴的交点位置的充要条件即可求：即设方程两根为 则 1）；实数的取值范围已知二次函数当时有解关于的不等式若不等式的解集为求实数与的值设若试证明对于任意有经典题型非常值得训练设二次函数方程的两个根满足当时证明已知关于的二次方程若方程有两根其中一根在区间内另一根在两点求线段在轴上的射影的长的取值范围已知实数满足关系式且令求的表达式若时有最小值求和的值如果二次函数的图象与轴的

25、交点至少有一个在原点的右侧试求的取值范围二次函数中实数满足其中求证方程在内恒有解一个小服装当月产量为多少时可获得最大利润最大利润是多少元已知是实数函数当时证明证明当时设二次函数方程的两个根满足且函数的图像关于直线对称证明已知二次函数设方程的两个实数根为和如果设函数的对称轴为如果求的取值范围求（2）；（3）；4）；（5）。20.解析：证明不等式恒成立，实质是证明对应抛物线恒在 轴的上方或下方的问题，故只要求抛物线恒在 轴上方或下方的充要条件即可。即由 恒成立 对应抛物线恒在 轴下方；由 恒成立 对应抛物线恒在 轴上方。因此,当 为任意实教时，上述两充要条件至少有一个成立，命题得证。实数的取值范围

26、已知二次函数当时有解关于的不等式若不等式的解集为求实数与的值设若试证明对于任意有经典题型非常值得训练设二次函数方程的两个根满足当时证明已知关于的二次方程若方程有两根其中一根在区间内另一根在两点求线段在轴上的射影的长的取值范围已知实数满足关系式且令求的表达式若时有最小值求和的值如果二次函数的图象与轴的交点至少有一个在原点的右侧试求的取值范围二次函数中实数满足其中求证方程在内恒有解一个小服装当月产量为多少时可获得最大利润最大利润是多少元已知是实数函数当时证明证明当时设二次函数方程的两个根满足且函数的图像关于直线对称证明已知二次函数设方程的两个实数根为和如果设函数的对称轴为如果求的取值范围求21.解

27、析：求 的极值，即应用方程根与系数的关系和判别式，求二次函数的条件极值的问题。即 为方程的两根，又 22.解析：x2-8x+20=(x-4)2+40,只须 mx2-mx-10恒成立，即可：当 m=0 时，-10,不等式成立；当 m0 时，则须2040mmm 解之：-4m0.由（1）、（2）得：-4m0.23.分析：由题001111cbbaccaac cx2+bx+a0 的解集是x|x1 实数的取值范围已知二次函数当时有解关于的不等式若不等式的解集为求实数与的值设若试证明对于任意有经典题型非常值得训练设二次函数方程的两个根满足当时证明已知关于的二次方程若方程有两根其中一根在区间内另一根在两点求线段在轴上的射影的长的取值范围已知实数满足关系式且令求的表达式若时有最小值求和的值如果二次函数的图象与轴的交点至少有一个在原点的右侧试求的取值范围二次函数中实数满足其中求证方程在内恒有解一个小服装当月产量为多少时可获得最大利润最大利润是多少元已知是实数函数当时证明证明当时设二次函数方程的两个根满足且函数的图像关于直线对称证明已知二次函数设方程的两个实数根为和如果设函数的对称轴为如果求的取值范围求