高三数学立体几何专题训练中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、名师精编 欢迎下载 高三数学立体几何专题训练【考点】1.三视图；2 求体积；3 证线面垂直(垂直关系)；4 求二面角的平面角；5 求线面 角；6 求异面直线所成角；7.求三角形面积；8 判断平行、垂直、相交、重合位置关系。【复习建议】本题为低中档，一般分为两小问，可得满分。第(1)问，一般考查平行与垂直的证明 及相关问题，需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理，并注意证明过程的书写规范，如能建系。也可用向量法；第(2)问一般研究空间角，如用综合法请注意证明过程。如用 空间向量需注意：异面直线所成角(一定不大于 900)、线面所成角(此类题最容易错，记 住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦

2、)、二面角(注意观察是钝角还是锐角，一般 情况下是锐角)。向量法建系要用黑色签字笔在答题卡上建，并用文字说明，注意检查所写 的点或向量坐标有无错，注意用向量数量积公式求夹角余弦时的运算，注意是否作答。特别 的说明：广东近年的立体几何题图形都比较新颖特别，但其实都很简单，无需紧张。用向量 还是综合法，视题目(更适合哪种方法)和个人情况而定。最后适当注意：求解线面所成角 要转换(比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系)和翻折问题。下面的例题仅供参考。【题例】1.如图 3 所示，在四面体 PABC中，已知 PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，342PB F是线段 PB上一点，341715C

3、F,点 E在线段 AB上且 EFPB (I)证明：PB平面CEF；()求二面角 BCE-F的正切。选题目的，练好计算(包括三角形各边，二面角求解)练好规范；判定是否适用向量。2翻折问题体积问题函数导数)如图 6 所示，等腰ABC的底 边66AB,高 CD=3，点 E是线段 BD上异于点 B,D 的动点，点 F在 BC边上，且 EFAB，现沿 EF将BEF折起到PEF的位置，使 PEAE，记 BE=x，V(x)表示四棱锥 P一 ACEF的体积.(1)求 V(x)的表达式；(2)当 x 为何值时，V(x)取得最大值?(3)当 V(x)取得最大值时，求异面直线 AC与 PF所成角的余弦值 名师精编

4、欢迎下载 3、(组合图形问题)如图所示：边长为 2 的正方形 ABFC和高为 2 的直角梯形 ADEF 所在的平面互相垂直且2DE,EDA F,且DAF=900(1)求 BD和面 BEF所成的角的正弦；(2)线段 EF上是否存在点 P使过 P、A、C三点的 平面和直线 DB垂直，若存在，求 EP与 PF的比值；若不存在，说明理由。总结：解决存在性问题方法：1先假设存在，再去推理，下结论：2 运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算。4(视图，无棱二面角问题)四棱锥 PABCD 的底面与四个侧面的形状和大小如图所示 (1)写出四棱锥 P一 ABCD 中四对

5、线面垂直关系(不要求证明)；(2)在四棱锥 P-ABCD 中，若 E为 PA的中点，求证：BE平面 PCD；(3)在四棱锥 P一 ABCD 中，设面 PAB与面 PCD所在的角为(00900)，求 cos 的值 5(无棱二面角问题)如图，四棱锥 S 一 ABCD 的底面是边长为 l 的正方形SD 垂直于底面 ABCD，.3SB(1)求证：BCSC (2)求面 ASD与面 BSC所成二面角的大小；(3)设棱 SA的中点为 M，求异面直线 DM与 SB所成角的大小 求异面直线所成角求三角形面积判断平行垂直相交重合位置关系复习建议本题为低中档一般分为两小问可得满分第问一般考查平行与垂直的证明及相关问

6、题需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理并注意证明过程的书写规范如大于线面所成角此类题最容易错记住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦二面角注意观察是钝角还是锐角一般情况下是锐角向量法建系要用黑签字笔在答题卡上建并用文字说明注意检查所写的点或向量坐标有无错注意用向量简单无需紧张用向量还是综合法视题目更适合哪种方法和个人情况而定最后适当注意求解线面所成角要转换比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系和翻折问题下面的例题仅供参考题例如图所示在四面体中已知是线段上一点点名师精编 欢迎下载 6 如图边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E、F分别为 AB、BC的中点，将 ABEF剪去，将 AED

7、、DCF分别沿 DE、DF折起，使 A、C两点重合于点 P得一三棱锥如图示(1)求证：PDEF：(2)求三棱锥 PDEF的体积；(3)求 DE与平面 PDF所成角的正弦值 7、如图，在四棱锥 P一 ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD=600，Q为 AD的中点。(1)若 PA=PD，求证：平面 PQB平面PAD；(2)点 M在线段 PC上，PM=tPC，试确定 t 的值，使 PA平面MQB(3)在(2)的条件下，若平面 PAD平面ABCD，且 PA=PD=AD=2 求二面角 M BQ-C的大小。8(本小题满分 l4 分)如图，ABC是以ABC为直角的三角形，SA平面ABC，SA=BC=

8、2。AB=4 M、N、D分别是SC、AB、BC的中点。(1)求证：MNAB；(2)求二面角 S-ND A的余弦值：(3)求点 A到平面 SND的距离。求异面直线所成角求三角形面积判断平行垂直相交重合位置关系复习建议本题为低中档一般分为两小问可得满分第问一般考查平行与垂直的证明及相关问题需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理并注意证明过程的书写规范如大于线面所成角此类题最容易错记住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦二面角注意观察是钝角还是锐角一般情况下是锐角向量法建系要用黑签字笔在答题卡上建并用文字说明注意检查所写的点或向量坐标有无错注意用向量简单无需紧张用向量还是综合法视题目更适合哪种方

9、法和个人情况而定最后适当注意求解线面所成角要转换比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系和翻折问题下面的例题仅供参考题例如图所示在四面体中已知是线段上一点点名师精编 欢迎下载 参考答案 l(I)证明：2221006436PCACPA PAC是以PAC为直角的直角三角形，同理可证PAB是以PAB为直角的直角三角形，PCB是以PCB为直角的直角三角形故 PA平面ABC,又 3061021|21BCACSPBC 而PBCSCFPB3017341534221|21,故 CFPB，又已知EFPB PB平面 CEF(II)由(I)知 PBCE，PA平面 ABC AB是 PB在平面 ABC上的射影，故 AB

10、CE 在平面 PAB内，过 F作 FF1垂直 AB交 AB于 F1，则 FF1平面 ABC，EFl是 EF在 平面 ABC上的射影，EFEC,故FEB是二面角 BCE F的平面角 35610tantanAPABBPAFEB 二面角 BCE一 F的正切为35 说明：本题不适宜用向量 2(1)由折起的过程可知，PE平面ABC，2212654,69xSxSSBDCAEFABC)630)(1219(36)(2xxxxV(2)419(36)(2xxV 所以)6,0(x时，)(,0)(xVxV单调递增；636x时,)(,0)(xVxV单调递减；因此6x时，V(x)取得最大值.612(3)过 F作 MTAC

11、 交 AD与 M，则 26,122,21PMBEMBABBEBDBEBCBFABBM 4295436636BCPFBFMF 在PFM中，72427284cos PFM 异面直线 AC与 PF所成角的余弦值为72 求异面直线所成角求三角形面积判断平行垂直相交重合位置关系复习建议本题为低中档一般分为两小问可得满分第问一般考查平行与垂直的证明及相关问题需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理并注意证明过程的书写规范如大于线面所成角此类题最容易错记住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦二面角注意观察是钝角还是锐角一般情况下是锐角向量法建系要用黑签字笔在答题卡上建并用文字说明注意检查所写的点或向量坐标

12、有无错注意用向量简单无需紧张用向量还是综合法视题目更适合哪种方法和个人情况而定最后适当注意求解线面所成角要转换比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系和翻折问题下面的例题仅供参考题例如图所示在四面体中已知是线段上一点点名师精编 欢迎下载 3 解(1)因为 AC、AD、AB两两垂直，建立如图坐标系，则 B(2，0，0)，D(0，0，2)E(1，l，2)，F(2，2，0)。则)0,2,0(),2,1,1(),2,0,2(BFBEDB 设平面 BEF的法向量),(zyxn,则x,0,02yzy 则可取),1,0,2(n 向量DB和)1,0,2(n所成角的正弦为1010)2(21220222222 即

13、 BD和面 BEF所成的角的正弦1010(2)假设线段 EF上存在点 P使过 P、A、C三点的平面和直线 DB垂直，不妨设)0(mPFmEP 则 P点坐标为)12,121,121(mmmmm 则向量)12,121,121(mmmmmAP 向量)12,11,121(mmmmCP 所以,012)2(12101212mmmmm 所以21m 故存在这样的点 P，当点 P为 EF中点时，BD 面 PAC 4解(1)如图，在四棱锥 P一 ABCD 中，PA 平面 ABCD，AD 平面 PAB，BC 平面 PAB，AB 平面 PAD (2)依题意 AB、AD、AP两两垂直，分别以直线 AB、AD、AP为zy

14、x、轴，建立空间直角坐标系，如图则 P(0，0，2)，B(2，0，0),C(2,2，0)，D(0，4，0)E是 PA中点，点 E的坐标为(0，0，1)，)2,4,0(),2,2,2(,1,0,2PDPCBE 设),(1zyxn 是平面 PCD的法向量 由PDnPCn11.，即0240222zyzyx 取 y=1，得)2,1,1(1n为平面 PCD的一个法向量/,n,021101211BEBEnBE平面 PCD.又BE平面 PCD，BE 平面 PCD 求异面直线所成角求三角形面积判断平行垂直相交重合位置关系复习建议本题为低中档一般分为两小问可得满分第问一般考查平行与垂直的证明及相关问题需要同学掌

15、握好平行与垂直的证明的有关定理并注意证明过程的书写规范如大于线面所成角此类题最容易错记住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦二面角注意观察是钝角还是锐角一般情况下是锐角向量法建系要用黑签字笔在答题卡上建并用文字说明注意检查所写的点或向量坐标有无错注意用向量简单无需紧张用向量还是综合法视题目更适合哪种方法和个人情况而定最后适当注意求解线面所成角要转换比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系和翻折问题下面的例题仅供参考题例如图所示在四面体中已知是线段上一点点名师精编 欢迎下载(3)由(2)，平面 PCD的一个法向量为)2,1,1(1n 又AD 平面 PAB，平面 PAB的一个法向量为 6661|

16、cos),0,1,0(21212nnnnn 5、方法一解：(1)如图建立空间直角坐标系则有 B(1,1，0)，C(0，1，0)，S(0，0,1)于是)1,1,0(),0,0,1(SCBC.于是0 SCBC 所以SCBC,于是 BCSC，(2)显然平面 ASD的法向量为)0,1,0(n,设平面 SCB的法向量为),1,(2yxn 则有SCnBCn22,即010yx,解得)1,1,0(2n 由于22,cos21nn 所以1n与2n的夹角为 450，由图可以判断面 ASD与面 BSC所成的角为锐角，因此与1n与2n 的夹角相等，从而面 ASD与面 BSC所成的角为 450(3)M 点坐标为)21,0

17、,21(于是)21,0,21(DM，而)1,1,1(SB,并且0,cosSBDM 于是 DMSB，即异面直线 DM与 SB所成角的为 900 ：方法二：几何法更快 6(1)证明：依题意知图折前 AD AE,CD CFPDPE，PFPD，2 分 PPFPE,PD平面PEF 3分 又EF平面 PEF PDEF4 分(2)解法 l：依题意知图中 2121PFPECFAE 在BEF中222BEEF 在PEF中PFPEEFPFPE222 8121212121PFPESPEF7 分 2411813131PDSVVPEFPEFDDEFP8 分(2)解法 2：依题意知图中 2121PFPECFAE 求异面直线

18、所成角求三角形面积判断平行垂直相交重合位置关系复习建议本题为低中档一般分为两小问可得满分第问一般考查平行与垂直的证明及相关问题需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理并注意证明过程的书写规范如大于线面所成角此类题最容易错记住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦二面角注意观察是钝角还是锐角一般情况下是锐角向量法建系要用黑签字笔在答题卡上建并用文字说明注意检查所写的点或向量坐标有无错注意用向量简单无需紧张用向量还是综合法视题目更适合哪种方法和个人情况而定最后适当注意求解线面所成角要转换比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系和翻折问题下面的例题仅供参考题例如图所示在四面体中已知是线段上一点点名师

19、精编 欢迎下载 在BEF中222BEEF5 分 取 EF的中点 M，连结 PM,则 PM EF4222EMPEPM6 分 8142222121PMEFSPEF7 分 2411813131PDSVVPEFPEFDDEFP8 分(3)由(2)知 PEPF,又 PEPD PE平面PDF10分 PDE为 DE与平面 PDF所成的角，11 分 在 RtPDE中21,2541122PEPEPDDEl2 分 552521sinDEPEPDE14 分 7解：(1)连 BD，四边形 ABCD 菱形，ADAB，BAD=600,ABD为正三角形，Q为 AD中点，ADBQ,PA=PD，Q为 AD的中点，ADPQ,又

20、BQPQ=QAD平面 PQB，AD平面 PAD,平面 PQB平面PAD(2)当31t时，PA平面MQB,下面证明，若 PA平面MQB，连 AC交 BQ于 N,由 AQBC,可得ANQBNC,21NCANBCAQ 即31NCAN PA平面MQB，PA平面 PAC,平面 PAC平面MQB=MN，PAMN 31ACANPCPM 即：PCPM31,31t(3)由 PA=PD=AD=2，Q为 AD的中点，则 PQAD.又平面PAD平面ABCD，所以 PQ平面ABCD，以 Q为坐标原点，分别以 QA、QB、QP所在的直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为)3,0,0(),0,0,0()

21、,0,3,0(),0,0,1(PQBA)0,3,0(),3,3,2(),0,3,2(),0,23,0(QBPCCN 令cbaM,则)3,(cbaPM,由PCPM31,求异面直线所成角求三角形面积判断平行垂直相交重合位置关系复习建议本题为低中档一般分为两小问可得满分第问一般考查平行与垂直的证明及相关问题需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理并注意证明过程的书写规范如大于线面所成角此类题最容易错记住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦二面角注意观察是钝角还是锐角一般情况下是锐角向量法建系要用黑签字笔在答题卡上建并用文字说明注意检查所写的点或向量坐标有无错注意用向量简单无需紧张用向量还是综合法视

22、题目更适合哪种方法和个人情况而定最后适当注意求解线面所成角要转换比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系和翻折问题下面的例题仅供参考题例如图所示在四面体中已知是线段上一点点名师精编 欢迎下载 得点的坐标)332,33,32(M,),332,63,32(MN 设平面 MQB 的法向量为)1,(yxn,可得 00MNnQBn,MNPA/,00PAnQBn,解得)1,0,3(n 取平面 ABCD 的法向量 21,cos1,0,0nmnmnmm 又因为二面角 M BQ C为锐二面角，所以其大小为 600。8(1)略证：作 MEAC，连接 NE，可证得 AB平面MNE,即得 MNAB4 分 过 A作 A

23、F垂直 DN且与 DN的延长线相交于点 F，连接 SF 在DBN中,21tanBNDBDNB,55sinDNB 在 RtAFN中,552sinDNBANAF 在 RtSAF中,55522tanAFSASFA(3)过点 A作 AH SF 于 H，由(2)知平面 SAF平面SNDAH面 SND AH的长为点 A到平面 SND的距离 在 RtAHF中，36630552sinSFAAFAH 故点 A到平面 SND的距离为3614 分 解法二：(向量法)B 为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图），由题意得 M(1，2，1），N(0，2，0)所以),0,2,0(),1,0,1(ABMN ABMNABMN,

24、0 设平面 SND的法向量为),(zyxm 则0 SNm，且0 DNm，令解 z=1 得：x=2，y=-1 求异面直线所成角求三角形面积判断平行垂直相交重合位置关系复习建议本题为低中档一般分为两小问可得满分第问一般考查平行与垂直的证明及相关问题需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理并注意证明过程的书写规范如大于线面所成角此类题最容易错记住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦二面角注意观察是钝角还是锐角一般情况下是锐角向量法建系要用黑签字笔在答题卡上建并用文字说明注意检查所写的点或向量坐标有无错注意用向量简单无需紧张用向量还是综合法视题目更适合哪种方法和个人情况而定最后适当注意求解线面所成角

25、要转换比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系和翻折问题下面的例题仅供参考题例如图所示在四面体中已知是线段上一点点名师精编 欢迎下载 1,1,2 m 又平面 AND 的法向量为)1,0,0(n 66cosnmnm (3)36|mmANd 求异面直线所成角求三角形面积判断平行垂直相交重合位置关系复习建议本题为低中档一般分为两小问可得满分第问一般考查平行与垂直的证明及相关问题需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理并注意证明过程的书写规范如大于线面所成角此类题最容易错记住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦二面角注意观察是钝角还是锐角一般情况下是锐角向量法建系要用黑签字笔在答题卡上建并用文字说明注意检查所写的点或向量坐标有无错注意用向量简单无需紧张用向量还是综合法视题目更适合哪种方法和个人情况而定最后适当注意求解线面所成角要转换比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系和翻折问题下面的例题仅供参考题例如图所示在四面体中已知是线段上一点点