高三数学立体几何复习测试题含答案中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 高三数学立体几何复习 一、填空题 1.分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为 平行 相交 异面 垂直【答案】【解析】两平行平面没有公共点，所以两直线没有公共点，所以两直线不可能相交 2.已知圆锥的母线长为 8，底面周长为 6，则它的体积为 【答案】553【解析】设底面半径为 r,62r,3r,设圆锥的高为h，那么553822h，那么圆锥的体积55355931312hrV，故填：553.3.已知平面/平面，P且P，试过点P的直线m与，分别交于A，C，过点P的直线n与，分别交于BD，且6PA，9AC，8PD，则BD的长为_.【答案】245或24【解析】第一种情况画出

2、图形如下图所示，由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.”所以/ABCD，设BDx，根据平行线分线段成比例，有6824,95xxx 第二种情况画出图形如下图所示，由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.”所以/ABCD，设BDx，根据平行线分线段成比例，有68,2438Xx.4.半径为R的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的侧面积与球的表面积之比是_【答案】1：2【解析】2224hRr，圆柱的侧面积2224244222hrhrhrR，当且仅当2hr 时取等号，此时圆柱的侧面积与球的表面积之比为222:41:2RR 5.如图所示

3、，GNMH、分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线GHMN、是异面直线的图形有_（填上所有正确答案的序号）【答案】【解析】由题意得，可知（1）中，直线/GHMN；图（2）中，,G H N三点共面，但M 面GHN，因此直线GH与MN异面；图（3）中，连接,/MG GMHN，因此GH与MNG，所以直线GH与MN共面；图（4）中，,G M N共面，但H 面GHN，所以直线GH与MNAPCDBBPDAC学习必备 欢迎下载 异面 6.已 知nm,为 直 线，,为 空 间 的 两 个 平 面，给 出 下 列 命 题：/,nnmm；nmnm/,/；/,mm；nmnm/,其

4、中的正确命题为 【答案】【解析】关于,也会有n的结论,因此不正确；关于,也会有nm,异面的可能的结论,因此不正确；容易验证关于都是正确的,故应填答案.7.设,a b是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列四个命题 若,ab ab则，若,ab a则/b，若,a，则/a若/,aa，则 其中正确的命题序号是 .【答案】【解析】ab，不妨设,a b相交（如异面平移到相交位置），确定一个平面，设平面与平面的交线为c，则由b，得bc，从而/ac，于是有c，所以，正确；若,ab a，b可能在内，错；若,a，a可能在内，错；若/a，则由线面平行的性质定理，在内有直线b与a平行，又a，则b，从而，正确故答案为

5、 8.已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为 1 的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为26，则球O的表面积为_【答案】4【解析】设ABC的中心为1O，由题意得113212;24633ABCABCSOOSOO,所以球O的半径R满足2221321()1333ROO ，球O的表面积为244.R 9.如图所示,在直三棱柱111ABCABC中,11,ABBCCCABBC E为1CC的中点,则 三棱锥1CABE的体积是 【答案】112 相交异面垂直答案解析两平行平面没有公共点所以两直线没有公共点所以两直线不可能相交已知圆锥的母线长为底面周长为则它的体积为答案解析设底面半径为

6、设圆锥的高为那么那么圆锥的体积故填已知平面平面且试过点的直线与时和第三个平面相交那么它们的交线相互平行所以设根据平行线分线段成比例有第二种情况画出图形如下图所示由于如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的交线相互平行所以设根据平行线分线段成比例有半径为的球中时圆柱的侧面积与球的表面积之比为如图所示分别是正三棱柱两底面为正三角形的直棱柱的顶点或所在棱的中点则表示直线是异面直线的图形有填上所有正确答案的序号答案解析由题意得可知中直线图中三点共面但面因此直线与异学习必备 欢迎下载【解析】因为E是1CC中点，所以1112CABECABCVV1111(1 1)123212 10.如图所示，在直三棱

7、柱111CBAABC 中，1,2,901BCACAAACB,则异面直线BA1与AC所成角的余弦值是 .【答案】66【解析】由于11/ACAC，所以11BAC（或其补角）就是所求异面直线所成的角，在11BAC中,16AB,51,111 BCCA,116 1 56cos62 6 1BAC.11.如图，在棱长为 1 的正方体1111-ABCDABC D中，,M N分别是1,BB BC的中点，则图中阴影部分在平面11ADAD上的投影的面积为 【答案】81【解析】图中点M在平面的投影是1AA的中点，点N在平面的投影是AD的中点，点D的投影还是点D,连接三点的三角形的面积是81212121，故填：81.1

8、2.如图,正方体1111ABCDA B C D中,2AB,点E为AD的中点,点F在CD上,若/EF平面1ABC,则EF _.【答案】2EF 【解析】根据题意，因为/EF平面1ABC，所以ACEF/.又因为点E是AD中点，所以点F是CD中点.因为在DEFRt中，1DFDE，故.2EF 13.在棱长为 1 的正方体1 111ABCDAB C D中，E为1AB的中点，在面ABCD中取一点F，使1EFFC最小，则最小值为_ 【答案】142【解析】如图，将正方体1 111ABCDAB C D关于面ABCD对称，则1EC就是所A B C D E F 1A 1B 1C 1DNED1C1CB1C1A1B1D1

9、DA1BA相交异面垂直答案解析两平行平面没有公共点所以两直线没有公共点所以两直线不可能相交已知圆锥的母线长为底面周长为则它的体积为答案解析设底面半径为设圆锥的高为那么那么圆锥的体积故填已知平面平面且试过点的直线与时和第三个平面相交那么它们的交线相互平行所以设根据平行线分线段成比例有第二种情况画出图形如下图所示由于如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的交线相互平行所以设根据平行线分线段成比例有半径为的球中时圆柱的侧面积与球的表面积之比为如图所示分别是正三棱柱两底面为正三角形的直棱柱的顶点或所在棱的中点则表示直线是异面直线的图形有填上所有正确答案的序号答案解析由题意得可知中直线图中三点共面

10、但面因此直线与异学习必备 欢迎下载 求的最小值，2221131141242ECENNC 14.点M是棱长为3 2的正方体1111ABCDAB C D的内切球O球面上的动点，点N为11BC上一点，112,NBNC DMBN，则动点M的轨迹的长度为_【答案】3 105【解析】因为DMBN，所以M在过D且垂直于BN的平面上，如下图（1），取112BSSB，112ATTA，则BN 平面DTSC，所以M在一个圆周上，如图下图（2），正方体的中心O到该平面的距 离 即 为1O F，在 直 角 三 角 形1O FC中，1111s i n3 s i nO FO CO C FO C F，而11113t a nt

11、 a n14213O CFBCS，故15sin5OCF，13 55O F，M所在的圆周的半径为223 23 53 302510 ，故其轨迹的长度为3 105 OAB DCA1B1D1C1MNSTBCB1C1O1NSF 图（1）图（2）二、解答题 15.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，60DAB，2ABAD，PD 底面ABCD.（1）证明：PABD；（2）设2PDAD，求点D到面PBC的距离.解析：（1）证明：因为60DAB，2ABAD，由余弦定理得3BDAD.从而222BDADAB，BDAD，又由PD 底面 EC1D1B1A1CDB AMN相交异面垂直答案解析两平行平面没有

12、公共点所以两直线没有公共点所以两直线不可能相交已知圆锥的母线长为底面周长为则它的体积为答案解析设底面半径为设圆锥的高为那么那么圆锥的体积故填已知平面平面且试过点的直线与时和第三个平面相交那么它们的交线相互平行所以设根据平行线分线段成比例有第二种情况画出图形如下图所示由于如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的交线相互平行所以设根据平行线分线段成比例有半径为的球中时圆柱的侧面积与球的表面积之比为如图所示分别是正三棱柱两底面为正三角形的直棱柱的顶点或所在棱的中点则表示直线是异面直线的图形有填上所有正确答案的序号答案解析由题意得可知中直线图中三点共面但面因此直线与异学习必备 欢迎下载 ABCD

13、，BD 面ABCD，可得BDPD.BD 面PAD，PA 面PAD，PABD.（2）法 1：在平面PDB内作DEPB，垂足为E.PD 底面ABCD，BC 面ABCD，PDBC，由（1）知BDAD，又/BCAD，BCBD，又ADBDD，.BC 平面PBD，又ADBDDBCDE.则DE 平面PBC.由题设知，2PD，则2 3BD，4PB，根据DE PBPD BD，得3DE，即点D到面PBC的距离为3.法2：设 点D到 平 面PBC的 距 离 为d，由（1）得B DA D，4AB，111134 32 42223623P BCDPABCDABCDVVSPD ，又13PB C DP B CVSd，由PD

14、底 面A B C D，BD 面ABCD，DC 面ABCD，,PBDPCD为Rt，222 5PCPDCD，224PBPDCD，又2B CA D，PBC为Rt且12 442PBCS ，3d.16.已知直角梯形ABCD中，/ABCD，ABAD，2CD，2AD，1AB，如图 1 所示，将ABD沿BD折起到PBD的位置，如图 2 所示.（1）当平面PBD 平面PBC时，求三棱锥PBCD的体积；（2）在图 2 中，E为PC的中点，若线段/BQCD，且/EQ平面PBD，求线段BQ的长；解析：（1）当平面PBD 平面PBC时，因为PBPD，且平面PBD平面PBCPB，PD 平面PBD，所以PD 平面PBC，因

15、为PC 平面PBC，所以PDPC.因为在直角梯形ABCD中，/ABCD，ABAD，2CD，2AD，1AB，所以3BDBC，2DP.所以222CPCDPD.又 因 为1BP，所 以222B PC PB C，所 以B PC P.所 以1222PBCSPBPC.所以三棱锥PBCD的体积等于112123323D PBCPBCVSPD.（2）取PD的中点F，连接EF，BF，如上图所示.又因为E为PC的中点，所以/EFCD，且12EFCD.又因为/BQCD，所以/EFBQ.所以B，F，E，Q共面.因 为/EQ平 面PBD，EQ 平 面BFEQ，且 平 面BFEQ平 面相交异面垂直答案解析两平行平面没有公共

16、点所以两直线没有公共点所以两直线不可能相交已知圆锥的母线长为底面周长为则它的体积为答案解析设底面半径为设圆锥的高为那么那么圆锥的体积故填已知平面平面且试过点的直线与时和第三个平面相交那么它们的交线相互平行所以设根据平行线分线段成比例有第二种情况画出图形如下图所示由于如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的交线相互平行所以设根据平行线分线段成比例有半径为的球中时圆柱的侧面积与球的表面积之比为如图所示分别是正三棱柱两底面为正三角形的直棱柱的顶点或所在棱的中点则表示直线是异面直线的图形有填上所有正确答案的序号答案解析由题意得可知中直线图中三点共面但面因此直线与异学习必备 欢迎下载 PBDBF，

17、所 以/EQFB.又 因 为/EFBQ，所 以 四 边 形BFEQ是 平 行 四 边 形.所 以112B QE FC D.17.如图几何体中，矩形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且2BCDE，/DEBC，BDAD，M为AB的中点.（1）证明：/EM平面ACDF；（2）证明：BD 平面ACDF.解析：（1）法 1：延长BE交CD与G，连接AG，,E M为中点，/EMAG，EM 平面AFDC，AG 平面AFDC，/EM面ACDF 法 2：如图，取BC的中点N，连接MN、EN.在ABC中，M为AB的中点，N为BC的中点，/MNAC，又因为/DEBC，且12D EB C C N，四边形CD

18、EN为平行四边形，/ENDC，又MNENN，ACCDC.平面/EMN平面ACDF，又EM 面EMN，/EM面ACDF.法 3：如图，取AC的中点P，连接PM，PD.在ABC中，P为AC的中点，M为AB的中点，/PMBC，且12PMBC，又/DEBC，12DEBC,/PMDE，故四边形DEMP为平行四边形，/MEDP，又DP 平面ACDF，EM 平面ACDF，/EM面ACDF（2）平面ACDF 平面BCDE，平面ACDF平面BCDEDC，又ACDC，AC 平面BCDE，ACBD，又BDAD，BDADA，BD 平面ACDF 18.如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为矩形，ABBP，

19、M 为AC 的中点，N 为 PD 上一点.（1）若 MN平面 ABP，求证：N 为 PD 的中点；（2）若平面 ABP平面 APC，求证：PC平面 ABP.【解析】（1）连接 BD，由四边形ABCD为矩形得：M 为AC和BD的中点，MN平面 ABP，MN 平面 BPD，平面 BPD平面 ABPBP，MNBP，M 为 AC 的中点，N 为 PD 的中点.（2）在ABP 中，过点 B 作 BEAP 于 E，平面 ABP平面 APC，平面 ABP 平面 APCAP，BE 平面 ABP，BEAP BE平面 APC，又 PC 平面 APC，BEPC.ABCD 为矩形，ABBC，又 ABBP，BC BPB

20、，BC，BP 平面 BPC，AB平面 BPC，ABPC，又 BEPC，AB 平面 ABP，BE 平面 ABP，AB BEB，PC平面 ABP 19.如图,在四棱锥PABCD中，1,2ABDC ADDCAB M是线段PA的中点.（1）求证：DM平面PCB；G相交异面垂直答案解析两平行平面没有公共点所以两直线没有公共点所以两直线不可能相交已知圆锥的母线长为底面周长为则它的体积为答案解析设底面半径为设圆锥的高为那么那么圆锥的体积故填已知平面平面且试过点的直线与时和第三个平面相交那么它们的交线相互平行所以设根据平行线分线段成比例有第二种情况画出图形如下图所示由于如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么

21、它们的交线相互平行所以设根据平行线分线段成比例有半径为的球中时圆柱的侧面积与球的表面积之比为如图所示分别是正三棱柱两底面为正三角形的直棱柱的顶点或所在棱的中点则表示直线是异面直线的图形有填上所有正确答案的序号答案解析由题意得可知中直线图中三点共面但面因此直线与异学习必备 欢迎下载（2）若ADAB,平面PAC 平面PBC,求证：PABC.【解析】（1）如图，取PB中点N,连结,CN MN.因为M是线段PA的中点,所以1,2MNAB MNAB,因为1,2DCAB CDAB,所以,MNDC MNCD,所以四边形CDFM为平行四边形,所以CNDM,因为CN 平面PCB,DM 平面PCB,所以DM平面P

22、CB.（2）连结AC,在四边形ABCD中，因为,ADAB CDAB,所以ADCD,设ADa,因 为12A DD CA B,所 以,2CDa ABa,在ADC中，9 0,A D CA DD C,所以45DCADAC ,从而2,45ACaCAB,在ACB中,2,2,45,ABa ACaCAB 所以222cos2BCACABAB ACCABa,所以222ACBCAB,即ACBC.在平面PAC中,过点A作AEPC,垂足为E,因为平面PAC 平面PBC,所以AE 平面PBC,又因为BC 平面PBC,所以AEBC,因为AE 平面PAC,AC 平面PAC,所以BC 平面PAC.因为PA 平面PAC,所以PA

23、BC.20.如图,在直三棱柱111ABCA B C中,090ACB，,E F G分别是11,AA AC BB的中点，且1CGC G.（1）求证：/CGBEF平面；（2）求证：平面BEF 平面11AC G.【解析】证:()连接AG交BE于D,连接,DF EG.,E G分别是11,AA BB的中点，AEBG且AE=BG,四边形AEGB是矩形.D是AG的中点，又F是AC的中点,DFCG，则由DFBEF面,CGBEF面,得CGBEF面()在直三棱柱111ABCABC中，1C C底面111ABC,1C C11AC.又011190AC BACB,即11C B11AC，11AC面11BC CB,而CG 面1

24、1BC CB，11ACCG，又1CGC G,由()DFCG，111,ACDF DFC G，DF 平面11AC G，DF 平面BEF，平面BEF 平面11AC G.三、提高练习 21.在三棱锥PABC中，ABBC，6AB，2 3BC，O为AC的中点，过C作BO的垂ABCDP MN相交异面垂直答案解析两平行平面没有公共点所以两直线没有公共点所以两直线不可能相交已知圆锥的母线长为底面周长为则它的体积为答案解析设底面半径为设圆锥的高为那么那么圆锥的体积故填已知平面平面且试过点的直线与时和第三个平面相交那么它们的交线相互平行所以设根据平行线分线段成比例有第二种情况画出图形如下图所示由于如果两个平行平面同

25、时和第三个平面相交那么它们的交线相互平行所以设根据平行线分线段成比例有半径为的球中时圆柱的侧面积与球的表面积之比为如图所示分别是正三棱柱两底面为正三角形的直棱柱的顶点或所在棱的中点则表示直线是异面直线的图形有填上所有正确答案的序号答案解析由题意得可知中直线图中三点共面但面因此直线与异学习必备 欢迎下载 线，交BO、AB分别于R、D，若DPRCPR，则三棱锥PABC体积的最大值为_ 【答案】3 3【解析】在Rt ABC中，60ACB，OCB为等边三角形，30DCB，所以4CD，3CR，所以1DR，在PDC中，DPRCPR，所以13PDDRPCRC，如下图（2），设,P x y，0,0D，则 4,

26、0C，从而有 222294xyxy，整理得到221924xy，故PCD的边CD上的高的最大值为32，从而PABC体积的最大值为1312 363 3322 ROBCAPDDbxPRC 图(1)图（2）22.如图，直三棱柱111ABCABC中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱1CC上，已知ABAC，13AA，2BCCF（1）求证：1/C E平面ADF；（2）设点M在棱1BB上，当BM为何值时，平面CAM 平面ADF？【解析】（1）连接CE交AD于O，连接OF因为,CE AD为ABC中线，所以O为ABC的重心，123CFCOCCCE从而1/OFC EOF 面ADF，1C E 平面ADF，所以

27、1/C E平面ADF （2）当1BM 时，平面CAM 平面ADF在直三棱柱111ABCABC中，由于1B B 平面ABC，1B B 平面11B BCC，所以平面11B BCC平面ABC由于ABAC，D是BC中点，所以ADBC又平面11B BCC 平面ABCBC，所以AD平面相交异面垂直答案解析两平行平面没有公共点所以两直线没有公共点所以两直线不可能相交已知圆锥的母线长为底面周长为则它的体积为答案解析设底面半径为设圆锥的高为那么那么圆锥的体积故填已知平面平面且试过点的直线与时和第三个平面相交那么它们的交线相互平行所以设根据平行线分线段成比例有第二种情况画出图形如下图所示由于如果两个平行平面同时和

28、第三个平面相交那么它们的交线相互平行所以设根据平行线分线段成比例有半径为的球中时圆柱的侧面积与球的表面积之比为如图所示分别是正三棱柱两底面为正三角形的直棱柱的顶点或所在棱的中点则表示直线是异面直线的图形有填上所有正确答案的序号答案解析由题意得可知中直线图中三点共面但面因此直线与异学习必备 欢迎下载 11B BCC而CM 平面11B BCC，于是ADCM 因为1,2BMCDBCCF，所以Rt CBMRt FCD，所以CMDF ,D FAD相交，所以CM平面ADF，CM平面CAM，所以平面CAM 平面ADF 相交异面垂直答案解析两平行平面没有公共点所以两直线没有公共点所以两直线不可能相交已知圆锥的母线长为底面周长为则它的体积为答案解析设底面半径为设圆锥的高为那么那么圆锥的体积故填已知平面平面且试过点的直线与时和第三个平面相交那么它们的交线相互平行所以设根据平行线分线段成比例有第二种情况画出图形如下图所示由于如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的交线相互平行所以设根据平行线分线段成比例有半径为的球中时圆柱的侧面积与球的表面积之比为如图所示分别是正三棱柱两底面为正三角形的直棱柱的顶点或所在棱的中点则表示直线是异面直线的图形有填上所有正确答案的序号答案解析由题意得可知中直线图中三点共面但面因此直线与异