高三数学思想方法策略专题数学解题方法之特殊证法中学教育中考_中学教育-教学研究.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 高三数学思想、方法、策略专题 数学解题方法之特殊证法 一知识探究：1定义法 所谓定义法，就是直接用数学定义解决问题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法。2反证法 反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。反证法的实质：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导

2、致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定推理否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 推导出矛盾 结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三

3、步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。3数学归纳法 数学归纳法是用

4、来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在 n1(或 n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在 nk 时命题成立，再证明 nk1 时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或 nn0且 nN）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。学习必备 欢迎下载 运用数学归纳法证明问题时，关键是 nk1 时命题成立的推证，此步证明

5、要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数 n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。4不等式的证明方法（1）比较法是证明不等式最基本、最常用、最重要的方法之一。它包括“作差法”与“作商法”，比差法的理论依据是 0baba 0baba 0baba 比商法的理论依据是 a，bR，那么 1baba 1baba 1baba 判断 a，b 的大小，当 a，bR时，可以通过判断 ab 与 0 的大小来完成。当 a，bR时，可以通过判断ba与 1 的大

6、小来完成。比较法这种方法其本质就在于单独讨论“a，b”不等式难以证明时，就“ab，ba”整体讨论，使问题迁移“环境”，给问题带来新的结构。对 ab，ba变形后与 0，1 的比较提供可能，这种变形后的式子结构“ab，ba”能够和“0，1”比较大小是比较法的精髓。作差法中，对差“ab”的变形方法通常有通分、配方（非负数）、因式分解、二次函数的判别式等。作商法的一般步骤是，求商 变形 判断与 1 的大小。方法的选择：若不等式两边含有相同的项，或者作差以后能进行因式分解；能用配方法，能写成分式判断其符号，可使用作差法。若不等式两边是指数形式，能使分子、分母变形得到相同结果的不等式，用作商法比较容易，也

7、就是说，凡适合于求“商”运算，并能比较出商与 1 的大小的不等式，一般都适合于用作商法证明。（2）综合法 综合法就是由已知出发，根据不等式性质，基本不等式等，逐步推导得到所要证明的不等式的一种方法，也就是用因果关系书写“从已知出发”借助不等式性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证不等式得证的全过程，其特点可描述为“执因索果”，即从“已知”看“可知”逐步推向“未知”，综合法证明题逻辑性很强，它要求每步推理都要有依据。（3）分析法 证明不等式，可以从待证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化成为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能断定这些充分条件都已具备，那么数

8、学定义解决问题数学中的定理公式性质和法则等都是由定义和公理推演出来定义是揭示概念内涵的逻辑方法它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念定义是千百次实践后的必然结果它科学地反映和揭示了客观世界的事间接证明法一类是从反面的角度思考问题的证明方法即肯定题设而否定结论从而导出矛盾推理而得反证法的实质若肯定定理的假设而否定其结论就会导致矛盾具体地反证法就是从否定命题的结论入手并把对命题结论的否定作为推理原因是假设不成立所以肯定了命题的结论从而使命题获得了证明反证法的证题模式可以简要的概括我为否定推理否定即从否定结论开始经过正确无误的推理导致逻辑矛盾达到新的否定可以认为反证法的基本思想就是否定之否定

9、应用学习必备 欢迎下载 就可以断定原不等式成立，这种证明方法叫做分析法。分析法是从结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到和已知条件沟通为止，概括地说就是“从未知，看需知，逐步靠拢已知”。分析法证明“若 A则 B”的基本模式是 欲证 B为真 只需证 B1为真 只需证 B2为真 只需证 A为真，今已知 A为真，故 B必真 其逻辑关系是12BBBA（4）放缩法 在证明不等式 AB时，可以构造出数学式 C，使 AC，且 CB，则 AB得证。其中数学式 C 常常通过将 A 缩小或将 B 放大而构成，它的依据是不等式的传递性，这种证明方法叫做放缩法，用放缩法证明不等式，在高中数学中占有一定的比重。二命题趋

10、势 近几年的高考虽然削弱了在不等式证明方面的要求，但像立体几何中位置关系的认定，数列关系式的认可以及解析几何性质的证明都是频频出现的考试形式。在高考中所占的分值大约在 30 分左右。这类考题的特点是：（1）立体几何证明多以线、面间垂直或平行关系的证明为主，解决此类问题的思路是应用好在该部分学习的判定定理和性质定理即可；（2）数列题可能是与等差等比数列定义或性质有关的结论的证明问题（譬如证明数列是否为等差或等比数列，这类题目要应用好定义和性质公式，技巧性很强）、也可能是复合不等式知识的或单纯等式形式的与自然数有关的结论的证明问题（解题思路是可能应用数学归纳法或放缩法）；（3）解析几何中的解答题经

11、常与平面几何图形相结合，经常判断一些位置关系，此类题目的证明多要结合几何特征，应用好代数关系式说明；预测高考的趋势为：题型、题量以及出题点还和往年一样，基本保持不变；三例题点评 题型 1：定义法 例 1（06 湖南卷）如图,已知两个正四棱锥P-ABCD 与 Q-ABCD 的高分别为 1 和 2,AB=4，证明PQ 平面 ABCD。证明 1：连结 AC、BD，设OBDAC.由 PABCD与 QABCD都是正四棱锥，所以 PO平面 ABCD，QO平面 ABCD.从而 P、O、Q 三点在一条直线上，所以 PQ平面 ABCD。证明 2：取 AD的中点 M，连结 PM，QM.因为PABCD与 QABCD

12、都是正四棱锥，所以 ADPM，ADQM.从而 AD平面 PQM。又PQ平面 PQM，所以 PQAD。Q B C P A D Q B C P A D O M 数学定义解决问题数学中的定理公式性质和法则等都是由定义和公理推演出来定义是揭示概念内涵的逻辑方法它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念定义是千百次实践后的必然结果它科学地反映和揭示了客观世界的事间接证明法一类是从反面的角度思考问题的证明方法即肯定题设而否定结论从而导出矛盾推理而得反证法的实质若肯定定理的假设而否定其结论就会导致矛盾具体地反证法就是从否定命题的结论入手并把对命题结论的否定作为推理原因是假设不成立所以肯定了命题的结论从而

13、使命题获得了证明反证法的证题模式可以简要的概括我为否定推理否定即从否定结论开始经过正确无误的推理导致逻辑矛盾达到新的否定可以认为反证法的基本思想就是否定之否定应用学习必备 欢迎下载 同理 PQAB，所以 PQ平面 ABCD。点评：空间几何体内的点线面的位置关系的认识是解题的关键，同时我们学习过的定理、定义要能够巧妙的应用好。例 2（06 福建卷）已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN（I）证明：数列1nnaa是等比数列；（II）求数列na的通项公式；（II）若数列nb满足12111*44.4(1)(),nnbbbbnanN证明nb是等差数列。解析：（I）证明：2132

14、,nnnaaa 21112*2112(),1,3,2().nnnnnnnnaaaaaaaanNaa 1nnaa是以21aa2为首项，2 为公比的等比数列。（II）解：由（I）得*12(),nnnaanN 112211()().()nnnnnaaaaaaaa 12*22.2 121().nnnnN （III）证明：1211144.4(1),nnbbbbna12(.)42,nnbbbnb 122(.),nnbbbnnb 12112(.)(1)(1).nnnbbbbnnb ，得112(1)(1),nnnbnbnb 即1(1)20.nnnbnb 21(1)20.nnnbnb ，得2120,nnnnbn

15、bnb 即2120,nnnbbb*211(),nnnnbbbb nNnb是等差数列。点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查如何根据数列的概念判断结论。题型 2：反证法 例 3设abnn、是公比不相等的两个等比数列，cabnnn，证明数列cn不是等比数列。数学定义解决问题数学中的定理公式性质和法则等都是由定义和公理推演出来定义是揭示概念内涵的逻辑方法它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念定义是千百次实践后的必然结果它科学地反映和揭示了客观世界的事间接证明法一类是从反面的角度思考问题的证明方法即肯定题设而否定结论从而导出矛盾推理而得反证法的实质若肯定定理的假设而否定其结论就会导致

16、矛盾具体地反证法就是从否定命题的结论入手并把对命题结论的否定作为推理原因是假设不成立所以肯定了命题的结论从而使命题获得了证明反证法的证题模式可以简要的概括我为否定推理否定即从否定结论开始经过正确无误的推理导致逻辑矛盾达到新的否定可以认为反证法的基本思想就是否定之否定应用学习必备 欢迎下载 证明：假设cn是等比数列，则有ccc2213。又设abnn、的公比分别是 p、q，cababababnnn2221133 即 a pb qaba pb q112111212 a pa pb qb qa pa b qa b pb qa b ppqqab122111221221 121 121221 122112

17、2000，ppqq2220，即pq20 pq，这与题设abnn、的公比不相等矛盾，故数列cn不是等比数列。点评：本题证明推出的结果是与题设矛盾。例 4如图，设 SA、SB 是圆锥 SO的两条母线，O是底面圆心，C是 SB上一点。求证：AC与平面 SOB不垂直。分析：结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。证明：假设 AC 平面 SOB，直线 SO在平面 SOB内，ACSO；SO底面圆 O，SOAB，SO平面 SAB，平面 SAB 底面圆 O，这显然出现矛盾，所以假设不成立。即 AC与平面 SOB不垂直。点评：否定性的问题常用反证法。例如证

18、明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。题型 3：数学归纳法 例 5（06 全国 II）设数列an的前 n 项和为 Sn，且方程 x2anxan0 有一根为 Sn1，n1，2，3，（）求 a1，a2；（）an的通项公式。解析：()当 n1 时，x2a1xa10 有一根为 S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得 a112 当 n2 时，x2a2xa20 有一根为 S21a212，于是(a212)2a2(a212)a20，解得 a116()由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，Sn22Sn1anSn0 当 n2 时，anSnSn1，代入上式得 Sn1Sn2Sn

19、10 由()知 S1a112，S2a1a2121623。S C A O B 数学定义解决问题数学中的定理公式性质和法则等都是由定义和公理推演出来定义是揭示概念内涵的逻辑方法它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念定义是千百次实践后的必然结果它科学地反映和揭示了客观世界的事间接证明法一类是从反面的角度思考问题的证明方法即肯定题设而否定结论从而导出矛盾推理而得反证法的实质若肯定定理的假设而否定其结论就会导致矛盾具体地反证法就是从否定命题的结论入手并把对命题结论的否定作为推理原因是假设不成立所以肯定了命题的结论从而使命题获得了证明反证法的证题模式可以简要的概括我为否定推理否定即从否定结论开始经

20、过正确无误的推理导致逻辑矛盾达到新的否定可以认为反证法的基本思想就是否定之否定应用学习必备 欢迎下载 由可得 S334。由此猜想 Snnn1，n1，2，3，。下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1 时已知结论成立(ii)假设 nk 时结论成立，即 Skkk1，当 nk1 时，由得 Sk112Sk，即 Sk1k1k2，故 nk1 时结论也成立 综上，由(i)、(ii)可知 Snnn1对所有正整数 n 都成立。于是当 n2 时，anSnSn1nn1n1n1n(n1)，又 n1 时，a112112，所以an的通项公式 annn1，n1，2，3，。点评：本题看起来与函数并无关系，但推证1 kn时，利用

21、性质，才使得kn 的假设条件得以应用，从而突破了难关。以下只要目标明确，分析变形即可 例 6（20XX 年辽宁卷）已知函数223)(xxxf，设2101a，)(1nnafa，*Nn，证明11nan。证明：（1）当1n时，由题设2101a，又2111111n，所以110nan成立。当2n时，)(12afa。而223)(xxxf6161)31(232x，所以1213161)(12afa，不等式也成立。（2）假 设)2(kkn时，不 等 式110kak成 立，而3111k，61)31(23)(2xxf的对称轴是31x，则 f(x)在310(，上是增函数。由31110kak 得)11()(kfafk

22、即21)1(12311kkak 数学定义解决问题数学中的定理公式性质和法则等都是由定义和公理推演出来定义是揭示概念内涵的逻辑方法它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念定义是千百次实践后的必然结果它科学地反映和揭示了客观世界的事间接证明法一类是从反面的角度思考问题的证明方法即肯定题设而否定结论从而导出矛盾推理而得反证法的实质若肯定定理的假设而否定其结论就会导致矛盾具体地反证法就是从否定命题的结论入手并把对命题结论的否定作为推理原因是假设不成立所以肯定了命题的结论从而使命题获得了证明反证法的证题模式可以简要的概括我为否定推理否定即从否定结论开始经过正确无误的推理导致逻辑矛盾达到新的否定可以

23、认为反证法的基本思想就是否定之否定应用学习必备 欢迎下载 注意到结论右边的目标式，凑式变形，有 21)2()1(2421)1(23112121221kkkkkkkkkak 可见1 kn时，不等式也成立。由（1）和（2）知，*Nn时，11nan恒成立。点评：上述证明中，把数列值的大小变化与函数值的大小联系起来，再用函数的单调性渡过关卡，充分体现了数列与函数的紧密关系。实际上，数列就是函数的特例。另外，上面第一步中，验证1n后，又验证2n，是为了能够对假设)2(kkn应用上函数的单调性，而之后的变形，只要明确目标式，就顺理成章了。题型 4：放缩法在证明不等式中的妙用 例 7（06 江西）已知数列a

24、n满足：a132，且 ann1n13nan2nN2an1（，）（1）求数列an的通项公式；（2）证明：对于一切正整数 n，不等式 a1 a2 an 2 n！。解析：（1）将条件变为：1nnan11n113a（），因此1nna为一个等比数列，其首项为 111a13，公比13，从而 1nnan13，据此得 annnn 331（n 1）1 （2）证：据 1 得，a1 a2 an2nn111111333！（）（）（）为证 a1 a2 an 2 n！只要证 n N时有2n111111333（）（）（）122 显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个 n N，有 2n111111333（）（）（）1（2

25、n111333）3 用数学归纳法证明 3 式：（i）n1 时，3 式显然成立，（ii）设 nk时，3 式成立，即2k111111333（）（）（）1（2k111333）则当 nk1 时，2kk1111111113333（）（）（）（）1（2k111333）（k1113）数学定义解决问题数学中的定理公式性质和法则等都是由定义和公理推演出来定义是揭示概念内涵的逻辑方法它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念定义是千百次实践后的必然结果它科学地反映和揭示了客观世界的事间接证明法一类是从反面的角度思考问题的证明方法即肯定题设而否定结论从而导出矛盾推理而得反证法的实质若肯定定理的假设而否定其结论就

26、会导致矛盾具体地反证法就是从否定命题的结论入手并把对命题结论的否定作为推理原因是假设不成立所以肯定了命题的结论从而使命题获得了证明反证法的证题模式可以简要的概括我为否定推理否定即从否定结论开始经过正确无误的推理导致逻辑矛盾达到新的否定可以认为反证法的基本思想就是否定之否定应用学习必备 欢迎下载 1（2k111333）k113k113（2k111333）1（2k111333k113）即当 nk1 时，3 式也成立。故对一切 n N，3 式都成立。利 用 3 得，2n111111333（）（）（）1 （2n111333）1 n11133113（）1nn1111 112322 3（）（）12 故 2

27、 式成立，从而结论成立。点评：有效的放缩可把要证明的问题简化，可起到事半功倍的效果，但这类问题技巧性比较强。例 8（1）已知ABC的三边长为 a、b、c，求证：1sinsinsin2228ABC 证明：由22sin1cos2AA，及余弦定理有：2222222()2sin12222Abcaabcabcbcbc ，sin22Aabc，同理可得：sin，sin2222BbCcacab，1sinsinsin2228222ABCabcbcacab。（2）设 a，b，c，d 都是正数，abbcca1，证明：3abc 。证明：2222()222abcabcabbcca ，2221()()()3()23()3

28、abbccaabbccaabbccd 3abc ，当且仅当33abc 时取等号。点评：综上可知，用扩大或缩小分式的分母或分子的方法，用添项或合项的方法，用某些函数的单调性和函数值的有界性等方法进行放缩来推理有关不等式，都是一些常用的放缩手段，难点在于放缩程序的调控，应多思、多想、多练、多总结。题型 5：典例不等式证明 例 9若ab00，ab332，求证：ab 2，ab 1。证法一：综合法 abab00233，数学定义解决问题数学中的定理公式性质和法则等都是由定义和公理推演出来定义是揭示概念内涵的逻辑方法它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念定义是千百次实践后的必然结果它科学地反映和揭示

29、了客观世界的事间接证明法一类是从反面的角度思考问题的证明方法即肯定题设而否定结论从而导出矛盾推理而得反证法的实质若肯定定理的假设而否定其结论就会导致矛盾具体地反证法就是从否定命题的结论入手并把对命题结论的否定作为推理原因是假设不成立所以肯定了命题的结论从而使命题获得了证明反证法的证题模式可以简要的概括我为否定推理否定即从否定结论开始经过正确无误的推理导致逻辑矛盾达到新的否定可以认为反证法的基本思想就是否定之否定应用学习必备 欢迎下载 ()()()()()()()ababa baba babab abab ababab abab33332222332332338336323302，即 又ab 0

30、 abababab2221 证法二：换元法、判别式法 设ab、为方程xmxn20 的两根，则 mabnab abmnmnabab aabbabababm mn00004012332332222，且()()()()()()nmm2323 （2）将（2）代入（1），得mmm2243230()，即mm3830，m380，即m 2 ab2 由2 m，得42m 又mn24 44n，即n 1 ab1。点评：换元法主要有三角代换、均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证。证法三：放缩法 abab00233，数学定义解决问题数学中

31、的定理公式性质和法则等都是由定义和公理推演出来定义是揭示概念内涵的逻辑方法它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念定义是千百次实践后的必然结果它科学地反映和揭示了客观世界的事间接证明法一类是从反面的角度思考问题的证明方法即肯定题设而否定结论从而导出矛盾推理而得反证法的实质若肯定定理的假设而否定其结论就会导致矛盾具体地反证法就是从否定命题的结论入手并把对命题结论的否定作为推理原因是假设不成立所以肯定了命题的结论从而使命题获得了证明反证法的证题模式可以简要的概括我为否定推理否定即从否定结论开始经过正确无误的推理导致逻辑矛盾达到新的否定可以认为反证法的基本思想就是否定之否定应用学习必备 欢迎下

32、载 223322abab abababababab ab()()()()()于是有63ab ab()从而8323322333 ab aba bababab()()所以ab 2 （下略）。点评：放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查。证法四：比较法 ababababababab33322222244428()()3802()()ab ab，对任意非负实数ab、，有abab33322()abababab 00212233333，()ab21，即ab 2 （以下略）。点评：比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判

33、断过程必须详细叙述。证法五：反证法 假设ab 2，则 abab aabbabababab abab3322232()()()()()ab1 又abab aabb3322()()()()()abababab2232 23 ab332 22 43()ab 因此ab 1，前后矛盾，故ab 2。数学定义解决问题数学中的定理公式性质和法则等都是由定义和公理推演出来定义是揭示概念内涵的逻辑方法它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念定义是千百次实践后的必然结果它科学地反映和揭示了客观世界的事间接证明法一类是从反面的角度思考问题的证明方法即肯定题设而否定结论从而导出矛盾推理而得反证法的实质若肯定定理的

34、假设而否定其结论就会导致矛盾具体地反证法就是从否定命题的结论入手并把对命题结论的否定作为推理原因是假设不成立所以肯定了命题的结论从而使命题获得了证明反证法的证题模式可以简要的概括我为否定推理否定即从否定结论开始经过正确无误的推理导致逻辑矛盾达到新的否定可以认为反证法的基本思想就是否定之否定应用学习必备 欢迎下载 （以下略）点评：有些不等式，如果不易从正面证明，可以考虑反证法。凡是含有“至少”、“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法。四思维总结 1反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的

35、“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非 A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。2归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同

36、性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。3综合法有时正好是分析过程的逆推，证法 2 虽然用综合法表述，但若不先用分析法思考，显然用综合法是无从下手的，多数情况下综合法的表述正是建立在分析法的基础之上，由此可见分析法这种思想，可以运用到几乎所有问题的解答之中。分析法的优点是利于思考，它方向明确思路自然，易于掌握，而综合法宜于表述，条理清晰，形式简捷，因而证明不等式时，常用分析法寻找思路，再用综合法来表述。分析法一般用于“证明不等式，综合法难以实施”的时候。数学定义解决问题数学中的定理公式性质和法则等都是由定义和公理推演出来定义是揭示概念内涵的逻辑方法它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念定义是千百次实践后的必然结果它科学地反映和揭示了客观世界的事间接证明法一类是从反面的角度思考问题的证明方法即肯定题设而否定结论从而导出矛盾推理而得反证法的实质若肯定定理的假设而否定其结论就会导致矛盾具体地反证法就是从否定命题的结论入手并把对命题结论的否定作为推理原因是假设不成立所以肯定了命题的结论从而使命题获得了证明反证法的证题模式可以简要的概括我为否定推理否定即从否定结论开始经过正确无误的推理导致逻辑矛盾达到新的否定可以认为反证法的基本思想就是否定之否定应用