高三数学教案三角函数的最值问题小学教育小学学案_中学教育-中学学案.pdf

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1、课题 4.9 三角函数的最值 1 基础知识（1）配方法求最值 主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值问 题，如 求 函 数2s i ns i n1yxx的 最 值，可 转 化 为 求 函 数 21,1,1yttt 上的最值问题。（2）化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值：22sinsin()axbcoxabx 如函数12sinyxcox的最大值是（）A212 B.212 C.212 D.212 应选 B（3）数形结合 常用到直线斜率的几何意义，例如求函数sin2xycox的最大值和最小值。函数sin2xycox的几何意义为两点(2,0),(cos,sin)

2、PQxx连线的斜率k，而 Q点的轨迹为单位圆，由图可知maxmin33,33yy （4）换元法求最值 利用换元法将三角函数问题转化为代数函数，此时常用万能公式和判别式求最值。利用三角代换将代数问题转化为三角函数，然而利用三角函数的有界性等求最值。例如：设实数yx,满足,122yx则yx43 的最大值为_.解：由,122yx可设sin,cosyx 则)sin(5sin4cos343 yx，则其最大值为 5。2 重点难点:通过三角变换结合代数变换求三角函数的最值。3 思维方式（1）认真观察函数式，分析其结构特征，确定类型。（2）根据类型，适当地进行三角恒等变形或转化，这是关键的步骤。（3）在有关几

3、何图形的最值中，应侧重于将其化为三角函数问题来解决。4 特别说明 注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。二、题型剖析 1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。例 1：P(66)函数 Y=acosx+b(a.b 为常数),若71y ,求 bsinx+acosx 的最大值.练习:求函数2sin3sincos1yxxx的最值，并求取得最值时的x值。解：33(1cos 2)sin 2122yxx=3111sin2cos 2sin(2)22262xxx 当22,62xk 即()3xkkZ时，y取得最大值，max12y

4、 当22,62xk 即()6xkkZ时，y取得最小值，m x32iy。思维点拨：三角函数的定义域对三角函数有界性的影响。2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。例 2 P(66).2sincotsin2cot的最值求函数xxxxy 解:8741cos2cossin2sincossinsincos12xxxxxxxxy 时当41cos1cos0sinxxx,y 有最小值87,无最大值.练习:是否存在实数 a，使得函数2385cossin2axaxy在闭区间2,0上的最大值是 1？若存在，求出对应的 a 值？若不存在，试说明理由。解：2185421cos22aaaxy 当20 x时，1cos0 x，

5、令xtcos则10 t，,218542122aaaty10 t)(423121854,2cos2,20,12012max舍或时即则当时即aaaayaxataa)(51212185,0cos0,0,022max舍时即则当时即aayxtaa 间上的最值问题如求函数的最值可转化为求函数上的最值问题化为一个角的三角函数再利用有界性求最值如函数的最大值是应选数形结合常用到直线斜率的几何意义例如求函数的最大值和最小值函数的几何意义为两点连线的斜率而求最值利用三角代换将代数问题转化为三角函数然而利用三角函数的有界性等求最值例如设实数满足则的最大值为解由可设则则其最大值为重点难点通过三角变换结合代数变换求三角

6、函数的最值思维方式认真观察函数式分析其结构三角函数问题来解决特别说明注意变换前后函数的等价性正弦余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响含参数函数的最值解题要注意参数的作用和影响二题型剖析化为一个角的三角函数再利用有界性求最值例函数为常数若求的)(132012385,1cos1,2,123max舍时即则当时即aaayxtaa 综上知，存在23a符合题意。思维点拨：闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。3、换元法解决xxxxcossin,cossin同时出现的题型。例 3：求函数xxycos34sin34的最小值。解：xxxxycossin9cossin1216 令2.2,4sin2co

7、ssintxxxt，则21cossin2txx 273429219121622ttty，2.2t 所以当34t时，27miny 思维点拨：遇到xxcossin与xxcossin相关的问题，常采用换元法，但要注意sincosxx的取值范围是2,2，以保证函数间的等价转化。4、图象法，解决形如dxbcxaycossin型的函数。例 4、P(66)求函数2sin2cosxyx的最大值和最小值.。思维点拨：此题为基本题型解决的方法很多，可用三角函数的有界性或万能公式，判别式法。这里以图象法的主求解。例 5、设2,0 x，若方程ax)32sin(3有两解，求a的取值范围。解：设ayxy),32sin(3

8、，要使两函数图象有交点（如图），则3233a。x O 6 233 3 2 3 ay 65 y 间上的最值问题如求函数的最值可转化为求函数上的最值问题化为一个角的三角函数再利用有界性求最值如函数的最大值是应选数形结合常用到直线斜率的几何意义例如求函数的最大值和最小值函数的几何意义为两点连线的斜率而求最值利用三角代换将代数问题转化为三角函数然而利用三角函数的有界性等求最值例如设实数满足则的最大值为解由可设则则其最大值为重点难点通过三角变换结合代数变换求三角函数的最值思维方式认真观察函数式分析其结构三角函数问题来解决特别说明注意变换前后函数的等价性正弦余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响含参数函

9、数的最值解题要注意参数的作用和影响二题型剖析化为一个角的三角函数再利用有界性求最值例函数为常数若求的 思维点拨：在用数形结合法解题时，作图一定要准确。本题若改为方程有一解，则a的范围又该怎样呢？5、利用不等式单调性求最值。思维点拨：利用基本不等式求最值时，等号不能取得时，可利用单调性。三、课堂小结（1）求三角函数最值的方法有：配方法，化为一个角的三角函数，数形结合法换元法，基本不等式法。（2）三角函数最值都是在给定区间上取得的，因而要特别注意题设所给出的区间。（3）求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性。（4）含参数函数的最值，解题要注意

10、参数的作用和影响。四、作业：间上的最值问题如求函数的最值可转化为求函数上的最值问题化为一个角的三角函数再利用有界性求最值如函数的最大值是应选数形结合常用到直线斜率的几何意义例如求函数的最大值和最小值函数的几何意义为两点连线的斜率而求最值利用三角代换将代数问题转化为三角函数然而利用三角函数的有界性等求最值例如设实数满足则的最大值为解由可设则则其最大值为重点难点通过三角变换结合代数变换求三角函数的最值思维方式认真观察函数式分析其结构三角函数问题来解决特别说明注意变换前后函数的等价性正弦余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响含参数函数的最值解题要注意参数的作用和影响二题型剖析化为一个角的三角函数再利用有界性求最值例函数为常数若求的