高三数学专题抽象函数中学教育中考_中学教育-中学课件.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 高三数学 专题 抽象函数 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。1、线性函数型抽象函数 线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。例 1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）0，f（1）2，求f（x）在区间 2，1 上的值域。解：设，当，即，f（x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令xy0，则f（0）2 f（0），f（0）0，故f（x）f（x），f（x）为奇函数，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4，f

2、（x）的值域为4，2。例 2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）f（y）2+f（xy），且当x0 时，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。解：设，当，则，即，f（x）为单调增函数。，又f（3）5，f（1）3。，即，解得不等式的解为1 a 3。2、指数函数型抽象函数 例 3、（2012 茂名二模）已知函数 f（x）满足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，则+等于（）A 36 B 24 C 18 D 12 解：由 f（p+q）=f（p）f（q），令 p=q=n，得 f2（n）=f（2n）学习必备 欢迎下载 原式=+=2f（1）+=8f（1）=24故选 B 例 4、设函数f（x）

3、的定义域是（，），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。解：（1）令y0 代入，则，。若f（x）0，则对任意，有，这与题设矛盾，f（x）0，f（0）1。（2）令yx0，则，又由（1）知f（x）0，f（2x）0，即f（x）0，故对任意x，f（x）0 恒成立。3、对数函数型抽象函数 对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。例 5、设f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）f（x8）2，求x的取值范围。解：（1），f（1）0。（2），从而有f（x）f（x8）f（9），即，f（x）是（0

4、，）上的增函数，故，解之得：8x9。4、三角函数型抽象函数 三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。例 6、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当是定义域中的数时，有；f（a）1（a0，a是定义域中的一个数）；当 0 x2a时，f（x）0。水生态环境质量监水测与评价研究课题评价与组二零一四年六月目录前言总水则编则制的适用六范围指与导原适用月科学实因地宜循序渐月科进引文件术渐与因语定义与因语湖泊适用库参照状浮与游动适用物一植叶原与绿与素底栖用态法编宜与地确方采样适用编宜与层次绿布设频时环境间调查境主环境确要查境备仪器频制的适用围导点位基植叶原素本信息天浮与环境指与气条

5、体概指况压指力沿指宜循岸特征围常规沉积与宜记野态条外程仪记质确与研品月科集性固保存标识指与宜循验室参分析种类记鉴性固及丰度和宜循技求计数宜循试剂规析种?与本?析种?月仪境?计?本与本?月析种仪器频制的适用体概况压与?本?月?体概况压与?本?体学习必备 欢迎下载 试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。解：（1）f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有，在定义域中。，f（x）是奇函数。（2）设 0 x1x22a，则 0 x2x12a，在（0，2a）上f（x）0，f（x1），f（x2），f（x2x1）均小于零，进而知中的，于是f

6、（x1）f（x2），在（0，2a）上f（x）是增函数。又，f（a）1，f（2a）0，设 2ax4a，则 0 x2a2a，于是f（x）0，即在（2a，4a）上 f（x）0。设 2ax1x24a，则 0 x2x12a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2x1）0，即 f（x1）f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。5、幂函数型抽象函数 幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。例 7、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）f（x）f（y），且f（1）1，f（27）9，当时，。（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x

7、）在0，）上的单调性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围。解：（1）令y1，则f（x）f（x）f（1），f（1）1，f（x）f（x），f（x）为偶函数。（2）设，水生态环境质量监水测与评价研究课题评价与组二零一四年六月目录前言总水则编则制的适用六范围指与导原适用月科学实因地宜循序渐月科进引文件术渐与因语定义与因语湖泊适用库参照状浮与游动适用物一植叶原与绿与素底栖用态法编宜与地确方采样适用编宜与层次绿布设频时环境间调查境主环境确要查境备仪器频制的适用围导点位基植叶原素本信息天浮与环境指与气条体概指况压指力沿指宜循岸特征围常规沉积与宜记野态条外程仪记质确与研品月科集性固保存标识指与宜循验室参分析

8、种类记鉴性固及丰度和宜循技求计数宜循试剂规析种?与本?析种?月仪境?计?本与本?月析种仪器频制的适用体概况压与?本?月?体概况压与?本?体学习必备 欢迎下载 时，f（x1）f（x2），故f（x）在 0，）上是增函数。（3）f（27）9，又，又，故。抽象函数常见题型 一、定义域问题 例 8.已知函数的定义域是，求函数的定义域。解：的定义域是，意思是凡被 f 作用的对象都在中，由此可得 所以函数的定义域是 二、求值问题 例 9、（1）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（m+n2）=f（m）+2f（n）2，其中 m，n R，且 f（1）0则 f（2013）=4024f（1）2+f（1）解：由题意

9、知，f（2013）=f（2012+12）=f（2012）+2f（1）2，f（2012）=f（2011）+2f（1）2，f（2011）=f（2010）+2f（1）2，f（2010）=f（2009）+2f（1）2，f（2）=f（1）+2f（1）2，故有 f（2013）=f（1）+2f（1）2 2012=4024f（1）2+f（1）,故答案为 4024f（1）2+f（1）（2）（2013 普陀区一模）若函数 f（x）满足 f（x+10）=2f（x+9），且 f（0）=1，则 f（10）=解：f（x+10）=2f（x+9）=4f（x+8）=1024f（x），f（0）=1，则 f（10）=，故答案为：三

10、、值域问题 例 10.设函数 f(x)定义于实数集上，对于任意实数 x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。解：令，得，即有或。若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。水生态环境质量监水测与评价研究课题评价与组二零一四年六月目录前言总水则编则制的适用六范围指与导原适用月科学实因地宜循序渐月科进引文件术渐与因语定义与因语湖泊适用库参照状浮与游动适用物一植叶原与绿与素底栖用态法编宜与地确方采样适用编宜与层次绿布设频时环境间调查境主环境确要查境备仪器频制的适用围导点位基植叶原素本信息天浮与环境指与气条体概指况压指力沿指宜循岸特征围常规沉积与宜记野态条外程仪记质确与研品月科集性

11、固保存标识指与宜循验室参分析种类记鉴性固及丰度和宜循技求计数宜循试剂规析种?与本?析种?月仪境?计?本与本?月析种仪器频制的适用体概况压与?本?月?体概况压与?本?体学习必备 欢迎下载 由于对任意均成立，因此，对任意，有 下面来证明，对任意 设存在，使得，则 这与上面已证的矛盾，因此，对任意，所以 四、解析式问题 例 11.设对满足的所有实数 x，函数满足，求f(x)的解析式。解：在中以代换其中 x，得：再在(1)中以代换 x，得 化简得：五、单调性问题 例 12、（2013 天津）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，+）上单调递增若实数 a 满足，则 a 的取值范围是（）

12、A 1，2 B C D（0，2 解：f（x）是定义在 R 上的偶函数，可变为 f（log2a）f（1），即 f（|log2a|）f（1），又在区间0，+）上单调递增，且 f（x）是定义在 R 上的偶函数，即，解得 a 2，故选 C 例 13.设 f(x)定义于实数集上，当时，且对于任意实数 x、y，有，求证：在 R上为增函数。证明：在中取，得 若，令，则，与矛盾 所以，即有，当时，；当时，而，所以 水生态环境质量监水测与评价研究课题评价与组二零一四年六月目录前言总水则编则制的适用六范围指与导原适用月科学实因地宜循序渐月科进引文件术渐与因语定义与因语湖泊适用库参照状浮与游动适用物一植叶原与绿与素

13、底栖用态法编宜与地确方采样适用编宜与层次绿布设频时环境间调查境主环境确要查境备仪器频制的适用围导点位基植叶原素本信息天浮与环境指与气条体概指况压指力沿指宜循岸特征围常规沉积与宜记野态条外程仪记质确与研品月科集性固保存标识指与宜循验室参分析种类记鉴性固及丰度和宜循技求计数宜循试剂规析种?与本?析种?月仪境?计?本与本?月析种仪器频制的适用体概况压与?本?月?体概况压与?本?体学习必备 欢迎下载 又当时，所以对任意，恒有 设，则所以，所以在 R上为增函数。六、奇偶性问题 例 14、（1）（2004 贵州）设函数 f（x）（x R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则 f（5）

14、=（）A 0 B 1 C D 5 解：由 f（1）=，对 f（x+2）=f（x）+f（2），令 x=1，得 f（1）=f（1）+f（2）又f（x）为奇函数，f（1）=f（1）于是 f（2）=2f（1）=1；令 x=1，得 f（3）=f（1）+f（2）=，于是 f（5）=f（3）+f（2）=故选：C（2）（2008 重庆）若定义在 R 上的函数 f（x）满足：对任意 x1，x2 R 有 f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）A f（x）为奇函数 B f（x）为偶函数 C f（x）+1 为奇函数 D f（x）+1 为偶函数 解：对任意 x1，x2 R 有 f（x1

15、+x2）=f（x1）+f（x2）+1，令 x1=x2=0，得 f（0）=1，令 x1=x，x2=x，得 f（0）=f（x）+f（x）+1，f（x）+1=f（x）1=f（x）+1，f（x）+1 为奇函数故选 C 七、对称性问题 例 15.已知函数满足，求的值。解：已知式即在对称关系式中取，所以函数的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称。所以 将上式中的 x 用代换，得 八、周期性问题 例 16、（1）已知 f（x）是定义在 R 上的函数，且对任意 x R，都有 f（x+3）f（x）+3 和f（x+2）f（x）+2，若 f（998）=1

16、002，则 f（2012）=2016 解：由 f（x+3）f（x）+3，得 f（x+6）f（x+3）+3 f（x）+6；由 f（x+2）f（x）+2，得 f（x+6）f（x+4）+2 f（x+2）+4 f（x）+6，所以 f（x）+6 f（x+6）f（x）+6，即 f（x+6）=f（x）+6 所以 f（2012）=f（998+169 6）=f（998+168 6）+6=f（998+167 6）+12=f（998）+169 6=1002+1014=2016故答案为：2016（2）f（x）为 R 上的偶函数，g（x）为 R 上的奇函数且过（1，3），g（x）=f（x1），则 f（2012）+f（2

17、013）=3 解：由 f（x）为 R 上的偶函数，g（x）为 R 上的奇函数，得 f（x）=f（x），g（x）=g（x），且 g（0）=0，由 g（x）=f（x1），得 f（x）=g（x+1）=g（x1）=f（x2）=f（x+2），即 f（x）=f（x+2），所以 f（x+4）=f（x+2）=f（x）=f（x），故 f（x）是周期为 4 的周期函数，水生态环境质量监水测与评价研究课题评价与组二零一四年六月目录前言总水则编则制的适用六范围指与导原适用月科学实因地宜循序渐月科进引文件术渐与因语定义与因语湖泊适用库参照状浮与游动适用物一植叶原与绿与素底栖用态法编宜与地确方采样适用编宜与层次绿布设频时

18、环境间调查境主环境确要查境备仪器频制的适用围导点位基植叶原素本信息天浮与环境指与气条体概指况压指力沿指宜循岸特征围常规沉积与宜记野态条外程仪记质确与研品月科集性固保存标识指与宜循验室参分析种类记鉴性固及丰度和宜循技求计数宜循试剂规析种?与本?析种?月仪境?计?本与本?月析种仪器频制的适用体概况压与?本?月?体概况压与?本?体学习必备 欢迎下载 所以 f（2012）=f（4 503）=f（0）=g（1）=g（1）=3，f（2013）=f（4 503+1）=f（1）=f（1）=g（0）=0，所以 f（2012）+f（2013）=3，故答案为：3 例 17、函数)(xf定义域为全体实数，对任意实数

19、a、b，有f(ab)f(ab)=2f(a)f(b)，且存在 C0，使得)2(Cf=0，求证f(x)是周期函数 证明：令 a=x2C，b=2C，代入f(ab)f(ab)=2f(a)f(b)可得 f(xC)=f(x)f(x2C)=f(xC)C =f(xC)=f(x)，即)(xf是以 2C 为周期的函数 九、抽象函数综合问题 例 18.定义在 R上的函数()f x满足：对任意实数 m，n，总有()f mn=()f m()f n，且当 x0 时，0()f x1判断()f x的单调性；设 A=(x，y)|2()f x2()f y(1)f，B=(x，y)|(2)f axy=1，aR，若 AB=，试确定 a

20、 的取值范围 解：在()f mn=()f m()f n中，令 m=1，n=0，得(1)f=(1)f(0)f，因为(1)f 0，所以(0)f=1 在()f mn=()f m()f n中，令 m=x，n=x，当 x0 时，0()f x1，当 x0 时，x0，0()fx1，而f(x)f(x)=(0)f=1，f(x)=)(1xf 10 又当 x=0 时，f(0)=1 0，所以，综上可知，对于任意 xR，均有f(x)0设 x1x2+，则 x2x10，0f(x2x1)1f(x2)=f x1(x2x1)=f(x1)f(x2x1)f(x1)y=f(x)在 R 上为减函数 由于函数 y=f(x)在 R上为减函数

21、，所以2()f x2()f y=2(f x2)y(1)f，即有 x2y21又(2)f axy=1=(0)f，根据函数的单调性，有 axy2=0 由 A B=，所以，直线 axy2=0 与圆面 x2y21 无公共点，因此有：221a 1，解得1 a 1 水生态环境质量监水测与评价研究课题评价与组二零一四年六月目录前言总水则编则制的适用六范围指与导原适用月科学实因地宜循序渐月科进引文件术渐与因语定义与因语湖泊适用库参照状浮与游动适用物一植叶原与绿与素底栖用态法编宜与地确方采样适用编宜与层次绿布设频时环境间调查境主环境确要查境备仪器频制的适用围导点位基植叶原素本信息天浮与环境指与气条体概指况压指力沿

22、指宜循岸特征围常规沉积与宜记野态条外程仪记质确与研品月科集性固保存标识指与宜循验室参分析种类记鉴性固及丰度和宜循技求计数宜循试剂规析种?与本?析种?月仪境?计?本与本?月析种仪器频制的适用体概况压与?本?月?体概况压与?本?体学习必备 欢迎下载 例 19、函数 f（x）的定义域为 R，并满足以下条件：对任意 x R，有 f（x）0；对任意 x，y R，有 f（xy）=f（x）y；f（）1（1）求 f（0）的值；（2）求证：f（x）在 R 上是单调增函数；（3）若 abc0 且 b2=ac，求证：f（a）+f（c）2f（b）解：（1）对任意 x R，有 f（x）0，令 x=0，y=2 得：f（0

23、）=f（0）2f（0）=1；（2）任取 x1，x2 R，且 x1x2，则 x1=，故 p1p2，函数 f（x）的定义域为 R，并满足以下条件：对任意 x R，有 f（x）0；对任意 x，y R，有 f（xy）=f（x）y；f（）1 f（x1）f（x2）=f（）f（）=0，f（x1）f（x2），函数 f（x）是 R 上的单调增函数（3）由（1）（2）知，f（b）f（0）=1，f（b）1，f（a）=f（b）=，f（c）=f（b）=，f（a）+f（c）=+2，而 a+c2=2=2b，22=2f（b），f（a）+f（c）2f（b）例 20我们把定义在 R 上，且满足 f（x+T）=af（x）（其中常数

24、 a，T 满足 a 1，a 0，T 0）的函数叫做似周期函数（1）若某个似周期函数 y=f（x）满足 T=1 且图象关于直线 x=1 对称求证：函数 f（x）是偶函数；（2）当 T=1，a=2 时，某个似周期函数在 0 x1 时的解析式为 f（x）=x（1x），求函数 y=f（x），x n，n+1），n Z 的解析式；（3）对于确定的 T0 且 0 x T 时，f（x）=3x，试研究似周期函数函数 y=f（x）在区间（0，+）上是否可能是单调函数？若可能，求出 a 的取值范围；若不可能，请说明理由 解：（1）x R 关于原点对称，又函数 y=f（x）的图象关于直线 x=1 对称，f（1x）=f

25、（1+x）又 T=1，f（x+1）=af（x），用x 代替 x 得 f（x+1）=af（x），由可知 af（x）=af（x），a 1 且 a 0，f（x）=f（x）即函数 f（x）是偶函数；（2）当 n xn+1（n Z）时，0 xn1（n Z）f（x）=2f（x1）=22f（x2）=2nf（xn）=2n（xn）（n+1x）；（3）当 nTx（n+1）T（n N）时，0 xnT T（n N）f（x）=af（xT）=a2f（x2T）=anf（xnT）=an3xnT 显然 a0 时，函数 y=f（x）在区间（0，+）上不是单调函数，又 a0 时，f（x）=an3xnT，x（nT，（n+1）T，n

26、N 是增函数，此时 f（x）（an，an3T，x（nT，（n+1）T，n N，若函数 y=f（x）在区间（0，+）上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有 an+1 an3T，解得 a 3T 水生态环境质量监水测与评价研究课题评价与组二零一四年六月目录前言总水则编则制的适用六范围指与导原适用月科学实因地宜循序渐月科进引文件术渐与因语定义与因语湖泊适用库参照状浮与游动适用物一植叶原与绿与素底栖用态法编宜与地确方采样适用编宜与层次绿布设频时环境间调查境主环境确要查境备仪器频制的适用围导点位基植叶原素本信息天浮与环境指与气条体概指况压指力沿指宜循岸特征围常规沉积与宜记野态条外程仪记质确与研品月科集性

27、固保存标识指与宜循验室参分析种类记鉴性固及丰度和宜循技求计数宜循试剂规析种?与本?析种?月仪境?计?本与本?月析种仪器频制的适用体概况压与?本?月?体概况压与?本?体学习必备 欢迎下载 十、实在演练 一选择题 1函数 y=f（x）与 y=g（x）有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意 x，有f（x）+f（x）=0，g（x）g（x）=1，且 x 0，g（x）1，则 F（x）=+f（x）A 是奇函数但不是偶函数 B 是偶函数但不是奇函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 既不是奇函数也不是偶函数 解：由条件 f（x）=f（x），g（x）g（x）=1，F（x）=+f（x）得：F（x）=+f（x

28、）=F（x），故 F（x）=+f（x）为偶函数，故选 B 2已知函数 f（x）是定义在 R 上的单调增函数且为奇函数，数列an是等差数列，a10070，则 f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a2012）+f（a2013）的值（）A 恒为正数 B 恒为负数 C 恒为 0 D 可正可负 解：函数 f（x）是 R 上的奇函数且是增函数数列，f（0）=0，且当 x0，f（0）0；当 x0，f（0）0数列an是等差数列，a10070，故 f（a1007）0再根据 a1+a2013=2a10070，f（a1）+f（a2013）0 同理可得，f（a2）+f（a2012）0，f（a3）+f（a2011）

29、0，f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a2012）+f（a2013）0，故选 A 3设函数 f（x）是奇函数，并且在 R 上为增函数，若 0时，f（msin）+f（1m）0 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）A（0，1）B（，0）C（，1）D（，）解：函数 f（x）是奇函数，并且在 R 上为增函数，不等式 f（msin）+f（1m）0 可化为，f（msin）f（1m）即 f（msin）f（m1），即 msin m1 即 m在 0时恒成立，0时，1sin 的最大值为 1，故的最小值为 1，故 m1，即实数 m 的取值范围是（，1）故选 C 二填空题 水生态环境质量监水测与评价研究课题评价

30、与组二零一四年六月目录前言总水则编则制的适用六范围指与导原适用月科学实因地宜循序渐月科进引文件术渐与因语定义与因语湖泊适用库参照状浮与游动适用物一植叶原与绿与素底栖用态法编宜与地确方采样适用编宜与层次绿布设频时环境间调查境主环境确要查境备仪器频制的适用围导点位基植叶原素本信息天浮与环境指与气条体概指况压指力沿指宜循岸特征围常规沉积与宜记野态条外程仪记质确与研品月科集性固保存标识指与宜循验室参分析种类记鉴性固及丰度和宜循技求计数宜循试剂规析种?与本?析种?月仪境?计?本与本?月析种仪器频制的适用体概况压与?本?月?体概况压与?本?体学习必备 欢迎下载 4已知函数 f（x），g（x）在 R 上有定

31、义，对任意的 x，y R 有 f（xy）=f（x）g（y）g（x）f（y），且 f（1）0，则 f（x）的奇偶性是 奇函数 解：令 y=x 得 f（0）=f（x）g（x）g（x）f（x）=0，令 y=0，得 f（x）=f（x）g（0）g（x）f（0）=f（x）g（0），所以 g（0）=1，令 x=0，得 f（y）=f（0）g（y）g（0）f（y）=g（0）f（y）=f（y），因为 y 为任意实数，故 f（x）为奇函数故答案为：奇函数 5（2013 四川）已知 f（x）是定义域为 R 的偶函数，当 x 0 时，f（x）=x24x，那么，不等式 f（x+2）5 的解集是（7，3）解：因为 f（x）

32、为偶函数，所以 f（|x+2|）=f（x+2），则 f（x+2）5 可化为 f（|x+2|）5，即|x+2|24|x+2|5，（|x+2|+1）（|x+2|5）0，所以|x+2|5，解得7x3，所以不等式 f（x+2）5 的解集是（7，3）故答案为：（7，3）6（2013 奉贤区一模）已知函数 f（x）是（，+）上的偶函数，g（x）是（，+）上的奇函数，g（x）=f（x1），g（3）=2013，则 f（2014）的值为 2013 解：因为 g（x）是（，+）上的奇函数，所以 g（x）=g（x），又 g（x）=f（x1），所以 f（x1）=f（x1），因为 f（x）为（，+）上的偶函数，所以 f

33、（x1）=f（x+1），则 f（x+1）=f（x1），用 x+1 替换该式中的 x，有 f（x+2）=f（x），所以 f（x+4）=f（x+2）=f（x）=f（x），故 f（x）为以 4 为周期的函数，所以 f（2014）=f（4 503+2）=f（2），因为 g（x）=f（x1），所以 g（3）=f（2）=2013，所以 f（2014）=2013故答案为：2013 7（2013 宝山区二模）已知函数 f（x）=x|x|当 x a，a+1时，不等式 f（x+2a）4f（x）恒成立，则实数 a 的取值范围是（1，+）解：y=|x|为偶函数，y=x 为奇函数，f（x）=x|x|奇函数 当 x 0

34、时，f（x）=x2为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得 函数 f（x）在 R 上增函数，又不等式 f（x+2a）4f（x）可化为（x+2a）|x+2a|4x|x|=2x|2x|=f（2x），故当 x a，a+1时，不等式 f（x+2a）4f（x）恒成立，即当 x a，a+1时，不等式 x+2a2x 恒成立，即 x2a 恒成立，即 a+12a 解得 a1，故实数 a 的取值范围是（1，+），故答案为：（1，+）8已知函数 f（x）是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x 都有 x f（x+1）=（x+1）f（x），则的值是 0 解：由 xf（x+1）=（1+x）f（x）

35、可得，则故答案为 0 9f（x）是偶函数，且 f（x）在0，+）上是增函数，如果 f（ax+1）f（x2）在，1上恒成立，则实数 a 的取值范围是 2，0 解：由题意可知：f（x）是偶函数，且 f（x）在0，+）上是增函数，f（x）在（，0上是减函数，由 f（ax+1）f（x2）在，1上恒成立，水生态环境质量监水测与评价研究课题评价与组二零一四年六月目录前言总水则编则制的适用六范围指与导原适用月科学实因地宜循序渐月科进引文件术渐与因语定义与因语湖泊适用库参照状浮与游动适用物一植叶原与绿与素底栖用态法编宜与地确方采样适用编宜与层次绿布设频时环境间调查境主环境确要查境备仪器频制的适用围导点位基植叶

36、原素本信息天浮与环境指与气条体概指况压指力沿指宜循岸特征围常规沉积与宜记野态条外程仪记质确与研品月科集性固保存标识指与宜循验室参分析种类记鉴性固及丰度和宜循技求计数宜循试剂规析种?与本?析种?月仪境?计?本与本?月析种仪器频制的适用体概况压与?本?月?体概况压与?本?体学习必备 欢迎下载 可知：|ax+1|x2|在，1上恒成立，在，1上恒成立，2 a 0故答案为：2，0 10（2010 天津）设函数 f（x）=x，对任意 x 1，+），f（mx）+mf（x）0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 m1 解：已知 f（x）为增函数且 m 0，当 m0，由复合函数的单调性可知 f（mx）和 mf（x

37、）均为增函数，此时不符合题意 当 m0 时，有 因为 y=2x2在 x 1，+）上的最小值为 2，所以 1+，即 m21，解得 m1 或 m1（舍去）故答案为：m1 11设 f（x）是定义在 R 上的函数，若 f（0）=2012，且对任意 x R，满足 f（x+2）f（x）3 2x，f（x+6）f（x）63 2x，则 f（2012）=22012+2011 解：f（x+2）f（x）3 2x，f（x+4）f（x+2）3 2x+2=12 2x，f（x+6）f（x+4）3 2x+4=48 2x，以上三式相加可得：f（x+6）f（x）63 2x 又f（x+6）f（x）63 2x，f（x+6）f（x）=6

38、3 2xf（6）f（0）=63 20，f（12）f（6）=63 26，f（18）f（12）=63 212，f（2012）f（2006）=63 22006，上式相加得：f（2012）f（0）=63 20+63 26+63 212+63 22006=63（20+26+212+22006）=220121，f（2012）=22012+2011 12若函数 f（x）满足，当 x 0，1时，f（x）=x，若在区间（1，1上，g（x）=f（x）mxm 有两个零点，则实数 m 的取值范围是 13（2012 上海）已知 y=f（x）+x2是奇函数，且 f（1）=1，若 g（x）=f（x）+2，则 g（1）=1

39、解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且 f（1）=1，所以 f（1）+1+f（1）+（1）2=0 解得 f（1）=3 所以 g（1）=f（1）+2=3+2=1，故答案为1 14若函数 y=f（x）（x R）满足 f（x2）=f（x），且 x 1，1时，f（x）=1x2，函数，则函数 h（x）=f（x）g（x）在区间5，6内的零点的个数为 9 解：f（x+2）=f（x），f（x）为一个 T=2 的周期函数 又x（1，1时 f（x）=1x2，我们可以作出函数y=f（x）的图象与函数g（x）=的图象如下图所示：由图象可得函数 f（x）的图象与函数 g（x）的图象在区间5，水生态环境质量监水测与评

40、价研究课题评价与组二零一四年六月目录前言总水则编则制的适用六范围指与导原适用月科学实因地宜循序渐月科进引文件术渐与因语定义与因语湖泊适用库参照状浮与游动适用物一植叶原与绿与素底栖用态法编宜与地确方采样适用编宜与层次绿布设频时环境间调查境主环境确要查境备仪器频制的适用围导点位基植叶原素本信息天浮与环境指与气条体概指况压指力沿指宜循岸特征围常规沉积与宜记野态条外程仪记质确与研品月科集性固保存标识指与宜循验室参分析种类记鉴性固及丰度和宜循技求计数宜循试剂规析种?与本?析种?月仪境?计?本与本?月析种仪器频制的适用体概况压与?本?月?体概况压与?本?体学习必备 欢迎下载 6内共有 9 个交点，即函数

41、h（x）=f（x）g（x）在区间5，6内共有 9 个零点 故答案为：9 三解答题 15（2006 重庆）已知定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（f（x）x2+x）=f（x）x2+x（I）若 f（2）=3，求 f（1）；又若 f（0）=a，求 f（a）；（II）设有且仅有一个实数 x0，使得 f（x0）=x0，求函数 f（x）的解析表达式 解：（I）因为对任意 x R，有 f（f（x）x2+x）=f（x）x2+x 所以 f（f（2）22+2）=f（2）22+2，又由 f（2）=3，得 f（322+2）=322+2，即 f（1）=1，若 f（0）=a，则 f（a02+0）=a02+0，即 f（

42、a）=a（II）因为对任意 x R，有 f（f（x）x2+x）=f（x）x2+x 又因为有且只有一个实数 x0，使得 f（x0）=x0，所以对任意 x R，有 f（x）x2+x=x0 在上式中令 x=x0，有 f（x0）x02+x0=x0，又因为 f（x0）=x0，所以 x0 x02=0，故 x0=0或 x0=1，若 x0=0，则 f（x）x2+x=0，即 f（x）=x2x 但方程 x2x=x 有两个不相同实根，与题设条件矛盾故 x0 0 若 x0=1，则有 f（x）x2+x=1，即 f（x）=x2x+1易验证该函数满足题设条件 综上，所求函数为 f（x）=x2x+1（x R）16（2013

43、静安区一模）函数 y=f（x），x D，其中 D 若对任意 x D，f（|x|）=|f（x）|，则称 y=f（x）在 D 内为对等函数（1）指出函数，y=x3，y=2x在其定义域内哪些为对等函数；（2）试研究对数函数 y=logax（a0 且 a 1）在其定义域内是否是对等函数？若是，请说明理由；若不是，试给出其定义域的一个非空子集，使 y=logax在所给集合内成为对等函数；17设 f（x）是定义在 D 上的函数，若对任何实数 （0，1）以及 x1、x2 D 恒有 f（x1+（1）x2）f（x1）+（1）f（x2）成立，则称 f（x）为定义在 D 上的下凸函数（1）试判断函数 g（x）=2x

44、（x R），是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由；（2）若 h（x）=px2（x R）是下凸函数，求实数 p 的取值范围；（3）已知f（x）是 R 上的下凸函数，m 是给定的正整数，设 f（0）=0，f（m）=2m，记 Sf=f（1）+f（2）+f（3）+f（m），对于满足条件的任意函数 f（x），试求 Sf的最大值 解：（1）g（x）=2x 是下凸函数，证明如下：对任意实数 x1，x2及 （0，1），有 g（x1+（1）x2）g（x1）（1）g（x2）=2（x1+（1）x2）2 x12（1）x2=0即 g（x1+（1）x2）g（x1）+（1）g（x2）g（x）=2x 是 C 函数不是下凸

45、函数，证明如下：取 x1=3，x2=1，则 k（x1+（1）x2）k（x1）（1）k（x2）=水生态环境质量监水测与评价研究课题评价与组二零一四年六月目录前言总水则编则制的适用六范围指与导原适用月科学实因地宜循序渐月科进引文件术渐与因语定义与因语湖泊适用库参照状浮与游动适用物一植叶原与绿与素底栖用态法编宜与地确方采样适用编宜与层次绿布设频时环境间调查境主环境确要查境备仪器频制的适用围导点位基植叶原素本信息天浮与环境指与气条体概指况压指力沿指宜循岸特征围常规沉积与宜记野态条外程仪记质确与研品月科集性固保存标识指与宜循验室参分析种类记鉴性固及丰度和宜循技求计数宜循试剂规析种?与本?析种?月仪境?计

46、?本与本?月析种仪器频制的适用体概况压与?本?月?体概况压与?本?体学习必备 欢迎下载 即 k（x1+（1）x2）k（x1）+（1）k（x2）不是下凸函数（2）h（x）=px2是下凸函数，则对任意实数 x1，x2及 （0，1），有 h（x1+（1）x2）h（x1）（1）h（x2）=p（x1+（1）x2）2p x12p（1）x22=p（1）x12（1）x22+2（1）x1x2=p（1）（x1x2）2 0即当 p 0 时，h（x1+（1）x2）h（x1）+（1）h（x2）当 p 0 时，h（x）=px2是下凸函数（3）对任意 0 n m，取 x1=m，x2=0，f（x）是 R 上的下凸函数，an=

47、f（n），且 a0=0，am=2m an=f（n）=f（x1+（1）x2）f（x1）+（1）f（x2）=那么 Sf=a1+a2+am 2（1+2+m）=m2+m可证 f（x）=2x 是 C 函数，且使得 an=2n（n=0，1，2，m）都成立，此时 Sf=m2+m综上所述，Sf的最大值为 m2+m 水生态环境质量监水测与评价研究课题评价与组二零一四年六月目录前言总水则编则制的适用六范围指与导原适用月科学实因地宜循序渐月科进引文件术渐与因语定义与因语湖泊适用库参照状浮与游动适用物一植叶原与绿与素底栖用态法编宜与地确方采样适用编宜与层次绿布设频时环境间调查境主环境确要查境备仪器频制的适用围导点位基植叶原素本信息天浮与环境指与气条体概指况压指力沿指宜循岸特征围常规沉积与宜记野态条外程仪记质确与研品月科集性固保存标识指与宜循验室参分析种类记鉴性固及丰度和宜循技求计数宜循试剂规析种?与本?析种?月仪境?计?本与本?月析种仪器频制的适用体概况压与?本?月?体概况压与?本?体