高三数学二轮专题复习教案――数列中学教育高考_中学教育-高考.pdf

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1、高三数学二轮专题复习教案数列 一、本章知识结构：二、重点知识回顾 数列的概念及表示方法 （）定义：按照一定顺序排列着的一列数 （）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法 （）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列 （）na与nS的关系：11(1)(2)nnnS naSSn 2等差数列和等比数列的比较 （）定义：从第 2 项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第 2 项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为 0）的数列叫做等比数列 （）递推公式：110nnnnaadaaqqnN，（）通项公式：

2、111(1)nnnaandaa qn N，（）性质 等差数列的主要性质：单调性：0d时为递增数列，0d时为递减数列，0d 时为常数列 若mnpq ，则()mnpqaaaamnpqN，特别地，当2mnp 时，有2mnpaaa ()()nmaanm d mnN，232kkkkkSSSSS，成等差数列 等比数列的主要性质：单调性：当1001aq，或101aq时，为递增数列；当101aq，或1001aq 时，为递减数列；当0q 时，为摆动数列；当1q 时，为常数列 若mnpq ，则()mnpqaaaamnpqN，特别地，若2mnp，则2mnpaaa (0)n mnmaqmnqaN，232kkkkkSS

3、SSS，当1q 时为等比数列；当1q 时，若k为偶数，不是等比数列若k为奇数，是公比为1的等比数列 三、考点剖析 考点一：等差、等比数列的概念与性质 例 1.（2008 深圳模拟）已知数列.122nnSnann项和的前 （1）求数列na的通项公式；（2）求数列.|nnTna项和的前 解：（1）当111112,1211San时；、当.213)1()1(12)12(,2221nnnnnSSannnn时，.213111的形式也符合na.213,naann的通项公式为数列所以、（2）令.6,0213*nnnan解得又N 当2212112|,6nnSaaaaaaTnnnnn时；当|,67621nnaaa

4、aaTn时 naaaaaa87621 .7212)12()6612(222226nnnnSSn 综上，.6,7212,6,1222nnnnnnTn 点评：本题考查了数列的前 n 项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意 n时情况，在解题时经常会忘记。第二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想 例、（2008 广东双合中学）已知等差数列na的前 n 项和为nS，且35a，15225S.数列nb是等比数列，32325,128baa b b（其中1,2,3,n）.（I）求数列na和nb的通项公式；（II）记,nnnnnca bcnT求数列前 项和.解：（I）公差为 d，则,22571515,521

5、1dada 12,2,11nadan故(1,2,3,n).设等比数列nb的公比为q，,128,82333qbqbb则 .2,83qb 的一列数表示方法列表法解析法通项公式法和递推公式法图象法分类按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列按项与项之间的大小关系可分为单调数列摆动数列和常数列与的关系等差数列和等比数列的比较定义从第项起每一项比数列递推公式通项公式性质等差数列的主要性质时为递增数列单调性时为递减数列时为常数列若则特别地当时有成等差数列等比数列的主要性质单调性当或时为递增数列当或时为递减数列当时为摆动数列当时为常数列若则特别地概念与性质例深圳模拟已知数列项和的前求数列的通项公式求数列项和

6、的前解当时当时也符合的形式数列的通项公式为所以令又解得当时当时综上点评本题考查了数列的前项与数列的通项公式之间的关系特别要注意时情况在解题时 nnnqbb233(1,2,3,n).（II）,2)12(nnnc 2323 25 2(21)2,nnTn .2)12(2)32(2523221432nnnnnT 作差：115432)12(22222nnnnT 3112(12)2(21)212nnn 31122122(21)(21)222822nnnnnnn 162(23)nn 1(23)26nnTn(1,2,3,n).点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前 n 项和的解法，要抓住它

7、的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。考点二：求数列的通项与求和 例 3.（2008 江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（3n）从左向右的第 3 个数为 解：前 n1 行共有正整数 12（n1）个，即22nn个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第22nn3个，即为262nn 点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。例 4.（2008 深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运

8、会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图 形 包 含()f n个“福娃迎迎”，则(5)f ；()(1)f nf n 解：第 1 个图个数：1 第 2 个图个数：1+3+1 第 3 个图个数：1+3+5+3+1 第 4 个图个数：1+3+5+7+5+3+1 第 5 个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=41，所以，f（）f(2)-f(1)=，f()-f()=，f()-f()=，f()-f()=()(1)f nf n 4(1)n 点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了

9、转化与化归的数学思想。考点三：数列与不等式的联系 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 的一列数表示方法列表法解析法通项公式法和递推公式法图象法分类按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列按项与项之间的大小关系可分为单调数列摆动数列和常数列与的关系等差数列和等比数列的比较定义从第项起每一项比数列递推公式通项公式性质等差数列的主要性质时为递增数列单调性时为递减数列时为常数列若则特别地当时有成等差数列等比数列的主要性质单调性当或时为递增数列当或时为递减数列当时为摆动数列当时为常数列若则特别地概念与性质例深圳模拟已知数列项和的前求数列的通项公式求数列项和的前解当时当

10、时也符合的形式数列的通项公式为所以令又解得当时当时综上点评本题考查了数列的前项与数列的通项公式之间的关系特别要注意时情况在解题时例 5.（届高三湖南益阳）已知等比数列na的首项为311a，公比q满足10qq且。又已知1a，35a，59a成等差数列。（1）求数列na的通项 （2）令nanb13log，求证：对于任意nN，都有1 22 311111.12nnbbb bb b （1）解：3152 59aaa 24111109a qaa q 4291010qq 10qq且 13q 113nnnaa q （2）证明：133loglog 3nannbn ，11111(1)1nnb bn nnn 1 22

11、31111111111.1122311nnbbb bb bnnn 1 22 311111.12nnbbb bb b 点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由 n 的范围证出不等式。例、(2008 辽宁理)在数列|na，|nb中，a1=2，b1=4，且1nnnaba，成等差数列，11nnnbab，成等比数列（n*N）（）求 a2，a3，a4 及 b2，b3，b4，由此猜测|na，|nb的通项公式，并证明你的结论；（）证明：1122111512nnababab 解：（）由条件得21112nnnnnnbaaab b，由此可得 2233

12、446912162025ababab，猜测2(1)(1)nnan nbn，用数学归纳法证明：当 n=1 时，由上可得结论成立 假设当 n=k 时，结论成立，即 2(1)(1)kkak kbk，那么当 n=k+1 时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kkkkkkaabakk kkkbkb ，所以当 n=k+1 时，结论也成立 由，可知2(1)(1)nnan nb n，对一切正整数都成立（）11115612ab n2 时，由（）知(1)(21)2(1)nnabnnnn 的一列数表示方法列表法解析法通项公式法和递推公式法图象法分类按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列按项与项之间的大

13、小关系可分为单调数列摆动数列和常数列与的关系等差数列和等比数列的比较定义从第项起每一项比数列递推公式通项公式性质等差数列的主要性质时为递增数列单调性时为递减数列时为常数列若则特别地当时有成等差数列等比数列的主要性质单调性当或时为递增数列当或时为递减数列当时为摆动数列当时为常数列若则特别地概念与性质例深圳模拟已知数列项和的前求数列的通项公式求数列项和的前解当时当时也符合的形式数列的通项公式为所以令又解得当时当时综上点评本题考查了数列的前项与数列的通项公式之间的关系特别要注意时情况在解题时故11221111111162 2 33 4(1)nnabababn n 11 11111162 23341n

14、n 11 1111562 216412n 综上，原不等式成立 点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力 例.（2008 安徽理）设数列na满足3*010,1,nnaacac cNc 其中为实数（）证明：0,1na 对任意*nN成立的充分必要条件是0,1c；（）设103c，证明：1*1(3),nnacnN;（）设103c，证明：222*1221,1 3naaannNc 解：(1)必要性：120,1aac ，又 20,1,011ac ，即0,1c 充分性：设 0,1c，对*nN用数学归纳法证明0,1na 当1n 时，

15、100,1a .假设0,1(1)kak 则31111kkacaccc ，且31110kkacacc 10,1ka，由数学归纳法知0,1na 对所有*nN成立 (2)设 103c，当1n 时，10a，结论成立 当2n 时，3211111,1(1)(1)nnnnnnacacacaaa 103C,由（1）知10,1na，所以 21113nnaa 且 110na 113(1)nnaca 21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)nnnnnacacacac 1*1(3)()nnacnN (3)设 103c，当1n 时，212021 3ac ，结论成立 当2n 时，由（2）知11(3)0nnac

16、 的一列数表示方法列表法解析法通项公式法和递推公式法图象法分类按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列按项与项之间的大小关系可分为单调数列摆动数列和常数列与的关系等差数列和等比数列的比较定义从第项起每一项比数列递推公式通项公式性质等差数列的主要性质时为递增数列单调性时为递减数列时为常数列若则特别地当时有成等差数列等比数列的主要性质单调性当或时为递增数列当或时为递减数列当时为摆动数列当时为常数列若则特别地概念与性质例深圳模拟已知数列项和的前求数列的通项公式求数列项和的前解当时当时也符合的形式数列的通项公式为所以令又解得当时当时综上点评本题考查了数列的前项与数列的通项公式之间的关系特别要注意时情况

17、在解题时21 212(1)1(1(3)12(3)(3)12(3)nnnnnacccc 2222221122123(3)(3)nnnaaaaanccc 2(1(3)2111 31 3ncnncc 点评：本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意，加强训练。考点四：数列与函数、概率等的联系 例题.(2008福建理)已知函数321()23f xxx.（）设an 是正数组成的数列，前 n 项和为 Sn，其中 a1=3.若点211(,2)nnnaaa(nN*)在函数 y=f(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在 y=f(x)的图象上；（）求函数 f(x)在区间（a-1,a

18、）内的极值.()证明：因为321()2,3f xxx所以f(x)=x2+2x,由点211(,2)(N)nnnaaan在函数 y=f(x)的图象上,又0(N),nan所以11()(2)0,nnnnaaaa 所以2(1)32=22nn nSnnn,又因为f(n)=n2+2n,所以()nSfn,故点(,)nn S也在函数 y=f(x)的图象上.()解:2()2(2)fxxxx x,由()0,fx 得02xx 或.当 x 变化时,()fx()f x的变化情况如下表:注意到(1)12aa ,从而 当212,21,()(2)3aaaf xf 即时的极大值为,此时()f x无极小值；当10,01,()aaa

19、f x 即时的极小值为(0)2f,此时()f x无极大值；当2101,()aaaf x 或或时既无极大值又无极小值.点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.例、（江西理）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数 列的概率为（）解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为 0 的有 6 个；（2）公差为 1或-1的有 8 个；（3）公差为 2 或-2的有 4 个，共有 18 个，x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)极大值 极小值 的一列数表示

20、方法列表法解析法通项公式法和递推公式法图象法分类按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列按项与项之间的大小关系可分为单调数列摆动数列和常数列与的关系等差数列和等比数列的比较定义从第项起每一项比数列递推公式通项公式性质等差数列的主要性质时为递增数列单调性时为递减数列时为常数列若则特别地当时有成等差数列等比数列的主要性质单调性当或时为递增数列当或时为递减数列当时为摆动数列当时为常数列若则特别地概念与性质例深圳模拟已知数列项和的前求数列的通项公式求数列项和的前解当时当时也符合的形式数列的通项公式为所以令又解得当时当时综上点评本题考查了数列的前项与数列的通项公式之间的关系特别要注意时情况在解题时成等差

21、数列的概率为，选 B 点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。考点五：数列与程序框图的联系 例、（广州天河区模拟）根据如图所示的程序框图，将输出的 x、y 值依次分别记为122008,nx xxx；122008,ny yyy（）求数列nx的通项公式nx；（）写出 y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列yn；的一个通项公式 yn，并证明你的结论;（）求1122(,2008)nnnzx yx yx yxNn 解：（）由框图，知数列2,111nnnxxxx 中，12(1)21(*,2008)nxnnnNn （）y1=2，y2=8，y3=26

22、，y4=80.由此，猜想31(*,2008).nnynNn 证明：由框图，知数列yn 中，yn+1=3yn+2)1(311nnyy 1113,13.1nnyyy 数列yn+1 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列。ny+1=33n1=3n ny=3n1（*,2008nNn）（）zn=nnyxyxyx2211=1（31）+3（321）+（2n1）（3n1）=13+332+（2n1）3n1+3+（2n1）记 Sn=13+332+（2n1）3n，则 3Sn=132+333+（2n1）3n+1 ，得2Sn=3+232+233+23n（2n1）3n+1=2（3+32+3n）3（2n1）3n+1=213

23、)12(331)31(3nnn=113)12(63nnn63)1(21nn.33)1(1nnnS 又 1+3+（2n1）=n2 12(1)33(*,2008)nnznnnNn .的一列数表示方法列表法解析法通项公式法和递推公式法图象法分类按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列按项与项之间的大小关系可分为单调数列摆动数列和常数列与的关系等差数列和等比数列的比较定义从第项起每一项比数列递推公式通项公式性质等差数列的主要性质时为递增数列单调性时为递减数列时为常数列若则特别地当时有成等差数列等比数列的主要性质单调性当或时为递增数列当或时为递减数列当时为摆动数列当时为常数列若则特别地概念与性质例深圳模

24、拟已知数列项和的前求数列的通项公式求数列项和的前解当时当时也符合的形式数列的通项公式为所以令又解得当时当时综上点评本题考查了数列的前项与数列的通项公式之间的关系特别要注意时情况在解题时 点评：程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视。四、方法总结与 2009 年高考预测（一）方法总结 1.求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。2.数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。3.数列是特殊

25、的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。（二）2009 年高考预测 1.数列中nS与na的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意nS与na的关系.关于递推公式，在考试说明中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。2.探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.3.等差、等比数列的基本知识必考.这类考题

26、既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。4.求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.5.将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.6.有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。、数列与程序框图的综合题应引起高度重视。五、复习建议 在进行数列二轮复习时，建议可以具体从 以下几个方面着手:1运用基本量思想(方程思想)解决有关问题；2注意等差、等比数列的性质的

27、灵活运用；3注意等差、等比数列的前 n 项和的特征在解题中的应用；4注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；5根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；6掌握数列通项 an 与前 n 项和 Sn 之间的关系；7根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；8掌握一些数列求和的方法(1)分解成特殊数列的和(2)裂项求和(3)“错位相减”法求和 9以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用 以上关于数列二轮复习的几点建议仅供复习时参考，各校应根据自己的实际情况进行

28、增减，四星以下的学校应重在基础，对于数列的综合问题可略讲，甚至不讲 的一列数表示方法列表法解析法通项公式法和递推公式法图象法分类按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列按项与项之间的大小关系可分为单调数列摆动数列和常数列与的关系等差数列和等比数列的比较定义从第项起每一项比数列递推公式通项公式性质等差数列的主要性质时为递增数列单调性时为递减数列时为常数列若则特别地当时有成等差数列等比数列的主要性质单调性当或时为递增数列当或时为递减数列当时为摆动数列当时为常数列若则特别地概念与性质例深圳模拟已知数列项和的前求数列的通项公式求数列项和的前解当时当时也符合的形式数列的通项公式为所以令又解得当时当时综上点评本题考查了数列的前项与数列的通项公式之间的关系特别要注意时情况在解题时