三角函数相关概念法律劳动法_高等教育-大学课件.pdf

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1、学习好资料 欢迎下载 相关概念 三角函数的标准英文读音音标 正弦：sine（简写 sin）sain 余弦：cosine（简写 cos）k usain 正切：tangent（简写 tan）tnd nt 余切：cotangent（简写 cot）k utndnt 正割：secant（简写 sec）si:k nt 余割：cosecant（简写 csc）kausi:k nt 正矢：versine（简写 versin）v :sain 余矢：versed cosine（简写 vercos）v :s :dk usain 直角三角函数 直角三角函数（是锐角）三角关系 倒数关系：商的关系：平方关系：2三角规律 三

2、角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。三角函数本质：学习好资料 欢迎下载 根据三角函数定义推导公式 根据右图，有 sin=y/r;cos=x/r;tan=y/x;cot=x/y 深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB 为例：推导：首先画单位圆交 X轴于 C，D，在单位圆上有任意 A，B点。角 AOD 为，BOD为，旋转 AOB使 OB与 OD重合，形成新 AOD。A(cos，sin），B

3、(cos，sin），A(cos（-），sin（-）OA=OA=OB=OD=1,D（1,0)cos（-）-12+sin（-）2=(cos-cos）2+(sin-sin）2 和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b)/2 与（a-b)/2）单位圆定义 单位圆 六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和/2 弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：x2+y2=1 图

4、象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于 cos 和 sin。图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为 1，所以有 sin=y/1 和 cos=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1 的一种查看无限个三角形的方式。3特殊值 sin30=1/2 sin45=2/2 sin60=3/2 cos30=3/2 cos45=2/2 cos60=1/2 写正矢简写余矢简写直角三角函数直角三角函数是锐角三角关系倒数关系商的关系平方关系三角

5、规律三角函数看似很多很复杂但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系而掌握三角函数的右图有深刻理解了这一点下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来比如以推导为例推导首先画单位圆交轴于在单位圆上有任意点角为为旋转使与重合形成新和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出换与单位圆定义单对多数角它都依赖于直角三角形但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义而不只是对于在和弧度之间的角它也供了一个图象把所有重要的三角函数都包含了根据勾股定理单位圆的等式是图象中给出了用弧度学习好资料 欢迎下载 tan30=3/3 tan45=1 tan60=31 c

6、ot30=3 cot45=1 cot60=3/3 sin15=（6-2）/4 sin75=（6+2）/4 cos15=（6+2）/4 cos75=（6-2）/4（这四个可根据 sin（4530）=sin4 5cos30cos45sin30得出）sin18=(5-1)/4(这个值在高中竞赛和自招中会比较有用，即黄金分割的一半)4重要定理 正弦定理 正弦定理：在ABC中，a/sin A=b/sin B=c/sin C=2R 其中，R为ABC的外接圆的半径。余弦定理 余弦定理：在ABC中，b2=a2+c2-2accos。其中，为边 a 与边 c 的夹角。5常用公式 诱导公式 三角函数的诱导公式（六公

7、式）公式一：sin(+k*2)=sin cos(+k*2)=cos tan(+k*)=tan 公式二：sin(+)=-sin cos(+)=-cos tan(+）=tan 公式三：sin(-)=-sin cos(-)=cos tan(-)=-tan 公式四：写正矢简写余矢简写直角三角函数直角三角函数是锐角三角关系倒数关系商的关系平方关系三角规律三角函数看似很多很复杂但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系而掌握三角函数的右图有深刻理解了这一点下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来比如以推导为例推导首先画单位圆交轴于在单位圆上有任意点角为为旋转使与重合形成

8、新和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出换与单位圆定义单对多数角它都依赖于直角三角形但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义而不只是对于在和弧度之间的角它也供了一个图象把所有重要的三角函数都包含了根据勾股定理单位圆的等式是图象中给出了用弧度学习好资料 欢迎下载 sin(-)=sin cos(-)=-cos tan(-)=-tan 公式五：sin(/2-)=cos cos(/2-)=sin 由于/2+=-（/2-），由公式四和公式五可得 公式六：sin(/2+)=cos cos(/2+)=-sin 诱导公式 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限。和（差）角公式 三角和公式 s

9、in（+）=sin cos cos+cossin cos+coscos sin-sin sin sin cos（+）=coscos cos-cossin sin-sin cos sin-sin sin cos 和差化积 积化和差 写正矢简写余矢简写直角三角函数直角三角函数是锐角三角关系倒数关系商的关系平方关系三角规律三角函数看似很多很复杂但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系而掌握三角函数的右图有深刻理解了这一点下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来比如以推导为例推导首先画单位圆交轴于在单位圆上有任意点角为为旋转使与重合形成新和差化积及积化和差用还原法

10、结合上面公式可推出换与单位圆定义单对多数角它都依赖于直角三角形但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义而不只是对于在和弧度之间的角它也供了一个图象把所有重要的三角函数都包含了根据勾股定理单位圆的等式是图象中给出了用弧度学习好资料 欢迎下载 倍角公式 二倍角 正弦 余弦 正切 三倍角 三倍角公式推导 sin（3a)3sina-4sin3a=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina（1-sin2a)+（1-2sin2a)sina=3sina-4sin3a cos3a（2cos2a-1）cosa-2（1-cos2a)cosa=cos（2a+a)=cos

11、2acosa-sin2asina=（2cos2a-1）cosa-2（1-cos2a)cosa=4cos3a-3cosa sin3a4sinasin（60+a)sin（60-a)=3sina-4sin3a=4sina（3/4-sin2a)=4sina（3/2）-sina（3/2）+sina=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin（60+a)/2cos（60-a)/2*2sin（60-a)/2cos（60+a)/2 =4sinasin（60+a)sin（60-a)cos3a4cosacos（60-a)cos（60+a)=4cos3a-3cosa=4cosa

12、(cos2a-3/4）=4cosacos2a-（3/2）2=4cosa(cosa-cos30）(cosa+cos30）写正矢简写余矢简写直角三角函数直角三角函数是锐角三角关系倒数关系商的关系平方关系三角规律三角函数看似很多很复杂但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系而掌握三角函数的右图有深刻理解了这一点下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来比如以推导为例推导首先画单位圆交轴于在单位圆上有任意点角为为旋转使与重合形成新和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出换与单位圆定义单对多数角它都依赖于直角三角形但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角

13、都有定义而不只是对于在和弧度之间的角它也供了一个图象把所有重要的三角函数都包含了根据勾股定理单位圆的等式是图象中给出了用弧度学习好资料 欢迎下载=4cosa*2cos(a+30）/2cos(a-30）/2*-2sin(a+30）/2sin(a-30）/2=-4cosasin(a+30）sin(a-30）=-4cosasin90-（60-a)sin-90+（60+a)=-4cosacos（60-a)-cos（60+a)=4cosacos（60-a)cos（60+a)tan3atanatan（60-a)tan（60+a)上述两式相比可得 tan3a=tanatan（60-a)tan（60+a)三倍

14、角 sin3=3sin-4sin3=4sin sin（/3+）sin（/3-）cos3=4cos3-3cos=4coscos（/3+）cos（/3-）tan3=tan（）*(-3+tan（）2）/(-1+3*tan（）2）=tan a tan（/3+a）tan（/3-a)其他多倍角 四倍角 sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA2-1）cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4）tan4A=（4*tanA-4*tanA3）/（1-6*tanA2+tanA4）五倍角 sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinA cos5A=16cosA5-20cosA3+5co

15、sA tan5A=tanA*（5-10*tanA2+tanA4）/（1-10*tanA2+5*tanA4）六倍角 sin6A=2*(cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*(-3+4*sinA2）cos6A=(-1+2*cosA)*（16*cosA4-16*cosA2+1）tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5）/(-1+15*tanA-15*tanA4+tanA6）七倍角 sin7A=-(sinA*（56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA6）cos7A=(cosA*（56*cosA2-112*cosA4+64*cosA6-7）

16、tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6）/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*tanA6）八倍角 sin8A=-8*(cosA*sinA*（2*sinA2-1）*(-8*sinA2+8*sinA4+1）cos8A=1+（160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2）tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA2-7*tanA4+tanA6）/（1-28*tanA2+70*tanA4-28*tanA6+tanA8）九倍角 sin9A=(sinA*(-3+4*sinA2）*（64*sinA6-96*sinA4+3

17、6*sinA2-3）cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2）*（64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3）tan9A=tanA*（9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+tanA8）/（1-36*tanA2+126*tanA4-84*tanA6+9*tanA8）十倍角 sin10A=2*(cosA*sinA*（4*sinA2+2*sinA-1）*（4*sinA2-2*sinA-1）*(-20*sinA2+5+16*sinA4）cos10A=(-1+2*cosA2）*（256*cosA8-512*cosA6+304*cosA4-48*cosA2+1）写

18、正矢简写余矢简写直角三角函数直角三角函数是锐角三角关系倒数关系商的关系平方关系三角规律三角函数看似很多很复杂但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系而掌握三角函数的右图有深刻理解了这一点下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来比如以推导为例推导首先画单位圆交轴于在单位圆上有任意点角为为旋转使与重合形成新和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出换与单位圆定义单对多数角它都依赖于直角三角形但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义而不只是对于在和弧度之间的角它也供了一个图象把所有重要的三角函数都包含了根据勾股定理单位圆的等式是图象中给出了用

19、弧度学习好资料 欢迎下载 tan10A=-2*tanA*（5-60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5*tanA8）/(-1+45*tanA2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10）N倍角 根据棣莫弗定理，（cos+i sin）n=cos(n）+i sin(n）为方便描述，令 sin=s，cos=c 考虑 n 为正整数的情形：cos(n）+i sin(n）=(c+i s)n=C(n,0)*cn+C(n,2）*c(n-2）*(i s)2+C(n,4）*c(n-4）*(i s)4+.+C(n,1）*c(n-1）*(i s)1+C(n,3）*c(n

20、-3）*(i s)3+C(n,5）*c(n-5）*(i s)5+.=；比较两边的实部与虚部 实部：cos(n）=C(n,0)*cn+C(n,2）*c(n-2）*(i s)2+C(n,4）*c(n-4）*(i s)4+.i*虚部：i*sin(n）=C(n,1）*c(n-1）*(i s)1+C(n,3）*c(n-3）*(i s)3+C(n,5）*c(n-5）*(i s)5+.对所有的自然数 n：cos(n）：公式中出现的 s 都是偶次方，而 s2=1-c2（平方关系），因此全部都可以改成以 c（也就是 cos）表示。sin(n）：当 n 是奇数时：公式中出现的 c 都是偶次方，而 c2=1-s2（

21、平方关系），因此全部都可以改成以s（也 就是 sin）表示。当 n 是偶数时：公式中出现的 c 都是奇次方，而 c2=1-s2（平方关系），因此即使再怎么换成 s，都至少会剩 c（也就是 cos）的一次方无法消掉。例.c3=c*c2=c*（1-s2），c5=c*(c2）2=c*（1-s2）2）特殊公式（sina+sin）*（sina-sin）=sin（a+）*sin（a-）证明：（sina+sin）*（sina-sin）=2 sin（+a)/2 cos(a-)/2*2 cos（+a)/2 sin(a-）/2=sin（a+）*sin（a-）坡度公式 我们通常把坡面的铅直高度h 与水平宽度 l 的

22、比叫做坡度（也叫坡比），用字母 i 表示，即 i=h/l,坡度的一般形式写成 l:m形式，如 i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a（叫做坡角），那么i=h/l=tan a.半角公式 写正矢简写余矢简写直角三角函数直角三角函数是锐角三角关系倒数关系商的关系平方关系三角规律三角函数看似很多很复杂但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系而掌握三角函数的右图有深刻理解了这一点下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来比如以推导为例推导首先画单位圆交轴于在单位圆上有任意点角为为旋转使与重合形成新和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出换与单位圆定义单对多数

23、角它都依赖于直角三角形但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义而不只是对于在和弧度之间的角它也供了一个图象把所有重要的三角函数都包含了根据勾股定理单位圆的等式是图象中给出了用弧度学习好资料 欢迎下载 万能公式 6辅助角公式 注:该公式又称收缩公式/强提公式/化一公式 等 asin+bcos=(a2+b2)sin(+)，其中 tan=b/a asinA+bcosB=根号下 a 方+b 方（根号下 a 方+b 方分之 asinA+根号下 a 方+b 方分之 bcosB)令根号下 a 方+b 方分之 a=cosC 则根号下 a 方+b 方分之 b=sinC asinA+bcosB=

24、根号下 a 方+b 方（sinAcosC+cosBsinC)=根号下 a 方+b 方sin(A+C)7双曲函数 sh a=ea-e(-a)/2 ch a=ea+e(-a)/2 th a=sin h(a)/cos h(a)公式一：写正矢简写余矢简写直角三角函数直角三角函数是锐角三角关系倒数关系商的关系平方关系三角规律三角函数看似很多很复杂但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系而掌握三角函数的右图有深刻理解了这一点下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来比如以推导为例推导首先画单位圆交轴于在单位圆上有任意点角为为旋转使与重合形成新和差化积及积化和差用还原法结

25、合上面公式可推出换与单位圆定义单对多数角它都依赖于直角三角形但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义而不只是对于在和弧度之间的角它也供了一个图象把所有重要的三角函数都包含了根据勾股定理单位圆的等式是图象中给出了用弧度学习好资料 欢迎下载 设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k+）=sin cos（2k+）=cos tan（2k+）=tan cot（2k+）=cot 公式二：设 为任意角，+的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin（+）=-sin cos（+）=-cos tan（+）=tan cot（+）=cot 公式三：任意角 与-的三角函数值之

26、间的关系：sin（-）=-sin cos（-）=cos tan（-）=-tan cot（-）=-cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到-与 的三角函数值之间的关系：sin（-）=sin cos（-）=-cos tan（-）=-tan cot（-）=-cot 公式五：利用公式-和公式三可以得到 2-与 的三角函数值之间的关系：sin（2-）=-sin cos（2-）=cos tan（2-）=-tan cot（2-）=-cot 公式六：/2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系：sin（/2+）=cos cos（/2+）=-sin tan（/2+）=-cot cot（/2+）=-tan si

27、n（/2-）=cos cos（/2-）=sin tan（/2-）=cot cot（/2-）=tan sin（3/2+）=-cos cos（3/2+）=sin tan（3/2+）=-cot 写正矢简写余矢简写直角三角函数直角三角函数是锐角三角关系倒数关系商的关系平方关系三角规律三角函数看似很多很复杂但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系而掌握三角函数的右图有深刻理解了这一点下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来比如以推导为例推导首先画单位圆交轴于在单位圆上有任意点角为为旋转使与重合形成新和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出换与单位圆定义单对多数角

28、它都依赖于直角三角形但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义而不只是对于在和弧度之间的角它也供了一个图象把所有重要的三角函数都包含了根据勾股定理单位圆的等式是图象中给出了用弧度学习好资料 欢迎下载 cot（3/2+）=-tan sin（3/2-）=-cos cos（3/2-）=-sin tan（3/2-）=cot cot（3/2-）=tan （以上 kZ)Asin（t+）+Bsin（t+）=(A+2ABcos（-）sint+arcsin(Asin+Bsin）/A2+B2+2ABcos（-）表示根号，包括中的内容 写正矢简写余矢简写直角三角函数直角三角函数是锐角三角关系倒数关系商的关系平方关系三角规律三角函数看似很多很复杂但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系而掌握三角函数的右图有深刻理解了这一点下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来比如以推导为例推导首先画单位圆交轴于在单位圆上有任意点角为为旋转使与重合形成新和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出换与单位圆定义单对多数角它都依赖于直角三角形但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义而不只是对于在和弧度之间的角它也供了一个图象把所有重要的三角函数都包含了根据勾股定理单位圆的等式是图象中给出了用弧度