高中数学常用公式及常用结论中学教育高中教育_中学教育-高中教育.pdf

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1、高中文数常用公式及结论 1 元素与集合的关系:UxAxC A,UxC AxA.AA 2 集合12,na aa的子集个数共有2n 个；真子集有21n个；非空子集有21n个；非空的真子集有22n个.3 二次函数的解析式的三种形式：(1)一般式2()(0)f xaxbxc a;(2)顶点式2()()(0)hf xaakx;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k时，设为此式）(3)零点式12()()()(0)f xa xxxax；（当已知抛物线与x轴的交点坐标为12(,0),(,0)xx时，设为此式）（4）切线式：02()()(),0 xkxdf xa xa。（当已知抛物线与直线ykxd相切且切点的横坐

2、标为0 x时，设为此式）4 真值表：同真且真，同假或假 5 常见结论的否定形式;原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有（1n）个 小于 不小于 至多有n个 至少有（1n）个 对所有x，成立 存在某x，不成立 p或q p且q 对任何x，不成立 存在某x，成立 p且q p或q 6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）原命题 互逆 逆命题 若则 若则 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非则非 互逆 若非则非 充要条件：(1)

3、、pq，则 P 是 q 的充分条件，反之，q 是 p 的必要条件；（2）、pq，且 q p，则 P 是 q 的充分不必要条件；(3)、p p，且qp，则 P 是 q 的必要不充分条件；4、p p，且 q p，则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。7 函数单调性:增函数：(1)、文字描述是：y 随 x 的增大而增大。（2）、数学符号表述是：设 f（x）在 xD 上有定义，若对任意的1212,x xDxx且，都有 12()()f xf x成立，则就叫 f（x）在 xD 上是增函数。D 则就是 f（x）的递增区间。减函数：(1)、文字描述是：y 随 x 的增大而减小。（2）、数学符号表述是：设 f

4、（x）在 xD 上有定义，若对任意的1212,x xDxx且，都有 12()()f xf x成立，则就叫 f（x）在 xD 上是减函数。D 则就是 f（x）的递减区间。单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。复合函数的单调性：函数 单调 单调性 内层函数 外层函数 复合函数 等价关系：(1)设 1212,x xa bxx那么 1212()()()0 xxf xf x baxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是

5、增函数；1212()()()0 xxf xf x baxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.(2)设函数)(xfy 在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数.8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）奇函数：定义：在前提条件下，若有()()()()0fxf xfxf x 或，则 f（x）就是奇函数。性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；（2）、奇函数在 x0 和 x0 和 x0 上具有相反的单调区间；奇偶函数间的关系：(1)、奇函数偶函数=奇函数；（2）、奇函数奇函数=偶函数；(3)、偶奇函数偶函数=

6、偶函数；(4)、奇函数奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）(5)、偶函数偶函数=偶函数；(6)、奇函数偶函数=非奇非偶函数 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数 9函数的周期性：定义：对函数 f（x），若存在 T0，使得 f（x+T）=f（x），则就叫 f（x）是周期函数，其中，T 是 f（x）的一个周期。周期函数几种常见的表述形式：(1)、f（x+T）=-f（x），此时周期为 2T；（2）、f（x+m）=f（x+n），此时周期为 2mn；次函数的解析式的三

7、种形式一般式时相切且切点的当已知抛物线与直线当已知抛物线的顶点坐标时设为此式当已知抛物线与轴的交点坐标为顶点式零点式设为此式切线式横坐标为时设为此式真值表同真且真同假或假常见结论的否定种命题的相互关系下图原命题与逆否命题同真同假逆命题与否命题同真同假原结论反设词至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至少有个至多有个至多有个至少有个且或或且原命题若则互逆互否互为互为逆否逆否逆命题若则且则是的必要不充分条件且则是的既不充分又不必要条件函数单调性增函数文字描述是随的增大而增大数学符号表述是设在上有定义若对任意的且都有成立则就叫在上是增函数则就是的递增区间减函数文字描述是随的增大而减小数(3)、1(

8、)()f xmf x，此时周期为 2m 。10常见函数的图像：k0y=kx+boyx a0y=ax2+bx+coyx 0a11y=axoyx 0a11y=logaxoyx 11 对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴是2bax;两个函数)(axfy与)(xbfy 的图象关于直线2bax对称.12 分数指数幂与根式的性质：(1)mnmnaa（0,am nN，且1n）.（2）11mnmnmnaaa（0,am nN，且1n）.（3）()nnaa.（4）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a.13 指数式与对数式的互化式:logba

9、NbaN(0,1,0)aaN.指数性质：(1)1、1ppaa ；（2）、01a（0a）；(3)、()mnmnaa(4)、(0,)rsrsaaaar sQ ；(5)、mnmnaa ；指数函数：(1)、(1)xyaa在定义域内是单调递增函数；（2）、(01)xyaa 在定义域内是单调递减函数。注：指数函数图象都恒过点（0，1）对数性质：(1)、logloglog()aaaMNMN；（2）、logloglogaaaMMNN；(3)、loglogmaabmb ；(4)、loglogmnaanbbm ；(5)、log 10a(6)、log1aa ；(7)、l o gabab 对数函数：(1)、log(1

10、)ayx a 在定义域内是单调递增函数；（2）、log(01)ayxa 在定义域内是单调递减函数；注：对数函数图象都恒过点（1，0）次函数的解析式的三种形式一般式时相切且切点的当已知抛物线与直线当已知抛物线的顶点坐标时设为此式当已知抛物线与轴的交点坐标为顶点式零点式设为此式切线式横坐标为时设为此式真值表同真且真同假或假常见结论的否定种命题的相互关系下图原命题与逆否命题同真同假逆命题与否命题同真同假原结论反设词至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至少有个至多有个至多有个至少有个且或或且原命题若则互逆互否互为互为逆否逆否逆命题若则且则是的必要不充分条件且则是的既不充分又不必要条件函数单调性增函

11、数文字描述是随的增大而增大数学符号表述是设在上有定义若对任意的且都有成立则就叫在上是增函数则就是的递增区间减函数文字描述是随的增大而减小数(3)、l o g0,(0,1),(1,axa xa x 或(4)、log0(0,1)(1,)axax 则 或(1,)(0,1)ax则 14 对数的换底公式:logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).对数恒等式：logaNaN(0a,且1a,0N).推论 loglogmnaanbbm(0a,且1a,0N).15对数的四则运算法则:若 a0，a1，M 0，N 0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)loglogloga

12、aaMMNN;(3)loglog()naaMnM nR;(4)loglog(,)mnaanNN n mRm。16 平均增长率的问题（负增长时0p）：如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xyNp.17 等差数列：通项公式：（1）1(1)naand ，其中1a为首项，d 为公差，n 为项数，na为末项。（2）推广：()nkaank d （3）1(2)nnnaSSn （注：该公式对任意数列都适用）前 n 项和：（1）1()2nnn aaS；其中1a为首项，n 为项数，na为末项。（2）1(1)2nn nSnad（3）1(2)nnnSSan （注：该公式对任意数

13、列都适用）（4）12nnSaaa （注：该公式对任意数列都适用）常用性质：（1）、若 m+n=p+q，则有 mnpqaaaa；注：若,mnpaaa是的等差中项，则有 2mnpaaan、m、p 成等差。（2）、若na、nb为等差数列，则nnab为等差数列。（3）、na为等差数列，nS为其前 n 项和，则232,mmmmmSSSSS也成等差数列。（4）、,0pqp qaq apa则；（5）1+2+3+n=2)1(nn 等比数列：次函数的解析式的三种形式一般式时相切且切点的当已知抛物线与直线当已知抛物线的顶点坐标时设为此式当已知抛物线与轴的交点坐标为顶点式零点式设为此式切线式横坐标为时设为此式真值表

14、同真且真同假或假常见结论的否定种命题的相互关系下图原命题与逆否命题同真同假逆命题与否命题同真同假原结论反设词至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至少有个至多有个至多有个至少有个且或或且原命题若则互逆互否互为互为逆否逆否逆命题若则且则是的必要不充分条件且则是的既不充分又不必要条件函数单调性增函数文字描述是随的增大而增大数学符号表述是设在上有定义若对任意的且都有成立则就叫在上是增函数则就是的递增区间减函数文字描述是随的增大而减小数通项公式：（1）1*11()nnnaaa qqnNq，其中1a为首项，n 为项数，q 为公比。（2）推广：n knkaaq（3）1(2)nnnaSSn （注：该公式对

15、任意数列都适用）前 n 项和：（1）1(2)nnnSSan （注：该公式对任意数列都适用）（2）12nnSaaa （注：该公式对任意数列都适用）（3）11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq 常用性质：（1）、若 m+n=p+q，则有 mnpqaaaa ；注：若,mnpaaa是的等比中项，则有 2mnpaaa n、m、p 成等比。（2）、若na、nb为等比数列，则nnab为等比数列。18分期付款(按揭贷款)：每次还款(1)(1)1nnabbxb元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).19三角不等式：（1）若(0,)2x，则sintanxxx.(2)若(0,)2x，则1sincos2xx.(

16、3)|sin|cos|1xx.20 同角三角函数的基本关系式：22sincos1，tan=cossin，21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）22 和角与差角公式 sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tantantan()1tantan.sincosab=22sin()ab (辅助角所在象限由点(,)a b的象限决定,tanba).23 二倍角公式及降幂公式 sin 2sincos22tan1tan.2222cos 2cossin2cos112sin 221tan1tan.22tantan21tan.sin21 cos 2tan1 cos 2s

17、in2 次函数的解析式的三种形式一般式时相切且切点的当已知抛物线与直线当已知抛物线的顶点坐标时设为此式当已知抛物线与轴的交点坐标为顶点式零点式设为此式切线式横坐标为时设为此式真值表同真且真同假或假常见结论的否定种命题的相互关系下图原命题与逆否命题同真同假逆命题与否命题同真同假原结论反设词至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至少有个至多有个至多有个至少有个且或或且原命题若则互逆互否互为互为逆否逆否逆命题若则且则是的必要不充分条件且则是的既不充分又不必要条件函数单调性增函数文字描述是随的增大而增大数学符号表述是设在上有定义若对任意的且都有成立则就叫在上是增函数则就是的递增区间减函数文字描述是随

18、的增大而减小数221 cos 21 cos 2sin,cos22 24 三角函数的周期公式 函数sin()yx，xR 及函数cos()yx，xR(A,为常数，且 A0)的周期2|T；函数tan()yx，,2xkkZ(A,为常数，且 A0)的周期|T.三角函数的图像：-11y=sinx-2 23/2/2-3/2-/2oyx-11y=cosx-2 23/2/2-3/2-/2oyx 25 正弦定理：2sinsinsinabcRABC（R为ABC外接圆的半径）.2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC:sin:sin:sina b cABC 26余弦定理：2222cosabcbcA;2

19、222cosbcacaB;2222coscababC.27面积定理：（1）111222abcSahbhch（abchhh、分别表示 a、b、c 边上的高）.（2）111sinsinsin222SabCbcAcaB.(3)221(|)()2OABSOAOBOA OB.2,2abcSrrabc 斜边内切圆直角 内切圆 28三角形内角和定理：在ABC 中，有()ABCCAB 222CAB 222()CAB.29实数与向量的积的运算律:设、为实数，那么：(1)结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b)=a+b.30a与b的数量积(或内积)：ab=|a|b|

20、cos。31平面向量的坐标运算：(1)设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则a+b=1212(,)xxyy.(2)设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则a-b=1212(,)xxyy.(3)设 A11(,)x y，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxx yy.(4)设a=(,),x yR，则a=(,)xy.(5)设a=11(,)x y,b=22(,)xy，则ab=1212()x xy y.32 两向量的夹角公式：121222221122cos|x xy ya babxyxy(a=11(,)x y,b=22(,)xy).33 平面两点间的距离公式：,A Bd=|ABA

21、B AB222121()()xxyy(A11(,)x y，B22(,)xy).次函数的解析式的三种形式一般式时相切且切点的当已知抛物线与直线当已知抛物线的顶点坐标时设为此式当已知抛物线与轴的交点坐标为顶点式零点式设为此式切线式横坐标为时设为此式真值表同真且真同假或假常见结论的否定种命题的相互关系下图原命题与逆否命题同真同假逆命题与否命题同真同假原结论反设词至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至少有个至多有个至多有个至少有个且或或且原命题若则互逆互否互为互为逆否逆否逆命题若则且则是的必要不充分条件且则是的既不充分又不必要条件函数单调性增函数文字描述是随的增大而增大数学符号表述是设在上有定义若

22、对任意的且都有成立则就叫在上是增函数则就是的递增区间减函数文字描述是随的增大而减小数34 向量的平行与垂直：设a=11(,)x y,b=22(,)xy，且b0，则：a|bb=a 12210 x yx y.（交叉相乘差为零）ab(a0)ab=012120 x xy y.（对应相乘和为零）35 线段的定比分公式：设111(,)P x y，222(,)P xy，(,)P x y是线段12PP的分点,是实数，且12PPPP，则121211xxxyyy121OPOPOP 12(1)OPtOPt OP（11t）.36 三角形的重心坐标公式：ABC三个顶点的坐标分别为11A(x,y)、22B(x,y)、33

23、C(x,y),则ABC的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG.37三角形五“心”向量形式的充要条件：设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为,a b c，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC.（2）O为ABC的重心0OAOBOC.（3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA.（4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC.（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.38常用不等式：（1）,a bR222abab(当且仅当 ab时取“=”号)（2）,a bR2abab(当且仅当 ab时取“=”号)（3）3333(0,0,0).abcabc abc （4）b

24、ababa.（5）22222ababababab(当且仅当 ab时取“=”号)。39极值定理:已知yx,都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当yx 时和yx 有最小值p2；（2）若和yx 是定值s，则当yx 时积xy有最大值241s.（3）已知,a b x yR，若1axby则有 21111()()2()byaxaxbyababababxyxyxy 。（4）已知,a b x yR，若1abxy 则有 2()()2()abaybxxyxyababababxyxy 40 一元二次不等式20(0)axbxc 或2(0,40)abac，如果a与2axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与2axb

25、xc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.即：次函数的解析式的三种形式一般式时相切且切点的当已知抛物线与直线当已知抛物线的顶点坐标时设为此式当已知抛物线与轴的交点坐标为顶点式零点式设为此式切线式横坐标为时设为此式真值表同真且真同假或假常见结论的否定种命题的相互关系下图原命题与逆否命题同真同假逆命题与否命题同真同假原结论反设词至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至少有个至多有个至多有个至少有个且或或且原命题若则互逆互否互为互为逆否逆否逆命题若则且则是的必要不充分条件且则是的既不充分又不必要条件函数单调性增函数文字描述是随的增大而增大数学符号表述是设在上有定义若对任意的

26、且都有成立则就叫在上是增函数则就是的递增区间减函数文字描述是随的增大而减小数121212()()0()xxxxxxxxx；121212,()()0()xxxxxxxxxx或.41 含有绝对值的不等式：当 a 0 时，有 22xaxaaxa .22xaxaxa 或xa.42 斜率公式：2121yykxx（111(,)P x y、222(,)P xy）.43 直线的五种方程：（1）点斜式 11()yyk xx(直线l过点111(,)P x y，且斜率为k)（2）斜截式 ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距).（3）两点式 112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P x y、222

27、(,)P xy(1212,xxyy).两点式的推广：211211()()()()0 xxyyyyxx（无任何限制条件！）(4)截距式 1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，00ab、)（5）一般式 0AxByC(其中 A、B 不同时为 0).直线0AxByC 的法向量：(,)lA B，方向向量：(,)lBA 44 夹角公式：(1)212 1tan|1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k)(2)12211212tan|ABA BAAB B.(1111:0l Ax By C,2222:0lAxB y C,12120AAB B).直线12ll时，直线 l1与 l

28、2的夹角是2.45 1l到2l的角公式：(1)2121tan1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k)(2)12211212tanABA BAAB B.(1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,12120AAB B).直线12ll时，直线 l1到 l2的角是2.46 点到直线的距离：0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC).47 圆的四种方程：（1）圆的标准方程 222()()xaybr.（2）圆的一般方程 220 xyDxEyF(224DEF0).（3）圆的参数方程 cossinxarybr .（4）圆的直径式

29、方程 1212()()()()0 x x x xy y y y (圆的直径的端点是11(,)Ax y、22(,)B x y).48点与圆的位置关系：点00(,)P xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种：若2200()()daxby，则dr 点P在圆外;dr 点P在圆上;dr 点P在圆内.次函数的解析式的三种形式一般式时相切且切点的当已知抛物线与直线当已知抛物线的顶点坐标时设为此式当已知抛物线与轴的交点坐标为顶点式零点式设为此式切线式横坐标为时设为此式真值表同真且真同假或假常见结论的否定种命题的相互关系下图原命题与逆否命题同真同假逆命题与否命题同真同假原结论反设词至少有一个一个也没有

30、至多有一个至少有两个至少有个至多有个至多有个至少有个且或或且原命题若则互逆互否互为互为逆否逆否逆命题若则且则是的必要不充分条件且则是的既不充分又不必要条件函数单调性增函数文字描述是随的增大而增大数学符号表述是设在上有定义若对任意的且都有成立则就叫在上是增函数则就是的递增区间减函数文字描述是随的增大而减小数ddd相离外切相交内切内含r1+r2r2-r1od49 直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种(22BACBbAad):0相离rd;0相切rd;0相交rd.50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO21，

31、则：条公切线外离421rrd;条公切线外切321rrd;条公切线相交22121rrdrr;条公切线内切121rrd;无公切线内含 210rrd.51 椭圆22221(0)xyabab 的参数方程是cossinxayb.离心率221cbeaa，准线到中心的距离为2ac，焦点到对应准线的距离(焦准距)2bpc。过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：22ba.52 椭圆22221(0)xyabab 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:21()aPFe xaexc，22()aPFexaexc；1221|tan2F PFPF PFSc yb。53椭圆的的内外部:（1）点00(,)P xy在椭圆

32、22221(0)xyabab 的内部2200221xyab.（2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab 的外部2200221xyab.54 椭圆的切线方程:(1)椭圆22221(0)xyabab 上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab.（2）过椭圆22221xyab 外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab.（3）椭圆22221(0)xyabab 与直线0AxByC 相切的条件是22222A aB bc.55 双曲线22221(0,0)xyabab的离心率221cbeaa，准线到中心的距离为2ac，焦点到对应准线的

33、距离(焦准距)2bpc。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：22ba.焦半径公式21|()|aPFe xaexc，22|()|aPFexaexc，两焦半径与焦距构成三角形的面积1221cot2F PFF PFSb。56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:次函数的解析式的三种形式一般式时相切且切点的当已知抛物线与直线当已知抛物线的顶点坐标时设为此式当已知抛物线与轴的交点坐标为顶点式零点式设为此式切线式横坐标为时设为此式真值表同真且真同假或假常见结论的否定种命题的相互关系下图原命题与逆否命题同真同假逆命题与否命题同真同假原结论反设词至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至少有个至多有个至多有个

34、至少有个且或或且原命题若则互逆互否互为互为逆否逆否逆命题若则且则是的必要不充分条件且则是的既不充分又不必要条件函数单调性增函数文字描述是随的增大而增大数学符号表述是设在上有定义若对任意的且都有成立则就叫在上是增函数则就是的递增区间减函数文字描述是随的增大而减小数(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyab xaby.(2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax.(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴上）.(4)焦点到渐近线的距离总是b。57双曲线的切线方程:(1)双曲线22

35、221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab.(2)过双曲线22221xyab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab.（3）双曲线22221xyab与直线0AxByC 相切的条件是22222A aB bc.58抛物线pxy22的焦半径公式:抛物线22(0)ypx p焦半径02pCFx.过焦点弦长pxxpxpxCD212122.59二次函数2224()24bacbyaxbxca xaa (0)a 的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24bacbaa；（2）焦点的坐标为241(,)24bacbaa；（3）准

36、线方程是2414acbya.60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 221212()()ABxxyy 或222221211212(1)()4|1tan|1tABkxxxxxxyyco （弦端点 A),(),(2211yxByx，由方程0)y,x(Fbkxy 消去 y 得到02cbxax 0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率，2121212|()4xxxxx x.61证明直线与平面的平行的思考途径:（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.62证明直线与平面垂直的思考途径:（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化

37、为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。63证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直；(3)转化为两平面的法向量平行。64 向量的直角坐标运算：次函数的解析式的三种形式一般式时相切且切点的当已知抛物线与直线当已知抛物线的顶点坐标时设为此式当已知抛物线与轴的交点坐标为顶点式零点式设为此式切线式横坐标为时设为此式真值表同真且真同假或假常见结论的否定种命题的相互关系下图原命题与逆否命题同真同假逆命题与否命题同真同假原结论反设词至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至少有个至多有个至多有个至少有个且或或且原命题若则互逆互否互

38、为互为逆否逆否逆命题若则且则是的必要不充分条件且则是的既不充分又不必要条件函数单调性增函数文字描述是随的增大而增大数学符号表述是设在上有定义若对任意的且都有成立则就叫在上是增函数则就是的递增区间减函数文字描述是随的增大而减小数设a123(,)a aa，b123(,)b b b则：(1)ab112233(,)ab ab ab；(2)ab112233(,)ab ab ab；(3)a123(,)aaa (R)；(4)ab1 1223 3a ba ba b；65 夹角公式：设a123(,)a aa，b123(,)b b b，则1 1223 3222222123123cos,a ba ba ba baa

39、abbb.66 异面直线间的距离：|CD ndn(12,l l是两异面直线，其公垂向量为n，CD、是12,l l上任一点，d为12,l l间的距离).67点B到平面的距离：|AB ndn（n为平面的法向量，A，AB是的一条斜线段）.68球的半径是 R，则其体积343VR,其表面积24SR 69球的组合体：(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a(正四面体

40、高63a的14),外接球的半径为64a(正四面体高63a的34).70 分类计数原理（加法原理）：12nNmmm.分步计数原理（乘法原理）：12nNmmm.71排列数公式：mnA=)1()1(mnnn=！)(mnn.(n，mN*，且mn)规定1!0.72 组合数公式：mnC=mnmmAA=mmnnn21)1()1(=！)(mnmn(nN*，mN，且mn).组合数的两个性质:(1)mnC=mnnC;(2)mnC+1mnC=mnC1.规定10nC.73 二项式定理 nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)(;二项展开式的通项公式rrnrnrbaCT1)210(nr

41、，.2012()()nnnf xaxbaa xa xa x 的展开式的系数关系：012(1)naaaaf ；012(1)(1)nnaaaaf ；0(0)af。74 互斥事件 A，B分别发生的概率的和：P(AB)=P(A)P(B)n个互斥事件分别发生的概率的和：P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)75 独立事件 A，B同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B).n个独立事件同时发生的概率：P(A1 A2 An)=P(A1)P(A2)P(An)76 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率：()(1).kkn knnP kC PP 77 数学期望：1 122nnEx Px

42、Px P 数学期望的性质 次函数的解析式的三种形式一般式时相切且切点的当已知抛物线与直线当已知抛物线的顶点坐标时设为此式当已知抛物线与轴的交点坐标为顶点式零点式设为此式切线式横坐标为时设为此式真值表同真且真同假或假常见结论的否定种命题的相互关系下图原命题与逆否命题同真同假逆命题与否命题同真同假原结论反设词至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至少有个至多有个至多有个至少有个且或或且原命题若则互逆互否互为互为逆否逆否逆命题若则且则是的必要不充分条件且则是的既不充分又不必要条件函数单调性增函数文字描述是随的增大而增大数学符号表述是设在上有定义若对任意的且都有成立则就叫在上是增函数则就是的递增区间

43、减函数文字描述是随的增大而减小数（1）()()E abaEb.（2）若(,)B n p,则Enp.(3)若服从几何分布,且1()(,)kPkg k pqp，则1Ep.78方差：2221122nnDxEpxEpxEp 标准差：=D.方差的性质：(1)2D aba D；(2）若(,)B n p，则(1)Dnpp.(3)若服从几何分布,且1()(,)kPkg k pqp，则2qDp.方差与期望的关系：22DEE.79正态分布密度函数：22261,2 6xf xex ，式中的实数，（0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.对于2(,)N，取值小于 x 的概率：xF x.12201xxPxxPxxxP

44、 80)(xf在0 x处的导数（或变化率）：000000()()()limlimx xxxf xxf xyfxyxx .瞬时速度：00()()()limlimttss tts ts ttt .瞬时加速度：00()()()limlimttvv ttv tav ttt .81 函数)(xfy 在点0 x处的导数的几何意义：函数)(xfy 在点0 x处的导数是曲线)(xfy 在)(,(00 xfxP处的切线的斜率)(0 xf，相应的切线方程是)(000 xxxfyy.82 几种常见函数的导数：(1)0C（C为常数）.(2)1()()nnxnxnQ.(3)xxcos)(sin.(4)xxsin)(co

45、s.(5)xx1)(ln；1(log)logaaxex.(6)xxee)(;aaaxxln)(.83 导数的运算法则：（1）()uvuv.（2）()uvu vuv.（3）2()(0)uuvuvvvv.84 判别)(0 xf是极大（小）值的方法：当函数)(xf在点0 x处连续时，（1）如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极大值；（2）如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极小值.85 复数的相等：,abicdiac bd .（,a b c dR）86 复数zabi 的模（或绝对值）|z=|abi=22ab.87 复平面上的两点间的距离公式

46、：次函数的解析式的三种形式一般式时相切且切点的当已知抛物线与直线当已知抛物线的顶点坐标时设为此式当已知抛物线与轴的交点坐标为顶点式零点式设为此式切线式横坐标为时设为此式真值表同真且真同假或假常见结论的否定种命题的相互关系下图原命题与逆否命题同真同假逆命题与否命题同真同假原结论反设词至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至少有个至多有个至多有个至少有个且或或且原命题若则互逆互否互为互为逆否逆否逆命题若则且则是的必要不充分条件且则是的既不充分又不必要条件函数单调性增函数文字描述是随的增大而增大数学符号表述是设在上有定义若对任意的且都有成立则就叫在上是增函数则就是的递增区间减函数文字描述是随的增大

47、而减小数22122121|()()dzzxxyy（111zxy i，222zxy i）.88实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程20axbxc，若240bac,则21,242bbacxa;若240bac,则122bxxa;若240bac，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2bbac ixbaca .高中数学公式提升 一、集合、简易逻辑、函数 1 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序);已知集合 A=x,xy,lgxy,集合B=0,x,y,且 A=B,则 x+y=2 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合

48、M=yy=x2,x R,N=y y=x2+1,x R,求 M N；与集合 M=（x,y）y=x2,x R,N=(x,y)y=x2+1,x R求 M N的区别。3 集合 A、B，BA时，你是否注意到“极端”情况：A或B；求集合的子集BA 时是否忘记.例如：012222xaxa对一切Rx恒成立，求 a 的取植范围，你讨论了 a2 的情况了吗？4 对于含有 n 个元素的有限集合 M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n2，12 n，12 n.22 n如满足条件 4,3,2,1 1M的集合M共有多少个 5 解集合问题的基本工具是韦恩图;某文艺小组共有 10 名成员,每人至少会唱歌和跳舞

49、中的一项,其中 7 人会唱歌跳舞 5 人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？6 两集合之间的关系。,14,12ZkkxxNZkkxxM 7(CUA)(CU B)=CU(AB)(CUA)(CUB)=CU(AB)；BBAAB；8、可以判断真假的语句叫做命题.逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.p、q 形式的复合命题的真值表:（真且真，同假或假）p q P且 q P或 q 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假 9、命题的四种形式及其相互关系:互 逆 原命题 若 p 则 q 逆命题 若 q 则 p 次函数的解析式的三种形式一

50、般式时相切且切点的当已知抛物线与直线当已知抛物线的顶点坐标时设为此式当已知抛物线与轴的交点坐标为顶点式零点式设为此式切线式横坐标为时设为此式真值表同真且真同假或假常见结论的否定种命题的相互关系下图原命题与逆否命题同真同假逆命题与否命题同真同假原结论反设词至少有一个一个也没有至多有一个至少有两个至少有个至多有个至多有个至少有个且或或且原命题若则互逆互否互为互为逆否逆否逆命题若则且则是的必要不充分条件且则是的既不充分又不必要条件函数单调性增函数文字描述是随的增大而增大数学符号表述是设在上有定义若对任意的且都有成立则就叫在上是增函数则就是的递增区间减函数文字描述是随的增大而减小数 互 互 互 为 互