多面体的截面的作法高等教育科普读物_论文-毕业文章.pdf

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1、多面体的截面 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.此平面与几何体表面的交 集(交线)叫做截线.此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点.作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求 得截面.作截线与截点的主要根据有：(1)确定平面的条件.(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线.(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.(4)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平 行.(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相

2、交，那么两条交线平行.主要画法是交线法.即求出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线，再找出各有关截线(或 其延长线)与此交线的交点.例 1 如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F、G分别在AB、BC、DD,上，求作过E、F、G 三点的截面.作法：(1)在底面AC内，过E、F作直线EF分别与DA、DC的延长线 交于L、M.(2)在侧面A1D内，连结LG交AA1于K.(3)在侧面D1C内，连结GM交CC1于H.(4)连结KE、FH.则五边形EFHGK即为所求的截面.有时为了便于作截面，还须引进辅助面作 为作图的中介.例 2 如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F在两条棱

3、上，G在底面A1C1内，求过E、F、G的 截面.作法：(1)在底面A1C1内，过G作PQ/B1C1，交棱于P、Q两点.(2)作辅助面PC，在此面内，过 G、F作直线交BP的延长线于 M(3)在侧面A1B内，连结ME，交A3于K.(4)在底面A1C1内，连结KG，延长交B1C1于H.(5)连结HF.(6)在底面AC内，作FL/HK，交AB于L.(7)连结EL.则五边形ELFHK为所求的截面.此外，对于面数较多的多面体，可以把其中一些表 面伸展构成面数较少的多面体，使作图得解.例 3 如图，五棱锥P ABCD中，三条侧棱上各有一已知点 F、G、H，求作过F、G、H的截面.作法：(1)将侧面PAB、

4、PBC、PDE伸展得到三棱锥 P BST.(2)在侧面PBS内，连结并延长 GF，交PS于K.(3)在侧面PBT内，连结并延长 GH交PT于L.(4)在侧面PST内，连结KL分别交PD、PE于M、N.(5)连结FN、MH 则五边形FGHMN即为所求的截面.线叫做截线此平面与几何体的棱的交集交点叫做截点作多面体截面的关键在于确定截点有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线从而求得截面作截线与截点的主要根据有确定平面的条件如果两个不重合的平面有一个公面内如果一条直线平行于一个平面经过这条直线的平面与这个平面相交那么这条直线就和交线平行如果两个平面平行第三个平面和它们相交那么两条交线平行主要画法是交线法即求出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线分别与的延长线交于介在侧面内连结交于在侧面内连结交于连结则五边形即为所求的截面有时为了便于作截面还须引进辅助面作为作图的中例如图正方体中在两条棱上在底面内求过的截面作法在底面内过作交棱于两点作辅助面在