高中数学不等式选讲各年高考题中学教育高中教育_中学教育-高中教育.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 五年高考真题分类汇编：不等式选讲 一.选择题 1.（2014安徽高考文科9）与（2014安徽高考理科9）相同 若函数()12f xxxa 的最小值为 3，则实数a的值为（）A.5 或 8 B.1或 5 C.1或4 D.4或 8【解题提示】以 a 为目标进行分类讨论，去掉绝对值符号。【解析】选 D.（1）当 a2 时，-31,()2()1,(1)231,(1)axaxaf xxaxxax ，由（1）（2）可得min()()|1|322aaf xf=-=-+=，解得a=-4或 8。2（2012湖北高考理）设 a，b，c，x，y，z 是正数，且 a2b2c210，x2y2z240

2、，axbycz20，则abcxyz ()A.14 B.13 C.12 D.34【解析】选 C 由柯西不等式得，(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2400，当且仅当axbycz12时取等号，因此有abcxyz12.3（2011山东高考理）不等式|x5|x3|10 的解集是 ()A5,7 B4,6 C(，57，)D(，46，)【解析】选 D|x5|x3|表示数轴上的点到3,5 的距离之和，不等式|x5|x3|10的解集是(，4 6，)学习必备 欢迎下载 二.填空题 4.（2014 湖南高考理科 13）若关于x的不等式|2|3ax 的解集为51|33xx ，则a 【解题提示】求解绝对值

3、不等式。【解析】由|2|3ax 得到323ax，51ax，又知道解集为51|33xx 所以3a。答案：3a 5.(2014广东高考理科)不等式+5 的解集为 .【解析】方法一:由2,(1)(2)5,xxx 得 x-3;由21,(1)(2)5,xxx 无解;由1,(1)(2)5xxx 得 x2.即所求的解集为x|x-3或 x2.方法二:在数轴上,点-2与点 1 的距离为 3,所以往左右边界各找距离为 1 的两个点,即点-3到点-2与点 1 的距离之和为 5,点 2 到点-2与点 1 的距离之和也为 5,原不等式的解集为x|x-3或 x2.答案:x|x-3或 x2.【误区警示】易出现解集不全或错误

4、.对于含绝对值的不等式不论是分段去绝对值号还是利用几何意义,都要不重不漏.6.(2014 陕西高考文科 T15)（文理共用）A.(不等式选做题)设 a,b,m,nR,且 a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为 .【解题指南】本题考查运用柯西不等式求最值的问题.【解析】由柯西不等式得(a2+b2)(m2+n2)(ma+nb)2,为则实数的值为或或或或解题提示以为目标进行分类讨论去掉绝对值符号解析选当时当时由可得解得或湖北高考理设是正数且则解析选由柯西不等式得当且仅当时取等号因此有山东高考理不等式的解集是解析选表示数轴上的点到的值不等式解析由得到所以答案又知道解集为广东高考理科不等式的解集为

5、解析方法一由得由无解由得即所求的解集为或方法二在数轴上点与点的距离为所以往左右边界各找距离为的两个点即点到点与点的距离之和为点到点与点的距值号还是利用几何意义都要不重不漏陕西高考文科文理共用不等式选做题设且则的最小值为解题南本题考查运用柯西不等式求最值的问题解析由柯西不等式得学习必备欢迎下载即所以的最小值为答案江西高考文科若则的取值范围为学习必备 欢迎下载 即 5(m2+n2)25,(m2+n2)5,所以的最小值为.答案:7.(2014江西高考文科T15)x,y R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2,则 x+y 的取值范围为 .【解题指南】利用绝对值不等式及绝对值的几何意义求解.【解

6、析】由|a|+|b|a-b|知,|x|+|x-1|x-(x-1)|=1,同理|y|+|y-1|1,故|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,所以 0 x1 且 0y1,即 0 x+y2.答案:0,2 8（2013湖南高考理）已知 a，b，cR，a2b3c6，则 a24b29c2的最小值为_ 【解析】本小题主要考查应用柯西不等式求最小值由柯西不等式，得(a24b29c2)(121212)(a 12b 13c 1)236，故 a24b29c212，从而 a24b29c2的最小值为 12.【答案】12 9（2013陕西高考文）设a，bR，|ab|2，则关于实数 x 的不等式|xa|xb|2 的解

7、集是_【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值的几何意义和绝对值不等式的性质，该题实质是给定条件最值的题目的变形呈现|xa|xb|ab|2，|xa|xb|2恒成立，则解集为 R.【答案】(，)10（2013重庆高考理）若关于实数 x 的不等式|x5|x3|a 无解，则实数 a 的取值范围是_【解析】本题主要考查绝对值不等式问题，意在考查考生转化与化归的能力|x5|x3|(x5)(x3)|8，故 a8.【答案】(，8 11（2013陕西高考理）已知 a，b，m，n 均为正数，且 ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_ 为则实数的值为或或或或解题提示以为目标进行分类讨论去掉绝

8、对值符号解析选当时当时由可得解得或湖北高考理设是正数且则解析选由柯西不等式得当且仅当时取等号因此有山东高考理不等式的解集是解析选表示数轴上的点到的值不等式解析由得到所以答案又知道解集为广东高考理科不等式的解集为解析方法一由得由无解由得即所求的解集为或方法二在数轴上点与点的距离为所以往左右边界各找距离为的两个点即点到点与点的距离之和为点到点与点的距值号还是利用几何意义都要不重不漏陕西高考文科文理共用不等式选做题设且则的最小值为解题南本题考查运用柯西不等式求最值的问题解析由柯西不等式得学习必备欢迎下载即所以的最小值为答案江西高考文科若则的取值范围为学习必备 欢迎下载【解析】本题考查使用基本不等式求

9、最值的技巧和方法，意在考查考生的转化化归能力和运算能力(ambn)(bman)ab(m2n2)mn(a2b2)2abmnmn(a2b2)4ab2(a2b2)2(2aba2b2)2(ab)22(当且仅当 mn 2时取等号)【答案】2 12（2013江西高考理）在实数范围内，不等式|x2|1|1 的解集为_【解析】本题考查绝对值不等式的解法，意在考查考生的转化与化归能力 依题意得1|x2|11，即|x2|2，解得 0 x4.【答案】0,4 13（2012江西高考理）在实数范围内，不等式|2x1|2x1|6 的解集为_ 【解析】原不等式可化为 x12，2x12x16.解得32x32，即原不等式的解集

10、为x|32x32【答案】x|32x32 14（2012陕西高考理）若存在实数x 使|xa|x1|3 成立，则实数 a 的取值范围是_【解析】|xa|x1|a1|，则只需要|a1|3，解得2a4.【答案】2a4 15（2011江西高考理）对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为_【解析】|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为 5.【答案】5 16（2011湖南高考理）设 x，yR，且 xy0，则(x21y2)(1x24y2)的最小值为 _.【解析】(x21y2)(1x24y2)144x2y21x2y21424x2y

11、21x2y29，当且仅当 4x2y2为则实数的值为或或或或解题提示以为目标进行分类讨论去掉绝对值符号解析选当时当时由可得解得或湖北高考理设是正数且则解析选由柯西不等式得当且仅当时取等号因此有山东高考理不等式的解集是解析选表示数轴上的点到的值不等式解析由得到所以答案又知道解集为广东高考理科不等式的解集为解析方法一由得由无解由得即所求的解集为或方法二在数轴上点与点的距离为所以往左右边界各找距离为的两个点即点到点与点的距离之和为点到点与点的距值号还是利用几何意义都要不重不漏陕西高考文科文理共用不等式选做题设且则的最小值为解题南本题考查运用柯西不等式求最值的问题解析由柯西不等式得学习必备欢迎下载即所以

12、的最小值为答案江西高考文科若则的取值范围为学习必备 欢迎下载 1x2y2时等号成立，即|xy|22时等号成立【答案】9 17（2011陕西高考）若关于 x 的不等式|a|x1|x2|存在实数解，则实数 a 的取值范围是_【解析】由于|x1|x2|(x1)(x2)|3，所以只需|a|3 即可，所以 a3 或 a3.【答案】(，33，)三.解答题 18.(2014 福建高考理科21)不等式选讲 已知定义在R上的函数()|1|2|f xxx 的最小值为a(1)求a的值；(2)若,p q r是正实数，且满足pqra ，求证：2223pqr【解析】(1)12(1)(2)3xxxx ，当且仅当12x 时，

13、等号成立，()f x的最小值为33a；3 分(2)由(1)知3pqr ，又,p q r是正实数，22222222()(111)(111)()9pqrpqrpqr ，即2223pqr.7 分 19.(2014新课标全国卷高考文科数学T24)(本小题满分 10分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=1xa+xa(a0)(1)证明:f x2.(2)若 f 30)(1)证明:f x2.(2)若 f 30，求证：2a3b32ab2a2b.为则实数的值为或或或或解题提示以为目标进行分类讨论去掉绝对值符号解析选当时当时由可得解得或湖北高考理设是正数且则解析选由柯西不等式得当且仅当时取等号因此有山东高

14、考理不等式的解集是解析选表示数轴上的点到的值不等式解析由得到所以答案又知道解集为广东高考理科不等式的解集为解析方法一由得由无解由得即所求的解集为或方法二在数轴上点与点的距离为所以往左右边界各找距离为的两个点即点到点与点的距离之和为点到点与点的距值号还是利用几何意义都要不重不漏陕西高考文科文理共用不等式选做题设且则的最小值为解题南本题考查运用柯西不等式求最值的问题解析由柯西不等式得学习必备欢迎下载即所以的最小值为答案江西高考文科若则的取值范围为学习必备 欢迎下载 证明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为 ab0，所以 a

15、b0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即 2a3b32ab2a2b.22（2013新课标全国高考文）设 a，b，c 均为正数，且 abc1，证明：(1)abbcac13；(2)a2bb2cc2a1.证明：本题主要考查不等式的证明与均值不等式的应用，意在考查考生的运算求解能力与推理论证能力(1)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca 得 a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即 a2b2c22ab2bc2ca1，所以 3(abbcca)1，即 abbcca13.(2)因为a2bb2a，b2cc2b，c2aa2c，故a2bb2cc2a(abc)2(abc

16、)，即a2bb2cc2aabc.所以a2bb2cc2a1.23（2013新课标全国高考文）已知函数 f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)1，且当 xa2，12时，f(x)g(x)，求 a 的取值范围 解：本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数等，考查考生分析问题、解决问题的能力 (1)当 a2 时，不等式 f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数 y|2x1|2x2|x3，则 为则实数的值为或或或或解题提示以为目标进行分类讨论去掉绝对值符号解析选当时当时由可得解得或湖北高考理设是正数且则解析选由柯西不等式得当且仅当时取等号因此有山东高考

17、理不等式的解集是解析选表示数轴上的点到的值不等式解析由得到所以答案又知道解集为广东高考理科不等式的解集为解析方法一由得由无解由得即所求的解集为或方法二在数轴上点与点的距离为所以往左右边界各找距离为的两个点即点到点与点的距离之和为点到点与点的距值号还是利用几何意义都要不重不漏陕西高考文科文理共用不等式选做题设且则的最小值为解题南本题考查运用柯西不等式求最值的问题解析由柯西不等式得学习必备欢迎下载即所以的最小值为答案江西高考文科若则的取值范围为学习必备 欢迎下载 y 5x，x1.其图像如图所示从图像可知，当且仅当 x(0,2)时，y0.所以原不等式的解集是x|0 x2 (2)当 xa2，12时，f

18、(x)1a.不等式 f(x)g(x)化为 1ax3.所以 xa2 对 xa2，12都成立故a2a2，即 a43.从而 a 的取值范围是1，43.24（2013辽宁高考文）已知函数 f(x)|xa|，其中 a1.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于 x 的不等式|f(2xa)2f(x)|2 的解集为x|1x2，求 a 的值 解：本题主要考查分段函数、绝对值不等式及其运用，考查分类讨论思想在解题中的灵活运用(1)当 a2 时，f(x)|x4|2x6，x2，2，2x4，2x6，x4.当 x2 时，由 f(x)4|x4|得2x64，解得 x1；当 2x4 时，f(x)

19、4|x4|无解；当 x4 时，由 f(x)4|x4|得 2x64，解得 x5.所以 f(x)4|x4|的解集为x|x1 或 x5(2)记 h(x)f(2xa)2f(x)，为则实数的值为或或或或解题提示以为目标进行分类讨论去掉绝对值符号解析选当时当时由可得解得或湖北高考理设是正数且则解析选由柯西不等式得当且仅当时取等号因此有山东高考理不等式的解集是解析选表示数轴上的点到的值不等式解析由得到所以答案又知道解集为广东高考理科不等式的解集为解析方法一由得由无解由得即所求的解集为或方法二在数轴上点与点的距离为所以往左右边界各找距离为的两个点即点到点与点的距离之和为点到点与点的距值号还是利用几何意义都要不

20、重不漏陕西高考文科文理共用不等式选做题设且则的最小值为解题南本题考查运用柯西不等式求最值的问题解析由柯西不等式得学习必备欢迎下载即所以的最小值为答案江西高考文科若则的取值范围为学习必备 欢迎下载 则 h(x)2a，x0，4x2a，0 xa，2a，xa.由|h(x)|2，解得a12xa12.又已知|h(x)|2 的解集为x|1x2，所以 a121，a122，于是 a3.25（2013福建高考理）设不等式|x2|a(aN*)的解集为 A，且32A，12 A.求 a 的值；求函数 f(x)|xa|x2|的最小值 解：本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想 因为32

21、 A，且12 A，所以322 a，且122 a，解得121.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于 x 的不等式|f(2xa)2f(x)|2 的解集为x|1x2，求 a 的值 解：本题主要考查了绝对值不等式的解法以及逆向求参数问题，也考查了逆向思维能力的应用以及分类讨论思想 为则实数的值为或或或或解题提示以为目标进行分类讨论去掉绝对值符号解析选当时当时由可得解得或湖北高考理设是正数且则解析选由柯西不等式得当且仅当时取等号因此有山东高考理不等式的解集是解析选表示数轴上的点到的值不等式解析由得到所以答案又知道解集为广东高考理科不等式的解集为解析方法一由得由无解由得即

22、所求的解集为或方法二在数轴上点与点的距离为所以往左右边界各找距离为的两个点即点到点与点的距离之和为点到点与点的距值号还是利用几何意义都要不重不漏陕西高考文科文理共用不等式选做题设且则的最小值为解题南本题考查运用柯西不等式求最值的问题解析由柯西不等式得学习必备欢迎下载即所以的最小值为答案江西高考文科若则的取值范围为学习必备 欢迎下载(1)当 a2 时，f(x)|x4|2x6，x2，2，2x4，2x6，x4.当 x2 时，由 f(x)4|x4|得2x64，解得 x1；当 2x4 时，f(x)4|x4|无解；当 x4 时，由 f(x)4|x4|得 2x64，解得 x5.所以 f(x)4|x4|的解集

23、为x|x1 或 x5(2)记 h(x)f(2xa)2f(x)，则 h(x)2a，x0，4x2a，0 xa，2a，xa.由|h(x)|2，解得a12xa12.又已知|h(x)|2 的解集为x|1x2，所以 a121，a122，于是 a3.27（2013新课标全国高考理）已知函数 f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)g(x)的解集；(2)设 a1，且当 xa2，12时，f(x)g(x)，求 a 的取值范围 解：本题主要考查绝对值不等式的解法和含参数的不等式恒成立问题，意在考查考生运用分类讨论思想解决问题的能力 为则实数的值为或或或或解题提示以为目标进行分

24、类讨论去掉绝对值符号解析选当时当时由可得解得或湖北高考理设是正数且则解析选由柯西不等式得当且仅当时取等号因此有山东高考理不等式的解集是解析选表示数轴上的点到的值不等式解析由得到所以答案又知道解集为广东高考理科不等式的解集为解析方法一由得由无解由得即所求的解集为或方法二在数轴上点与点的距离为所以往左右边界各找距离为的两个点即点到点与点的距离之和为点到点与点的距值号还是利用几何意义都要不重不漏陕西高考文科文理共用不等式选做题设且则的最小值为解题南本题考查运用柯西不等式求最值的问题解析由柯西不等式得学习必备欢迎下载即所以的最小值为答案江西高考文科若则的取值范围为学习必备 欢迎下载 (1)当 a2 时

25、，不等式 f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数 y|2x1|2x2|x3，则 y 5x，x12，x2，12x1，3x6，x1.其图象如图所示 从图象可知，当且仅当 x(0,2)时，y0 时，4ax2a，得 a2.(2)法一：记 h(x)f(x)2f(x2)，则 h(x)1，x1，4x3，1x12，1，x12，所以|h(x)|1，因此 k 的取值范围是 k1.法二：|f(x)2f(x2)|2x1|2|x1|2|x12|x1|1，由|f(x)2f(x2)|k恒成立，可知 k1 所以 k的取值范围是 k1.30（2012新课标高考文）已知函数 f(x)|xa|x2|.(1)当 a3

26、时，求不等式 f(x)3 的解集；(2)若 f(x)|x4|的解集包含1,2，求 a 的取值范围 为则实数的值为或或或或解题提示以为目标进行分类讨论去掉绝对值符号解析选当时当时由可得解得或湖北高考理设是正数且则解析选由柯西不等式得当且仅当时取等号因此有山东高考理不等式的解集是解析选表示数轴上的点到的值不等式解析由得到所以答案又知道解集为广东高考理科不等式的解集为解析方法一由得由无解由得即所求的解集为或方法二在数轴上点与点的距离为所以往左右边界各找距离为的两个点即点到点与点的距离之和为点到点与点的距值号还是利用几何意义都要不重不漏陕西高考文科文理共用不等式选做题设且则的最小值为解题南本题考查运用

27、柯西不等式求最值的问题解析由柯西不等式得学习必备欢迎下载即所以的最小值为答案江西高考文科若则的取值范围为学习必备 欢迎下载 解：(1)当 a3 时，f(x)2x5，x2，1，2x3，2x5，x3.当 x2 时，由 f(x)3 得2x53，解得 x1；当 2x0 时，4ax2a，得 a2.(2)记 h(x)f(x)2f(x2)，则 h(x)1，x1，4x3，1x0.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)3x2 的解集；(2)若不等式 f(x)0 的解集为x|x1，求 a 的值 解：(1)当 a1 时，f(x)3x2 可化为|x1|2.由此可得 x3 或 x1.故不等式 f(x)3x2 的解集为x

28、|x3 或 x1(2)由 f(x)0 得|xa|3x0.此不等式化为不等式组 xa，xa3x0，或 xa，ax3x0，即 xa，xa4，或 xa，xa2.因为 a0，所以不等式组的解集为x|xa2 由题设可得a21，故 a2.36（2011福建高考理）设不等式|2x1|1 的解集为 M.()求集合 M；()若 a，bM，试比较 ab1 与 ab 的大小 解：()由|2x1|1 得12x11，解得 0 x1，所以 Mx|0 x1()由()和 a，b M 可知 0a1,0b1.所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0，故 ab1ab.为则实数的值为或或或或解题提示以为目标进行分类讨论去掉绝对值符号

29、解析选当时当时由可得解得或湖北高考理设是正数且则解析选由柯西不等式得当且仅当时取等号因此有山东高考理不等式的解集是解析选表示数轴上的点到的值不等式解析由得到所以答案又知道解集为广东高考理科不等式的解集为解析方法一由得由无解由得即所求的解集为或方法二在数轴上点与点的距离为所以往左右边界各找距离为的两个点即点到点与点的距离之和为点到点与点的距值号还是利用几何意义都要不重不漏陕西高考文科文理共用不等式选做题设且则的最小值为解题南本题考查运用柯西不等式求最值的问题解析由柯西不等式得学习必备欢迎下载即所以的最小值为答案江西高考文科若则的取值范围为学习必备 欢迎下载 37（2011江苏高考）解不等式 x|

30、2x1|3.解：原不等式可化为 2x10，x 2x1 3，或 2x10，x 2x1 3.解得12x43或2x12.所以原不等式的解集是x|2x43 38（2011辽宁高考）已知函数 f(x)|x2|x5|.(1)证明：3f(x)3；(2)求不等式 f(x)x28x15 的解集 解：(1)证明：f(x)|x2|x5|3，x2，2x7，2x5，3，x5.当 2x5 时，32x73.所以3f(x)3.(5 分)(2)由(1)可知，当 x2 时，f(x)x28x15 的解集为空集；当 2x5 时，f(x)x28x15 的解集为x|5 3x5；当 x5 时，f(x)x28x15 的解集为x|5x6 综上

31、，不等式 f(x)x28x15 的解集为x|5 3x6(10 分)为则实数的值为或或或或解题提示以为目标进行分类讨论去掉绝对值符号解析选当时当时由可得解得或湖北高考理设是正数且则解析选由柯西不等式得当且仅当时取等号因此有山东高考理不等式的解集是解析选表示数轴上的点到的值不等式解析由得到所以答案又知道解集为广东高考理科不等式的解集为解析方法一由得由无解由得即所求的解集为或方法二在数轴上点与点的距离为所以往左右边界各找距离为的两个点即点到点与点的距离之和为点到点与点的距值号还是利用几何意义都要不重不漏陕西高考文科文理共用不等式选做题设且则的最小值为解题南本题考查运用柯西不等式求最值的问题解析由柯西不等式得学习必备欢迎下载即所以的最小值为答案江西高考文科若则的取值范围为