高中数学导数题型总结中学教育高中教育_中学教育-高中教育.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 导数 经典例题剖析 考点一：求导公式。例 1.()fx是31()213f xxx的导函数，则(1)f 的值是 。考点二：导数的几何意义。例 2.已知函数()yf x的图象在点(1(1)Mf，处的切线方程是122yx，则(1)(1)ff 。例 3.曲线32242yxxx在点(13)，处的切线方程是 。考点三：导数的几何意义的应用。例 4.已知曲线 C：xxxy2323，直线kxyl:，且直线l与曲线 C 相切于点00,yx00 x，求直线l的方程及切点坐标。考点四：函数的单调性。例 5.已知 1323xxaxxf在 R 上是减函数，求a的取值范围。例 6.设函数32()233

2、8f xxaxbxc在1x 及2x 时取得极值。（1）求 a、b 的值；（2）若对于任意的0 3x，都有2()f xc成立，求 c 的取值范围。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数 xf的极值步骤：求导数 xf；求 0 xf的根；将 0 xf的根在数轴上标出，得出单调区间，由 xf 在各区间上取值的正负可确定并求出函数 xf的极值。学习必备 欢迎下载 例 7.已知a为实数，axxxf42。求导数 xf；（2）若01f，求 xf在区间 2,2上的最大值和最小值。解析：（1）axaxxxf4423，4232axxxf。（2）04231af，21a。143432xxxxxf 令 0 xf，

3、即0143xx，解得1x或34x，则 xf和 xf 在区间 2,2上随x的变化情况如下表：x 2 1,2 1 34,1 34 2,34 2 xf 0 0 xf 0 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 0 291 f，275034f。所以，xf在区间 2,2上的最大值为275034f，最小值为291 f。答案：（1）4232axxxf；（2）最大值为275034f，最小值为291 f。点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数 xf在区间 ba,上的最值，要先求出函数 xf在区间 ba,上的极值，然后与 af和 bf进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例 8.设函

4、数3()f xaxbxc(0)a 为奇函数，其图象在点(1,(1)f处的切线与直线670 xy 垂直，导函数()fx的最小值为12。（1）求a，b，c的值；（2）求函数()f x的单调递增区间，并求函数()f x在 1,3上的最大值和最小值。图象在点处的切线方程是则例曲线在点处的切线方程是考点三导数的几何意义的应用例已知曲线直线且直线与曲线相切于点求直线的方程及切点坐标考点四函数的单调性例已知在上是减函数求的取值范围例设函数在及时取得极值求将的根在数轴上标出得出单调区间由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值求学习必备欢迎下载例已知为实数求导数若在区间上的最大值和最小值解析求则和在区间令即

5、解得或上随的变化情况如下表增函数极大值减函数极数在区间上的最值要先求出函数在区间上的极值然后与和进行比较从而得出函数的最大最小值考点七导数的综合性问题例设函数为奇函数其图象在点处的切线与直线垂直导函数的最小值为求的值求函数的单调递增区间并求函数在上学习必备 欢迎下载 解析：（1）()f x为奇函数，()()fxf x ，即33axbxcaxbxc 0c，2()3fxaxb的最小值为12，12b ，又直线670 xy 的斜率为16，因此，(1)36fab ，2a，12b ，0c （2）3()212f xxx。2()6126(2)(2)fxxxx，列表如下：x(,2)2(2,2)2(2,)()fx

6、 0 0 ()f x 增函数 极大 减函数 极小 增函数 所以函数()f x的单调增区间是(,2)和(2,)，(1)10f ，(2)8 2f，(3)18f，()f x在 1,3上的最大值是(3)18f，最小值是(2)8 2f。答案：（1）2a，12b ，0c；（2）最大值是(3)18f，最小值是(2)8 2f。点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。导数强化训练（一）选择题 1.已知曲线24xy 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（A ）A1 B2 C3 D4 2.曲线1323xxy在点（1，1）处的切线方程为（B ）A43 xy

7、 B23 xy C34 xy D54 xy 3.函数)1()1(2xxy在1x处的导数等于 （D ）A1 B2 C3 D4 图象在点处的切线方程是则例曲线在点处的切线方程是考点三导数的几何意义的应用例已知曲线直线且直线与曲线相切于点求直线的方程及切点坐标考点四函数的单调性例已知在上是减函数求的取值范围例设函数在及时取得极值求将的根在数轴上标出得出单调区间由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值求学习必备欢迎下载例已知为实数求导数若在区间上的最大值和最小值解析求则和在区间令即解得或上随的变化情况如下表增函数极大值减函数极数在区间上的最值要先求出函数在区间上的极值然后与和进行比较从而得出函数的

8、最大最小值考点七导数的综合性问题例设函数为奇函数其图象在点处的切线与直线垂直导函数的最小值为求的值求函数的单调递增区间并求函数在上学习必备 欢迎下载 4.已知函数)(,31)(xfxxf则处的导数为在 的解析式可能为（A ）A)1(3)1()(2xxxf B)1(2)(xxf C2)1(2)(xxf D1)(xxf 5.函数93)(23xaxxxf，已知)(xf在3x时取得极值，则a=（D ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 6.函数32()31f xxx是减函数的区间为(D )（）(2,)（）(,2)（）(,0)（）(0,2)7.若函数 cbxxxf2的图象的顶点在第四象限，则函数 x

9、f 的图象是（A ）8.函数231()23f xxx在区间0,6上的最大值是（A）A323 B163 C12 D9 9.函数xxy33的极大值为m，极小值为n，则nm为 （A ）A0 B1 C2 D4 10.三次函数 xaxxf3在,x内是增函数，则 （A ）A 0a B0a C1a D31a 11.在函数xxy83的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是 （D ）A3 B2 C1 D0 x y o A x y o D x y o C x y o B 图象在点处的切线方程是则例曲线在点处的切线方程是考点三导数的几何意义的应用例已知曲线直线且直线与曲线相切于点求直线的方程及切

10、点坐标考点四函数的单调性例已知在上是减函数求的取值范围例设函数在及时取得极值求将的根在数轴上标出得出单调区间由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值求学习必备欢迎下载例已知为实数求导数若在区间上的最大值和最小值解析求则和在区间令即解得或上随的变化情况如下表增函数极大值减函数极数在区间上的最值要先求出函数在区间上的极值然后与和进行比较从而得出函数的最大最小值考点七导数的综合性问题例设函数为奇函数其图象在点处的切线与直线垂直导函数的最小值为求的值求函数的单调递增区间并求函数在上学习必备 欢迎下载 12.函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf 在),(ba内的图象如图所示，则函数

11、)(xf在开区间),(ba内有极小值点（A ）A1 个 B2 个 C3 个 D 4 个 （二）填空题 13.曲线3xy 在点1,1处的切线与x轴、直线2x所围成的三角形的面积为_。14.已 知 曲 线31433yx，则 过 点(2,4)P“改 为 在 点(2,4)P”的 切 线 方 程 是_ 15.已知()()nfx是对函数()f x连续进行 n 次求导，若65()f xxx，对于任意xR，都有()()nfx=0，则 n 的最少值为 。16.某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买x吨，运费为 4 万元次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 吨 （三）

12、解答题 17.已知函数 cbxaxxxf23，当1x时，取得极大值 7；当3x时，取得极小值求这个极小值及cba,的值 abxy)(xfyO 图象在点处的切线方程是则例曲线在点处的切线方程是考点三导数的几何意义的应用例已知曲线直线且直线与曲线相切于点求直线的方程及切点坐标考点四函数的单调性例已知在上是减函数求的取值范围例设函数在及时取得极值求将的根在数轴上标出得出单调区间由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值求学习必备欢迎下载例已知为实数求导数若在区间上的最大值和最小值解析求则和在区间令即解得或上随的变化情况如下表增函数极大值减函数极数在区间上的最值要先求出函数在区间上的极值然后与和进行

13、比较从而得出函数的最大最小值考点七导数的综合性问题例设函数为奇函数其图象在点处的切线与直线垂直导函数的最小值为求的值求函数的单调递增区间并求函数在上学习必备 欢迎下载 18.已知函数.93)(23axxxxf（1）求)(xf的单调减区间；（2）若)(xf在区间 2，2.上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值.19.设0t，点 P（t，0）是函数cbxxgaxxxf23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P处有相同的切线。（1）用t表示cba,；（2）若函数)()(xgxfy在（1，3）上单调递减，求t的取值范围。20.设函数 32()f xxbxcx xR，已知()()()g

14、xf xfx是奇函数。（1）求b、c的值。（2）求()g x的单调区间与极值。21.用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？22.已知函数3211()32f xxaxbx在区间 11)，(1 3，内各有一个极值点（1）求24ab的最大值；（1）当248ab时，设函数()yf x在点(1(1)Af，处的切线为l，若l在点A处穿过函数()yf x的图象（即动点在点A附近沿曲线()yf x运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数()f x的表达式 图象在点处的切线方程是则例曲线在点处的

15、切线方程是考点三导数的几何意义的应用例已知曲线直线且直线与曲线相切于点求直线的方程及切点坐标考点四函数的单调性例已知在上是减函数求的取值范围例设函数在及时取得极值求将的根在数轴上标出得出单调区间由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值求学习必备欢迎下载例已知为实数求导数若在区间上的最大值和最小值解析求则和在区间令即解得或上随的变化情况如下表增函数极大值减函数极数在区间上的最值要先求出函数在区间上的极值然后与和进行比较从而得出函数的最大最小值考点七导数的综合性问题例设函数为奇函数其图象在点处的切线与直线垂直导函数的最小值为求的值求函数的单调递增区间并求函数在上学习必备 欢迎下载 强化训练答案

16、：1.A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D 7.A 8.A 9.A 10.A 11.D 12.A（四）填空题 13.38 14.044 xy 15.7 16.20（五）解答题 17.解：baxxxf232。据题意，1，3 是方程0232baxx的两个根，由韦达定理得 3313231ba 9,3ba cxxxxf9323 71 f，2c 极小值 25239333323f 极小值为 25，9,3ba，2c。18.解：（1）.963)(2xxxf 令0)(xf，解得,31xx或 所以函数)(xf的单调递减区间为).,3(),1,(（2）因为,218128)2(aaf ,2218128)2(aa

17、f 所以).2()2(ff因为在（1，3）上0)(xf，所以)(xf在 1，2 上单调递增，又由于)(xf在 2，1 上单调递减，因此)2(f和)1(f分别是)(xf在区间 2,2上的最大值和最小值.于是有2022 a，解得.2a 故.293)(23xxxxf 因此,72931)1(f 即函数)(xf在区间 2,2上的最小值为7.19.解：（1）因为函数)(xf，)(xg的图象都过点（t，0），所以0)(tf，即03 att.因为,0t所以2ta.,0,0)(2abccbttg所以即 图象在点处的切线方程是则例曲线在点处的切线方程是考点三导数的几何意义的应用例已知曲线直线且直线与曲线相切于点求

18、直线的方程及切点坐标考点四函数的单调性例已知在上是减函数求的取值范围例设函数在及时取得极值求将的根在数轴上标出得出单调区间由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值求学习必备欢迎下载例已知为实数求导数若在区间上的最大值和最小值解析求则和在区间令即解得或上随的变化情况如下表增函数极大值减函数极数在区间上的最值要先求出函数在区间上的极值然后与和进行比较从而得出函数的最大最小值考点七导数的综合性问题例设函数为奇函数其图象在点处的切线与直线垂直导函数的最小值为求的值求函数的单调递增区间并求函数在上学习必备 欢迎下载 又因为)(xf，)(xg在点（t，0）处有相同的切线，所以).()(tgtf 而.2

19、3,2)(,3)(22btatbxxgaxxf所以 将2ta代入上式得.tb 因此.3tabc故2ta，tb，.3tc（2）)(3(23,)()(223223txtxttxxyttxxtxxgxfy.当0)(3(txtxy时，函数)()(xgxfy单调递减.由0y，若txtt3,0 则；若.3,0txtt 则 由题意，函数)()(xgxfy在（1，3）上单调递减，则).3,()3,1(),3()3,1(tttt或所以.39.333tttt或即或 又当39t时，函数)()(xgxfy在（1，3）上单调递减.所以t的取值范围为).,3 9,(20.解：（1）32f xxbxcx，232fxxbxc

20、。从而322()()()(32)g xf xfxxbxcxxbxc32(3)(2)xbxcb xc 是一个奇函数，所以(0)0g得0c，由奇函数定义得3b；（2）由（）知3()6g xxx，从而2()36g xx，由此可知，(,2)和(2,)是函数()g x是单调递增区间；(2,2)是函数()g x是单调递减区间；()g x在2x 时，取得极大值，极大值为4 2，()g x在2x 时，取得极小值，极小值为4 2。21.解：设长方体的宽为x（m），则长为x2(m)，高为 230(m)35.441218xxxh.故长方体的体积为 2306935.423322xmxxxxxV 从而).1(18)35

21、.4(1818)(2xxxxxxV 令 0 xV，解得0 x（舍去）或1x，因此1x.当10 x时，0 xV；当231x时，0 xV，图象在点处的切线方程是则例曲线在点处的切线方程是考点三导数的几何意义的应用例已知曲线直线且直线与曲线相切于点求直线的方程及切点坐标考点四函数的单调性例已知在上是减函数求的取值范围例设函数在及时取得极值求将的根在数轴上标出得出单调区间由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值求学习必备欢迎下载例已知为实数求导数若在区间上的最大值和最小值解析求则和在区间令即解得或上随的变化情况如下表增函数极大值减函数极数在区间上的最值要先求出函数在区间上的极值然后与和进行比较从而

22、得出函数的最大最小值考点七导数的综合性问题例设函数为奇函数其图象在点处的切线与直线垂直导函数的最小值为求的值求函数的单调递增区间并求函数在上学习必备 欢迎下载 故在1x处 xV取得极大值，并且这个极大值就是 xV的最大值。从而最大体积 3321619mxVV，此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m.答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为33m。22.解：（1）因为函数3211()32f xxaxbx在区间 11)，(1 3，内分别有一个极值点，所以2()fxxaxb 0在 11)，(1 3，内分别有一个实根，设两实根为12xx，（12xx）

23、，则2214xxab，且2104xx 于是 2044ab，20416ab，且当11x ，23x，即2a ，3b 时等号成立 故24ab的最大值是 16（2）解法一：由(1)1fab 知()f x在点(1(1)f，处的切线l的方程是 (1)(1)(1)yffx，即21(1)32yab xa ，因为切线l在点(1()Af x，处空过()yf x的图象，所以21()()(1)32g xf xab xa 在1x 两边附近的函数值异号，则 1x 不是()g x的极值点 而()g x321121(1)3232xaxbxab xa ，且 22()(1)1(1)(1)g xxaxbabxaxaxxa 若11

24、a，则1x 和1xa 都是()g x的极值点 所以11 a，即2a ，又由248ab，得1b ，故321()3f xxxx 解法二：同解法一得21()()(1)32g xf xab xa 2133(1)(1)(2)322axxxa 因为切线l在点(1(1)Af，处穿过()yf x的图象，所以()g x在1x 两边附近的函数值异号，于是存在12mm，（121mm）当11mx 时，()0g x，当21xm 时，()0g x；图象在点处的切线方程是则例曲线在点处的切线方程是考点三导数的几何意义的应用例已知曲线直线且直线与曲线相切于点求直线的方程及切点坐标考点四函数的单调性例已知在上是减函数求的取值范

25、围例设函数在及时取得极值求将的根在数轴上标出得出单调区间由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值求学习必备欢迎下载例已知为实数求导数若在区间上的最大值和最小值解析求则和在区间令即解得或上随的变化情况如下表增函数极大值减函数极数在区间上的最值要先求出函数在区间上的极值然后与和进行比较从而得出函数的最大最小值考点七导数的综合性问题例设函数为奇函数其图象在点处的切线与直线垂直导函数的最小值为求的值求函数的单调递增区间并求函数在上学习必备 欢迎下载 或当11mx 时，()0g x，当21xm 时，()0g x 设233()1222aah xxx，则 当11mx 时，()0h x，当21xm 时，(

26、)0h x；或当11mx 时，()0h x，当21xm 时，()0h x 由(1)0h知1x 是()h x的一个极值点，则3(1)2 1 102ah ，所以2a ，又由248ab，得1b ，故321()3f xxxx 图象在点处的切线方程是则例曲线在点处的切线方程是考点三导数的几何意义的应用例已知曲线直线且直线与曲线相切于点求直线的方程及切点坐标考点四函数的单调性例已知在上是减函数求的取值范围例设函数在及时取得极值求将的根在数轴上标出得出单调区间由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值求学习必备欢迎下载例已知为实数求导数若在区间上的最大值和最小值解析求则和在区间令即解得或上随的变化情况如下表增函数极大值减函数极数在区间上的最值要先求出函数在区间上的极值然后与和进行比较从而得出函数的最大最小值考点七导数的综合性问题例设函数为奇函数其图象在点处的切线与直线垂直导函数的最小值为求的值求函数的单调递增区间并求函数在上