高中数学四大数学思想中学教育高中教育_中学教育-高中教育.pdf

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1、VIP免费 欢迎下载 高中数学四大思想方法 高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录与描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想 这些在一轮复习中都有所涉及，建议二轮复习前应先学习此部分带着方法去复习，这样可以使理论指导实践，“一法一练”“一练一过”，既节省了复习时间又能起到事半功倍的效果，而市面上有些资料把方法集中放于最后，起不到”依法训练”的作用，也因时间紧造成学

2、而不透、学而不深，在真正的高考中不能从容应对不过也可根据自身情况选择学完后再复习此部分 思想 1 函数与方程思想 函数的思想，就是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想 方程的思想，就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想 (1)设函数 f(x)的导函数为 f(x)，对任意 xR 都有 f(x)f(x)成立，则()A3f(ln 2)2f(ln 3)B3f(ln 2)2f(ln 3)C3f(ln 2)2f(ln 3)D3f(ln 2)与 2f(ln 3)的大小不

3、确定(2)(名师押题)直线 ykx2 和椭圆x24y231 在 y 轴左侧部分交于 A，B 两点，直线 l 过点 P(0，2)和线段 AB的中点 M，则 l 在 x 轴上的截距 a 的取值范围为_ (1)C(2)63，0 (1)令 F(x)f xex，则 F(x)f x f xex.VIP免费 欢迎下载 因为对xR 都有 f(x)f(x)，所以 F(x)0，即 F(x)在 R 上单调递减又 ln 2ln 3，所以 F(ln 2)F(ln 3)，即f ln 2eln 2f ln 3eln 3，所以f ln 22f ln 33，即 3f(ln 2)2f(ln 3)，故选 C.(2)设 A(x1，y

4、1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线 l 与 x 轴的交点为 N(a,0)由 ykx2，x24y231，得(34k2)x216kx40.因为直线 ykx2 和椭圆x24y231 在 y 轴左侧部分交于 A，B 两点，所以 16k244 34k2 0，x1x216k34k20，x1x2434k20，解得 k12.又 M 为线段 AB 的中点，所以 x0 x1x228k34k2，y0y1y22634k2.由 P(0，2)，M(x0，y0)，N(a,0)三点共线，所以634k228k34k20 2a0，所以4a2k3k.又因为 k12，所以 2k3k2 6，当且仅当 k62时等号成立，所以

5、4a2 6，则63a0.函数与方程思想在解题中的应用 1 函数与不等式的相互转化，对函数 yf(x)，当 y0 时，就化为不等式 f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式 2数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理能力的考查如果说数学知识是数学内容可用文字和符号来记录与描述那么数学思想方法则是数学意识重在领会运用属于思维的范畴用以对数学问题的认识处理和解决高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想数形结合思想分类使理论指导实践一法一练一练一过既节省了复习间又能起到事半功倍的效果而市面上有些资料把方法集中放于最后起不到依法训练的作

6、用也因间紧造成学而不透学而不深在真正的高考中不能从容应对不过也可根据自身情况选择学完问题转化问题从而使问题获得解决的数学思想方程的思想就是建立方程或方程组或者构造方程通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决的数学思想设函数的导函数为对任意都有成立则与的大小不确定VIP免费 欢迎下载 数列问题十分重要 3解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数有关理论 4立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决 变式训练1 将函数ysin4x3的图象向左平移 m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于 y

7、 轴对称，则 m 的最小值为_.524 把 ysin4x3的图象上所有的点向左平移 m 个单位长度后，得到 ysin4 xm 3sin4x4m3的图象，而此图象关于 y 轴对称，则 4m3k 2(kZ)，解得 m14k 524(kZ)又 m0，所以 m 的最小值为524.思想 2 数形结合思想 数形结合思想，就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想其应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质，如应用函数的图象来直观地说明函数的性质(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确，如应用曲线的方程来精确地阐明曲

8、线的几何性质 (2016 山东高考)已知函数 f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_(3，)作出 f(x)的图象如图所示当 xm 时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程 f(x)b 有三个不同的根，则 4mm20.又 m0，解得 m3.能力的考查如果说数学知识是数学内容可用文字和符号来记录与描述那么数学思想方法则是数学意识重在领会运用属于思维的范畴用以对数学问题的认识处理和解决高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想数形结合思想分类使理论指导实践一法一练一练一过既节省了复习间又能

9、起到事半功倍的效果而市面上有些资料把方法集中放于最后起不到依法训练的作用也因间紧造成学而不透学而不深在真正的高考中不能从容应对不过也可根据自身情况选择学完问题转化问题从而使问题获得解决的数学思想方程的思想就是建立方程或方程组或者构造方程通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决的数学思想设函数的导函数为对任意都有成立则与的大小不确定VIP免费 欢迎下载 数形结合思想在解题中的应用 1构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式 2构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围 3构建解析几何模型求最值或范围 4构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系

10、变式训练 2(1)若方程 x2(1a)x1ab0 的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则ba的取值范围是()A(2，1)B(，2)(1，)C.2，12 D.()，2 12，(2)(2015 吉林模拟)若不等式 4x2logax0 对任意 x0，14恒成立，则实数a 的取值范围为()A.1256，1 B.1256，1 C.0，1256 D.0，1256(1)C(2)B(1)由题意可知，方程的一个根位于(0,1)之间，另一根大于 1.设 f(x)x2(1a)x1ab，则 f 0 0，f 1 0，即 1ab0，2ab30.能力的考查如果说数学知识是数学内容可用文字和符号来记录与描述那么数学思想方法则是

11、数学意识重在领会运用属于思维的范畴用以对数学问题的认识处理和解决高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想数形结合思想分类使理论指导实践一法一练一练一过既节省了复习间又能起到事半功倍的效果而市面上有些资料把方法集中放于最后起不到依法训练的作用也因间紧造成学而不透学而不深在真正的高考中不能从容应对不过也可根据自身情况选择学完问题转化问题从而使问题获得解决的数学思想方程的思想就是建立方程或方程组或者构造方程通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决的数学思想设函数的导函数为对任意都有成立则与的大小不确定VIP免费 欢迎下载 作出可行域如图阴影部分所示 ba可以看作可行域内的点

12、(a，b)与原点(0,0)连线的斜率，由图可知 kOA12，2ba12.(2)由已知 4x21 时，不成立，当 a1 时，如图，只需 loga144142a1414a1256，又 a1，故 a1256，1.故选 B.思想 3 分类讨论思想 分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想 (1)(2015 山东高考)设函数 f(x)3x1，x1，2x，x1.则满足 f(f(a)2f(a)能力的考查如果说数学知识是数学内容可用

13、文字和符号来记录与描述那么数学思想方法则是数学意识重在领会运用属于思维的范畴用以对数学问题的认识处理和解决高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想数形结合思想分类使理论指导实践一法一练一练一过既节省了复习间又能起到事半功倍的效果而市面上有些资料把方法集中放于最后起不到依法训练的作用也因间紧造成学而不透学而不深在真正的高考中不能从容应对不过也可根据自身情况选择学完问题转化问题从而使问题获得解决的数学思想方程的思想就是建立方程或方程组或者构造方程通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决的数学思想设函数的导函数为对任意都有成立则与的大小不确定VIP免费 欢迎下载 的 a 的

14、取值范围是()A.23，1 B.0,1 C.23，D.1，)(2)设 F1，F2为椭圆x29y241 的两个焦点，P 为椭圆上一点已知 P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|的值为_(1)C(2)2 或72(1)由 f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当 a1 时，有 3a11，a23，23a1，都有 f(xt)3ex，则 m 的最大值为_ 解题指导(1)利用抛物线的定义把|PF|PA|的最值问题等价转化成直线 PA 的斜率问题(2)f(xt)3ex xt0extex 两边取对数t1ln xx 令h x 1ln xxh(x)min1.(1)B(2

15、)3(1)如图，作 PHl 于 H，由抛物线的定义可知，|PH|PF|，从而|PF|PA|的最小值等价于|PH|PA|的最小值，等价于PAH最小，等价于PAF 最大，能力的考查如果说数学知识是数学内容可用文字和符号来记录与描述那么数学思想方法则是数学意识重在领会运用属于思维的范畴用以对数学问题的认识处理和解决高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想数形结合思想分类使理论指导实践一法一练一练一过既节省了复习间又能起到事半功倍的效果而市面上有些资料把方法集中放于最后起不到依法训练的作用也因间紧造成学而不透学而不深在真正的高考中不能从容应对不过也可根据自身情况选择学完问题转化问题从而使问题获得解决

16、的数学思想方程的思想就是建立方程或方程组或者构造方程通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决的数学思想设函数的导函数为对任意都有成立则与的大小不确定VIP免费 欢迎下载 即直线 PA 的斜率最大此时直线 PA 与抛物线 y24x 相切，由直线与抛物线的关系可知PAF45，所以|PF|PA|PH|PA|sin 45 22.(2)因为当 t1，)且 x1，m时，xt0，所以 f(xt)3exextext1ln xx.所以原命题等价转化为：存在实数t1，)，使得不等式 t1ln xx 对任意 x1，m恒成立 令 h(x)1ln xx(x1)因为 h(x)1x10，所以函数 h

17、(x)在1，)上为减函数 又 x1，m，所以 h(x)minh(m)1ln mm.所以要使得对 x1，m，t 值恒存在，只需 1ln mm1.因为 h(3)ln 32ln1e3eln 1e1，h(4)ln 43ln1e4e2ln 1e1，且函数 h(x)在1，)上为减函数，所以满足条件的最大整数m 的值为 3.转化与化归思想在解题中的应用 1在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等 2换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的

18、或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法 3在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，能力的考查如果说数学知识是数学内容可用文字和符号来记录与描述那么数学思想方法则是数学意识重在领会运用属于思维的范畴用以对数学问题的认识处理和解决高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想数形结合思想分类使理论指导实践一法一练一练一过既节省了复习间又能起到事半功倍的效果而市面上有些资料把方法集中放于最后起不到依法训练的作用也因间紧造成学而不透学而不深在真正的高考中不能从容应对不过也可根据自身情况选择学完问题转化问题从而使问题获得解决的数学思想方程的思想就是建立方程或方程组或者构造方程通过

19、解方程或方程组或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决的数学思想设函数的导函数为对任意都有成立则与的大小不确定VIP免费 欢迎下载 常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化 4在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解 5在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f(x)构成的方程 变式训练 4(1)(2016 杭州二模)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 是 AA1的中点，则异面直线 BE 与 B1D1所成角的余弦值等于_，若正方体的边长为 1，则四面体 B-EB1D1的体积为_(2)若对于任意 t1,2

20、，函数 g(x)x3m22 x22x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范围是_(1)105 16(2)373，5 (1)连接 BD，DE，因为 BDB1D1，所以EBD就是异面直线 BE 与 B1D1所成的角，设 A1A1，则 DEBE52，BD 2，cosEBD54254252 2105，由 V 三棱锥 B-EB1D1V 三棱锥 D1-BEB1得 V 三棱锥 B-EB1D11312116.(2)g(x)3x2(m4)x2，若 g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则g(x)0 在(t,3)上恒成立，或g(x)0 在(t,3)上恒成立 由得 3x2(m4)x20，即 m4

21、2x3x 在 x(t,3)上恒成立，所以 m42t3t 恒成立，则 m41，即 m5；由得 m42x3x 在 x(t,3)上恒成立，则 m4239，即 m373.所以若函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数，则 m 的取值范围为373m5.能力的考查如果说数学知识是数学内容可用文字和符号来记录与描述那么数学思想方法则是数学意识重在领会运用属于思维的范畴用以对数学问题的认识处理和解决高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想数形结合思想分类使理论指导实践一法一练一练一过既节省了复习间又能起到事半功倍的效果而市面上有些资料把方法集中放于最后起不到依法训练的作用也因间紧造成学而不透学而不深在真正的高考中不能从容应对不过也可根据自身情况选择学完问题转化问题从而使问题获得解决的数学思想方程的思想就是建立方程或方程组或者构造方程通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决的数学思想设函数的导函数为对任意都有成立则与的大小不确定