《综合法与分析法》参考教案中学教育中考_中学教育-中学课件.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 综合法与分析法 教学目的：1掌握综合法、分析法证明不等式；2熟练掌握已学的重要不等式；3增强学生的逻辑推理能力 教学重点：综合法、分析法 教学难点：不等式性质的综合运用 一、复习引入：1重要不等式：如果)(2R,22号时取当且仅当那么baabbaba 2定理：如果 a,b 是正数，那么).(2号时取当且仅当baabba 3公式的等价变形：ab222ba，ab（2ba）2 4 baab2（ab0），当且仅当 ab 时取“”号；5比较法之一（作差法）步骤：作差变形判断与 0 的关系结论 比较法之二（作商法）步骤：作商变形判断与 1 的关系结论 二、讲解新课：（一）1综合法：利用

2、某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法 2用综合法证明不等式的逻辑关系是：12nABBBB 3综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法（二）1分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法 2用分析法证明不等式的逻辑关系是：12nBBBBA 学习必备 欢迎下载 3分析法的思维特点是：执果索因

3、4分析法的书写格式：要证明命题 B 为真，只需要证明命题1B为真，从而有 这只需要证明命题2B为真，从而又有 这只需要证明命题 A 为真 而已知 A 为真，故命题 B 必为真 例 1：已知a b,是正数，且ab，求证：aba bab3322 转化尝试，就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止.其逻辑关系是：12nBBBBA 证明：0,0,abab且 要证3322abab ab ,只要证22()()()a b aab baba b ,只要证22aabbab,只要证2220aabb.0ab,2()0ab即2220aabb得证.注：分析法的思维特点是：执果索因

4、.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通 联想尝试，就是由已知的不等式及题设条件出发产生联想,大胆尝试,巧用已知不等式及不等式性质做适当变形，推导出要求证明的不等式.其逻辑关系是：12nABBBB 法二：证明：0,0,abab且 3222aaba b,3222bbaab,32322222aabbbaa bab,3322aba b ab 法三 aabbaa3333 逻辑推理能力教学重点综合法分析法教学难点不等式性质的综合运用一复习引入重要不等式如果那么当且仅当时取号定理如果是正数那么

5、当且仅当时取号公式的等价变形当且仅当时取号比较法之一作差法步骤作差变形判断与的关系术平均数与几何平均数定理和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立这种证明方法通常叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是综合法的思维特点是由因导果即由已知条出发利用已知的数学定理性质和公式推出结论的一种定这些条是否具备的问题如果能够肯定这些条都已具备那么就可以断定原不等式成立这种方法通常叫做分析法用分析法证明不等式的逻辑关系是学习必备欢迎下载分析法的思维特点是执果索因分析法的书写格式要证明命题为真只需学习必备 欢迎下载 注：综合法的思维特点是：执因索果.基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样

6、或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想，浮想联翩，思潮如涌。例 2.（P23 例 1）已知cba,是不全相等的正数,求证 abcbacacbcba6)()()(222222 证明：22cb 2 bc,a0,)(22cba2 abc 同理)(22acb2 abc )(22bac2 abc 因为 a，b，c 不全相等，所以22cb 2 bc,22ac 2 ca,22ba 2 ab 三式不能全取“=”号，从而、三式也不能全取“=”号 abcbacacbcba6)()()(222222 法二：33332223cbacabcab 法三：62222226cbcababcac

7、ab 法四：222 baab 法五：3222222222222)()()(3)()()(bacacbcbabacacbcba 例 3（P23 例 2）.已知Raaan,21，且121naaa，求证 nnaaa2)1()1)(121（改变:同样的条件,怎样证明:nnaaa3)2()2)(221（证明：1111121,aaaRa即 1121aa，同理2221aannaa21 因为Raaan,21，由不等式的性质，得 nnnnaaaaaa22)1()1)(12121（逻辑推理能力教学重点综合法分析法教学难点不等式性质的综合运用一复习引入重要不等式如果那么当且仅当时取号定理如果是正数那么当且仅当时取号

8、公式的等价变形当且仅当时取号比较法之一作差法步骤作差变形判断与的关系术平均数与几何平均数定理和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立这种证明方法通常叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是综合法的思维特点是由因导果即由已知条出发利用已知的数学定理性质和公式推出结论的一种定这些条是否具备的问题如果能够肯定这些条都已具备那么就可以断定原不等式成立这种方法通常叫做分析法用分析法证明不等式的逻辑关系是学习必备欢迎下载分析法的思维特点是执果索因分析法的书写格式要证明命题为真只需学习必备 欢迎下载 因为1ia时，iiaa21取等号，所以原式在121naaa时取等号 变式：已知Raaan,21，且121na

9、aa，求证 nnaaa3)2()2)(221（例 4、（P24 例 3）求证6372 证（略）四、课堂练习：1 设 a,b,c R，1 求证：)(2222baba 2 求证：)(2222222cbaaccbba 3 若 a+b=1,求证：22121ba 证：1 0)2(2222baba 2|2|222bababa)(2222baba 2 同理：)(2222cbcb，)(2222acac 三式相加：)(2222222cbaaccbba 3 由幂平均不等式：1222)1(2)21()21()2121(21bababa 22121ba 2已知 a,b,c,dR,求证:ac+bd)(2222dcba

10、逻辑推理能力教学重点综合法分析法教学难点不等式性质的综合运用一复习引入重要不等式如果那么当且仅当时取号定理如果是正数那么当且仅当时取号公式的等价变形当且仅当时取号比较法之一作差法步骤作差变形判断与的关系术平均数与几何平均数定理和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立这种证明方法通常叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是综合法的思维特点是由因导果即由已知条出发利用已知的数学定理性质和公式推出结论的一种定这些条是否具备的问题如果能够肯定这些条都已具备那么就可以断定原不等式成立这种方法通常叫做分析法用分析法证明不等式的逻辑关系是学习必备欢迎下载分析法的思维特点是执果索因分析法的书写格式要证明命题为

11、真只需学习必备 欢迎下载 分析一:用分析法 证法一:(1)当 ac+bd0时,显然成立(2)当 ac+bd0 时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)即证 a2c2+2abcd+b2d2 a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 即证 2abcd b2c2+a2d2 即证 0(bc-ad)2 因为 a,b,c,dR,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:原不等式成立 分析二:用综合法 证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2 abcd+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-a

12、d)2(ac+bd)2)(2222dcba|ac+bd|ac+bd 故命题得证 五、课后作业 P25 习题 逻辑推理能力教学重点综合法分析法教学难点不等式性质的综合运用一复习引入重要不等式如果那么当且仅当时取号定理如果是正数那么当且仅当时取号公式的等价变形当且仅当时取号比较法之一作差法步骤作差变形判断与的关系术平均数与几何平均数定理和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立这种证明方法通常叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是综合法的思维特点是由因导果即由已知条出发利用已知的数学定理性质和公式推出结论的一种定这些条是否具备的问题如果能够肯定这些条都已具备那么就可以断定原不等式成立这种方法通常叫做分析法用分析法证明不等式的逻辑关系是学习必备欢迎下载分析法的思维特点是执果索因分析法的书写格式要证明命题为真只需